第5章 一元一次方程（解析版）

（北師大版）第5章：《一元一次方程》章末綜合檢測卷（試卷滿分：120分，考試用時：120分鐘）姓名___________班級考號______________選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1．（2024秋?五華區(qū)校級期中）在方程①3x2+13＝25，②x+1＝0，③2x+3y＝5，④3xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)一元一次方程的定義“只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式”即可求解．【解答】解：①3x2+13＝25，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，不符合題意；②x+1＝0，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，是一元一次方程，符合題意；③2x+3y＝5，含有兩個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，不是一元一次方程，不符合題意；④3x+12=0，綜上所述，一元一次方程共有1個，故選：A．【點評】本題考查了一元一次方程的定義，關鍵是一元一次方程定義的熟練掌握．2．（2023秋?洮北區(qū)期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★處被蓋住了一個數(shù)字，已知方程的解是x＝5，那么★處的數(shù)字是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出關于★的方程，通過解該方程可以求得★處的數(shù)字．【解答】解：將x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，解得：★＝1，即★處的數(shù)字是1，故選：A．【點評】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2024秋?大連期中）下列等式變形，錯誤的是（）A．若x＝y(tǒng)，則x+2＝y(tǒng)+2 B．若x＝y(tǒng)，則3x＝3y C．若a+1＝b+1，則a＝b D．若x＝y(tǒng)，則x【分析】根據(jù)等式的性質對各選項判斷即可．【解答】解：A．若x＝y(tǒng)，則x+2＝y(tǒng)+2，正確，故選項A不符合題意；B．若x＝y(tǒng)，則3x＝3y，正確，故選項B不符合題意；C．若a+1＝b+1，則a＝b，正確，故選項C不符合題意；D．當a＝0時，由x＝y(tǒng)不能推出xa=y故選：D．【點評】本題考查了等式的性質，掌握等式的性質是解題的關鍵．4．（2023秋?南海區(qū)期末）我國古代有很多經典的數(shù)學題，其中有一道題目是：良馬日行二百里，駑馬日行一百二十里，駑馬先行十日，問良馬幾何追及之．意思是：跑得快的馬每天走200里，跑得慢的馬每天走120里，慢馬先走10天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬x天可追上慢馬，則由題意可列方程為（）A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10 C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10【分析】設快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程即可．【解答】解：設快馬x天可以追上慢馬，依題意，得：200x＝120x+120×10．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．5．（2023春?遂寧期末）方程|x﹣3|＝2的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x＝1或x＝5 D．x＝﹣1或x＝5【分析】根據(jù)絕對值先化簡，再進行分類討論．【解答】解：∵|x﹣3|＝2，∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2．當x﹣3＝2，則x＝5；當x﹣3＝﹣2，則x＝1．綜上：x＝5或1．故選：C．【點評】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程是解決本題的關鍵．6．下列方程變形中，正確的是（）A．方程x?12?x5=1，去分母得5（B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括號得3﹣x＝2﹣5x﹣1 C．方程23t=32D．方程3x﹣2＝2x+1，移項得3x﹣2x＝1+2【分析】根據(jù)求解一元一次方程的方法和步驟逐項分析，即可得到答案．【解答】解：∵方程x?12?x5=1∴選項A不符合題意；∵方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括號得3﹣x＝2﹣5x+5，∴選項B不符合題意；∵方程23t=32，系數(shù)化為1得∴選項C不符合題意；∵方程3x﹣2＝2x+1，移項得3x﹣2x＝1+2，∴選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握一元一次方程的解法，從而完成求解．7．（2024春?麥積區(qū)期末）已知關于x的方程2x＝8與x+2＝﹣k的解相同，則代數(shù)式2?3|k|kA．?94 B．49 C．?【分析】先通過解方程求得，x與k的值，再代入代數(shù)式求值．【解答】解：解方程2x＝8，得：x＝4，把x＝4代入x+2＝﹣k，得：4+2＝﹣k，解得：k＝﹣6，把k＝﹣6代入2?3|k|k原式=2?3|k|故選：C．