對數(shù)函數(shù)試講

對數(shù)函數(shù)試講——房山中學周立師：上課！生：老師好。師：同學們好，請坐。咱們在這之前呢講過了，指數(shù)式，指數(shù)運算，然后呢學習了指數(shù)函數(shù)，是吧？指數(shù)函數(shù)的解析式，還記得嗎？師生：（）師：后面呢，我們研究了它的什么？生：圖像和性質(zhì)師：好，我們再回憶一下圖像，當?shù)臅r候，函數(shù)的圖像三個特征，第一，過生：師：在生：軸上方遞增師：當?shù)臅r候，三個特征，第一生：過，在軸上方遞減師：好，定義域，值域，單調(diào)性，沒有奇偶性對吧？好，后面呢我們又學習了新的運算，對數(shù)式，然后學習了對數(shù)的運算，接下來我們學習了什么？生：對數(shù)函數(shù)。師：這節(jié)課我們學習對數(shù)函數(shù)（板書標題），來看一個例子，這個例子見過吧？還是細胞分裂，我們已經(jīng)得出細胞分裂個數(shù)隨分裂次數(shù)變化的函數(shù)解析式是，它的定義域呢是是吧？那么大家看，反過來，如果已知分裂個數(shù)，求分裂次數(shù)，那么什么？大家說吧，什么呀？生：師：如果告訴你分裂的結果是兩個，它分裂了幾次呀？生：一次。師：分裂結果是四個？生：兩次。師：那我問你，是不是每一個都能唯一對應一個呢？我剛才舉了幾個例子，是不是每一個都能唯一對應一個？想想。生：是師：那給我一個理由行不行？你們有想法嗎？把你的想法跟小組同學說說，你們一塊兒說說，給我一個理由，行嗎？好，現(xiàn)在小組互相交流一下。（小組交流8分30秒到9分20秒）哪一組說說你們的想法，先這樣啊，我提示大家，一會兒接著想，這個是怎么來的？（指著）生：對過來的師：提示一下，他倆其實是一回事，接著想，好，討論結束，有沒有想說的？沒有哈，那你想想，這個，那我們是不是應該有個公式，公式是什么？咱們學過的指數(shù)函數(shù)的圖像，性質(zhì)，對吧？那你們做什么事兒，現(xiàn)在。生：畫圖師：對，誰來畫一下？來，畫一下。（學生上講臺畫圖像）師：有沒有要修正的地方？有嗎？還注意描這幾個點了，是吧？這樣畫對吧？因為取自然數(shù)，，對應的吧，，對應的，取2，對應的是，其實是什么？其實就是，左邊的不要了，右邊兒的取整，是這樣的吧？那你能用這個給我說一下，每取一個，都能得到唯一對應的，能不？生：能師：能，比劃比劃，來，給我找一個，看看對應幾個。（學生上臺指出幾個點，都是對應的唯一一個）師：為什么呢？你能說出本質(zhì)來嗎？為什么任取一個，都唯一對應一個？生：因為把代到式子里面恒成立師：對，反過來呢？生：把代到式子里面也是成立的，師：還是這樣，是吧？行，請回，這個函數(shù)圖像有什么性質(zhì)？生：單調(diào)。師：我們學指數(shù)函數(shù)的時候，我們都知道，我們每取一個，都對應一個，反過來，因為他的單調(diào)性，任取一個，比如說，我現(xiàn)在不管定義域，我任取一個值，那它對應的值幾個呀？生：只有一個師：我把范圍擴大，也是這樣的，是嗎？因為他是單調(diào)的函數(shù)，那么這樣的每一個都唯一對應一個，就可以說，它就符合函數(shù)的定義了，我們看函數(shù)的定義，設設是一個非空的數(shù)集，對于集合中的任意數(shù)按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)和它對應師：任取一個，按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)和它對應，是不是函數(shù)的定義？