2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（2）倒計(jì)時(shí)10-15天（解析版）

第二輯數(shù)列（解答題）……………………01新定義（解答題）…………………17函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）………39三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）……………55三角恒等變換（選填題）…………71數(shù)列（解答題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2023年新高考I卷2012（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算；等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算2023年新高考II卷1812（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式；分組（并項(xiàng)）法求和；等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2022年新高考I卷1710（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．裂項(xiàng)相消法求和；累乘法求數(shù)列通項(xiàng)；利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年新高考II卷1710（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題近三年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列解答題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)方面數(shù)列基本量計(jì)算：等差數(shù)列通項(xiàng)公式前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算是核心。如2023年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。數(shù)列通頂公式求解：利用定義法（如等差數(shù)列定義）、與的關(guān)系(求通項(xiàng)。如2022年新高考I卷通過(guò)為等差數(shù)列求通項(xiàng)。數(shù)列求和與綜合：分組求和（如2023年新課標(biāo)II卷)、裂項(xiàng)相消法（如2022年新高考I卷證明不等式)；數(shù)列與不等式結(jié)合（如證明。2.題目設(shè)置方面通常設(shè)置兩問(wèn)，第一問(wèn)求數(shù)列通項(xiàng)公式，第二問(wèn)求和或證明不等式、比較大?。ㄈ?023年新課標(biāo)卷證明時(shí)整體考點(diǎn)穩(wěn)定，注重對(duì)數(shù)列基本公式、方法的理解與運(yùn)用，兼顧計(jì)算能力和邏輯推理能力的考查。題型與分值：預(yù)計(jì)以一道解答題（分值約12-17分）呈現(xiàn)，設(shè)置兩問(wèn)，梯度分明。?考查方向?數(shù)列基本性質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式仍是考查重點(diǎn)，可能結(jié)合遞推關(guān)系求通項(xiàng)。?數(shù)列求和方法：裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯(cuò)位相減法等仍會(huì)考查，尤其裂項(xiàng)相消在證明不等式或求和中出現(xiàn)概率高。?綜合應(yīng)用：數(shù)列與不等式的綜合（如證明數(shù)列和的范圍、不等式恒成立求參數(shù)），或與函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的單調(diào)性、最值。?計(jì)算與推理：注重基本概念與公式的靈活運(yùn)用，第二問(wèn)可能設(shè)置一定計(jì)算量或推理過(guò)程，如通過(guò)數(shù)列求和證明不等式，考查邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和運(yùn)算準(zhǔn)確性。等差數(shù)列通項(xiàng)公式：或等比數(shù)列通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式的構(gòu)造（1）已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解（2）已知用求通項(xiàng)（3）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以一個(gè)指數(shù)式（4）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法（5）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以（6）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取到數(shù)（7）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取對(duì)數(shù)的類型，公式數(shù)列求和的常用方法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；為公差為d的等差數(shù)列，為公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.或通項(xiàng)公式為形式的數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.即常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對(duì)數(shù)型.等典例1（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，.典例2（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.典例3（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴典例4（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．【名校預(yù)測(cè)·第一題】（貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下數(shù)學(xué)試卷）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【來(lái)源】貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期月考（六）（3月）數(shù)學(xué)試卷【分析】（1）由的關(guān)系，作差即可求解；（2）通過(guò)和，得到，再由錯(cuò)位相減法即可求解；【詳解】（1）由，得當(dāng)時(shí)，．兩式相減得，整理得，∴．當(dāng)時(shí)，，解得．∴是以7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴．（2）當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以，①，②，①減②得：，∴．【名校預(yù)測(cè)·第二題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)抽去數(shù)列中點(diǎn)第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，，(2)證明見(jiàn)解析【來(lái)源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期三月限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷【分析】（1）由得出，再由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分類討論，兩種情況，由分組求和法得出，再由的單調(diào)性得出證明.【詳解】（1）由題意得，①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，②①②得，，當(dāng)時(shí)，，也適合上式，所以，所以，兩式相減得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）數(shù)列為：，所以奇數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以8為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．所以當(dāng)時(shí)，所以，所以，顯然是關(guān)于k的減函數(shù)，所以；所以當(dāng)時(shí)，所以，所以，顯然是關(guān)于k的減函數(shù)，所以；綜上所述，．