【點評】本題是求代數(shù)式的值，但需要先解兩個方程，解方程時一定要保證每一步都正確，否則代數(shù)式的值也會求錯．8．（2023秋?和平區(qū)期末）現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b滿足a*b=2a?b，a≥ba?2b，a＜b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12?2×1A．4 B．11 C．4或11 D．1或11【分析】分x≥3與x＜3兩種情況求解．【解答】解：當x≥3，則x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；當x＜3，則x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，這與x＜3矛盾，所以此種情況舍去．即：若x*3＝5，則有理數(shù)x的值為4，故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解一元一次方程，解題的關鍵是理解題目所給的定義中包含的運算及運算順序．9．（2024秋?海珠區(qū)校級期中）如圖是2022年12月的日歷表，在此日歷表中用陰影十字框選中5個數(shù)（如2、8、9、10、16）．若這樣的陰影十字框上下左右移動選中這張日歷表中的5個數(shù)，則這5個數(shù)的和可能為（）A．41 B．125 C．75 D．116【分析】設陰影十字框中中間的數(shù)字為x，則另外四個數(shù)分別是x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，進而可得出這5個數(shù)的和為5x，代入各選項中的數(shù)，可得出關于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再對照日歷表，即可得出結論．【解答】解：設陰影十字框中中間的數(shù)字為x，則另外四個數(shù)分別是x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，∴這5個數(shù)的和為x﹣7+x﹣1+x+x+1+x+7＝5x．A．根據(jù)題意得：5x＝41，解得：x=41∵x為正整數(shù)，∴x=415不符合題意，選項B．根據(jù)題意得：5x＝125，解得：x＝25，∵12月25日是周日，∴x＝25不符合題意，選項B不符合題意；C．根據(jù)題意得：5x＝75，解得：x＝15，∵12月15日是周四，∴x＝15符合題意，選項C符合題意；D．根據(jù)題意得：5x＝116，解得：x=116∵x為正整數(shù)，∴x=1165不符合題意，選項故選：C．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．10．（2024秋?楊浦區(qū)校級月考）若關于x的方程2x?1?ax3=2(x+1)?1的解是正整數(shù)，且關于y的多項式（a﹣2）y2+ayA．1 B．3 C．5 D．7【分析】先解方程得到x=4a，根據(jù)方程的解為正整數(shù)，推出x=4a是正整數(shù)，結合a為整數(shù)，可得出a＝1或2或4，再根據(jù)多項式次數(shù)和項的定義得到a≠0且【解答】解：2x?1?ax去分母得：6x﹣（1﹣ax）＝6（x+1）﹣3，去括號得：6x﹣1+ax＝6x+6﹣3，移項得：6x+ax﹣6x＝6﹣3+1，合并同類項得：ax＝4，系數(shù)化為1得：x=4∵關于x的方程2x?1?ax∴4a是正整數(shù)，且a∴a＝1或2或4，∵（a﹣2）y2+ay﹣1是二次三項式，∴a≠0(a?2)≠0∴a≠0且a≠2，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為1，4，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是1+4＝5．故選：C．【點評】本題考查了解一元一次方程以及多項式，通過解方程及給定多項式是二次三項式，確定a的值是解題的關鍵．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（2024秋?長沙期中）當x＝時，代數(shù)式2x+5與代數(shù)式4x﹣1的值相等．【分析】根據(jù)題意可列方程2x+5＝4x﹣1，再解一元一次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：2x+5＝4x﹣1，移項得，2x﹣4x＝﹣1﹣5，合并同類項得，﹣2x＝﹣6，兩邊都除以﹣2得，x＝3．故答案為：3．【點評】本題考查解一元一次方程．熟練掌握解一元一次方程的方法，代數(shù)式求值的方法是解題的關鍵．12．（2023秋?青縣期末）下面是一個被墨水污染過的方程：3x+12=2x+，答案顯示方程的解是x＝1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是【分析】設被墨水遮蓋的常數(shù)是a，則把x＝1代入方程得到一個關于a的方程，即可求解．【解答】解：設被墨水遮蓋的常數(shù)是a，∵方程的解是x＝1，∴3×1+1解得：a=3故答案為：32【點評】此題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．理解定義是關鍵．13．（2024春?桐柏縣校級月考）現(xiàn)規(guī)定一種運算：acbd=ad?bc．例如，1324【分析】由新運算法則的4x﹣（﹣6）＝22，解方程即可求解．【解答】解：由題意得4x﹣（﹣6）＝22，解得：x＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了新運算，解一元一次方程，理解新運算法則是解題的關鍵．14．（2023秋?乳山市期末）等式ax﹣3x＝3中，若x是正整數(shù)，則整數(shù)a的取值是．