第03講 認識有理數(shù)（11個知識點+7種題型+過關檢測）原卷版

第03講認識有理數(shù)（11個知識點+7種題型+過關檢測）知識點1：具有相反意義的量1.定義?在生活中存在各種各樣的量，其中有一類量，它們的屬性相同(即同類量)，但表示的意義卻相反，我們把這樣的量叫做具有相反意義的量.特別提醒：具有相反意義的量的“兩要素”：(1)具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等.2.用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量為了更好地區(qū)分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負數(shù)表示.特別提醒：用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量時，一般地，向指定趨勢變化用正數(shù)表示，向指定趨勢的相反趨勢變化用負數(shù)表示.知識點2：正數(shù)、負數(shù)的定義1.定義正數(shù)：像2%,4,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).有時,為了明確表達意義,在正數(shù)的前面加上“+”(正)號.如+2,+0.7。負數(shù):像-3,-2.7%,-4.5這樣在正數(shù)前加上符號“-”(負)的數(shù)叫做負數(shù)注意：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).數(shù)的符號?一個數(shù)前面的“+”“－”號叫做它的符號，其中“+”號可以省略不寫，而“－”號不能省略不寫.3.符號“+”“－”的雙重含義(1)作為運算符號是加減號；(2)作為性質符號是正負號.特別解讀1.正數(shù)的實質是大于0的數(shù)，它可以帶著“+”(正)號，也可以省略“+”號.2.負數(shù)就是在正數(shù)的前面加上“-”號的數(shù).3.正數(shù)與負數(shù)的特征：(1)不為0；(2)含“+”“－”號.知識點3：有理數(shù)1.整數(shù)正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),如-3,-2,0,1,2,3等2.分數(shù)正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù),如+1-,0.18,-1.35,-分數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式,同時有限小數(shù)和限循環(huán)小數(shù)又都可以化為分數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)不能轉化成分數(shù).3.有理數(shù)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，4.幾個常用數(shù)學名詞的含義(1)正整數(shù):既是正數(shù),又是整數(shù)的數(shù)(2)負整數(shù):既是負數(shù),又是整數(shù)的數(shù)(3)正分數(shù):既是正數(shù),又是分數(shù)的數(shù)(4)負分數(shù):既是負數(shù),又是分數(shù)的數(shù)(5)非負數(shù):正數(shù)和0.(6)非正數(shù):負數(shù)和0.(7)非負整數(shù)(也叫自然數(shù)):正整數(shù)和0.(8)非正整數(shù):負整數(shù)和0.(9)正有理數(shù):正整數(shù)和正分數(shù)(10)負有理數(shù):負整數(shù)和負分數(shù)(11)非正有理數(shù):0、負整數(shù)和負分數(shù)(12)非負有理數(shù):0、正整數(shù)和正分數(shù)特別提醒1.非負整數(shù)是在整數(shù)范圍內取非負數(shù)，包括正整數(shù)和0.2.引入負數(shù)后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也相應地擴大了.奇數(shù)和偶數(shù)也可以是負數(shù).3.自然數(shù)包括0和正整數(shù).知識點4：有理數(shù)的分類1.有理數(shù)的分類：特別警示1.不管按什么標準分類，最終都將有理數(shù)分為五類：正整數(shù)、0、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù).2.正有理數(shù)都是正數(shù)，但正數(shù)不一定都是正有理數(shù).2.有理數(shù)分類的三原則(1)分類不重復：所分的各類應當互不包含.(2)分類無遺漏：所分各類之“和”必須是原來的全部.(3)標準要統(tǒng)一：必須按同一分類標準進行分類.知識點5：相反數(shù)1.定義只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.要點詮釋：（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉.（3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).（4）求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可.2.相反數(shù)的性質（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等（這兩個點關于原點對稱）.（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.知識點6：絕對值的意義1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.要點分析：（1）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．即對于任何有理數(shù)a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越?。?）一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的．知識點7：絕對值的性質1.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．2.求法（1）0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)．