2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題試卷（學(xué)生版+解析版）

2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(3分)?(?2021)=()

1

A.-2021B.2021c?-贏D.-------

2021

2.（3分）“奮斗者”號(hào)教人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了10909米的我國(guó)載人深潛記

錄.數(shù)據(jù)10909用科學(xué)記數(shù)法可表示為)

A.0.10909X105B.1.0909X104

C.10.909X103D.109.09X102

3.（3分）因式分解：1-4）2=（）

A.(1-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2)，)

4.（3分）如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線/外一點(diǎn),PQ-LI,垂足為點(diǎn)Q,點(diǎn)T是直線/上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)PT,則（）

A.PT^2PQB.PTW2PQC.PTNPQD.PTWPQ

5.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.V2*7=2B.V(-2)2=-2C.揚(yáng)=±2D.V(-2)2=±2

6.（3分）某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬(wàn)人次，五月接待游客60.5萬(wàn)人次.設(shè)該景點(diǎn)今年

四月到五月接待游客人次的增長(zhǎng)率為x（x>0）,則（）

A.60.5(I-x)=25B.25(I-%)=60.5

C.60.5(1+x)=25D.25(1+x)=60.5

7.（3分）某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機(jī)會(huì)均等.某天用、乙

兩位乘客同時(shí)乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是（）

1111

A.-B.一C.一D.一

5432

8.（3分）在“探索困數(shù)尸加+法+c?的系數(shù)瓦c?與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了

直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：4（0,2）,B（1,0）,C（3,1）,D（2,3）.同學(xué)們探索了經(jīng)

過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些匡象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其

9.（3分）已知線段A3,按如卜.步驟作圖：①作射線AC,使ACJ_48：②作N5AC的平分

線AD；③以點(diǎn)人為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交人。于點(diǎn)E；④過(guò)點(diǎn)E作EPYAB于點(diǎn)P,

10.（3分）已知》和”均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)工一〃?時(shí)，函數(shù)值分別是A山和M2,

若存在實(shí)數(shù)相，使得朋1+“2=0,則稱函數(shù)），1和殍具有性質(zhì)P.以下函數(shù)），］和只具有性

質(zhì)尸的是（）

A.y\=X2+2Xyi=-x-\B.yi=7+2x和"=-x+1

11

_丁和”=__；：和

C.yi=人x_ID.yi=人-x+1

二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分。

11.（4分）計(jì)算：sin30°=.

12.（4分）計(jì)算：2a+3°=.

13.（4分）如圖，已知。。的半徑為1,點(diǎn)。是。。外一點(diǎn)，且OP=2.若PT是。。的切

線，T為切點(diǎn),連結(jié)07,則P7=.

14.（4分）現(xiàn)有甲、乙兩種糖果的單價(jià)與千克數(shù)如下表所示.

甲種糖果乙種糖果

單價(jià)（元/千克）3020

千克數(shù)23

將這2千克甲種糖果和3千克乙種糖果混合成5千克什錦糖果，若商家用加權(quán)平均數(shù)來(lái)

確定什錦糖果的單價(jià)，則這5千克什錦糖果的單價(jià)為元/千克.

15.（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3,1）為端點(diǎn)的四條射線人8,AC,AD,AE

分別過(guò)點(diǎn)8（1,I）,點(diǎn)C（l,3）,點(diǎn)。（4,4）,點(diǎn)E（5,2）,則NB4CZDAE

（填，，＞，，、“二，，、，，＜，，中的一個(gè)）.

16.（4分）如圖是一張矩形紙片A8CQ,點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在3C邊上，把

△QCE沿直線折直，使點(diǎn)。落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)尸處，連接DF,EF.若MF=AB,

則NOAF=度.

三、解答題：本大題有7個(gè)小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。

17.（6分）以下是圓圓解不等式組「（1+”）>一12的解答過(guò)程：

解：由①，得2+x>?l,

所以-3.

由②，得1-Q2,

所以-QI,

所以x>-1.

所以原不等式組的解是%>-1.

圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程.

18.（8分）為了解某校某年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，對(duì)該年級(jí)全部360名學(xué)生進(jìn)行一分鐘

跳繩次數(shù)的測(cè)試，并把測(cè)得數(shù)據(jù)分成四組，繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直

方圖（每一絹不含前一個(gè)i力界值，含后一個(gè)i力界值）.

某校某年級(jí)360名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

組別（次）頻數(shù)

100~13048

130~16096

160-190a

190-22072

（1）求。的值；

（2）把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；

（3）求該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的百分比.