【分析】先解方程，得到一個含有字母a的解，然后用完全歸納法解出a的值．【解答】解：由關于x的方程ax﹣3x＝3，得x=3∵x是正整數(shù)，a是整數(shù)，∴正整數(shù)解相應為：x＝1、x＝3，∴a的值是：6或4．故答案為：6或4．【點評】本題考查了一元一次方程的解．解答此題難點是對a值進行完全歸納，注意不要漏解．15．（2024秋?南開區(qū)期中）幻方起源于中國，是我國古代數(shù)學的杰作之一．在如圖所示的幻方中，將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入方格中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對角線上的數(shù)的和都相等，則m的值為．【分析】設第一行第一個方格中的數(shù)字為a，根據(jù)第一橫行和第一豎行上的三個數(shù)字之和相等，可列出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設第一行第一個方格中的數(shù)字為a，根據(jù)題意得：a+7+2＝a+m+8，解得：m＝1，∴m的值為1．故答案為：1．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．16．（2023秋?建華區(qū)期末）“十一”期間，某服裝商場推出促銷方案：①一次性購物不超過1000元，不享受優(yōu)惠；②一次性購物超過1000元，但不超過2000元，一律打九折；③一次性購物超過2000元，一律打八折．如果小麗在該商場一次性購物付款1620元，那么小麗購物的原價一定是元．【分析】設小麗購物的原價一定是x元，分1000＜x≤2000和x＞2000分別求解可得．【解答】解：設小麗購物的原價一定是x元，①若1000＜x≤2000，則0.9x＝1620，解得：x＝1800；②若x＞2000，則0.8x＝1620，解得：x＝2025；故小麗購物的原價一定是1800或2025元．故答案為：1800或2025．【點評】本題主要考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關系，并據(jù)此列出方程．三．解答題（本小題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（每小題3分，共12分）（2024秋?道里區(qū)校級月考）解下列方程：（1）6x﹣7＝4x﹣5；（2）2（3﹣x）＝﹣4（x+5）；（3）3x+52=2x?1【分析】（1）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（3）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（4）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【解答】解：（1）6x﹣7＝4x﹣5，移項得，6x﹣4x＝﹣5+7，合并同類項得，2x＝2，兩邊都除以2得，x＝1；（2）2（3﹣x）＝﹣4（x+5），去括號得，6﹣2x＝﹣4x﹣20，移項得，﹣2x+4x＝﹣20﹣6，合并同類項得，2x＝﹣26，兩邊都除以2得，x＝﹣13；（3）3x+52兩邊都乘以6得，3（3x+5）＝2（2x﹣1），去括號得，9x+15＝4x﹣2，移項、合并同類項得，5x＝﹣17，兩邊都除以5得，x=?17（4）x+12兩邊都乘以4得，2（x+1）﹣4＝8+2﹣x，去括號得，2x+2﹣4＝8+2﹣x，移項、合并同類項得，3x＝12，兩邊都除以3得，x＝4．【點評】本題主要考查了解一元一次方程，掌握等式的性質以及一元一次方程的解法是正確解答的關鍵．18．（6分）（2023春?虹口區(qū)校級期中）已知關于x的方程2x﹣3（x﹣2）＝3的解比關于x的方程x?a?22=0【分析】根據(jù)解方程，可得第一個方程的解，根據(jù)方程解的關系，可得第二個方程的解，根據(jù)方程的解滿足方程，把方程的解代入第二個方程，可得關于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【解答】解：2x﹣3（x﹣2）＝3，2x﹣3x+6＝3，2x﹣3x＝3﹣6，﹣x＝﹣3，x＝3，解方程x?a?2x=a?2根據(jù)題意可得，a?22a?22a﹣2＝10，a＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了解一元一次方程，利用方程解的關系得出關于a的方程是解題關鍵．19．（8分）（2024春?永春縣校級期中）已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是關于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若上述方程①的解與關于x的方程x+6x?a3=a6?【分析】（1）依據(jù)一元一次方程的定義可得到|m|﹣1＝1，且m+2≠0；（2）先求得方程①的解，從而可得到方程②的解，然后代入求得a的值即可．【解答】解：（1）∵方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是關于x的一元一次方程，∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，解得m＝2．（2）當m＝2時，原方程變形為4x﹣2＝0，解得x=1∵方程①的解與關于x的方程x+6x?a3=a∴方程②的解為x=?1方程x+6x?a3=a6?3x去分母得：6x+2（6x去括號得：6x+12x﹣2a＝a﹣18x，移項、合并同類項得：3a＝36x，∴a＝12x＝12×（?1【點評】本題主要考查的是一元一次方程的定義、一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關鍵．20．（8分）（2023秋?