2-5對數對數函數函數

課時作業(yè)(八)1．下列大小關系正確的是()A．0.43<30.4<log40.3 B．0.43<log40.3<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.432．log2sineq\f(π,12)＋log2coseq\f(π,12)的值為()A．－4B．4C．－2D．23．設f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)4．設logbN＜logaN＜0，N＞1，且a＋b＝1，則必有()A．1＜a＜bB．a＜b＜1C．1＜b＜aD．b＜a＜15．0＜a＜1，不等式eq\f(1,logax)＞1的解是()A．x＞aB．a＜x＜1C．x＞1D．0＜x＜a6．下列四個數中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．lneq\r(2)D．ln27．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定義域上的增函數，那么a的取值范圍是()A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)8．函數y＝f(x)的圖像如下圖所示，則函數y＝logeq\s\do8(\f(1,2))f(x)的圖像大致是()9．已知函數f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)()A．恒為負值B．等于0C．恒為正值D．不大于010．若loga(π－3)<logb(π－3)<0，a、b是不等于1的正數，則下列不等式中正確的是()A．b>a>1B．a<b<1C．a>b>1D．b<a<111．當0<x<1時，下列不等式成立的是()A．(eq\f(1,2))x＋1>(eq\f(1,2))1－xB．log(1＋x)(1－x)>1C．0<1－x2<1D．log(1－x)(1＋x)>012．f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，則y＝f(x)與y＝g(x)在同一坐標內的圖像可能是下圖中的()13．若0<a<1，在區(qū)間(0,1)上函數f(x)＝loga(x＋1)是()A．增函數且f(x)>0B．增函數且f(x)<0C．減函數且f(x)>0D．減函數且f(x)<014．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值為()A．－log20102009B．－1C．log20102009－1D．115．已知函數y＝log2(x2－ax－a)的值域為R，則實數a的取值范圍是________．16．函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是________．17．已知函數f(x)＝log2(x2－ax＋3a)，對于任意x≥2，當Δx>0時，恒有f(x＋Δx)>f(x)，則實數a的取值范圍是________．18．若xlog32＝1，則4x＋4－x＝________.19．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則實數a的取值范圍是__________．20．若正整數m滿足10m－1＜2512＜10m，則m＝_________.(lg2≈0.3010)21．作為對數運算法則：lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)是不正確的．但對一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，對于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)成立的a，b應滿足函數a＝f(b)表達式為________．22．已知函數f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求f(－eq\f(1,2007))＋f(－eq\f(1,2008))＋f(eq\f(1,2007))＋f(eq\f(1,2008))的值．(2)若x∈[－a，a](其中a∈(0,1))，試判斷函數f(x)是否存在最大值或最小值？23．設f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)為奇函數，a為常數．(1)求a的值；(2)證明f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增；(3)若對于區(qū)間[3,4]上的每一個x的值，不等式f(x)>(eq\f(1,2))x＋m恒成立，求實數m的取值范圍．24．已知函數f(x)＝loga(2－ax)，是否存在實數a，使函數f(x)在[0,1]上是關于x的減函數，若存在，求a的取值范圍．25．比較下列各組數的大?。?1)log3eq\f(2,3)與log5eq\f(6,5)；(2)log1.10.7與log1.20.7；(3)已知logeq\s\do8(\f(1,2))b<logeq\s\do8(\f(1,2))a<logeq\s\do8(\f(1,2))c，比較2b,2a,2c的大小關系．26．已知函數f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)是奇函數(a>0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調性并加以證明；(3)當a>1，x∈(r，a－2)時，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a與r的值．27．已知過原點O的一條直線與函數y＝log8x的圖像交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行線與函數y＝log2x的圖像交于C、D兩點．