【名校預(yù)測(cè)·第三題】（遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【來(lái)源】遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得，解得，從而求出；（2）由（1）得，由，利用裂項(xiàng)相消法得，若，則，整理得，由得，從而可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．【名師押題·第一題】已知數(shù)列滿足，．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）變形給定等式，利用等差數(shù)列定義推理得證.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）數(shù)列中，，，則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，則，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【名師押題·第二題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)若，求；(2)若，求關(guān)于n的表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）令可求得，再結(jié)合可求出；（2）利用累乘法結(jié)合已知條件可得，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)可得，從而可得的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出其通項(xiàng)，則可求得關(guān)于n的表達(dá)式．【詳解】（1）令，可得，故，又，所以．（2）由，可得，，…，，兩邊分別相乘得，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，由題可知，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為的等差數(shù)列．所以，，所以．所以，故．【名師押題·第三題】已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明為常數(shù)即可證明為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求通項(xiàng)公式，從而得證；（2）先求出，根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和，題設(shè)化簡(jiǎn)為，通過(guò)討論為奇數(shù)或偶數(shù)，即可求λ的范圍.【詳解】（1）由已知，，，，，又,，數(shù)列中任意一項(xiàng)不為0,，數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，.（2）由第（1）問(wèn)知，，則，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,所以①，②，所以①-②可得：，所以.由，得，化簡(jiǎn)得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，即，而，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，而，所以.綜上，的取值范圍為.【名師押題·第四題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系得到，再利用等比數(shù)列的定義證明即可.（2）利用給定條件求出，再利用錯(cuò)位相減法結(jié)合公式法求和即可.（3）先表示出，再分析得到，再對(duì)分奇偶數(shù)討論證明不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題設(shè)式可得，即，當(dāng)時(shí)也成立，，則數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，則，，設(shè)記為①，記為②，①－②得，，設(shè)，則．（3）由（1）知，，，欲證，即證，即證，即證，該式顯然成立，即恒成立．當(dāng)n為奇數(shù)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．綜上，．【名師押題·第五題】已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）等式兩邊同時(shí)除以可得；（2）（ii）由錯(cuò)位相減法求和即可；（ii）構(gòu)造數(shù)列，由不等式組求數(shù)列的最值大即可.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.（2）（i）由（1）知，所以，所以，所以，，所以，所以.（ii）因?yàn)椋?，令，不妨設(shè)的第項(xiàng)取得最大值，所以，解得，所以的最大值為，所以，即m的取值范圍是.新定義（解答題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷1917（2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．?dāng)?shù)列新定義；等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，數(shù)列與概率交匯結(jié)合新高考數(shù)學(xué)新定義解答題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)方面：聚焦于對(duì)新定義概念的理解與運(yùn)用，如2024年新高考全國(guó)I卷“可分?jǐn)?shù)列”的新定義，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，以及數(shù)列與概率的交匯考查。注重知識(shí)的綜合運(yùn)用，要求考生快速理解新定義，并調(diào)用已有知識(shí)（如數(shù)列性質(zhì)、概率計(jì)算）進(jìn)行分析。?題目設(shè)置方面：通常設(shè)置多問(wèn)，第一問(wèn)常為具體實(shí)例探索（如寫(xiě)出滿足條件的所有可分?jǐn)?shù)列），幫助考生初步理解新定義；后續(xù)問(wèn)題逐步深入（如證明某數(shù)列符合新定義、計(jì)算相關(guān)概率并證明不等式），對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和運(yùn)算求解能力要求較高。整體強(qiáng)調(diào)對(duì)新定義的深度理解與綜合應(yīng)用，考查考生學(xué)習(xí)新知識(shí)并解決問(wèn)題的素養(yǎng)。?2025年新高考新定義解答題高考預(yù)測(cè)?題型與考查形式：預(yù)計(jì)2025年新高考仍會(huì)以新定義題考查學(xué)生創(chuàng)新思維與綜合能力，可能涉及更多元的知識(shí)交匯，如數(shù)列與函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等的結(jié)合。題目或設(shè)多問(wèn)，第一問(wèn)引導(dǎo)理解新定義，后續(xù)問(wèn)題增加難度，深入考查應(yīng)用能力。?考點(diǎn)趨勢(shì)：除數(shù)列相關(guān)新定義外，函數(shù)、幾何領(lǐng)域的新定義考查概率增加。例如，給出函數(shù)的新性質(zhì)定義，或幾何圖形的新判定規(guī)則，要求考生通過(guò)分析、推理、計(jì)算解決問(wèn)題。注重對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和創(chuàng)新意識(shí)的考查，計(jì)算與證明過(guò)程可能更復(fù)雜，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用與思維的開(kāi)放性。一、數(shù)列新定義問(wèn)題1.考察對(duì)定義的理解。2.考查滿足新定義的數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的數(shù)列有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需要結(jié)合新數(shù)列的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).3.考查綜合分析能力，主要是將新性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)點(diǎn)是考查的重點(diǎn)，這類思想需要熟練掌握.二、函數(shù)新定義問(wèn)題涉及函數(shù)新定義問(wèn)題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題作答.關(guān)于新定義題的思路有：1.找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；2.由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；3.將已知條件代入新定義的要素中；4.結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.三、集合新定義問(wèn)題對(duì)于以集合為背景的新定義問(wèn)題的求解策略：1.緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2.用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.3.涉及有交叉集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對(duì)于集合問(wèn)題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.4.認(rèn)真歸納類比即可得出結(jié)論，但在推理過(guò)程中要嚴(yán)格按照定義的法則或相關(guān)的定理進(jìn)行，同時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題，或?qū)?fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題．典例1（2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè)，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危玫叫聰?shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院?，將取遍中除開(kāi)五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開(kāi)已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說(shuō)明我們給出的分組方式滿足要求，故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對(duì)，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來(lái)考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先，由于，和各有個(gè)元素，故滿足命題1的總共有個(gè)；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對(duì)應(yīng)的分別是，總共個(gè).所以這個(gè)滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.【名校預(yù)測(cè)·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）全集，，，若中存在兩個(gè)非空子集，，滿足，，則稱，是的一個(gè)“組合分拆”，用表示集合的所有元素的和．(1)若．①若，，求；②若為偶數(shù)，證明：；(2)若，為給定的偶數(shù)，關(guān)于的方程存在有理數(shù)解，求的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)的一個(gè)集合．【答案】(1)①；②證明見(jiàn)解析；(2)最小值為，.【來(lái)源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】（1）①由題可得集合N，據(jù)此可得答案；②注意到，通過(guò)二項(xiàng)式定理證明不是整數(shù)可完成證明；（2）由題可得，據(jù)此可將方程化為，結(jié)合其判別式為完全平方數(shù)可得，結(jié)合基本不等式及函數(shù)知識(shí)可得最小值，最后由題意可得滿足條件的M.【詳解】（1）①此時(shí)，，由題可得，則；②由題可得，.若，則.當(dāng)為偶數(shù)，設(shè)，則.注意到，其中，則不為整數(shù)，這與題意不合，故.（2）此時(shí)，則.則，要使方程存在有理數(shù)解，則方程判別式，.注意到，則，因，則，則，其中，則，注意到，若為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且在單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增.則當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，取離最近的整數(shù)，即或時(shí)取最小值，則.即的最小值為.注意到又，則，即取得最小值時(shí)的一個(gè)集合可以為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于不相等形式命題的證明，常利用反證法；對(duì)于二次方程有有理數(shù)解的問(wèn)題，常利用判別式為完全平方數(shù)解決問(wèn)題.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的階和數(shù)列．(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)的公差．【答案】(1)(2)(3)的最大值是，公差為【來(lái)源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）根據(jù)一階和數(shù)列的定義可計(jì)算出，，的值，根據(jù)二階和數(shù)列的定義計(jì)算出，的值，由的二階和數(shù)列是等比數(shù)列可得公比，從而得到，，的值，再由定義可求出的值.（2）根據(jù)定義可得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的前項(xiàng)和公式.（3）由可得，從而可得公差，結(jié)合條件可得正整數(shù)的最大值.【詳解】（1）由題意得，，，，∴，，設(shè)數(shù)列的二階和數(shù)列的公比為，則，∴，，，∴，，，∴，，．（2）設(shè)的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，，，由得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴.（3）∵，∴，故．設(shè)數(shù)列的公差為，則，∴，得，∵反比例函數(shù)在上為增函數(shù)，∴由得，，故，∵，∴，故，∴的最大值是，由得公差.【名校預(yù)測(cè)·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，，，，，我們稱為數(shù)列的生成函數(shù).生成函數(shù)是重要的計(jì)數(shù)工具之一.對(duì)于給定的正整數(shù)p，記方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，則為展開(kāi)式中前的系數(shù).(1)寫(xiě)出無(wú)窮常數(shù)列1，1，1，…的生成函數(shù)并化簡(jiǎn)；(2)證明：；(3)本次測(cè)試共分為十一個(gè)大項(xiàng)，前十項(xiàng)各有三個(gè)小項(xiàng)，第十一項(xiàng)僅有兩個(gè)小項(xiàng).學(xué)生需參加所有項(xiàng)目獲取最終分?jǐn)?shù).計(jì)分規(guī)則如下：通過(guò)第大項(xiàng)中的每一個(gè)小項(xiàng)，都可獲得分，通過(guò)第十一項(xiàng)中的每一個(gè)小項(xiàng)，可獲得1分.記為總分為n分的所有得分組合數(shù)，求．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，(3)【來(lái)源】浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【分析】（1）提出得，解出即可；（2）令，再結(jié)合組合和極限計(jì)算即可；（3）直接根據(jù)題意得到取值集合，再結(jié)合方程求出的生成函數(shù)為，再結(jié)合二項(xiàng)式定理和組合數(shù)的計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1），解得.（2）令，，可得，所以.（3）記表示第一大項(xiàng)中每一個(gè)小項(xiàng)獲得的分?jǐn)?shù)，表示第二大項(xiàng)中每一個(gè)小項(xiàng)獲得的分?jǐn)?shù)，表示第十大項(xiàng)中每一個(gè)小項(xiàng)獲得的分?jǐn)?shù)，表示第十一大項(xiàng)中每一個(gè)小項(xiàng)獲得的分?jǐn)?shù).則.為方程滿足上述范圍條件的解的個(gè)數(shù).設(shè)的生成函數(shù)為，則.因?yàn)?，故與的展開(kāi)式中前的系數(shù)相同.由（1）知，由（2）知取時(shí)有.故，其中前系數(shù)為故.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）定義可導(dǎo)函數(shù)p（x）在x處的函數(shù)為p（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”，其中為p（x）的導(dǎo)函數(shù)．若，都有成立，則稱p（x）在區(qū)間D上具有“優(yōu)秀性質(zhì)”且D為（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”．已知．(1)求出f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；(2)設(shè)f（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”為g（x），若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、．