某校某年級(jí)360名學(xué)生一分鐘跳

繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

,頻數(shù)

144——

120

96__________96

72

72

_____48

48

24

/'J___L

0^100130160190220跳繩次數(shù)（次）

19.（8分）在①4D=AE②NA8E=NACD,③尸8=FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)

充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖，在△A8C中，NA8C=NAC5,點(diǎn)。在AB邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)8重合）,

點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），連接BE,CD,BE與CD相交于點(diǎn)

F.若,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.（10分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)9=口（所是常數(shù)，h>0,七>0）與函數(shù)”=七丫（公

是常數(shù)，七#0）的圖象交于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A

（1）若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-1,2）,

①求女I，女2的值；

②當(dāng)yiV”時(shí)，直接寫出x的取值范圍；

（2）若點(diǎn)B在函數(shù)中勺（依是常數(shù)，依W0）的圖象上，求依+質(zhì)的俏.

21.（10分）如圖，在△ABC中，NABC的平分線8。交AC邊于點(diǎn)。，4E_LBC于點(diǎn)￡已

知NA8C=60°,NC=45°.

（1）求證：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面積.

A

22.（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)），=◎2+隊(duì)+1（〃，》是常數(shù)，aWO）.

（I）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1,0）和（2,I）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象

的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知a=b=l,當(dāng)工=.,q（p,9是實(shí)數(shù)，p￥q）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為

P,Q.若p+q=2,求證：P+Q>6.

23.（12分）如圖，銳角三角形A8C內(nèi)接于。0,N84C的平分線AG交。。于點(diǎn)G,交

BC邊于點(diǎn)F,連接8G.

（I）求訐：AABGS^AFC.

（2）已知AC=AF=b,求線段尸G的長(zhǎng)（用含〃，匕的代數(shù)式表示）.

（3）已知點(diǎn)E在線段A尸上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)/重合），點(diǎn)。在線段AE上（不與點(diǎn)4點(diǎn)

七重合），NABD=NCBE,求證：BG1=GE*GD.

B

G

2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）?（?2021）=（）

11

A.-2021B.2021C.D.-------

2072T12021

【解答】解：?（-2021）=2021.

故選：B.

2.（3分）“奮斗者”號(hào)載人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了10909米的我國(guó)載人深潛記

錄.數(shù)據(jù)10909用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.0.I0909XI05B.1.0909X104

C.10.909XI03D.109.09X102

【解答】解：10909=1.0909X1()4

故選:B.

3.(3分)因式分解：1-4/=()

A.(1-2y)(1+2>')B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2)，)

【解答】解：1-4/

=1-(2y)2

=(1-2y)(l+2y).

故選：A.

4.（3分）如圖，設(shè)點(diǎn)夕是直線/外一點(diǎn)，PQ±L垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)7,是直線/上的一個(gè)動(dòng)

A.PT22PQB.PT42PQC.PT2PQD.PT&PQ

【解答】解：???PQJJ,點(diǎn)7是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)P7,

：?PT》PQ,

故選：C.

5.（3分）下列計(jì)算正確的是（）

A.揚(yáng)=2B.V（-2）2=-2C./=±2D..（-2）2=±2

【解答】解:A.舊=2,故本選項(xiàng)符合題意；

B.白印=2,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.萬(wàn)=2,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.正#=2,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

6.（3分）某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬(wàn)人次，五月接待游客60.5萬(wàn)人次.設(shè)該景點(diǎn)今年

四月到五月接待游客人次的增長(zhǎng)率為x（x>0）,則（）

A.60.5（1-x）=25B.25?I-x）=60.5

C.60.5(1+x)=25D.253+A)=60.5

【解答】解：設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的增長(zhǎng)率為x（七>0）,則

25（1+x）=60.5.

故選：D.

7.（3分）某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機(jī)會(huì)均等.某天用、乙

兩位乘客同時(shí)乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.—

5432

【解答】解：把3節(jié)車廂分別記為A、8、C,

畫樹狀圖如圖：

開始

甲ABC

Zl\/1\/1\

乙ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

???甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率為三=

93

故選：C.

8.（3分）在“探索函數(shù)公+c的系數(shù)〃，兒c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了

直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0,2）,B（1,0）,C（3,1）,D（2,3）.同學(xué)們探索了經(jīng)

過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其

【解答】解：由圖象知，A、8、。組成的點(diǎn)開口向上，?>0；

A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，40；

B、C、。三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開口向下，?<0：

A、。、C三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開口向下，?<0；

即只需比較A、&。組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可.