生：是。師：那在這個時候我是任取的誰呀？生：師：任取得，唯一對應一個，注意啊，此非彼，此非彼，那么，我就可以把它看成關于的函數(shù)了，是吧？同學們，一般的指數(shù)函數(shù)，類比著大家想想，我也可以去求，是嗎？，是不是也能夠看成為自變量的函數(shù)呢？能不能？你來說說為什么？還是工具，還有工具啊。小麗：（聲音太?。煟褐笖?shù)函數(shù)的圖像，差不多吧？全都這樣嗎？當時，圖像單調(diào)遞增，是嗎？那我們畫一個，過，函數(shù)上升，任取一個值，都唯一對應一個，是吧？請坐，說清楚了嗎？當時，函數(shù)上升，任取一個值，都唯一對應一個，符合函數(shù)的定義，是吧？那這個時候呢，我們就把它看成關于的函數(shù)（指著），自變量是，但是習慣上呢，拿誰當自變量啊？生：師：所以呢，我們把它寫成當自變量，給它寫成以為底的對數(shù)，那么函數(shù)值我們一般用誰來代表??？生：師：這就是我們今天學的新的函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的形式，（板書定義）師：好，我們看啊，這個解析式，其中哪兒來的呀？生：之前的師：對，他從這兒來的，（指著）是嗎？根兒在這兒呢，解析式出來了，我們看解析式有什么特征啊，底數(shù)呢，是常數(shù)，是吧？是一個給定的數(shù)，好，范圍，自變量是？生：師：是真數(shù)的位置，是吧？這個函數(shù)我寫全了嗎？缺什么？生：的取值師：函數(shù)的兩要素，是吧？的取值范圍，是取所有數(shù)都可以嗎？生：大于0師：為什么大于0，你說。小明：（聲音太小）師：我們說過，誰沒有對數(shù)，來著？生：負數(shù)和0師：對，請坐，非常好，這是前邊兒的對數(shù)的知識當中，負數(shù)和0沒有對數(shù)，是吧？還有沒有別的理由？這個可以說服我，必須是正數(shù)，還有別的說法嗎？從哪兒來的？生：圖像師：沈心悅。沈心悅：從圖像看出師：從圖像的什么？你是怎么看出來的？沈心悅：圖像的單調(diào)性師：單調(diào)性，是嗎？沈心悅：在軸上方。師：圖像在軸上方，然后呢？沈心悅：與軸沒有交點。師：與軸沒有交點，還有嗎？咱們要看的是那個的范圍，是吧？我們應該上這兒來找誰？生：。師：找誰呢？沈心悅：找自變量。師：對，找自變量的范圍，自變量的范圍上哪兒找去？沈心悅：前邊兒那個式子。師：從這兒找，是嗎？（指著），對，也就是它的什么？生：值域。師：值域，它的值域是？0到？生：正無窮。師：嗯，請坐，這就是函數(shù)的定義域，這兩個理由，可以吧？都說服你了，記住了，定義域，好，解析式定義我們清楚了，那么下面我們該研究什么了？生：圖像師：圖像和？生：性質(zhì)。師：那新的函數(shù)的圖像，咱們還不知道呢，是吧？我們應該怎么去得到它的一般圖像？生：列表。師：列哪個函數(shù)的表？你們的知道嗎？取得特殊值，是吧？嗯，應該是先畫特殊的，再歸納出一般的，是吧？那么這時候就需要我們對賦值，對嗎？那你取什么樣的數(shù)合適？絕對不能取負數(shù)，對嗎？不能取1是吧？取什么數(shù)？取這樣的數(shù)，是嗎？你覺得為了你方便列表，描點，畫圖，我們?nèi)∪∈裁粗?。生：整?shù)。師：整數(shù)，是吧？比如說誰？生：2師：比如說誰？生：4。師：好，行，你可以試試，還可以取誰？生：。師：，還可以取之間的數(shù)，對嗎？以為底，還可以取哪些？