2024-2025學(xué)年安徽省馬鞍山市高一下學(xué)期階段檢測(cè)A數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)A試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知空間中三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，雖然，但方向不同不滿足向量相等的條件，所以與不相等.對(duì)于選項(xiàng)B，與方向相同，并且由于，所以.對(duì)于選項(xiàng)C：與方向不同，所以與不相等.對(duì)于選項(xiàng)D：與方向不同，所以與不相等.與相等的向量為.故選：B.3.在等邊中，向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等邊中，，而向量與的夾角是將它們的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)后所形成的角，這個(gè)角與互補(bǔ)，所以向量與的夾角為.故選：A.4.已知點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)M是的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心【答案】D【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以所在直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，同理可得分別與邊的中線共線，所以點(diǎn)M是的重心.故選：D.5.已知向量，若與共線，則m＝（）A.－1 B.3 C.1或－3 D.－1或3【答案】D【解析】因?yàn)?，與共線，所以，解得或.故選：D.6.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.8 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以在上的投影向量?故選：C.7.下列說(shuō)法中正確的是（）A.在中，，若，則為銳角三角形B.已知點(diǎn)O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，并且A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的外心C.已知與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，即，所以，所以角為鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以，所以在邊的高線上，不一定經(jīng)過(guò)外心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與共線同向，夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，延長(zhǎng)交于，如圖所示：因?yàn)楣簿€，所以存在實(shí)數(shù)，，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，所以，所以，所以，則，故D正確.故選：D.8.在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若P為的重心，則B.若P為的外心，則C.若P為的垂心，則D.若P為的內(nèi)心，則【答案】C【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，對(duì)于A：若為的重心，則，所以若，則，解得，所以，A不正確；對(duì)于B：若為的外心，其必在直線上，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時(shí)，若，則，解得，所以，C正確；對(duì)于D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，，此時(shí)，若，則，解得，所以，D不正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋圆还簿€，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋怨簿€，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋圆还簿€，故D正確．故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的有（）.A.若，則有兩組解B.在中，已知，則是等邊三角形C.若，則直線AP一定經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形的外心D.若銳角三角形，則，且【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以有兩組解，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由及正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以是等腰三角形，無(wú)法判斷是等邊三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榉謩e表示與同方向的單位向量，所以表示與角平分線共線的向量，所以直線AP一定經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形的內(nèi)心，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，又因，所以，又因?yàn)椋裕蔄項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對(duì)于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以是銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量、滿足，，，則______．【答案】【解析】由，，，得，所以.13.已知，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】或【解析】設(shè)與向量垂直的一個(gè)向量，則，取，得，則與向量共線的單位向量為，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或.14.已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】以為軸，中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由已知有，設(shè)點(diǎn)，則有，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)是不共線的兩個(gè)向量．（1）若，證明：A，B，C三點(diǎn)是否共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．解：（1）證明：由，得，，因此向量與共線，且有公共點(diǎn)，所以，B，C三點(diǎn)共線.（2）由與共線得存在實(shí)數(shù)，使得，即，而向量與不共線，則，解得，，所以實(shí)數(shù)k的值為.16.如圖，在正方形ABCD中，和AC相交于點(diǎn)G，且F為線段AG上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，求的最小值．解：由題可設(shè)，，由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，所以，因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào).故的最小值為．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．且，（1）求A的值；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值；（3）設(shè)內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，求面積的最小值.解：（1）在中，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，而，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為6.（3）由內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，得，即，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以面積的最小值為.18.已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B的大??；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若點(diǎn)M在線段AC上，，求的最小值．解：（1）由，可得，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?（2）由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以外接圓的半徑為.（3）因?yàn)?，，所以，又，故，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．19.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱(chēng)向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，向量的相伴函數(shù)為.若與垂直時(shí)，求與平行的單位向量；（2）設(shè)函數(shù)的相伴特征向量為，函數(shù)的相伴特征向量為，求出的面積；（3）已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，若點(diǎn)G為該的外心，求的最小值.解：（1）依題意，，由與垂直得，，因此與平行的單位向量為，所以與平行的單位向量為或.（2）依題意，，，則，，所以的面積.（3）依題意，在中，由，得，而，則，由正弦定理得的外接圓半徑，由點(diǎn)G為的外心，得，且，，由且，得，，因此當(dāng)，即時(shí)，，所以最小值為.安徽省馬鞍山市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)A試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知空間中三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，雖然，但方向不同不滿足向量相等的條件，所以與不相等.對(duì)于選項(xiàng)B，與方向相同，并且由于，所以.對(duì)于選項(xiàng)C：與方向不同，所以與不相等.對(duì)于選項(xiàng)D：與方向不同，所以與不相等.與相等的向量為.故選：B.3.在等邊中，向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等邊中，，而向量與的夾角是將它們的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)后所形成的角，這個(gè)角與互補(bǔ)，所以向量與的夾角為.故選：A.4.已知點(diǎn)O在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)M是的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心【答案】D【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以所在直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，同理可得分別與邊的中線共線，所以點(diǎn)M是的重心.故選：D.5.已知向量，若與共線，則m＝（）A.－1 B.3 C.1或－3 D.－1或3【答案】D【解析】因?yàn)椋c共線，所以，解得或.故選：D.6.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.8 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以在上的投影向量?故選：C.7.下列說(shuō)法中正確的是（）A.在中，，若，則為銳角三角形B.已知點(diǎn)O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，并且A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的外心C.已知與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，即，所以，所以角為鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以，所以在邊的高線上，不一定經(jīng)過(guò)外心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與共線同向，夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，延長(zhǎng)交于，如圖所示：因?yàn)楣簿€，所以存在實(shí)數(shù)，，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，所以，所以，所以，則，故D正確.故選：D.8.在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若P為的重心，則B.若P為的外心，則C.若P為的垂心，則D.若P為的內(nèi)心，則【答案】C【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，對(duì)于A：若為的重心，則，所以若，則，解得，所以，A不正確；對(duì)于B：若為的外心，其必在直線上，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，則，解得，此時(shí)，若，則，解得，所以，C正確；對(duì)于D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，，此時(shí)，若，則，解得，所以，D不正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋怨簿€，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不共線，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋怨簿€，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以不共線，故D正確．故選：BD.10.下列說(shuō)法中正確的有（）.A.若，則有兩組解B.在中，已知，則是等邊三角形C.若，則直線AP一定經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形的外心D.若銳角三角形，則，且【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以有兩組解，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由及正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以是等腰三角形，無(wú)法判斷是等邊三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榉謩e表示與同方向的單位向量，所以表示與角平分線共線的向量，所以直線AP一定經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形的內(nèi)心，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)?，，所以，即，同理可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，又因，所以，又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對(duì)于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以是銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量、滿足，，，則______．【答案】【解析】由，，，得，所以.13.已知，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】或【解析】設(shè)與向量垂直的一個(gè)向量，則，取，得，則與向量共線的單位向量為，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或.14.已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】以為軸，中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由已知有，設(shè)點(diǎn)，則有，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)是不共線的兩個(gè)向量．（1）若，證明：A，B，C三點(diǎn)是否共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．解：（1）證明：由，得，，因此向量與共線，且有公共點(diǎn)，所以，B，C三點(diǎn)共線.（2）由與共線得存在實(shí)數(shù)，使得，即，而向量與不共線，則，解得，，所以實(shí)數(shù)k的值為.16.如圖，在正方形ABCD中，和AC相交于點(diǎn)G，且F為線段AG上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，求的最小值．解：由題可設(shè)，，由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，所以，因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào).故的最小值為．17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a