2024-2025學年湖北省荊楚示范高中聯(lián)盟高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省荊楚優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，充分性成立，反過來，當時，或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.4.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正數(shù)滿足，所以，即，則，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為.故選：B.5.冪函數(shù)都有成立，則下列說法正確的是（）A. B.或C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，因為，都有成立，所以該函數(shù)在是減函數(shù)，所以，故A，B錯誤；，定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)，故D正確，C錯誤.故選：D.6.如今科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，大規(guī)模應用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意，虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領域已出現(xiàn)較為成熟的落地應用.函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的兩種用作神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù)，函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測試得知，則當把變量增加一倍時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，解得：，；；；所以將代入得：.故選：.7.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以，由于圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則，解得：.所以的取值范圍為.故選：A.8.設函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點的橫坐標依次是，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，所以，又，所以，則，所以，因為，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小遺給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數(shù)且的圖象過定點C.方程的根所在區(qū)間為D.若命題“恒成立”為真命題，則“或”【答案】BC【解析】對于A，命題“”的否定形式是“”，故A項錯誤；對于B，當時，，此函數(shù)值與無關，則函數(shù)圖象過定點，故B項正確；對于C，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則由零點存在性定理可知，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一一個零點，即方程的根所在區(qū)間為，故C項正確；對于D項，命題“恒成立”為真命題，得，解得，故D項錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像關于點對稱C.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由圖可知：的最小正周期，當時，，所以；對于A，，正確；對于B，，錯誤；對于C，將向右平移，得到，正確；對于D，的大致圖像如下：欲使得在內(nèi)方程有2個不相等的實數(shù)根，則，正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)，使得，則（）A.的范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：對于A，由圖知，函數(shù)與交于四個交點，則，故A正確；對于B，因為，則，由于，則，所以，則，且，由于，由可得或，所以，又，則，所以，且，所以，則，故B錯誤；對于C，由上分析可得，由，得，則，因函數(shù)在上增函數(shù)，則，則，所以，故C正確；對于D，，設，則，則在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的面積為8，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為__________.【答案】12【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，由于扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則，又因為，即，所以.故其周長.13.在中，，點是上的一點，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】如下圖所示：因為為上的一點，設，即，所以，因，則為線段的中點，則，，因、不共線，故，解得.14.對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)，使當時，的值域也是，則稱函數(shù)為“保值”函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的“等域區(qū)間”.（1）請寫出一個滿足條件的“保值”函數(shù)：______；（2）若函數(shù)是“保值”函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】（1）由題意得方程至少有兩個根，設函數(shù)；（2）因為是增函數(shù)，若是“保值”函數(shù)，則存在實數(shù)，使即，所以是關于的方程的兩個實數(shù)根，從而方程有兩個不相等的實數(shù)根.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當且僅當時，直線與曲線有兩個不同的交點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設是不共線的兩個向量.（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)的值.解：（1）證明：，，又因為與共線，且有公共端點，所以三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，即.由與不共線，可知，解得，所以，即實數(shù)的值為或.16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中.（1）求和實數(shù)的值；（2）若滿足，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，則；因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，則，所以，又因為，所以.（2）由（1）知，由，解得，則的定義域為，因為，所以在上為減函數(shù)，又因為，即，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值和的對稱軸；（2）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若，成立，求的取值范圍.解：（1）由題知，因為的最大值為，所以，可得，所以，由得.所以函數(shù)的對稱軸方程為.（2）因為，令，則，因為的單調(diào)遞減區(qū)間是，由，得，所以在的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）由題意知，由，可得，故當時，函數(shù)取最大值，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在平面直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點和，已知點的坐標為.（1）若，求點的坐標；（2）若將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至第一象限，且為銳角，，求的大小.解：（1）因為點在單位圓上，利用三角函數(shù)的定義，解，由三角函數(shù)定義知，，因為，且，所以，所以，，故.（2）因為，所以，因為，且，所以，因為，，所以，所以，因，且，所以；因為，且，所以.19.設次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式.