生：8師：你可以試試啊我們剛才說了，我要取2，是吧？然后取，多試幾個唄，，3，是吧？剛才有個同學提到了8，可以試試哈，我希望你研究研究，畫一畫，一會兒咱們看一看。那么現(xiàn)在呢咱們知道該去哪些數(shù)的函數(shù)圖像了，現(xiàn)在大家開始動手，開始畫這幾個函數(shù)，四個吧？自己畫圖，開始行動。（22分到31分）同學之間可以相互看看，互相彌補一下。我提示一下，大家看看投影，同學出現(xiàn)這個問題，那么我們在取值的時候，大家特別喜歡取整數(shù)，是吧？1，2，3，后來發(fā)現(xiàn)3的時候有點問題，你不會求值，值具體大小求不出來，是吧？然后就把3放棄了，取4了，是吧？看特征，以2為底的，那我們把5放棄了，取8了，是吧？這挺好的，結果呢就畫出了這個圖來了。，然后，然后，是吧？然后光滑的連起來，連起來之后好像我們就完成工作了，其實你想想啊，函數(shù)的定義域是什么呀？生：0到正無窮。師：0到正無窮，那就意味著這個函數(shù)的圖像應該在軸的右側，都有，是嗎？都有圖像，全嗎，你覺得？沒全，你只是畫出了這邊兒是嗎？這兒少了，少了你會怎么辦？生：取值。師：補，你要取什么值??？生：分數(shù)。師：取，，把圖補全了，你這個圖就完整了，缺什么補什么，發(fā)現(xiàn)問題，找到問題就行了，是吧？快點兒啊，咱們畫出那幾個圖像之后，你看能不能歸納出一般圖像。（33分15秒到36分17秒）有同學已經(jīng)開始歸納了，還有什么問題趕緊問我，趙偉，上來說一下你的結論。趙偉：我求的函數(shù)是，還有和3為底的，先取了，它們都過，然后分別取的值，1，2，4，然后的是，和，畫出圖是這條，以為底的。師：這點兒我走神兒了，你們聽明白了嗎？生：聽明白了。師：對吧？嗯，繼續(xù)。趙偉：其他三條一樣。師：其他三條都是這樣描點，是吧？有問題嗎？嗯，然后你的結論是什么？能不能歸納出一般圖像來？趙偉：恒過，與軸不相交，然后定義域是，是單調(diào)遞增的。師：這個底數(shù)師2，底數(shù)是3的時候，圖像是上升的，是吧？趙偉：是單調(diào)遞減的。師：對，跟你們歸納的一樣嗎？生：一樣。師：好，非常好，謝謝，那也就是說，剛才呢，趙偉呢是根據(jù)底數(shù)為2和為3的兩個對數(shù)函數(shù)圖像，然后呢就歸納為的時候，圖像單增，是吧？然后還有就是為，為的時候，然后歸納出的時候圖像，是吧？那你想想，我們就畫了兩個函數(shù)，歸納出上升的，又畫了兩個函數(shù)，歸納出下降的，可以嗎？然后還有一個問題，就是憑什么說比1大，為什么不說比1.5大？這個應該還畫圖去驗證，對嗎？但是事實上呢，我要取為1.5畫起來容易嗎？生：不容易。師：不太容易，比如說，也就是，是嗎？現(xiàn)在這里邊兒有現(xiàn)成的函數(shù)，有還有，這個是以為底的，是以10為底的，他默認底數(shù)分別是為底的，我只能畫以為底的，這個是以10為底的，我只能畫以10為底的，怎么辦？我畫不了以為底的。生：換底。師：嗯，換底，換底公式，這個式子等于，這樣就好了，是吧？生：嗯。師：，這個式子對吧？看的清楚吧？底數(shù)是的時候，它也是上升的，還可以畫幾個，（用幾何畫板演示）還有什么？憑什么說比1大的時候，這樣，我直接用這個數(shù)畫了，現(xiàn)在的底數(shù)是，上升是吧，大點兒，還上升，是嗎？說的是對的，比1大，如果正好是1.01呢？生：也上升。師：你猜是上升，是吧？那我們來驗證一下，1.1,1.09，是不是還上升??？對，那我們歸納的是對的，是吧？