2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題111 與三角形有關(guān)的線段【八大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題11.1與三角形有關(guān)

的線段【八大題型】

【人教版】

【題型?三角形的分類】.......................................................................................I

【題型2判斷三角形的個數(shù)】.................................................................................2

【題型3三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】............................................................................3

【題型4三角形的穩(wěn)定性】....................................................................................4

【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】........................................................6

【題型6三角形的中線與面積何題】.........................................................................6

【題型7三角形的中線與周長何題】.........................................................................7

【題型8證明三角形中線段不等關(guān)系】........................................................................8

洋一叉三

【知識點(diǎn)1三角形的概念】

由不在同一條直線上的三條線段直屬順次相接所組成的圖形叫做三角形.

【知識點(diǎn)2三角形的分類】

三邊都不相等的三角形

按邊分類：三角形|底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形［等邊三角形

直角三角形

按角分類：三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

【題型1三角形的分類】

［例1］（2021秋?漳平市期中）下列說法正確的有（）

①等腰三角形是等邊三角形；

②三角形按邊分可分為等腰三帶形、等邊三角形和不等邊三角形;

③等腰三角形至少有兩邊相等；

④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

A.①②B.①@④C.③④D.①@④

【變式1-1]（2021秋?威縣期末）下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）

甲乙

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲分法正確，乙分法錯誤

C.甲分法錯誤，乙分法正確

D.甲、乙兩種分法均錯誤

【變式1-2]（2021秋?陽新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（）

A.M表示三邊均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形

B.M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，。表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形

D.M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，。表示三邊均不相等的三角形

【變式1-3]（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（）

A.任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形

B.任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形

C.任意一個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形

D.任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個直角三角形

【題型2判斷三角形的個數(shù)】

【例2】（2021?蒙陰縣校級開學(xué)）如圖中三角形的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式2-1]（2022春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以/W為邊的三角形的個數(shù)是（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2-2]（2U21秋?安徽期中）現(xiàn)有若干個二角形，在所右的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳

角，則在這些三角形中銳角三足形的個數(shù)是（）

A.3B.4或5C.6或7D.8

【變式2-3]（2022秋?饒平縣校級期末）觀察圖形規(guī)律:

①②③

（1）圖①中一共有個三角形，圖②中共有個三角形，圖③中共有個三角形.

（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第〃個圖形共有個三角形.

【知識點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系】

三角形兩邊的和玨第三邊，兩邊的差小壬第三邊.

在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段

長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

【題型3三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】

[例3]（2022?平桂區(qū)二模）老師布置了一份家庭作業(yè)：用老師給的三根小木棍做出一個三角形木架，三

根小木棍的長度分別為：5c川、九〃人要求只能對的小木棍進(jìn)行裁剪（裁剪后長度為整數(shù)）.你

認(rèn)為同學(xué)們最多能做出（）個不同的三角形木架.

A.1B.2C.6D.10

【變式3-1]（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，

其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8,且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時

不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）

3

8

4

A.7B.10C.11D.14

【變式3-2]（2022?襄州區(qū)模擬）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9,則滿足上述條件

的三角形個數(shù)為（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【變式3-3]（2021秋?祁陽縣期末）已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4,但它不是最

短邊，這樣的三角形的個數(shù)為（）

A.6個B.8個C.1（）個D.12個

【知識點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性】

當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應(yīng)用在實(shí)際生活中.

【題型4三角形的穩(wěn)定性】

【例4】（2021春?左權(quán)縣月考）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長

的跨海大橋.如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理

是_________

【變式4-1]（2021秋?云夢縣月考）下列生活中的一些事實(shí)運(yùn)用了“三角形穩(wěn)定性”的是（）

愉

【變式4-3]（2021秋?嵐皋縣校級月考）要使如圖所示的六邊形木架不變形，則至少需要釘上木條的根數(shù)

C.3D.4

【知識點(diǎn)5三角形的角平分線、中線和高】

（1）從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的空線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線,有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn),直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn);鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形處二點(diǎn).