（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0．知識點8：比較有理數(shù)的大小兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質符號分類，情況如下：兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負數(shù)－數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0負數(shù)與0：負數(shù)小于0要點分析：利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小的步驟：（1）分別計算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大??；（3）判定兩數(shù)的大?。R點9：數(shù)軸（重點）定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.要點歸納：（1）原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.（2）長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度單位是為度量線段的長度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．（3）原點、正方向、單位長度可以根據(jù)實際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動．知識點10：數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系（重點）數(shù)軸與有理數(shù)的關系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如.要點歸納：（1）一般地，數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，左邊的點表示負數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用數(shù)軸上原點右邊的點表示，負數(shù)用原點左邊的點表示，零用原點表示.（2）在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.知識點11：數(shù)軸法比較有理數(shù)的大小在數(shù)軸上表示出兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小．如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a＜b．一．正數(shù)和負數(shù)（共5小題）1．（2023秋?大化縣月考）商店賣出一瓶水收入2元，可表示為元；則購水花費20元記為A．20 B． C． D．2．（2023秋?科左中旗期末）一次社會調查中，某小組了解到某種品牌的薯片包裝上注明凈含量為，則下列同類產(chǎn)品中凈含量不符合標準的是A． B． C． D．3．（2023秋?興隆縣期末）某品牌酸奶外包裝上標明“凈含量：”．隨機抽取四種口味的這種酸奶分別稱重如下表．其中，凈含量不合格的是種類原味草莓味香草味巧克力味凈含量295300310305A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味4．（2023秋?鎮(zhèn)江期末）下表是小辰的媽媽元旦當天的微信零錢收支明細（單位：元）微信轉賬如意水果店微信紅包便民菜場觀察表格信息，可知小辰的媽媽元旦當晚微信零錢余額和前一天相比A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了93元5．（2024?青秀區(qū)校級開學）如果向東走，記作，那么向西走，記作．二．有理數(shù)（共9小題）6．（2024?廣西模擬）下列四個數(shù)中，屬于負整數(shù)的是A． B． C．0 D．67．（2023秋?涼山州期末）A．是負數(shù)，不是分數(shù) B．不是分數(shù)，是有理數(shù) C．是負數(shù)，也是分數(shù) D．是分數(shù)，不是有理數(shù)8．（2024?重慶模擬）在，，0，這四個數(shù)中，屬于負整數(shù)的是A． B． C．0 D．9．（2023秋?倉山區(qū)期末）定義：有序有理數(shù)，滿足，則稱有序有理數(shù)，為“共生有序有理數(shù)”．若有序有理數(shù)，是“共生有序有理數(shù)”，則下列各組有序有理數(shù)組合中一定屬于“共生有序有理數(shù)”的是A．， B．， C．， D．，10．（2023秋?廣陽區(qū)期末）下列說法正確的是A．所有的整數(shù)都是正數(shù) B．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) C．0是最小的有理數(shù) D．零既可以是正整數(shù)，也可以是負整數(shù)11．（2023秋?梁山縣期末）在3.14，，0，，0.1010010001中有理數(shù)的個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2024春?綏棱縣期末）既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)與負數(shù)的分界線．13．（2023秋?涼州區(qū)校級期末）把下列各數(shù)填到相應的集合中．1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，．正數(shù)集合：；負數(shù)集合：；整數(shù)集合：；分數(shù)集合：．14．（2023秋?平陰縣期末）請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，，，0，3.14，，．正有理數(shù)集合：，負整數(shù)集合：，正分數(shù)集合：，非負整數(shù)集合：．三．數(shù)軸（共12小題）15．（2023秋?沈北新區(qū)期末）一名同學畫了四條數(shù)軸，只有一個正確，你認為正確的是A． B． C． D．16．（2024?欽州二模）如圖，在數(shù)軸上，手掌遮擋住的點表示的數(shù)可能是A．0.5 B． C． D．17．（2023秋?