河南省豫北名校聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

/河南省豫北名校聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．2．的展開式的第4項(xiàng)為（）A． B． C． D．3．若隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．12 B．10 C．9 D．84．已知圓心在軸上的圓過(guò)點(diǎn)且與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．5．若隨機(jī)變量的所有可能取值為2，4，且，則（）A． B． C．1 D．6．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．37．2025年2月深圳福田區(qū)推出基于DeepSeek開發(fā)的AI數(shù)智員工，并上線福田區(qū)政務(wù)大模型2．0版，該模型能進(jìn)一步驅(qū)動(dòng)政務(wù)效能全面躍升．某地也準(zhǔn)備推出20名AI數(shù)智員工（假定這20名AI數(shù)智員工沒有區(qū)別），分別從事三個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，若每個(gè)項(xiàng)目至少需要5名AI數(shù)智員工，則不同的分配方法種數(shù)為（）A．21 B．18 C．15 D．128．已知盒中裝有9個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，其中有3個(gè)白球，6個(gè)紅球，每次從盒中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，觀察顏色后再放回盒中，直到兩種顏色的球都取到，且取到的一種顏色的球比另一種顏色的球恰好多2個(gè)時(shí)停止取球，則停止取球時(shí)取球的次數(shù)為6的概率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，（與點(diǎn)不重合），則下列結(jié)論正確的是（）A．若點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱，則B．若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則C．若，則D．若，則10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A．一定是偶函數(shù)B．一定有極值C．一定存在遞增區(qū)間D．對(duì)任意確定的，恒存在，使得11．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)，每次向上或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，直至到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．移動(dòng)的方法共有252種B．僅有4次連續(xù)向上移動(dòng)的方法有30種C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的移動(dòng)方法有70種D．若對(duì)任意，從第次到第次的移動(dòng)方向相同，則移動(dòng)的方法有2種三、填空題（本大題共3小題）12．某地高中生的肺活量（單位：mL）服從正態(tài)分布，若該地有12000名高中生，則其中肺活量低于2800mL的高中生的人數(shù)約為．參考數(shù)據(jù)：．13．若函數(shù)的圖象在處的切線與在處的切線互相垂直，則的一個(gè)值為．14．甲、乙、丙三人進(jìn)行籃球傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則第4次傳球傳給乙的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率．(1)求的方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相切，求的方程．16．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．河南省是我國(guó)小麥產(chǎn)量第一大省，約占全國(guó)小麥產(chǎn)量的．小麥品種是在河南省廣泛種植的一個(gè)品種，某科研基地在實(shí)驗(yàn)田種植的品種小麥?zhǔn)斋@時(shí)，隨機(jī)取10個(gè)該小麥的種子樣本，每個(gè)樣本均為1000粒，測(cè)得每個(gè)樣本的質(zhì)量（稱為千粒重，單位：g）分別為40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，記這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．(1)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取3個(gè)，記這3個(gè)數(shù)據(jù)中大于的個(gè)數(shù)為，求的分布列；(2)用這10個(gè)樣本中千粒重大于g的頻率作為每個(gè)樣本千粒重大于g的概率，從品種小麥種子中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本，千粒重大于g的樣本最有可能是幾個(gè)？18．已知數(shù)列滿足，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)判斷是否存在，使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．若函數(shù)在區(qū)間上有意義，且存在，使得對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則稱為上的“拋物線型函數(shù)”，其中為在上的峰值．(1)若函數(shù)，試判斷是否是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”；(2)若是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，求證：是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”，并求在區(qū)間上的峰值．