【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】

【例5】（2022春?泗縣期中）如圖，在△A8C中，Zl=Z2,G為人。的中點(diǎn)，延長交八。于￡F為

上的一點(diǎn)，于〃.下列判斷正確的有（）

A.A。是△ABE的角平分線B.BE是邊4。上的中線

C.C”為△AC。邊4。上的高D.4"為△ABC的角平分線

【變式5-1]（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，△4BC的角平分線人。與中線BE相交于點(diǎn)O,有下列兩個結(jié)論:

①AO是△A8E的角平分線：②。石是△/1￡＞（7的中線，其中（）

C.①和②都正確D.①和②都不正確

【變式5-2]（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）

A.三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

C.直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)

D.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

【變式5-3]（2021秋?茶陵縣期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（）

①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)

部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn).

A.IB.2C.3D.4

【題型6三角形的中線與面積問題】

【例6】（2022春?廣州期中）如務(wù)，△A8C的面積是24,點(diǎn)。、E、RG分別是灰?、A。、BE、CE的中

點(diǎn)，則AAFG的面積是（）

A

【變式6-1］（2022春?祁江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D,E分別是BC,AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BE

上，J.EF=2BF,若S"b=2c"『，則S"8C=（）

【變式6-2］（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，4。是△ABC的中線，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，連接BE、CE,關(guān)X

ABC的面積是8,則陰影部分的面積為（）

【變式6-3］（2022春?泰興市校級月考）如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點(diǎn)，D、E、尸分別是4G、

BD、CE的中點(diǎn)，S~18C=48,貝US八。"'的值為.

【題型7三角形的中線與周長問題】

【例7】（2021秋?乳山市校級月考）在△人BC中，/B</C,AD為邊的中線，△八8。的周長與△八OC

的周長相差3,A8=8,則4C=.

【變式7-1]（2021秋?澗西區(qū)校級期中）如圖,在△A4C中，AO是邊上的中線，△AQC的周長比4

A3。的周長多2,A8+AC=8,則AC的長為.

【變式7-2]（2021春?芙蓉區(qū)校級月考）ZVIBC中，AC=2BC,8C邊上的中線A。把△ABC的周長分成

40和60兩部分，求BC的長.

【變式7-3]（2022秋?重慶期末）如圖，在三角形A8C中，AB=Kkw,AC=6cm,。是5C的中點(diǎn)，E點(diǎn)、

在邊A8上，三角形笈?！昱c四邊形ACO￡的周長相等.

（1）求線段的長.

（2）若圖中所有線段長度的和是53c7〃，求8c的值.

【題型8證明三角形中線段不等關(guān)系】

[pi]8]（2022春?鼓樓區(qū)期末）如圖，尸為△A8C內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AOPB+PC.

【變式8-1]（2021春?嵩縣期末）如圖所示，。是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BO,請

判斷A3+4C+AC與23。的大小關(guān)系，并說明理由.

【變式8-2]（2022春?臺江區(qū)校級期末）如圖，在△A4C中，己知/BAC=70°,N4BC和NACB的平分

線相交于點(diǎn)D.

（1）求N3OC的度數(shù)；

1

（2）試比較OA+O8+。。與-（AB+8C+4C）的大小，寫出推理過程.

2

【變式8-3]（2021秋?饒平縣校級期中）在銳角三角形A3C中，AB>AC,AM為中線，尸為△AA/C內(nèi)一

點(diǎn)，證明：PB>PC（如圖）.