(1)證明：點C、D和原點O在同一直線上；(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標．課時作業(yè)(八)1．下列大小關系正確的是()A．0.43<30.4<log40.3 B．0.43<log40.3<30.4C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43答案C解析∵log40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴選C.2．log2sineq\f(π,12)＋log2coseq\f(π,12)的值為()A．－4B．4C．－2D．2答案C解析log2sineq\f(π,12)＋log2coseq\f(π,12)＝log2(sineq\f(π,12)coseq\f(π,12))＝log2eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝log2eq\f(1,4)＝－2，故選C.3．設f(x)＝lg(eq\f(2,1－x)＋a)是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析∵f(x)為奇函數，∴f(0)＝0.解之，得a＝－1.∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x).令f(x)<0，則0<eq\f(1＋x,1－x)<1，∴x∈(－1,0)．4．設logbN＜logaN＜0，N＞1，且a＋b＝1，則必有()A．1＜a＜bB．a＜b＜1C．1＜b＜aD．b＜a＜1答案B解析0＞logaN＞logbN?logNb＞logNa，∴a＜b＜15．0＜a＜1，不等式eq\f(1,logax)＞1的解是()A．x＞aB．a＜x＜1C．x＞1D．0＜x＜a答案B解析易得0＜logax＜1，∴a＜x＜16．下列四個數中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．lneq\r(2)D．ln2答案D解析0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0，lneq\r(2)＝eq\f(1,2)ln2<ln2.7．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定義域上的增函數，那么a的取值范圍是()A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)答案B解析記u＝(3－a)x－a，當1<a<3時，y＝logau在(0，＋∞)上為增函數，u＝(3－a)x－a在其定義域內為增函數，∴此時f(x)在其定義域內為增函數，符合要求．當a>3時，y＝logau在其定義域內為增函數，而u＝(3－a)x－a在其定義域內為減函數，∴此時f(x)在其定義域內為減函數，不符合要求．當0<a<1時，同理可知f(x)在其定義域內是減函數，不符合題意．8．函數y＝f(x)的圖像如下圖所示，則函數y＝logeq\s\do8(\f(1,2))f(x)的圖像大致是()答案C解析由y＝f(x)的圖像可知，y＝f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增，根據復合函數的單調性法則可知，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，故選C.9．已知函數f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)()A．恒為負值B．等于0C．恒為正值D．不大于0答案C解析因為f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x在其定義域(0，＋∞)上單調遞減，而f(x0)＝0，所以f(x1)>f(x0)＝0.10．若loga(π－3)<logb(π－3)<0，a、b是不等于1的正數，則下列不等式中正確的是()A．b>a>1B．a<b<1C．a>b>1D．b<a<1答案A解析∵0<π－3<1，loga(π－3)<logb(π－3)<0，∴a，b∈(1，＋∞)，且b>a，11．當0<x<1時，下列不等式成立的是()A．(eq\f(1,2))x＋1>(eq\f(1,2))1－xB．log(1＋x)(1－x)>1C．0<1－x2<1D．log(1－x)(1＋x)>0答案C解析法一：考察答案A：∵0<x<1，∴x＋1>1－x，∴(eq\f(1,2))x＋1<(eq\f(1,2))1－x，故A不正確；考察答案B：∵0<x<1，∴1＋x>1,0<1－x<1，∴l(xiāng)og(1＋x)(1－x)<0，故B不正確；考察答案C：∵0<x<1，∴0<x2<1，∴0<1－x2<1，故C正確；考察答案D：∵0<1－x<1,1＋x>1.∴l(xiāng)og(1－x)(1＋x)<0，故D不正確．法二：(特值法)取x＝eq\f(1,2)，驗證立得答案C.12．f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，則y＝f(x)與y＝g(x)在同一坐標內的圖像可能是下圖中的()答案D解析由于指數函數與對數函數互為反函數，所以，f(x)與g(x)同增或同減，排除A、C.由于f(3)·g(3)<0，即當x＝3時，f(x)、g(x)的圖像位于x軸的兩側，排除B，選D.13．若0<a<1，在區(qū)間(0,1)上函數f(x)＝loga(x＋1)是()A．增函數且f(x)>0B．增函數且f(x)<0C．減函數且f(x)>0D．減函數且f(x)<0答案D解析∵0<a<1時，y＝logau又u＝x＋1，∴f(x)為減函數；又0<x<1時，x＋1>1，又0<a<1，∴f(x)<0.選D.14．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值為()A．－log20102009B．－1C．log20102009－1D．