（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【來(lái)源】山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題【分析】（1）先根據(jù)“優(yōu)秀函數(shù)”的定義，求出的“優(yōu)秀函數(shù)”，再利用作差法比較和的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)的分子分母分別判斷正負(fù)，進(jìn)而求得f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；（2）（ⅰ）對(duì)分離常數(shù)，求出，構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性求得的最值，進(jìn)而得到m的取值范圍；（ⅱ）先分析出要證，即證，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，求得，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，求得，可推得，又由的單調(diào)性，求得，從而得到，進(jìn)而得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的“優(yōu)秀函數(shù)”為，，令，則，令，解得；令，解得，所以當(dāng)時(shí)，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，故．當(dāng)時(shí)，，則，，f（x）不具有“優(yōu)秀性質(zhì)”；當(dāng)時(shí)，，則，，f（x）具有“優(yōu)秀性質(zhì)”．故f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”為．（2）（?。┘?，所以，所以，故，令，則，令，解得；令，解得，故當(dāng)時(shí)，k（x）單調(diào)遞減；時(shí)，k（x）單調(diào)遞增．，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，，故．即m的取值范圍為．（ⅱ）由、為方程的兩個(gè)解可知：，要證，即證，令，，令，，則N（x）在單調(diào)遞增，故，所以時(shí)，，故M（x）在上單調(diào)遞增，則．令，，令，則，故G（x）在上單調(diào)遞增，．即，故Q（x）在上單調(diào)遞增．故，即，成立，因?yàn)?，則，又，，k（x）在（0，1）單調(diào)遞減，則，即，故,所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)新定義問(wèn)題以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的不等式；對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)，也可先分離變量，再構(gòu)造函數(shù)，直接把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.【名師押題·第一題】已知集合，集合B滿足．(1)判斷，，，中的哪些元素屬于B；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷元素的倒數(shù)是否屬于即可；（2）先證明若，，則，即可得到，從而得證；（3）依題意可得，從而求出，再說(shuō)明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?；因?yàn)闆](méi)有倒數(shù)，所以；因?yàn)椋?；綜上可得，.（2）先證明：若，，則；設(shè)，，為整數(shù)，所以，由于，都是整數(shù)，所以，當(dāng)，時(shí)，，，所以，所以；（3）因?yàn)椋?，所以，都是整?shù)，所以為整數(shù)，所以，假如，則，則應(yīng)為的倍數(shù)，設(shè)為整數(shù)，若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；所以，即.【名師押題·第二題】已知是函數(shù)定義域的子集，若，，成立，則稱為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否是上的“函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)證明：當(dāng)（是與無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)），是上的“函數(shù)”時(shí)，；(3)已知是上的“函數(shù)”，若存在這樣的實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，求的最大值.【答案】(1)是上的“函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)6【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷即可；（2）結(jié)合定義可得在上恒成立，設(shè)，求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.由，可知，根據(jù)的單調(diào)性即可證明；（3）先根據(jù)定義得到對(duì)任意的恒成立，分類討論求得，再結(jié)合題意可得，令，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性分析即可求解.【詳解】（1）是上的“函數(shù)”，理由如下：，.，，，在恒成立，是上的“函數(shù)”.（2）是上的“函數(shù)”，在上恒成立，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，且.又，，即.∵在上單調(diào)遞增，，∴.（3），.∵是上的“函數(shù)”，∴在上恒成立，即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，上式恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.綜上所述，.∵，當(dāng)時(shí)，，∴，即.令，，則由題意可知：存在，使得在上為增函數(shù)，即存在，使得，即對(duì)任意的恒成立，可得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立.而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.另一方面，當(dāng)，時(shí)，，，可知恒成立，滿足題意，所以實(shí)數(shù)的最大值為6.【點(diǎn)睛】與函數(shù)的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1.通過(guò)給出一個(gè)新的函數(shù)定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.【名師押題·第三題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于2時(shí)，將數(shù)列中各項(xiàng)的所有不同排列填入一個(gè)行列的表格中（每個(gè)格中一個(gè)數(shù)字），使每一行均為這個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，將第行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作，將數(shù)列中的第項(xiàng)記作．若對(duì)，均有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，記表格中“異位數(shù)列”的個(gè)數(shù)為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為時(shí)，求的值；(3)若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，試討論的最小值．【答案】(1)(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由已知條件求出的值，由得，兩式作差得出，再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）列出數(shù)列的項(xiàng)，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，列舉出、、的取值，即可得出的值；（3）由題意可得，可得出，，然后對(duì)為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，列舉出符合條件的數(shù)列，可得出的最小【詳解】（1）由題，，解得，由得，兩式作差得，即，所以，，，……，，累乘得：，即，因?yàn)?，符合上式，所以．?）由（1）知，，所以，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4時(shí)，可知，，，，若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，則：當(dāng)時(shí)，，，；或，，；或，，共3種情況．