第5節(jié)　古典概型、概率的基本性質(zhì)

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)INNOVATIVEDESIGN1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí),可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件的概率之和或其對(duì)立事件的概率.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE

有限個(gè)相等

2.概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0;性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=____________;性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=________;性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由該性質(zhì)可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).P(A)+P(B)1-P(B)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒互斥事件概率加法公式的推廣:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).×1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)“在區(qū)間[-3,2]上任取一個(gè)數(shù),求它取自[-3,0]的概率屬于古典概型.(

)(3)不可能事件發(fā)生的概率為0,必然事件發(fā)生的概率為1.(

)(4)若P(A)+P(B)=1,則A,B互相對(duì)立.(

)解析

對(duì)于(1),兩個(gè)樣本點(diǎn)是“發(fā)芽”與“發(fā)不發(fā)芽”,因在適宜條件下,所以一定發(fā)芽,樣本點(diǎn)不具備等可能性;對(duì)于(2),樣本空間是無(wú)限的,故都不屬于古典概型;(4)P(A)+P(B)=1時(shí),A,B不一定對(duì)立,如擲骰子一次A為“擲出偶數(shù)點(diǎn)”,B為“擲出點(diǎn)數(shù)不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不對(duì)立.×√×D

D

0.5

4.(人教A必修二P245練習(xí)T1改編)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B?A,則P(A∪B)=

,P(AB)=

.

解析

P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3.

0.3考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一

古典概型

B

C思維建模求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法:適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題,注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x,y)可看成是有序的,如(1,2)與(2,1)不同;有時(shí)也可看成是無(wú)序的,如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法:在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可利用排列或組合的知識(shí).訓(xùn)練1

(1)(2025·1月八省聯(lián)考)有8張卡片,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為

.

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字,甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為

.

考點(diǎn)二

概率基本性質(zhì)的應(yīng)用例2

從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里,遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示:紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求:(1)表中字母a的值;解

由題意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)至少遇到4個(gè)紅燈的概率;解

設(shè)事件A為“遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4”,事件B為“遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5”,事件C為“遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及6個(gè)以上”,則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C,因?yàn)槭录嗀,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.

思維建模復(fù)雜事件概率的求解方法(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件,一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件,當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí),原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí),常?？紤]其對(duì)立事件,通過(guò)求其對(duì)立事件的概率,然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.

C

AB

考點(diǎn)三

古典概型的綜合應(yīng)用例3

(2025·黑龍江聯(lián)考)2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)為廣大觀眾獻(xiàn)上了一場(chǎng)精彩紛呈的文化盛宴.某中學(xué)寒假社會(huì)勞動(dòng)與實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)某市市民發(fā)放了3

000份問(wèn)卷,調(diào)查市民對(duì)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的滿意度情況,從收回的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取300份進(jìn)行分析,其中女性與男性市民的人數(shù)之比為1∶1,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:

女性男性合計(jì)滿意120

不滿足

60

合計(jì)

用樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率.(1)完成2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷能否認(rèn)為市民對(duì)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的滿意度情況與性別有關(guān)系;解

依題意得2×2列聯(lián)表:

女性男性合計(jì)滿意12090210不滿足306090合計(jì)150150300

(2)分別估計(jì)該市女性與男性市民對(duì)春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)滿意的概率;

α0.100.050.01xα2.7063.8416.635

思維建模有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題,無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息,準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟?wèn)題.訓(xùn)練3

某城市100戶居民的月平均用電量(單位:千瓦時(shí))以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240), [240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;解

由(0.002

0+0.009

5+0.011

0+0.012

5+x+0.005

0+0.002

5)×20=1得x=0.007

5,所以直方圖中x的值是0.007

5.(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)在月平均用電量為[240,260),[260,280),[280,300]的三組用戶中,用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6戶居民,并從抽取的6戶中任選2戶參加一個(gè)訪談節(jié)目,求參加節(jié)目的2戶來(lái)自不同組的概率.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.下列試驗(yàn)是古典概型的是(

) A.在區(qū)間[-1,5]上任取一個(gè)數(shù)x,使x2-3x+2>0 B.拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰子,向上點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)的概率 C.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn),該點(diǎn)落在圓心的概率 D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言,甲被選中的概率

解析

A中,在區(qū)間[-1,5]內(nèi)的數(shù)有無(wú)限多個(gè),不滿足有限性; B中,骰子不均勻,不能保證等可能性; C中,圓面內(nèi)的點(diǎn)有無(wú)限多個(gè),不滿足有限性; D中,老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限,甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.D

C

D4.從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160

cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175

cm的概率為(

) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8

解析

由題意知該同學(xué)的身高小于160

cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過(guò)175

cm的概率和為1,

故所求概率為1-0.2-0.5=0.3.B

D6.(2025·南京模擬)有5個(gè)形狀大小相同的球,其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色,從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球,則下列說(shuō)法正確的是(

) A.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件 B.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件 C.“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率 D.“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率C

A

C

CD

10.(2025·衡水調(diào)研)中國(guó)籃球職業(yè)聯(lián)賽中,某男籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如表:ABC投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中,投中兩分球?yàn)槭录嗀,投中三分球?yàn)槭录﨎,沒(méi)投中為事件C,用頻率估計(jì)概率的方法,得到的下述結(jié)論中,正確的是(

)A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B∪C)=0.55

11.(2025·西安調(diào)研)黃種人群中各種血型的人所占的比例如表:AD血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以互相輸血,O型血的人可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB型血的人輸血,其他不同血型的人不能互相輸血,則(

)A.任找一個(gè)人,其可以給B型血的人輸血的概率是0.64B.任找一個(gè)人,B型血的人能給其輸血的概率是0.29C.任找一個(gè)人,其可以給O型血的人輸血的概率為1D.任找一個(gè)人,其可以給AB型血的人輸血的概率為1解析

因?yàn)锽型血、O型血的人可以給B型血的人輸血,所以可以給B型血的人輸血的概率為0.29+0.35=0.64,故A正確;B型血的人能給B型血、AB型血的人輸血,其概率為0.29+0.08=0.37,故B錯(cuò)誤;O型血的人只能接受O型血的人輸血,故C錯(cuò)誤;由任何血型的人都可以給AB型血的人輸血,知D正確.三、填空題12.(2022·全國(guó)甲卷)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè),則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

.

13.由于夏季炎熱,某小區(qū)用電量過(guò)大,據(jù)統(tǒng)計(jì),一天停電的概率為0.3,現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0,1,2表示當(dāng)天停電;用3,4,5,6,7,8,9表示當(dāng)天不停電,現(xiàn)以兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示連續(xù)兩天停電情況,經(jīng)隨機(jī)模擬得到以下30組數(shù)據(jù). 28

21

79

14

56

74

06

89

53

90 14

57

62

30

93

78

63

44

71

28 67

03

53

82

47

23

10

94

02

43

根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計(jì)連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為

.

0.4

四、解答題15.某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試