1答案B解析由y＝xn＋1，得y′＝(n＋1)xn，則曲線在點(1,1)處切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1，切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴l(xiāng)og2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010(eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2009,2010))＝log2010eq\f(1,2010)＝－1，故選B.15．已知函數y＝log2(x2－ax－a)的值域為R，則實數a的取值范圍是________．答案(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正實數，應有Δ＝a2＋4a≥0，解之得a≥0或a≤－4，即a的取值范圍為(－∞，4]∪[0，＋∞)．16．函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區(qū)間是________．答案(－eq\f(1,2)，＋∞)解析由題意知，函數f(x)＝log5(2x＋1)的定義域為{x|x>－eq\f(1,2)}，所以該函數的單調增區(qū)間為(－eq\f(1,2)，＋∞)．17．已知函數f(x)＝log2(x2－ax＋3a)，對于任意x≥2，當Δx>0時，恒有f(x＋Δx)>f(x)，則實數a的取值范圍是________．答案－4<a≤4解析∵當Δx>0時，恒有f(x＋Δx)>f(x)，則eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)>0，∴當x≥2時，f(x)為增函數．∴二次函數g(x)＝x2－ax＋3a的對稱軸eq\f(a,2)≤2.∴a≤4.又g(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，∴g(x)min＝g(2)>0，∴a>－4.綜上，－4<a≤4.18．若xlog32＝1，則4x＋4－x＝________.答案eq\f(82,9)解由已知得x＝eq\f(1,log32)＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝9＋eq\f(1,9)＝eq\f(82,9).19．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則實數a的取值范圍是__________．解析∵a2＋1＞1,loga(a2＋1)＜0，∴0＜a＜1.又loga2a＜0，∴2a＞1，∴a＞eq\f(1,2).∴實數a的取值范圍是(eq\f(1,2)，1)．20．若正整數m滿足10m－1＜2512＜10m，則m＝_________.(lg2≈0.3010)答案155解析由10m－1＜2512＜10m得m－1＜512lg2＜m，∴m－1＜154.12＜m，∴m＝155.21．作為對數運算法則：lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)是不正確的．但對一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，對于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)成立的a，b應滿足函數a＝f(b)表達式為________．答案a＝eq\f(b,b－1)解析lg(a＋b)＝lga＋lgb，∴a＋b＝ab，∴a(b－1)＝b，∴a＝eq\f(b,b－1)(b>1)．22．已知函數f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求f(－eq\f(1,2007))＋f(－eq\f(1,2008))＋f(eq\f(1,2007))＋f(eq\f(1,2008))的值．(2)若x∈[－a，a](其中a∈(0,1))，試判斷函數f(x)是否存在最大值或最小值？答案(1)0(2)有最小值f(a)＝－a＋log2eq\f(1－a,1＋a)，有最大值為f(－a)＝a＋log2eq\f(1＋a,1－a)解析(1)由eq\f(1－x,1＋x)>0得函數的定義域是(－1,1)，又f(－x)＋f(x)＝log2eq\f(1＋x,1－x)＋log2eq\f(1－x,1＋x)＝log21＝0，∴f(－x)＝－f(x)成立，∴函數f(x)是奇函數，∴f(－eq\f(1,2007))＋f(eq\f(1,2007))＝0，f(－eq\f(1,2008))＋f(eq\f(1,2008))＝0，∴f(－eq\f(1,2007))＋f(－eq\f(1,2008))＋f(eq\f(1,2007))＋f(eq\f(1,2008))＝0.(2)f(x)＝－x＋log2(1－x)－log2(1＋x)，∴f′(x)＝－1＋eq\f(－1,1－xln2)－eq\f(1,1＋xln2)<0，有最小值f(a)＝－a＋log2eq\f(1－a,1＋a)，有最大值為f(－a)＝a＋log2eq\f(1＋a,1－a).評析本題可以運用單調函數的定義域來證明函數單調遞減，但相對來說，在許多情況下應用導數證明函數的單調性比運用定義證明函數的單調性，運算量小得多．23．設f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)為奇函數，a為常數．(1)求a的值；(2)證明f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增；(3)若對于區(qū)間[3,4]上的每一個x的值，不等式f(x)>(eq\f(1,2))x＋m恒成立，求實數m的取值范圍．