同理當(dāng)或時(shí)，對(duì)應(yīng)的排列各有3種情況，所以．（3）因?yàn)閿?shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，所以，即，所以，所以，當(dāng)，時(shí)，若對(duì)任意的，都有，取等號(hào)，此時(shí)，，…，，，所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為，當(dāng)，時(shí)，的不可能取到等號(hào)，因?yàn)榇嬖?，使得，將，，，，分為組，不妨為，，……，，時(shí)，可以取到等號(hào)，此時(shí)，，……，，，，，，此時(shí)，所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值為．【名師押題·第四題】設(shè)是項(xiàng)數(shù)為且各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列稱為的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為；②中任意兩項(xiàng)乘積都是中的項(xiàng)；③是公比大于1的等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且的前3項(xiàng)成等比數(shù)列的概率為，求的值；(3)證明：不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)定義計(jì)算出的前三項(xiàng)，即可寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先計(jì)算出及的項(xiàng)數(shù)，再由的公比為，寫(xiě)出確定的，進(jìn)而求出，再分兩種情況討論的可能性，從而得到使的前3項(xiàng)成等比數(shù)列的所有可能情況，進(jìn)而求出概率；（3）先計(jì)算出的項(xiàng)數(shù)，再由的公比為，寫(xiě)出確定的，進(jìn)而求出，再求出確定的，推理出，，是連續(xù)三項(xiàng)，從而推理出是第4項(xiàng)或第7項(xiàng)，進(jìn)而分兩種情況討論即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，由定義可知，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）因?yàn)橹?項(xiàng)均不相同，所以有種，有項(xiàng)，假設(shè)，則，，，．設(shè)的公比為，則，又?jǐn)?shù)列的第三項(xiàng)，第四項(xiàng)，或第三項(xiàng)，第四項(xiàng)，所以，且，得，且，或，且，得，且，這兩種情況，不能同時(shí)成立，使得的前3項(xiàng)為等比數(shù)列有4種情況，故．（3）當(dāng)時(shí)，假設(shè)的各項(xiàng)從小到大排列，此時(shí)數(shù)列有項(xiàng)，則，，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，所以．設(shè)的公比為，則，所以，所以，，剩余四項(xiàng)為，，，，又公比，所以，，是連續(xù)三項(xiàng)，因此是第4項(xiàng)或第7項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，即，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，即，不符合題意；因此當(dāng)時(shí)，不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．【名師押題·第五題】設(shè)數(shù)列和都有無(wú)窮項(xiàng)，已知存在非零常數(shù)，使得，此時(shí)稱數(shù)列是由“-生成”的．(1)如果是等比數(shù)列，滿足的，若數(shù)列是由“-生成”，求的值；(2)已知數(shù)列是由“-生成”的，如果存在非零常數(shù)，使得是由“-生成”的，求數(shù)列的通項(xiàng)；(3)設(shè)，且數(shù)列，，分別是由數(shù)列，，“-生成”的，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，求的最小值．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)，利用定義推理可得，求解方程并驗(yàn)證即得.（2）利用定義求出首項(xiàng)，結(jié)合遞推公式求解，并借助反證法推理求得通項(xiàng)公式.（3）設(shè)分別表示的前項(xiàng)和，利用給定的定義，結(jié)合前和與第的關(guān)系推理求出最小值.【詳解】（1）設(shè)，則由，解得，又，而，因此，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，符合題意，所以或.（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，得，則，于是或，而，因此，若，則，，若，且，假設(shè)是第一個(gè)使不同時(shí)為0的整數(shù)，則，此時(shí)，而，則，矛盾，從而不存在使不同時(shí)為0的整數(shù)，所以.（3）設(shè)分別表示的前項(xiàng)和，即分別是由-生成"的，由，得；當(dāng)時(shí)，.于是，同理，而，則，，，.所以，，令，則，，，因此，所以取到最小值.函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷65（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

） B． C． D．判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2024年新高考I卷85（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．B．C．D．求函數(shù)值；比較函數(shù)值的大小關(guān)系2024年新高考II卷65（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

） B．C．1 D．2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；函數(shù)奇偶性的定義與判斷；求余弦（型）函數(shù)的奇偶性2024年新高考II卷85（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

） B．C． D．1由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題2023年新高考I卷45（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值；判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍2023年新高考I卷115（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A．B．C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)函數(shù)奇偶性的定義與判斷；函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2023年新高考II卷45（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）． B．0C． D．1由奇偶性求參數(shù)；函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2022年新高考I卷125（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）B．C． D．函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用；函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系；抽象函數(shù)的奇偶性2022年新高考II卷85（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

