北師大版 第12講 多邊形和圓的初步認識（4個知識點+6種題型+過關檢測）（原卷版）

第12講多邊形和圓的初步認識（4個知識點+6種題型+過關檢測）知識點1．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側．②每個內角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．知識點2．多邊形的對角線（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（2）n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對多邊形對角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個頂點，應為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程思想，解方程求n．知識點3．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．知識點4．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．題型一、平面圖形形狀的識別1．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所得兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復原了《海島算經》九題古證，下列說法不一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，四邊形去掉后，剩下的新圖形是邊形．3．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，①②③④四個圖形都是平面圖形，觀察圖形和表中對應的數(shù)值，探究計數(shù)的方法并解答下面的問題．圖形①②③④頂點數(shù)V7邊數(shù)E9區(qū)域數(shù)F3(1)數(shù)一數(shù)每個圖形各有多少個頂點、多少條邊，這些邊圍出多少個區(qū)域，將結果填入上表；(2)根據表格，猜想平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)和區(qū)域數(shù)之間的關系；(3)如果一個平面圖形有個頂點和個區(qū)域，那么這個平面圖形有幾條邊？題型二、多邊形的概念與分類4．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫作多邊形的．5．（22-23·全國·課堂例題）下列說法中，正確的個數(shù)是（）①等腰三角形是正多邊形；②等邊三角形是正多邊形；③長方形是正多邊形；④正方形是正多邊形．A．1 B．2 C．3 D．46．（22-23七年級上·全國·單元測試）如圖，你能數(shù)出多少個不同的四邊形？題型三、平面鑲嵌7．（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，有兩塊形狀大小完全相同的三角板，把它們相等的邊靠在一起，可以拼出許多圖形，其中形狀不同的四邊形的種數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（22-23七年級上·河南南陽·期末）若一個正多邊形的每個外角都等于，則用這種多邊形能鋪滿地面嗎？寫出一種鋪滿地面的方法．9．（22-23七年級·山西呂梁·階段練習）下面是小明設計的由大小相同的正六邊形、正方形、正三角形三種地磚鋪滿小路地面的圖案，請觀察圖案，根據你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：

(1)第6個圖案中有正六邊形個，正方形個，正三角形個．(2)若鋪設這條小路用去n塊正六邊形地磚，則正方形地磚的數(shù)量為，正三角形地磚的數(shù)量為．（用含n的代數(shù)式表示）(3)若這條小路計劃鋪2021塊正方形地磚，問該小路需要鋪正六邊形地磚和正三角形地磚各多少塊？題型四、圓的基本概念辨析10．（2022七年級·全國·專題練習）我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的線段首尾順次相連組成的圖形．11．（23-24七年級上·重慶銅梁·開學考試）下面說法錯誤的是（

）A．圓有無數(shù)條半徑和直徑 B．直徑是半徑的2倍C．圓有無數(shù)條對稱軸 D．圓的大小與半徑有關12．（21-22七年級上·全國·單元測試）學過圓之后，我們知道了圓有很多的優(yōu)點，比如在相等周長的情況下，圓形的物體面積最大．其實自然界的很多植物都很好地利用了這種優(yōu)點，比如樹干都是圓柱形的，說說你的理由？題型五、圓的周長和面積問題13．（24-25七年級上·遼寧大連·期中）在一個半徑為的大圓上，挖去9個半徑為的小圓，當，時，剩余部分的面積為（結果保留．14．（22-23七年級上·山東臨沂·開學考試）周長是的圓，面積是（）平方厘米．A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.2615．（22-23七年級·陜西榆林·階段練習）將一根底面半徑是5厘米的圓柱體木料鋸成三段（每段都是圓柱體），其表面積增加了多少平方厘米？（取3.14）題型六、圓心角概念辨析16．（22-23七年級上·四川達州·期末）下列說法中，錯誤的是（

）A．頂點在圓心的角叫做圓心角B．等于C．各邊相等的多邊形叫做正多邊形D．在數(shù)軸上，與表示的點的距離為3的數(shù)有2和．17．（20-21七年級上·河南鄭州·期末）若將一個圓等分成三個扇形，則其中一個扇形圓心角的度數(shù)為．18．（21-22七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，把一個圓分成三個扇形，你能求出這三個扇形的圓心角嗎？

一、單選題1．已知是的弦，的半徑為r，下列關系式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．如果一個多邊形從一個頂點出發(fā)最多能畫五條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如圖，用對角線長為4的正方形，做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線5．在學校“文明學生”表彰會上，6名獲獎者每兩位都相互握手祝賀，則他們一共握了多少次手（