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為yi=〃i/+"x+ci，

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，

q=2

Qi+81+Ci=0，

9al+3bl+J=1

解得

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為y—a/+尿+c,

把A(0,2),8(1,0),D(2,3)代入上式得,

(c=2

\a+b+c=0，

\4a+2b+c=3

解得a=f,

即a最大的值為"

2

故選：A.

9.(3分)已知線段A8,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACL4&②作N8AC的平分

線AD；③以點(diǎn)4為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)E；④過(guò)點(diǎn)E作EPYAB于點(diǎn)P,

則AP：AB=()

c

A.I：V5B.1：2C.1：乃D.1：V2

【解答】解：???ACJ_",

???NC48=90°,

'：AD平分NB4C,

AZEAB=ix900=45°,

'：EPLAB,

：.ZAPE=90°,

???NE4P=NAEP=45’，

：.AP=PE,

???設(shè)AP=PE=x,

故AE=AB=限

.\AP：AB=x：y/2x=\：'j2.

故選：O.

10.（3分）己知yi和”均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)i=〃z時(shí)，函數(shù)值分別是M和歷2,

若存在實(shí)數(shù)〃?，使得M+M2=0,則稱函數(shù)》和以具有性質(zhì)P.以下函數(shù)），1和*具有性

質(zhì)P的是（）

A.y\=x2+2ryi=-x-1B.yi=/+2x和”=-x+1

C.yi=—工和-x-]D.y\=—y2=-.v+1

XX

【解答】解：A.令,計(jì)竺=0,則f+2x-x-1=0,解得工=二導(dǎo)5或％=二要，即函

數(shù)N和”具有性質(zhì)產(chǎn)，符合題意；

B.令）斗+”=0，則/+2i?x+l=0,整理得，/+x+l=0,方程無(wú)解，即函數(shù)yi和”不

具有有性質(zhì)P，不符合題意；

C.令yi+），2=0，則一1=0,整理得，/+x+l=0,方程無(wú)解，即函數(shù)yi和”不具

有有性質(zhì)P,不符合題意；

D.令）1+”=（），則一9一工+1=0,整理得，』-x+l=O,方程無(wú)解，即函數(shù)yi和”不具

有有性質(zhì)P,不符合題意；

故選：A.

二、填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分。

11.（4分）計(jì)算：sin30°

-2~

【解答】解：sin30°=1.

12.（4分）計(jì)算：2。+3。=5〃.

【解答】解：2a+3a=5a,故答案為5a.

13.（4分）如圖，已知。。的半徑為1,點(diǎn)尸是。0外一點(diǎn)，且OP=2.若尸丁是。。的切

【解答】解：:戶丁是。。的切線，「為切點(diǎn),

：.OTLPT,

在Rtzxopr中，or—I,OP—2,

：.PTlOP2一。72T22-1275,

故：PT-y13.

14.（4分）現(xiàn)有甲、乙兩種糖果的單價(jià)與千克數(shù)如下表所示.

甲種糖果乙種糖果

單價(jià)（元/千克）3020

千克數(shù)23

將這2千克甲種糖果和3千克乙種糖果混合成5千克什錦糖果，若商家用加權(quán)平均數(shù)來(lái)

確定什錦糖果的單價(jià)，則這5千克什錦糖果的單價(jià)為24元/千克.

【解答】解：這5千克什錦糖果的單價(jià)為：（30X2+20X3）=5=24（元/千克）.

故答案為:24.

15.(4分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(3,1)為端點(diǎn)的四條射線A8,AC,AD,AE

分別過(guò)點(diǎn)8(1,1),點(diǎn)CQ,3),點(diǎn)。(4,4),點(diǎn)￡(5,2),則N8AC-N7ME

(填“>，，、"=，，、“<”中的一個(gè)).

由上圖可知-2,BC-2,

???△ABC是等腰直角三角形，

45°,

又VAE—V/1F2+FF2—V22+P—75,

同理可得DE=722+12-6,

AD=V12+32=A/T0,

則在ZSAOE中，有AE2+DE2―AD2,

???△AQE是等腰直角三角形，

AZDAE-45°,

???NBAC-NOAE,

故答案為：一

16.（4分）如圖是一張矩形紙片ABCD,點(diǎn)M是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把

△QCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)尸處，連接DF,EF.若MF=AB,

則ND4P=18度.

【解答】解：連接。M如圖:

???四邊形ABCQ是矩形，

???NAOC=90°.

是AC的中點(diǎn)，

：.DM=AM=CM,

JZE\D=NMDA,NMDC=ZMCD.

,:DC、DF美DE又寸稱，

：.DF=DC,

:?/DFC=/DCF.

?:MF=ABAB=CD、DF=DC,

:.MF=FD.