解析(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1＋ax,－1－x)＝－logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1－ax,x－1)，即logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1＋ax,－x－1)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(x－1,1－ax)，∴eq\f(1＋ax,－x－1)＝eq\f(x－1,1－ax)，化簡整理得(a2－1)x2＝0，∴a2－1＝0，a＝±1，經檢驗a＝－1，f(x)是奇函數，∴a＝－1.(2)證明由(1)得f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(x＋1,x－1)，設1<x1<x2，則eq\f(x1＋1,x1－1)－eq\f(x2＋1,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)>0，∴eq\f(x1＋1,x1－1)>eq\f(x2＋1,x2－1)>0，從而logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(x1＋1,x1－1)<logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(x2＋1,x2－1)，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)內單調遞增．(3)原不等式可化為f(x)－(eq\f(1,2))x>m，令φ(x)＝f(x)－(eq\f(1,2))x，則φ(x)>m對于區(qū)間[3,4]上的每一個x都成立等價于φ(x)在[3,4]上的最小值大于m.∵φ(x)在[3,4]上為增函數，∴當x＝3時，φ(x)取得最小值，logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(3＋1,3－1)－(eq\f(1,2))3＝－eq\f(9,8)，∴m<－eq\f(9,8).24．已知函數f(x)＝loga(2－ax)，是否存在實數a，使函數f(x)在[0,1]上是關于x的減函數，若存在，求a的取值范圍．思路a>0且a≠1，問題等價于在[0,1]上恒有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>12－ax>0)).答案(1,2)解析∵a>0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是關于x的減函數．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是關于x的減函數，∴函數y＝logau是關于u的增函數，且對x∈[0,1]時，u＝2－ax恒為正數．其充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>12－a>0))，即1<a<2.∴a的取值范圍是(1,2)．25．比較下列各組數的大小．(1)log3eq\f(2,3)與log5eq\f(6,5)；(2)log1.10.7與log1.20.7；(3)已知logeq\s\do8(\f(1,2))b<logeq\s\do8(\f(1,2))a<logeq\s\do8(\f(1,2))c，比較2b,2a,2c的大小關系．解析(1)∵log3eq\f(2,3)<log31＝0，log5eq\f(6,5)>log51＝0，∴l(xiāng)og3eq\f(2,3)<log5eq\f(6,5).(2)方法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.71.1>log0.71.2，∴eq\f(1,log0.71.1)<eq\f(1,log0.71.2)，即由換底公式可得log1.10.7<log1.20.7.方法二：作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖像．如圖所示兩圖像與x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x為減函數，且logeq\s\do8(\f(1,2))b<logeq\s\do8(\f(1,2))a<logeq\s\do8(\f(1,2))c，∴b>a>c，而y＝2x是增函數，∴2b>2a>2c.26．已知函數f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)是奇函數(a>0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調性并加以證明；(3)當a>1，x∈(r，a－2)時，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a與r的值．答案(1)m＝－1(2)a>1時減，0<a<1時增(3)r＝1，a＝2＋eq\r(3)解析(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)在其定義域內恒成立，即logaeq\f(1＋mx,－x－1)＝－logaeq\f(1－mx,x－1)，∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，故m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝logaeq\f(x＋1,x－1)(a>0，a≠1)，任取x1，x2∈(1，＋∞)．設x1<x2，令t(x)＝eq\f(1＋x,x－1)，則t(x1)＝eq\f(x1＋1,x1－1)，t(x2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)，∴t(x1)－t(x2)＝eq\f(x1＋1,x1－1)－eq\f(x2＋1,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.∴t(x1)>t(x2)，即eq\f(x1＋1,x1－1)>eq\f(x2＋1,x2－1)，∴當a>1時，logaeq\