）A．6 B．8 C．13 D．156．用形狀相同的多邊形進行拼接，彼此之間既無空隙又不重疊地鋪成一片，這就是一種密鋪平面圖形．下列圖形中不能進行密鋪的是（

）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．等邊三角形7．小明在社會實踐中想用不同的正多邊形瓷磚進行地面鋪設，若在一個頂點處有一個正三角形和一個正十邊形瓷磚，則還需一個正（

）邊形瓷磚才能鋪成平整無縫隙的地面．A．十二 B．十三 C．十四 D．十五8．下列說法正確的有（

）個①把一個角分成兩個角的射線叫做這個角的角平分線；②連接、兩點的線段叫兩點之間的距離；③兩點之間直線最短；④射線上點的個數(shù)是直線上點的個數(shù)的一半；⑤邊形從其中一個頂點出發(fā)連接其余各頂點，可以畫出條對角線，這些對角線把這個邊形分成了個三角形．A．3 B．2 C．1 D．09．如圖，在中，，，若以點為圓心，的長為半徑的圓恰好經過的中點，則的長等于（）A． B． C． D．10．為方便銷售，售貨員把直徑都為7cm的啤酒瓶捆成如圖的形狀，如果每組分別捆5圈（接頭處不計），每組至少需要繩子（

）cm．（π取3.14）A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325二、填空題11．一個八邊形的對角線共有條．12．一根繩子長，用這根繩子在操場上圍出一塊地，則所圍地的最大面積是．13．下圖中，長方形有個．

14．若一個多邊形的一條對角線將其分成兩個四邊形，則該多邊形的邊數(shù)是．15．如圖，四邊形去掉后，剩下的新圖形是邊形．16．如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．17．如圖，CD是的直徑，A為延長線上一點，點E在上，，交于點B，且，則的度數(shù)是．18．小于半圓的弧（如圖中的）叫做；大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的）叫做．【注意】1）弧分為是優(yōu)弧、劣弧、半圓．2）已知弧的兩個起點，不能判斷它是優(yōu)弧還是劣弧，需分情況討論．三、解答題19．計算陰影部分的面積．

20．中，．求證：三點在同一個圓上．21．學科某校八年級六個班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)（即每兩個班舉行一場比賽）積分制，那么一共需要進行多少場比賽？22．如圖，已知線段a和b，直線AB和CD相交于點O．利用尺規(guī)，按下列要求作圖：（1）在射線上作線段，使它們分別與線段a相等；（2）在射線OD上作線段，使與線段b相等；（3）連接．你得到了一個怎樣的圖形？與同伴進行交流．23．如圖，長方形的長厘米，寬厘米．

(1)如圖，一個半徑為的圓沿著長方形的四邊內側滾動一周，求圓滾過的面積；(2)如圖2，E，F(xiàn)分別為，上的點，且，，一個半徑為厘米的圓在長方形外側連續(xù)地從經過點，滾動到點，求圓滾過的面積．（結果保留）24．剪圖與拼圖．（本題要求畫出裁剪線，并畫出拼接成的圖形的示意圖）如圖1，在邊長為2的正方形紙片上，以它的中心為圓心，以1為半徑作半圓；再分別以、為圓心，以1為半徑作圓，剪去圖1中陰影部分，得到圖2．(1)圖3是圖2的紙片，請你剪2刀，再將剪成部分拼成一個正方形：(2)圖4是兩個圖2的紙片，請你在每個圖形上各剪1刀，再將剪成的四部分拼成一個正方形（要求畫出兩種拼法）．25．有一個著名的希波克拉蒂月牙問題．如圖：以AB為直徑作半圓，C是圓弧上一點，（不與A、B重合），以AC、BC為直徑分別作半圓，圍成兩個月牙形1、2（陰影部分）．已知直徑AC為4，直徑BC為3，直徑AB為5．（1）分別求出三個半圓的面積（結果保留π）；（2）請你猜測，這兩個月牙形的面積與三角形ABC的面積之間有何等量關系，請寫出你的猜想，并通過計算說明．26．某中學原計劃修一個半徑為10米的圓形花壇，為使花壇修得更加美觀，決定向全校征集方案，在眾多方案中最后選出兩種方案：方案A如圖1所示，先畫一條直徑，再分別以兩條半徑為直徑修兩個圓形花壇；方案B如圖2所示，先