B.W

專題1L1與三角形有關(guān)的線段【八大題型】

【人教版】

【題型1三角形的分類】...............................................................................1

【題型2判斷三角形的個數(shù)】..........................................................................2

【題型3三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】.....................................................................3

【題型4三角形的穩(wěn)定性】............................................................................4

【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】...................................................6

【題型6三角形的中線與面積同題】...................................................................6

【題型7三角形的中線與周長何題】...................................................................7

【題型8證明三角形中線段不等關(guān)系】.................................................................8

【知識點(diǎn)1三角形的概念】

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

【知識點(diǎn)2三角形的分類】

三邊都不相等的三角形

按邊分類：三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

（直角三角形

按角分類：三角“斜三角形

銳角三角形

鈍角三角形

【題型1三角形的分類】

【例1】（2021秋?漳平市期中）下列說法正確的有（）

①等腰三角形是等邊三角形；

②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；

③等腰三角形至少有兩邊相等；

④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

A.①②B.①@④C.③④D.①?④

【分析】①根據(jù)等腰三角形及等邊三角形的定義進(jìn)行解答即可;

②由三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形

和等邊三角形，可得結(jié)論：

③根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行解答；

④根據(jù)三角形按角分類情況可得答案.

【解答】解：①???有兩個邊相等的三角形叫等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，

???等腰三角形不一定是等邊三角形，

工①錯誤；

②??,三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形

和等邊三角形，

???②錯誤；

③???兩邊相等的三角形稱為等腰三角形，

???③正確；

④???三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，

???④正確.

故選：C.

【變式1-1]（2021秋?威縣期末）下列關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）

甲乙

A.甲、乙兩種分法均正確

B.甲分法正確，乙分法錯誤

C.甲分法錯誤，乙分法正確

D.甲、乙兩種分法均錯誤

【分析】給出知識樹，分析其中的錯誤，這就要求平時學(xué)習(xí)扎實(shí)認(rèn)真，概念掌握的準(zhǔn)確.

【解答】解：甲正確的分類應(yīng)該為乙分法正確;

故選：c.

【變式1-2]（2021秋?陽新縣期末）如圖表示的是三角形的分類，則正確的表示是（)

A.M表示二邊均不相等的二角形，N表示等腰二角形，尸表示等邊二角形

B.M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形

C.M表示等腰三角形，N表示等邊三角形，P表示三邊均不相等的三角形

D.M表示等邊三角形，N表示等腰三角形，P表示三邊均不相等的三角形

【分析】根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案.

【解答】解：三角形根據(jù)邊分類如下：

不等邊三角形

三角形'底和腰不相等的等腰三角形;

等腰三角形

、等邊三角形

故選：B.

【變式1-3]（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（：

A.任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形

B.任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形

C.任意?個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形

D.任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個宜角三角形

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和直角三角形的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：A、任意一個直角三角形被斜邊的中線分割成兩個等腰三角形，說法正確;

B、有的等腰三角形不能分割成兩個等腰三角形，說法錯誤；

C、任意一個直角三角形可以被斜邊的高分割成兩個直角三角形，說法正確；

D、任意一個等腰三角形可以被底邊上的高分割成兩個直角三角形，說法正確；

故選:B.

【題型2判斷三角形的個數(shù)】

【例2】（2021?蒙陰縣校級開學(xué)）如圖中三角形的個數(shù)是（）

【分析】結(jié)合圖形寫出所有的三角形，得到答案.

【解答】解：圖中有△A8E、△ABC、MCE、△BC。、△CEO共5個，

故選：C.

【變式2-1]（2022春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以為邊的三角形的個數(shù)是（）

【分析】根據(jù)三角形的概念、結(jié)合圖形寫出以AB為邊的三角形.

【解答】解：△ABC、△ABE、AABF、ZSAB。四個三角形是以48為邊的三角形，

故選：D.

【變式2-2]（2021秋?安徽期中）現(xiàn)有若干個三角形，在所有的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳

角，則在這些三角形中銳角三帶形的個數(shù)是（）

A.3B.4或5C.6或7D.8

【分析】根據(jù)三角形的定義，先得出三角形的個數(shù).再根據(jù)三角形的分類，得出銳角三角形的個數(shù).

【解答】解：由題意得：若干個三角形，在所有的內(nèi)角中，有5個直角，3個鈍角，25個銳角時，

?,?共有33+3=11個三角形；

又三角形中，最多有一個直角或最多有一個鈍角，顯然11個三角形中，有5個直角三角形和3個鈍角三

角形；

故還有II-5-3=3個銳角三角形.