） B．C．0 D．1函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；由抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值近三年新高考數(shù)學(xué)函數(shù)及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)方面函數(shù)基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性（如根據(jù)分段函數(shù)或復(fù)合函數(shù)單調(diào)求參數(shù)）、奇偶性（由奇偶性求參數(shù)或判斷性質(zhì)）、對(duì)稱性（利用函數(shù)對(duì)稱性解決問(wèn)題）是核心考點(diǎn)。例如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第6題考查分段函數(shù)單調(diào)求參數(shù)，2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第4題由奇偶性求a值。函數(shù)綜合應(yīng)用：涉及函數(shù)值比較（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第8題）、函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第6題）、不等式恒成立求最值（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第8題）。還考查抽象函數(shù)性質(zhì)（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷第8題利用函數(shù)方程求累加和）。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合：如2022年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題通過(guò)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對(duì)稱性的關(guān)系解題，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具性。2.題目設(shè)置方面以選擇題為主，分值5分，題干簡(jiǎn)潔但綜合性強(qiáng)。注重對(duì)函數(shù)性質(zhì)的深度理解與靈活運(yùn)用，如根據(jù)單調(diào)性列不等式組、利用奇偶性建立方程、結(jié)合對(duì)稱性推導(dǎo)函數(shù)值關(guān)系等。1.題型與分值：預(yù)計(jì)2025年仍以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，分值5-6分，保持對(duì)函數(shù)核心性質(zhì)的考查。2.考查方向核心性質(zhì)深化：函數(shù)的單調(diào)、奇偶、對(duì)稱性質(zhì)仍是重點(diǎn)，可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性，或通過(guò)奇偶性與對(duì)稱性的綜合推導(dǎo)函數(shù)特征。綜合應(yīng)用拓展：函數(shù)與方程零點(diǎn)、不等式的綜合會(huì)更常見(jiàn)，如根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，或利用函數(shù)單調(diào)性解不等式。也可能出現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯，如通過(guò)函數(shù)周期性求數(shù)列和。創(chuàng)新與靈活度：可能引入新情境或新定義（如給定特殊函數(shù)方程），考查對(duì)函數(shù)性質(zhì)的遷移應(yīng)用能力，注重思維靈活性與對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用。單調(diào)性單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對(duì)稱③奇偶性的四則運(yùn)算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問(wèn)題）對(duì)稱性（和為常數(shù)有對(duì)稱軸）軸對(duì)稱①若，則的對(duì)稱軸為②若，則的對(duì)稱軸為點(diǎn)對(duì)稱①若，則的對(duì)稱中心為②若，則的對(duì)稱中心為周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.典例3（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：.典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．【名校預(yù)測(cè)·第一題】（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【來(lái)源】山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】函數(shù)，故，且為減函數(shù)，若，則在為減函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，故舍去；若，則為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故.故的取值范圍是.故選：D.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．【答案】ABD【來(lái)源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)已知條件，通過(guò)賦值法求出函數(shù)的一些特殊值，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性逐一分析選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，則，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，令，則，得，由A可知，所以，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，令，則，即.假設(shè)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則有，與矛盾，所以假設(shè)不成立，的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于且，則有，即，所以，故D正確.故選：ABD.【名校預(yù)測(cè)·第三題】（重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】A【來(lái)源】重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】由已知條件推導(dǎo)出函數(shù)周期為4，，可求.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，則，因此，即，則，于是，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，得，因此，所以．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式，探討函數(shù)的周期性是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）（多選）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋膶?dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點(diǎn)為D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一【答案】ABD【來(lái)源】河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試（十）數(shù)學(xué)試卷【分析】代入求得判斷A；利用函數(shù)的周期判斷B；利用已知條件和函數(shù)的周期性判斷C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知條件求出，判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，所以，又，所以，故A對(duì)；對(duì)B，由，，得，所以，所以，，又，所以是周期為4的函數(shù)，也是周期為4的函數(shù)，所以，故B對(duì)；對(duì)C，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，的圖象關(guān)于對(duì)稱且，由A可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又的周期為4，所以在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，又，所以0是的極大值點(diǎn)，是周期為4的函數(shù)，所以則的極大值點(diǎn)為，故C錯(cuò)；對(duì)D，若為偶函數(shù)，由于是奇函數(shù)，，則，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性分析.【名師押題·第一題】已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)列方程求參數(shù)即可.【詳解】是奇函數(shù)，由得，所以恒成立，則，解得.故選：C【名師押題·第二題】若不等式在上恒成立，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意分析解不等式得，再利用基本不等式常數(shù)代換的方法即可求解.【詳解】由，得或，由為增函數(shù)，解得或，當(dāng)時(shí)，則有或，則存在，使得不等式，不符合；當(dāng)時(shí)，則有或，則存在，使得不等式，不符合；當(dāng)時(shí)，則不等式解為R，即不等式在上恒成立，因此，即.