（1）求切比雪夫多項式；（2）求的值；（3）已知方程在上有三個不同的根，記為，求證：.解：（1）因為，所以，所以，所以.（2）因為，所以，又，所以，所以，即，因為，解得（舍去）.（3）由題意，，法一：設，代入方程得到，解三角方程得，不妨取，，而，綜上.法二：令，即，依據(jù)多項式系數(shù)對應相等得到.綜上.湖北省荊楚優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，充分性成立，反過來，當時，或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.設，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.4.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為正數(shù)滿足，所以，即，則，當且僅當，即時取等號，此時的最小值為.故選：B.5.冪函數(shù)都有成立，則下列說法正確的是（）A. B.或C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，因為，都有成立，所以該函數(shù)在是減函數(shù)，所以，故A，B錯誤；，定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)，故D正確，C錯誤.故選：D.6.如今科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，大規(guī)模應用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意，虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領域已出現(xiàn)較為成熟的落地應用.函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的兩種用作神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù)，函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測試得知，則當把變量增加一倍時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，解得：，；；；所以將代入得：.故選：.7.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，所以，由于圖象在區(qū)間上恰有2個最高點，則，解得：.所以的取值范圍為.故選：A.8.設函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點的橫坐標依次是，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，所以，又，所以，則，所以，因為，解得.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小遺給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數(shù)且的圖象過定點C.方程的根所在區(qū)間為D.若命題“恒成立”為真命題，則“或”【答案】BC【解析】對于A，命題“”的否定形式是“”，故A項錯誤；對于B，當時，，此函數(shù)值與無關，則函數(shù)圖象過定點，故B項正確；對于C，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則由零點存在性定理可知，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一一個零點，即方程的根所在區(qū)間為，故C項正確；對于D項，命題“恒成立”為真命題，得，解得，故D項錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像關于點對稱C.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由圖可知：的最小正周期，當時，，所以；對于A，，正確；對于B，，錯誤；對于C，將向右平移，得到，正確；對于D，的大致圖像如下：欲使得在內(nèi)方程有2個不相等的實數(shù)根，則，正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)，使得，則（）A.的范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：對于A，由圖知，函數(shù)與交于四個交點，則，故A正確；對于B，因為，則，由于，則，所以，則，且，由于，由可得或，所以，又，則，所以，且，所以，則，故B錯誤；對于C，由上分析可得，由，得，則，因函數(shù)在上增函數(shù)，則，則，所以，故C正確；對于D，，設，則，則在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知扇形的面積為8，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為__________.【答案】12【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，由于扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則，又因為，即，所以.故其周長.13.在中，，點是上的一點，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】如下圖所示：因為為上的一點，設，即，所以，因，則為線段的中點，則，，因、不共線，故，解得.14.對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)，使當時，的值域也是，則稱函數(shù)為“保值”函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的“等域區(qū)間”.（1）請寫出一個滿足條件的“保值”函數(shù)：______；（2）若函數(shù)是“保值”函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】（1）由題意得方程至少有兩個根，設函數(shù)；（2）因為是增函數(shù)，若是“保值”函數(shù)，則存在實數(shù)，使即，所以是關于的方程的兩個實數(shù)根，從而方程有兩個不相等的實數(shù)根.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當且僅當時，直線與曲線有兩個不同的交點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故實數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設是不共線的兩個向量.（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)的值.解：（1）證明：，，又因為與共線，且有公共端點，所以三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，即.由與不共線，可知，解得，所以，即實數(shù)的值為或.16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中.（1）求和實數(shù)的值；（2）若滿足，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，則；因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，則，所以，又因為，所以.（2）由（1）知，由，解得，則的定義域為，因為，所以在上為減函數(shù)，又因為，即，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值和的對稱軸；（2）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若，成立，求的取值范圍.解：（1）由題知，因為的最大值為，所以，可得，所以，由得.所以函數(shù)的對稱軸方程為.（2）因為，令，則，因為的單調(diào)遞減區(qū)間是，由，得，所以在的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）由題意知，由，可得，故當時，函數(shù)取最大值，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在平面直角坐標系中，以軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點和，已知點的坐標為.（1）若，求點的坐標；（2）若將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至第一象限，