新賓縣期末）若數(shù)軸上的點表示的數(shù)是，則與點相距5個單位長度的點表示的數(shù)是A． B． C．3或 D．或718．（2023秋?南明區(qū)期末）數(shù)軸上點表示，點表示3，則、兩點間的距離是A． B． C．7 D．119．（2024春?同安區(qū)期中）如圖，半徑為1個單位長度的圓從點沿數(shù)軸向右滾動（無滑動）兩周到達點，則點表示的數(shù)是A． B． C． D．20．（2024?海珠區(qū)校級二模）數(shù)軸上的點距原點5個單位長度，將點向右移動3個單位長度至點，則點表示的數(shù)是A．8 B．2 C．或2 D．8或21．（2023秋?南平期末）數(shù)軸上的點到原點的距離是4，則點表示的數(shù)為．22．（2024?興慶區(qū)校級一模）在一條可以折疊的數(shù)軸上，，表示的數(shù)分別是，4，如圖，以點為折點，將此數(shù)軸向右對折，若點在點的右邊，且，則點表示的數(shù)是．23．（2023秋?西城區(qū)校級期末）對于數(shù)軸上的點，線段，給出如下定義：為線段上任意一點，如果，兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點，線段的“近距”，記作（點，線段；如果，兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點，線段的“遠距”，記作（點，線段．特別的，若點與點重合，則，兩點間距離為0．已知點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為3．例如，若點表示的數(shù)為5，則（點，線段，（點，線段．（1）若點表示的數(shù)為，則（點，線段，（點，線段；（2）若點表示數(shù)為，點表示數(shù)為．（點，線段是（點，線段的4倍，求的值．24．（2023秋?蒲城縣期末）已知數(shù)軸上表示的點到原點的距離為6，表示的點在原點的左側，求的值．25．（2024春?曲沃縣期末）綜合與探究已知，數(shù)軸上三點，，對應的數(shù)分別為，0，1，點為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為．（1）的長為，的長為；（2）若，求的值；（3）數(shù)軸上，如果動點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動；同時動點和分別從點和點出發(fā)，分別以每秒3個單位和每秒2個單位的速度也沿數(shù)軸正方向運動．當點到點的距離等于點到點的距離時，直接寫出點所表示的數(shù)．26．（2023秋?鋼城區(qū)期末）郵遞員從郵局出發(fā)，先向西騎行到達村，繼續(xù)騎行到達村，然后向東行騎行到達村，最后回到郵局．（1）如圖，請在以郵局為原點，向東為正方向，為1個單位長度的數(shù)軸上表示出、、三個村莊的位置；（2）村離村有多遠？（3）郵遞員一共行駛了多少千米？四．相反數(shù)（共12小題）27．（2024春?薩爾圖區(qū)校級期末）若與2互為相反數(shù)，則．28．（2024春?固始縣期末）的相反數(shù)是．29．（2023秋?椒江區(qū)校級期末）若與互為相反數(shù)，那么．30．（2023秋?德化縣校級月考）化簡下列各數(shù)：①；②；③；④．31．（2024?思明區(qū)校級二模）的相反數(shù)是A．2 B． C． D．32．（2024?九臺區(qū)三模）下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是A．和 B．和 C．和 D．和33．（2024?鹽城二模）如果與1互為相反數(shù)，那么A．2 B． C．1 D．34．（2024?惠州模擬）2024年央視春晚主題、主標識近日正式發(fā)布，本次龍年春晚主題為“龍行龖龖dá，欣欣家國”，請問2024的相反數(shù)是A． B． C．2024 D．35．（2024?旬陽市開學）如果一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身，那么這個數(shù)是．36．（2023秋?銅川期末）如圖，數(shù)軸上，兩點表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且點與點之間的距離為4個單位長度，則點表示的數(shù)是．37．（2023秋?珠海校級月考）已知與互為相反數(shù)，求的值．38．（2023秋?疏勒縣期中）如圖，圖中數(shù)軸的單位長度為1．請回答下列問題：（1）如果點、表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點表示的數(shù)是多少？（2）如果點、表示的數(shù)是互為相反數(shù)，那么點、表示的數(shù)是多少？五．絕對值（共13小題）39．（2024?邗江區(qū)一模）絕對值等于2的數(shù)是A． B． C．2 D．40．（2023秋?撫州期末）適合的整數(shù)的值有A．4個 B．5個 C．7個 D．9個41．（2023秋?德化縣期末）下列說法正確的是A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù) B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等 C．如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身 D．如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)42．（2023秋?平泉市期末）若，則．43．（2023秋?青羊區(qū)校級期末）已知數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡．44．（2023秋?長壽區(qū)期末）數(shù)，在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡．45．（2024春?楊浦區(qū)校級期末）的最小值．46．（2023秋?和平區(qū)校級期末）有理數(shù)，，在數(shù)軸上表示的點如圖所示，化簡．47．（2024?芝罘區(qū)一模）已知，則．48．（2023秋?鄆城縣校級月考）探索規(guī)律題試用“”、“”或“”填空：；；；；．49．（2023秋?余干縣期末）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：（1）判斷正負，用“”或“”填空：0，0，0．（2）化簡：．50．（2023秋?