2023年1月廣東省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試真題含解析

2023年1月廣東省一般高中學(xué)業(yè)水平考試

真題卷

(時(shí)間：90分鐘滿分：100分)

一、選擇題(本大題共15小題,每題4分，共60分,每題中只有一

種選項(xiàng)是符合題意的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分)

1.已知集合M={0,2,4},N={1,2,3},P={0,3},則(MUN)AP等

于()

A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}

解析：MUN={0,1,2,3,4},(MUN)AP={0,3},故選B.

答案:B

2.函數(shù)y=lg(x+l)的J定義域是()

A.(—°°,+°°)B.(0,+00)

C.(—1,+8)D.—1,4-oo)

解析：對數(shù)函數(shù)規(guī)定真數(shù)不小于0,因此x+l>0,解得故

選C

答案:C

3.設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)等于()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

解析：====

—1—i,故選D.

答案:D

4.已知甲：球的半徑為1cm；乙：球的體積為cm3,則甲是乙的

()

A.充足不必要條件B.必要不充足條件

C.充要條件D.既不充足也不必要條件

解析：充足性：若r=lcm,由丫=nr3可得體積為ncm3,同

樣運(yùn)用此公式可證必要性也成立.

答案:C

5.已知直線1過點(diǎn)A(l,2),且與直線丫=x+1垂直,則直線1時(shí)

方程是()

A.y=2xB.y=-2x+4C.y=x+D.y=x+

解析：由于兩直線垂直時(shí),斜率互為倒數(shù)的相反數(shù)(klk2=-l),因

此直線1的斜率k=-2,由點(diǎn)斜式方程y—yO=k(x—xO)可得,y—2=一

2(x—1),整頓得y=—2x+4,故選B.

答案:B

6.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線為x=-2的拋物線的原則方程是()

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

解析：由于準(zhǔn)線方程為X=-2,因此焦點(diǎn)在x軸上，且一=一2,

因此p=4,由y2=2px得y2=8x.

答案:A

7.已知三點(diǎn)A(—3,3)*(0,1)"(1,0),則|+|等于()

A.5B.4C.+D.-

解析：由于=(3,—2),因此+=(4,-3),

因此|+|==5,故選A.

答案:A

8.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸，終邊過點(diǎn)

P(,一2),則下列等式不對時(shí)時(shí)是()

A.sina=-B.sin(a+n)=C.cosa=D.tana=-

解析：依題意得,r===3,sina=,cosa=,tana=,

因此sina=,cosa=,tana==一，因此A,B,C對嘰D

錯(cuò)誤.

答案:D

9.下列等式恒成立的是()

A.=x—(x#0)B.(3x)2=3x2

C.Iog3(x2+l)+log32=log3(x2+3)D.Iog3=-x

解析：=x-(xKO),故A錯(cuò)；(3x)2=32x,故B錯(cuò)；

Iog3(x2+1)+log32=Iog32(x2+1),故C錯(cuò).

答案:D

10.已知數(shù)列｛an｝滿足al=l,且an+1—an=2,則｛an｝的前n項(xiàng)

和Sn等于()

A.n2+lB.n2C.2n-lD.2n-l

解析：數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,由Sn=nal+

d=n+?2=n2,故選B.

答案:B

11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足則z=2x+y的最大值為()

A.3B.5C.9D.10

解析：如圖,畫出可行域,當(dāng)y=-2x+z移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí),直線與y

軸的截距z獲得最大值,由于A(3,3),因此z=2x+y的最大值為9.

答案：C

12.已知點(diǎn)A(—1,8)和B(5,2),則以線段AB為直徑的圓的原則方

程是()

A.(x+2)2+(y+5)2=3B.(x+2)2+(y+5)2=18

C.(x-2)2+(y-5)2=3D.(x-2)2+(y-5)2=18

解析：圓的)原則方程(x—a)2+(y-b)2=r2,圓心為C=(2,5),半

徑r==3,因此圓的原則方程為(x-2)2+(y-5)2=18.