故選：A.

①③

（I）圖①中一共有個三角形，圖②中共有個三隹形，圖③中共有個三角形.

（2）由以上規(guī)律進(jìn)行猜想，第〃個圖形共有個三角形.

【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個數(shù)即可；

（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可.

【解答】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三

角形.

故答案為：3,6>10；

（2）V1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,

???第〃個圖形共有：1+2+3+…+=（,+1”+2）.

將憑安心5+1）5+2）

故答案為：-----；-----?

【知識點(diǎn)3三角形的三邊關(guān)系】

三角形兩邊的和大王第三邊，兩邊的差小壬第三邊.

在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段

長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

【題型3三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】

[例3]（2022?平桂區(qū)二模）老師布置了一份家庭作業(yè)：用老師給的三根小木棍做出一個三角形木架，三

根小木棍的長度分別為：5cm.9cm.10cw,要求只能對10c機(jī)的小木棍進(jìn)行裁剪（裁剪后長度為整數(shù)）.你

認(rèn)為同學(xué)們最多能做出（）個不同的三角形木架.

A.IB.2C.6D.10

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，判斷即可.

【解答】解：設(shè)從10a〃的小木棍上裁剪的線段長度為xc?小，

則9-5<x<9+5,即4<x<14,

工整數(shù)％的值為5c/n、6cm>7cm、84?小9cm、IOcm,

???同學(xué)們最多能做出6個不同的三角形木架，

故選：C.

【變式3?1】（2022春?秦淮區(qū)期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，

其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8,且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時

不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）

3

8

4

A.7B.10C.11D.14

【分析】分四種情況、根據(jù)三用形的三邊關(guān)系解答即可.

【解答】解：①選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；7-6<8<7+6,能構(gòu)成三角形，此時

兩個螺絲間的最長距離為8；

②選6+4、3、8作為三角形，則三邊長為1（）、3、8；8-3<10<8+3,能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間

的最大距離為10：

③選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為111、4、6；4+6<11,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立：

④選6+8、3、4作為二角形，則二邊長為14、3、4；而3+4V14,不能構(gòu)成二角形，此種情況不成立；

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10,

故選：B.

【變式3-2］（2022?襄州區(qū)模擬）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9,則滿足上述條件

的三角形個數(shù)為（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【分析】首先設(shè)三角形第三邊長為此根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得9-5VXV5+9,解不等式可得x的取

值范圍，再根據(jù)周長是偶數(shù)確定工的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：設(shè)三角形第三邊長為x,由題意得：

9-5VxV5+9,

解得：4<x<14,

???周長是偶數(shù)，

???x=6,8,10,12,共4個.

故選：B.

【變式3?3】（2021秋?祁陽縣期末）已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4,但它不是最

短邊，這樣的三角形的個數(shù)為（）

A.6個B.8個C.10個D.12個

【分析［根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，用窮舉法即可得出答案.

【解答】解：???三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4,但它不是最短邊，

列舉法：當(dāng)4是最大邊時，有(1,4,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,4),(3,4,4).

當(dāng)4是中間的邊時，有(2,4,5),(3,4,5),(3,4,6).共8個，

故選：B.

【知識點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性】

當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主

要應(yīng)用在實(shí)際生活中.

【題型4三角形的穩(wěn)定性】

【例4】(2021春?左權(quán)縣月考)我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長

的跨海大橋.如圖，這是港珠澳大橋中的斜拉索橋，那么你能推斷出斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理

是.

【分析】根據(jù)三角形的三邊一旦確定，則形狀大小完全確定，即三角形的穩(wěn)定性.

【解答】解：可以推斷出斜拉索大橋中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是三角形的穩(wěn)定性.

故答案為：三角形的穩(wěn)定性.

【變式4-1](2021秋?云夢縣月考)下列生活中的一些事實(shí)運(yùn)用了“三角形植定性”的是()

a*?