參考答案1．【答案】C【詳解】由雙曲線即知，則離心率為.故選C.2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選B.3．【答案】B【詳解】根據(jù)分布列中概率之和為1，列方程得：，即，解得.故選B.4．【答案】C【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為：由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選C.5．【答案】A【詳解】由分布列的性質(zhì)可知：，所以，所以，故選A.6．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所?故選D.7．【答案】A【詳解】先每組分5名員工，然后剩余5名分成三組，采用隔板法，五名員工和兩個(gè)隔板，共有七個(gè)位置，所以不同的分配方法種數(shù)為種.故選A.8．【答案】C【詳解】從袋中有放回地取球，每次取到紅球的概率，取到白球的概率是，連續(xù)有放回地取次，相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；根據(jù)題意，知第6次時(shí)首次滿足：兩種顏色都取到；一種比另一種多2.即：前5次不滿足“兩種都取到且差為2”；第6次后滿足“兩種都取到且差為2”.可能的序列：①第6次后4白2紅：前5次3白2紅（差1），第6次白；②第6次后4白2紅：前5次4白1紅（差3），第6次紅；③第6次后2白4紅：前5次2白3紅（差1），第6次紅；④第6次后2白4紅：前5次1白4紅（差3），第6次白.設(shè)所求的概率為,所以.故選C.9．【答案】BC【詳解】對(duì)A，若點(diǎn)，關(guān)于平面對(duì)稱，則，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則，所以，故B正確；對(duì)C，若，則，故C正確；對(duì)D，若，則，所以，兩式相減得，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由得，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以一定是偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒有極值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得或，則在和上單調(diào)遞增，綜上，一定存在遞增區(qū)間，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋缘闹涤蚣丛谏系闹涤?，而在上必有大?的最大值，記該最大值為，則，即對(duì)任意確定的，恒存在，使得，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)A，由題可知，無(wú)論怎樣走，一定移動(dòng)10次，其中5次向上移動(dòng)，5次向右移動(dòng)，故移動(dòng)的方法共有種，故A正確；對(duì)B，僅有4次連續(xù)向上移動(dòng)的方法有種，故B正確；對(duì)C，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則前3次向右移動(dòng)2次向上1次，后7次向右3次向上4次，所以移動(dòng)的方法有種，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題可知，當(dāng)時(shí)，第1,2次的移動(dòng)方向相同，當(dāng)時(shí)，第3,4,5次的移動(dòng)方向相同，當(dāng)時(shí)，第6,7,8,9次的移動(dòng)方向相同，因?yàn)橄蛴?次，向上5次，所以第次的移動(dòng)方向相同，則移動(dòng)的方法有2種，故D正確.故選ABD.12．【答案】300【詳解】因，則，于是得，所以12000名高中生肺活量低于2800mL的高中生的人數(shù)約為.13．【答案】(答案不唯一)【詳解】由，可得，所以在處的切線斜率為，在處的切線斜率為由題意：，可設(shè)，則，解得：，，同時(shí)取，得，所以的一個(gè)值為.14．【答案】/【詳解】前4次傳球接球的情況有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16種，第4次傳球傳給乙的情況有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5種，設(shè)第4次傳球傳給乙的事件為，則.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率，可得，且，解得，所以橢圓的方程為.（2）解：當(dāng)過(guò)的直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，顯然不符合題意，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理得，解得，所以的方程為，即.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面；?）由長(zhǎng)方體可知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

有，，，，，設(shè)，，，，，因?yàn)?，所以，解得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)0123P(2)8【詳解】（1），10個(gè)數(shù)據(jù)中有4個(gè)數(shù)據(jù)大于平均數(shù)，所以從這10個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取3個(gè)，記這3個(gè)數(shù)據(jù)中大于的個(gè)數(shù)為，，，，，，的分布列如下：0123P（2）由題意知每個(gè)樣本千粒重大于g的概率為，從品種小麥種子中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本，千粒重大于g的樣本個(gè)數(shù)記為Y，則Y～，，令，即解得，又，所以，所以從品種小麥種子中隨機(jī)抽取20個(gè)樣本，千粒重大于g的樣本最有可能是8個(gè).18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在【詳解】（1）由條件得，所以，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）知，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，設(shè)，則．（3）由（1）知，所以，假設(shè)存在，使得，，成等差數(shù)列，則，所以，即，即，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得，，成等差數(shù)列.19．【答案】(1)不是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”(2)(3)證明見解析；-2【詳解】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故不是是區(qū)間上的“拋物線型函數(shù)”（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，但區(qū)間為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令得或，若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間