答案:D

13.下列不等式一定成立的是()

A.x+72(xH0)B.x2+21(x￡R)

C.x2+1^2x(xGR)D,x2+5x+620(x￡R)

解析：A選項(xiàng)中，當(dāng)xVO時(shí),顯然不成立；C選項(xiàng)中，當(dāng)x=-l時(shí),

顯然不成立；D選項(xiàng)中，當(dāng)x￡(—3,—2)時(shí),x2+5x+6V0,因此不成

立；B選項(xiàng)中,x2+=(x2+l)+—122-l=l(x￡R),當(dāng)且僅當(dāng)x

=0時(shí)取.

答案:B

14.已知f(x)是定義在K上的偶函數(shù),且當(dāng)x￡(-8,0]時(shí),f(x)=

x2—sinx,則當(dāng)x￡0,+8)時(shí),f(x)=()

A.x2+sinxB.-x2-sinxC.x2-sinxD,-x2+sinx

解析：設(shè)xGO,4-00),則一X￡(-8,0],因此f(-x)=(-x)2-

sin(-x)=x2+sinx,又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，因此f(x)=f(-x)=

x2+sinx,故選A.

答案:A

15.已知樣本xl,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為4,方差為3,則xl+6,

x2+6,x3+6,x4+6,x5+6的J平均數(shù)和方差分別為()

A.4和3B.4和9C.10和3D.10和9

解析：由平均數(shù)的定義可知xl+6,x2+6,x3+6,x4+6,x5+6的

平均數(shù)=+6=10,方差不變.

答案:C

二、填空題(本大題共4小題,每題4分，共16分.將對的答案填在

題中橫線上)

16,已知x>0,且，玄15成等比數(shù)歹(則乂=.

解析：由于，x,15成等比數(shù)列，因此x2=X15=25,又x>0,因

此x=5.

答案：5

17.函數(shù)f(x)=sinxcos(x+l)+sin(x+l)cosx的最小正周期是

解析：f(x)=sinxcos(x+l)+sin(x+l)cosx=sinx+(x+1)1=sin(2x

+1),

2n

因此最小正周期T=,=n.

答案：n

18.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任意選用兩個(gè)不一樣的數(shù)字,將它們

構(gòu)成一種兩位數(shù),該兩位數(shù)不不小于20的概率是.

解析：從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任意選用兩個(gè)不一樣的數(shù)字，將它

們構(gòu)成一種兩位數(shù)一共有如下12個(gè)基本領(lǐng)件：12,13,14,21,23,24,31,

32,34,41,42,43;其中該兩位數(shù)不不小于20的共有12,13,14三個(gè)，因

此該兩位數(shù)不不小于20的概率為=.

答案：

19.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓,其離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2在x

軸上,P為該橢圓上的任意一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=4,則橢圓的原則方程

是.

解析:根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上可以設(shè)橢圓的原則方程為+=l（a>b

>0）,

由于長軸長2a=|PF1|+|PF2|=4,離心率e==,

因此a=2,c=l,b==，因此橢圓的原則方程為+=1.

答案：+=1

三、解答題（本大題共2小題,共24分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字

闡明、證明過程及演算環(huán)節(jié)）

20.（12分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

⑴證明：^ABC為等腰三角形;

(2)若a=2,c=3,求sinCg)值.

(1)證明：由于=,

因此acosB=bcosA,

由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA,

因此tanA=tanB,

又A,B￡(0,n),

因此A=B,

因此aABC為等腰三角形.

⑵解:由(1)可知A=B,因此a=b=2,

根據(jù)余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC,

因此9=4+4—8cosC,解得cosC=一,

由于C￡(0,n),

因此sinC>0,

因此sinC=d1-cos2c

21.(12分)如圖，在四棱錐PABCD中,PA±AB,PA±AD,AC1CD,

ZABC=60°,PA=AB=BC=2,E為PC的中點(diǎn).

(1)證明：AP_LCD；

(2)求三棱錐叢3C的體積；

(3)證明：AE_L平面PCD.

(1)證明：由于PA_LAB,PA_LAD,ABu平面ABCD,ADc平面

ABCD,ABAAD=A,

因此PAJ■平面ABCD,又CDc平面ABCD,

因此AP_LC0.

(2)解：由(1)可知API■平面ABC,因此VP-ABC=SA

ABC?AP,

又SZkABC=AB?BC?sinZABC=X2X2Xsin600=,

因此VP-A"C=QXX2=.

JJ

(3)證明：由于CD_LAP,CD_LAC,APu