理

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會

改變.

【解答】解：兒童座架利用三角形的穩(wěn)定性，座架形成三角形不變形，結(jié)實(shí)，故。符合題意;

A、B、O不是三角形，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【變式4-2]（2021秋?龍巖期末）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（）

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可.

【解答】解：A、不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)符合題意；

B、具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不合題意；

D、具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：4.

【變式4-3]（2021秋?嵐泉縣校級月考）要使如圖所示的六邊形木架不變形，則至少需要釘上木條的根數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點(diǎn)作

對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條.

【解答】解：過六邊形的一個頂點(diǎn)作對角線，有6-3=3條對角線，

所以至少要釘.上3根木條.

故選：C.

【知識點(diǎn)5三角形的角平分線、中線和高】

（2）從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的里線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn),直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn);鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形處二點(diǎn).

【題型5三角形的角平分線、中線和高線概念辨析】

【例5】（2022春?泗縣期中）如圖，在△48C中，Z1=Z2,G為AD的中點(diǎn)，延長8G交AC于￡尸為

AB上的一點(diǎn)，CF_LA。于〃.下列判斷正確的有（）

A.A。是△ABE的角平分線B.8E是邊AO」二的中線

C.CH為△ACO邊A。上的高D.AH為aABC的角平分線

【分析】根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進(jìn)行判斷.

連接三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段即為三角形的中線；

三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫三角形的角平分線；

從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高.

【解答】解：A、根據(jù)三角形的角平分線的概念，知4G是△A8E的角平分線，故本選項(xiàng)錯誤;

B、根據(jù)三角形的中線的概念，知4G是△A3。的邊4。上的中線，故本選項(xiàng)錯誤；

C、根據(jù)三角形的高的概念，知?！睘椤鰽CO的邊AO上的高，故本選項(xiàng)正確；

D、根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AO是aABC的角平分線，故本選項(xiàng)錯誤.

故選：C.

【變式5-1］（2021春?鎮(zhèn)江期中）如圖，AABC的角平分線AZ）與中線8E相交于點(diǎn)O,有下列兩個結(jié)論:

①A。是△人8E的角平分線：②。七是△AQC的中線，其中（）

A.只有①正確B.只有②正確

C.①和②都正確D.①和②都不正確

【分析】易得NBAD=NCAD,AE=CE,根據(jù)這兩個條件判斷所給選項(xiàng)是否正確即可.

【解答】解：的角平分線與中線BE相交于點(diǎn)0,

：.ZBAD=ZCADtAE=CE,

①在△A8E中，N/MQ=NCAO,??.A0是△48E的角平分線，故①正確：

②在△ADC中，AE=CE,???0E是△ADC的中線，故②正確；

故選：C.

【變式5-2]（2022春?靜安區(qū)期中）下列判斷錯誤的是（）

A.三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)

B.三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

C.直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)

D.三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)

【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一判斷即可.

【解答】解：A、銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，故本選項(xiàng)說法錯誤，符合題意；

B、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

C、直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)，故木選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

D、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故木選項(xiàng)說法正確，不符合題意.

故選：A.

【變式5-3]（2021秋?茶陵縣期末）下列說法中，正確的個數(shù)是（）

①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)

部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn).

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；

三角形的三條角平分線都在三希形內(nèi)部;

三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上.

【解答】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確：

②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；

③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯誤；

④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點(diǎn)是正確的，三條高線所在的直線一定交于一點(diǎn)，高線

指的是線段，故錯誤.

所以正確的有1個.

故選：4.

【題型6三角形的中線與面積問題】

【例6】（2022春?廣州期中）如紹，△A8C的面積是24,點(diǎn)。、E、F、G分別是BC、AD.BE、CE的中

點(diǎn)，則/G的面積是（）

【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，可得：尸的面積=果44班的面積另'△A3。的面積=黑八48。的

乙aO

面積=3,AAEG的面積=3,做據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得△ER7的面積的面積=3,進(jìn)而

得到/G的面積.