天河區(qū)期末）我們記一對有理數(shù)，為數(shù)對．如果數(shù)對使等式成立，則稱之為“有趣數(shù)對”．（1）如果數(shù)對是“有趣數(shù)對”，那么是“有趣數(shù)對”嗎？請說明理由；（2）如果數(shù)對是“有趣數(shù)對”，求的值；（3）如果和互為相反數(shù)，那么是“有趣數(shù)對”嗎？請說明理由．51．（2023秋?閩侯縣期末）閱讀下列材料：，即當時，，當時，，運用以上結論解決下面問題：（1）已知，是有理數(shù)，當時，則；（2）已知，，是有理數(shù)，當時，求的值；（3）已知，，是有理數(shù)，，且，求的值．六．非負數(shù)的性質：絕對值（共3小題）52．（2023秋?潁泉區(qū)校級月考）若，求的值．53．（2023秋?涼州區(qū)期末）若與互為相反數(shù)，求的值．54．（2023秋?確山縣期末）請根據(jù)圖示的對話解答下列問題．（1），．（2）已知，求的值．七．有理數(shù)大小比較（共6小題）55．（2023秋?射陽縣期末）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并比較它們的大?。?，，，0，2.5，．56．（2023秋?東莞市校級期末）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖．（1）用“”或“”填空：0，0，0．（2）化簡：．57．（2023秋?南關區(qū)校級月考）已知有理數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，（1）分別判斷以下式子的符號（填“”或“”或“”0；0；（2）化簡：．58．（2023秋?仙居縣期末）如圖的數(shù)軸上，每小格的寬度相等．（1）填空：數(shù)軸上點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是．（2）點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，請在數(shù)軸上分別畫出點和點的位置．（3）將，，，四個點所表示的數(shù)按從大到小的順序排列，用“”連接．59．（2023秋?遂川縣期末）有理數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）填空：；0；0；（填“”，“”或“”（2）化簡：．60．（2024春?東坡區(qū)期末）有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖：（1）請用“”比較、、、四個數(shù)的大小為．（2）化簡：．一．選擇題（共6小題）1．（2023秋?湖北期末）中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量，并進行負數(shù)運算的國家．若把氣溫為零上記作，則表示氣溫為A．零上 B．零下 C．零上 D．零下2．（2023秋?荔灣區(qū)期末）有四個數(shù)，其中最小的是A．4 B． C． D．03．（2024?江海區(qū)一模）、是數(shù)軸上兩點，在線段上的點表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是A． B． C． D．4．（2023秋?康縣期末）下列說法：①符號相反的數(shù)互為相反數(shù)；②一定是一個負數(shù)；③正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；④一個數(shù)的絕對值越大，表示它的點在數(shù)軸上離原點越遠；⑤當時，總是大于0，正確的有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2023秋?撫順縣期末）排球的國際標準指標中有一項是排球的質量，規(guī)定排球的標準質量為，現(xiàn)隨機選取8個排球進行質量檢測，結果如表所示：序號12345678質量275263278270261277282269則僅從質量的角度考慮，不符合要求的排球有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2023秋?德化縣期末）下列說法正確的是A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù) B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等 C．如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身 D．如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)二．填空題（共8小題）7．（2023秋?蜀山區(qū)期末）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊薄啊保?．（2023秋?鄭州期末）月球表面的白天平均溫度為零上，記作；夜間平均溫度為零下，記作．9．（2024?太原開學）一瓶飲料，飲料瓶瓶身標注的凈含量是，測得實際凈含量為，記作“”，那么“”表示．10．（2023秋?遼中區(qū)期末）在有理數(shù)、、0、1中，最小的數(shù)是．11．（2023秋?射陽縣期末）數(shù)軸上，若，表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)且在的右側，并且這兩點的距離為9，則點表示的數(shù)是．12．（2023秋?淮安區(qū)校級月考）在數(shù)軸上，將表示的點向左移動4個單位后，對應點表示的數(shù)是．13．（2023秋?無為市期末）如圖1，點，，是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為，，4，某同學將刻度尺如圖放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點，發(fā)現(xiàn)點對應刻度，點對齊刻度．則數(shù)軸上點所對應的數(shù)為．14．（2023秋?長垣市期末）有理數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．三．解答題（共5小題）15．（2023秋?泉港區(qū)期末）某市為培育青少年科技的創(chuàng)新能力，舉辦了設計比賽．小明設計了移動視頻巡檢車在直線軌道上做運動的一個雛形．規(guī)定：巡檢車運動前的位置為原點，向前運動為正方向．巡檢車從開始運動至停止的記錄為：，，，，．問：當巡檢車運動停止時，停在哪