金寨縣期末）某商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共100只，購進100只節(jié)能燈的進貨款恰好為2600元，達兩種節(jié)能燈的進價、預售價如表：（利潤＝售價﹣進價）型號進價（元/只）預售價（元/只）甲型2025乙型3540（1）求該商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈各多少只？（2）在實際銷售過程中，商店按預售價將購進的全部甲型號節(jié)能燈和部分乙型號節(jié)能燈售出后，決定將剩下的乙型號節(jié)能燈打九折銷售，兩種節(jié)能燈全部售完后，共獲得利潤380元，求乙型號節(jié)能燈按預售價售出了多少只．【分析】（1）設該商店購進甲種型號的節(jié)能燈x只，則可以購進乙種型號的節(jié)能燈（100﹣x）只，根據(jù)“購進100只節(jié)能燈的進貨款恰好為2600元”列方程，解方程即可求解；（2）設乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是y只，由兩種節(jié)能燈共獲利380元列方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）設該商店購進甲種型號的節(jié)能燈x只，則可以購進乙種型號的節(jié)能燈（100﹣x）只，由題意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，解得：x＝60，100﹣60＝40（只），答：該商店購進甲種型號的節(jié)能燈60只，購進乙種型號的節(jié)能燈40只；（2）設乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是y只，由題意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，解得：y＝10，答：乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是10只．【點評】本題主要考查一元一次方程的應用，找準等量關系是解題的關鍵．21．（8分）（2023秋?鐵西區(qū)期末）馬小虎同學在解關于x的一元一次方程2x?13=x+a3?【分析】將x＝﹣2代入得﹣4﹣1＝﹣2+a﹣1求得a＝﹣2，據(jù)此可得原方程為2x?13【解答】解：根據(jù)題意，x＝﹣2是方程2x﹣1＝x+a﹣1的解，將x＝﹣2代入得﹣4﹣1＝﹣2+a﹣1，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程得2x?13解得：x＝﹣4．【點評】本題主要考查解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握等式的基本性質和解一元一次方程的基本步驟．22．（8分）（2023秋?太倉市期末）已知關于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解與關于x的一元一次方程x+12+2(n+1)3=1的解互為相反數(shù)，求代數(shù)式【分析】分別解方程，進而用m，n分別表示出x，再結合相反數(shù)的定義得出等式，將原式變形求出答案．【解答】解：2x+10﹣3m＝0，則2x＝3m﹣10，解得：x=3m?10x+12則3（x+1）+4（n+1）＝6，故3x+3+4n+4＝6，3x＝﹣1﹣4n，解得：x=?1+4n∵關于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解與關于x的一元一次方程x+12∴3m?102去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0，則9m﹣30﹣2﹣8n＝0，故9m﹣8n＝32，則92m﹣4n﹣1=12（9m=1＝16﹣1＝15．【點評】此題主要考查了一元一次方程的解，正確解方程是解題關鍵．23．（10分）（2023秋?倉山區(qū)期末）定義：若關于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．（1）請通過計算判斷關于x的方程2x＝5x﹣12與關于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；（2）若關于x的方程x?x?2m3=n﹣1與關于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m（3）若關于x的方程sx+t＝h（s≠0），與關于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，試用含m的式子表示k．【分析】（1）分別求解兩個方程，根據(jù)定義判斷即可；（2）分別求出方程的解，根據(jù)題意可得|3n?3?2m2?3n?3+m+4mn2|＝（3）分別求出方程的解，根據(jù)題意可得|??ts???t+sk?ss|＝2【解答】解：（1）2x＝5x﹣12的解為x＝4，3（y﹣1）﹣y＝1的解為y＝2，∵|x﹣y|＝|4﹣2|＝2，∴關于x的方程2x＝5x﹣12與關于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；（2）方程x?x?2m3=n﹣1的解為方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解為y=3n?3+m+4mn∵兩個方程是“m差解方程”，∴|3n?3?2m2?3n?3+m+4mn∴|3+4n|＝2，∴n=?14或n（3）方程sx+t＝h的解為x=??t方程s（y﹣k+1）＝h﹣t的解為y=??t+sk?s∵兩個方程是“2m差解方程”，∴|??ts???t+sk?s∴|1﹣k|＝2m，∴k＝1﹣2m或k＝2m+1．【點評】本題考查一元一次方程的解，絕對值方程，熟練掌握一元一次方程的解