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D.【名師押題·第三題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，恒成立，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】應(yīng)用已知條件結(jié)合賦值法及累加法得出得，再應(yīng)用偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)?，恒成立，令，則恒成立，即，所以，所以，，，…，，以上各式兩邊分別相加，得，在中，令，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以.故選:B.【名師押題·第四題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可知具有對(duì)稱軸，再由得，再根據(jù)為上的偶函數(shù)且具有對(duì)稱軸可得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可知，，即，可得，因此函數(shù)具有對(duì)稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對(duì)稱軸，可得．故選：B．【名師押題·第五題】（多選）已知定義在上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】找到特殊函數(shù)判斷A，D，歸納得到判斷B，再對(duì)兩邊同時(shí)求和得到，再判斷C即可.【詳解】對(duì)于A，若，不妨令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，則，不滿足，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，，，由歸納可得，，故B正確；對(duì)于C，由已知得，，故，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，則，設(shè)，則，故，故，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足時(shí)，，此時(shí)，不滿足，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷75（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3B．4C．6D．8正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用；求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)2024年新高考II卷96（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）與有相同的零點(diǎn)B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對(duì)稱軸求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值；求正弦（型）函數(shù)的最小正周期；求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心；求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)2023年新高考I卷155（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2023年新高考II卷165（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式；特殊角的三角函數(shù)值2022年新高考I卷65（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1B．C．D．3由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）2022年新高考II卷95（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心；利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)；求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性近三年新高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)考點(diǎn)：涉及函數(shù)圖象交點(diǎn)（如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、性質(zhì)比較（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、性質(zhì)與參數(shù)求解（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、圖象與特殊點(diǎn)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、綜合性質(zhì)判斷（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。題型：以選擇題為主，分值5或6分，側(cè)重考查對(duì)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)（周期、對(duì)稱軸等）的理解與應(yīng)用。2025年新高考預(yù)測(cè)題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值約5-6分。考查方向：深化核心性質(zhì)（如結(jié)合多性質(zhì)求參數(shù)）；拓展圖象應(yīng)用（如交點(diǎn)問(wèn)題、求參問(wèn)題）；綜合創(chuàng)新（與導(dǎo)數(shù)結(jié)合求切線或考查圖象變換）。特殊角的三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸三角函數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)性質(zhì)，振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)闆Q定函數(shù)的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函數(shù)性質(zhì)的周期公式為：三角函數(shù)的伸縮平移變換伸縮變換（，是伸縮量）振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?；若↗，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)；若↘，縱坐標(biāo)縮短；與縱坐標(biāo)的伸縮變換成正比決定函數(shù)的周期，若↗，↘，橫坐標(biāo)縮短；若↘，↗，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)；與橫坐標(biāo)的伸縮變換成反比平移變換（，是平移量）平移法則：左右，上下典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】畫(huà)出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱軸【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸滿足，的對(duì)稱軸滿足，顯然圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.典例4（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．【名校預(yù)測(cè)·第一題】（2025屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬考試一數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．在上的值域?yàn)镈．兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為【答案】AD【來(lái)源】2025屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬考試一數(shù)學(xué)試題【分析】由的值求出的值可判斷A；通過(guò)函數(shù)的平移原則可判斷B；直接根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；令解出可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確．，B不正確．由，得，則，C不正確．由，得，則，即，所以兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為，D正確．故選：AD.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，則（