???ZFMD=ZFDM.

?.*/DFC=NFMD十NFDM、

:./DFC=2/FMD.

ZDMC=/必。+NAOM,

：，ZDMC=2ZFAD.

設(shè)NE4O=x°,則NOFC=4x°,

/.ZMCD=ZMDC=4A°.

?/ZDMC+ZMCD+NMOC'=180°,

:.2X+4A-+4X=180.

?*?x=18.

故答案為：18.

三、解答題：本大題有7個(gè)小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。

17.（6分）以下是圓圓解不等式組+乃>一12的解答過(guò)程：

解：由①，得2+x>-I,

所以4>-3.

由②，得1-x>2,

所以?x>l,

所以-1.

所以原不等式細(xì)的解是-1.

圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程.

【解答】解：圓圓的解答過(guò)程有錯(cuò)誤，

正確過(guò)程如下：由①得2+2r>-1,

：.2x>-3,

?、3

-x>-2,

由②得1-A<2,

/.-x<\,

：,x>-1,

???不等式組的解集為心>-l.

18.（8分）為了解某校某年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，對(duì)該年級(jí)全部360名學(xué)生進(jìn)行一分鐘

跳繩次數(shù)的測(cè)試，并把測(cè)得數(shù)據(jù)分成四組，繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直

方圖（每一組不含前一個(gè)邊界值，含后一個(gè)邊界值）.

某校某年級(jí)360名學(xué)生?分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

組別（次）頻數(shù)

100-13048

130?16。96

160-190

190~22072

（1）求。的值；

（2）把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；

（3）求該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的百分比.

某校某年級(jí)360名學(xué)生一分鐘跳

繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

?頻數(shù)

144---------------------------------------------------

120-

96

96-

72

72-

48

48-

24-

190220跳繩次數(shù)（次）

【解答】解：（1）4=360?（48+96+72）=144：

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下:

某校某年級(jí)360名學(xué)生一分鐘跳

繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

?頻數(shù)

144.........

120-

96------------------產(chǎn)------------

72-------------------------------------------^-r-----

4…-------------------------------------------

24------------------------------------------------------------

0kMs金擊忐,跳繩無(wú)數(shù)（次）

（3）該年級(jí)一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級(jí)全部學(xué)生數(shù)的百分比為

72

—xl00%=20%.

360

19.（8分）在①@ZABE=ZACD,③尸8=FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)

充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.

問(wèn)題：如圖，在△A4C中，NABC=NACB,點(diǎn)。在A4邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)8重合）,

點(diǎn)七在4。邊上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合），連接BE,CD,BE與CO相交于點(diǎn)F.若①

（②/A/E=/AC7?或③方6=/C）,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

BC

【解答】證明：選擇條件①的證明為:

:ZABC=NACB,

：.AB=AC,

在AABE和△ACO中，

AB=AC

乙4=Z-A,

UE=AD

(SAS),

:.BE=CD；

選擇條件②的證明為：

,/ZABC=NACB,

：,AB=AC,

在△A8￡和△ACO中，

(ZABE=ZACD

]AB=AC,

：,^ABE^AACD(ASA),

:?BE=CD；

選擇條件③的證明為：

,/ZABC=ZACB,

*?AB—ACf

，：FB=FC,

：,NFBC=NFCB,

???ZABC-NFBC=NACB-NFCB,

即ZABE=NACO,

在AABE和△ACO中，

（^ABE=ZACD

\AB=AC,

VAA=44

.*.AABE^AACD（ASA）,

:?BE=CD.

故答案為①人O=AE（②NA8E=NACO或③/B=/C）

20.（10分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)yi=§（ki是常數(shù)，片>0,x>0）與函數(shù)）堂=%”（女2

是常數(shù)，&220）的圖象交于點(diǎn)4,點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)民

（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,2）,

①求A1，&2的值；

②當(dāng)時(shí)，直接寫出X的取值范圍；

（2）若點(diǎn)B在函數(shù)”=§（心是常數(shù)，依羊（））的圖象上，求心+總的值.

【解答】解.：（1）①出題意得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,2）,

???函數(shù)）『?jiǎn)危ㄇ浅?shù)，卜>0,Q0）與函數(shù)”=切（后是常數(shù)，QW0）的圖象交

人

于點(diǎn)A，

???2=牛，2=心，

:?ki=2,42=2；

②由圖象可知，當(dāng)），17）2時(shí)，X的取值范圍是X>1；

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（xo，y），則點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-xo，y）,

,\k]=xo*y,k3=-xo*y?

"1+&3=0.

21.（10分