1師不能取得，現(xiàn)在是，是不是下降了？是吧？生：嗯。師：是不是下降的？生：是。師：行，那咱們剛才鄭偉說的是對的，是不是跟我們說的是一樣的？生：是。師：行，我們把一般圖像歸納出來，一般圖像是當?shù)臅r候，圖像，幾方面呀？應該是？過？生：。師：還有什么？你的圖畫出來應該是在軸的？生：右側。師：然后這個圖像是上升，是吧？生：嗯。師：這邊兒永不相交。它有關于原點對稱和關于軸對稱的特征嗎？生：沒有。師：也就是說它應該沒有對稱性了。生：嗯。師：好，當?shù)臅r候，幾個特征？過，圖像在軸的右側，然后是？生：遞減。師：好，同學們，那么圖像出來了，最后該干什么事兒??？看圖說話，說函數(shù)的性質(zhì)。寫完了，現(xiàn)在能不能自己看圖說話，說說函數(shù)的性質(zhì)。劉子涵，說說你的？劉子涵：定義域是。師：寫成什么形式呀？生：區(qū)間形式。師：區(qū)間或集合的形式，是吧？兩個都是是吧？生：嗯。師：好，值域？劉子涵：值域是。師：嗯。劉子涵：特殊點是恒過。師：嗯，都過。劉子涵：單調(diào)性是當?shù)臅r候，是單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減。師：嗯，當?shù)臅r候，是單調(diào)遞增，說全了，在？劉子涵：在軸的右側。師：應該怎么說？在？劉子涵：在上。師：在整個定義域上是吧？生：嗯。師：在上是增函數(shù)。劉子涵：當?shù)臅r候，在上是單調(diào)遞減的。師：對，別忘了說定義區(qū)間。師：好，大家看，比較下列各組數(shù)中兩個值的大小，第一個。生：小于。師：小于嗎？為什么？給個理由。小琪：因為。師：為什么要說?。啃＄鳎核窃龊瘮?shù)。師：那個函數(shù)呀？小琪：。師：嗯，誰為底呀？生：2為底。師：你怎么想到這個函數(shù)的？小琪：因為他倆底數(shù)一樣。師：因為它倆都是對數(shù)式，對嗎？底數(shù)都一樣，所以參考這個函數(shù)，對吧？這個函數(shù)怎么著了？小琪：遞增。師：說全。在？小琪：在上遞增。師：是增函數(shù)。小琪：越大，越大。師：對，越大，越大，因為，所以，2為底3.4的對數(shù)小于2為底8.5的對數(shù)。好，非常好，下一個。師：那第二個呢？生：小于。師：唐雪見，給我個過程。唐雪見：因為，大于0小于1，所以在范圍內(nèi)圖像是減函數(shù)。師：對，減函數(shù)。唐雪見：因為小于，所以。師：對吧？請坐，第三個，通過畫圖比得了嗎？現(xiàn)在。生：比不了。師：比不了，怎么辦？為什么比不了？生：不確定。師：不確定，所以什么不確定？生：底數(shù)。師：底數(shù)不確定，所以下邊我們該分類討論，是吧？下面誰跟我說一下？跟上面一樣，是嗎？所以第三個，誰能給我說一下？張健，說。張?。寒敃r。師：函數(shù)在上是減函數(shù)，，所以，然后呢？當時，是增函數(shù)，所以這邊兒就小于，好，請坐。剛才我們比較這幾個數(shù)的大小的時候，我們都是依靠的是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是吧？是同一個對數(shù)函數(shù)，是吧？大家看這個（最后一道），看特征了嗎？這個是以誰為底的？生：2為底。師：這個是？生：0.1為底的。師：我們怎么辦，還能參考同一個函數(shù)嗎？不能，那么怎么辦？畫圖，是吧？誰來？來吧。（一位同學在黑板上畫圖）師：這個是以0.1為底，的對數(shù)，是正的，剛才那個是負的，對吧？所以一正一負