）A． B． C． D．【答案】C【來(lái)源】重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)零點(diǎn)的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而求出，最后利用二倍角的余弦求值.【詳解】函數(shù)，其中銳角由確定，由，得，而，因此，即，則，即，于是，所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用零點(diǎn)表示輔助角是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.【名校預(yù)測(cè)·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【來(lái)源】浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)題意得在上單調(diào)遞增，且，進(jìn)而得，再解不等式即可得答案.【詳解】，因?yàn)椋砸驗(yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即.因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)增，等價(jià)于或，所以，解不等式得或，所以，的取值范圍是.故選：C【名校預(yù)測(cè)·第四題】（河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）函數(shù)（且在上單調(diào)，且，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值最準(zhǔn)確的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【來(lái)源】河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試（十）數(shù)學(xué)試卷【分析】由結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可確定的一個(gè)對(duì)稱中心為，即可求得；利用函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間，結(jié)合周期可得，求出，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，列出不等式求得，綜合，即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，而，,即的一個(gè)對(duì)稱中心為，故；而，故在區(qū)間上單調(diào)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，則；函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則恰好為第一個(gè)零點(diǎn)，相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間相距半個(gè)周期，故，即，解得，結(jié)合，可得的取值范圍為，故選：B.【名校預(yù)測(cè)·第五題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B．C． D．【答案】B【來(lái)源】廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿足的，，有，∴.再根據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.【名師押題·第一題】已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求在上的單增區(qū)間，結(jié)合題意，可得關(guān)于與的不等式組，分，，三種情況得出的取值范圍.【詳解】令，則，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即且且，若，則不等式組的解集為空集；若，則；若，則不等式組的解集為空集，則的最大值為.故選：C【名師押題·第二題】已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D．【名師押題·第三題】下列關(guān)于函數(shù)說(shuō)法正確的是（

）A．是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B．的值域?yàn)镃．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸【答案】B【分析】令，求出相應(yīng)的的取值范圍，即可化簡(jiǎn)的解析式，從而求出的取值范圍，類似的求出時(shí)的取值范圍，即可求出的值域，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷即可.【詳解】令，即，解得；所以當(dāng)時(shí)，由，所以，所以；令，即，解得；所以當(dāng)時(shí)，由，所以，所以；綜上可得，且的值域?yàn)?，故B正確；作出函數(shù)的大致圖象：由圖可知不是中心對(duì)稱圖形，即沒(méi)有對(duì)稱中心，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，由圖可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；的對(duì)稱軸為，故D錯(cuò)誤；故選：B【名師押題·第四題】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的特殊值、周期性、單調(diào)性、值域，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以且，所以，故的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)和的最小正周期均為，所以的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?；函?shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?所以函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，解得，在區(qū)間上有2個(gè)解，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．【名師押題·第五題】（多選）已知函數(shù)，為常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．在，上單調(diào)遞增D．若對(duì)于任意的，函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象均與曲線總有公共點(diǎn)，則【答案】ACD【分析】利用三角恒等變形化簡(jiǎn)得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解判定ABC；利用分類討論方法，研究函數(shù)的值域，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，易得的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，其值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，得，故在上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)的圖象均與曲線總有公共點(diǎn)，則且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，綜上所述，，故D正確.故選：ACD．三角恒等變換（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷45（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C． D．三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系；用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值2024年新高考II卷135（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值2023年新高考I卷85（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）． B．C． D．給值求值型問(wèn)題；用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值；二倍角的余弦公式2023年新高考II卷75（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）． B． C． D．二倍角的余弦公式；半角公式2022年新高考II卷65（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A．B．C．D．用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值；用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值近三年新