【解答】解：???點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

???4。是△/WC的中線，

/.AABD的面積=Z\AOC的面積=1xXABC的面枳，

同理得：XAEF的面積=1xAABE的面積=1x^ABD的面積=jxAABC的面積=看x24=3,

Z4^oo

△A￡G的面積=3,

XBCE的面積=1x/\ABC的面積=12,

又???尸G是△BCE的中位線,

???AEFG的面積=義叢BCE的面積=ix12=3,

:.XAEG的面積是3X3=9,

故選：A.

【變式6-1]（2022春?祁江區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D,E分別是8C,A。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在8E

上，J.EF=2BF,若ShBCF=Zc〃，,則S.MBC=（）

A.3B.6C.8D.12

【分析】根據(jù)EF=28F,S^BCF=2cm2,求得Swc=3S&8C7=6oR根據(jù)三角形中線把三角形分成兩個

22

面積相等的三角形可得S/.BDE=S.\CDE=^S.\BEC=3（7?7,從而求出S,\AHI）=S1\ACD=2S^BDE=6（7??,再根

據(jù)SMBC=2S/ABD計算即可得解.

2

【解答】解：如圖，?:EF=2BF,S?BCF=2cmf

:.S^BEC=3sABCF=3X2=6（v/r,

???/）是4。的中點(diǎn)，

12

S&BDE=S^CDE=2s△3ET=3c"?，

是A。的中點(diǎn)，

SA48，）=S“CO=2SZ\3DE=6C7，廣，

??S^ABC=2s△AE）=12cur>

???△ABC的面積為12cm2,

故選：D.

【變式6-2]（2021秋?潮安區(qū)期末）如圖，4。是△/18C的中線，點(diǎn)石是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE,若4

4BC的面積是8,則陰影部分的面積為（）

A.4B.2C.6D.8

【分析】根據(jù)A。是△ABC的中線，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，得出三角形EQC的面積+三角形4EB的面積與

三角形ABC的面積的關(guān)系即可.

【解答】解：:人。是△/1BC的中線，

SMBD=S^ACD=±SaA8C，

丁點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，

S.\ABE=S/\BDE=2s△人80,

1

S^EDC=S^CAE=2^/^CD,

，SAA8E=1S/vABC,S&CDE=iSdABC,

SMBE+S^CDE=,S“BC+,S44BC=Ix8=4,

故選：A.

【變式6-3］（2022春?泰興市校級月考）如圖，在△ABC中，G是邊8C上任意一點(diǎn)，/）、E、尸分別是AG、

BD、CE的中點(diǎn)，SA4BC=48,則SaOE尸的值為.

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答.

【解答】解：連接CQ,如圖所示：

???點(diǎn)。是AG的中點(diǎn)，

??S^ABD—2sZiABG，SPAC'D—2sAi4GC,

SMBL)+S^ACD=2s8c=24,

S^BCD=|sMfiC=24,

???點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，

1

.?SACDE=2s△BCD=12,

???點(diǎn)尸是CE的中點(diǎn)，

S&DEF=2s△，￡)￡?=6.

故答案為：6.

【題型7三角形的中線與周長問題】

【例7】（2021秋?乳山市校級月考）在△ABC中，N8VNC,AD為BC邊的中線，△A3。的周長與△ADC

的周長相差3,AB=8,則AC=.

【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得BO=CO,然后求出AABO與△A/X7的周長差，然后代入數(shù)據(jù)計

算即可得解.

【解答】解：如圖：

?「AD為8c邊的中線,

:.BD=CD,

???△A3。與△AQC的周長差為3,A4=8,ZB<ZC,

**?C^ABD-C^ADC=(48+AD+BQ)-(AC+AD+CZ))=AB-AC—8-AC=3,

解得AC=5.

故答案為：5.

【變式7-1](2021秋?澗西區(qū)校級期中)如圖，在△ABC中，4D是8c邊上的中線，△ADC的周長比4

ABD的周長多2,AB+AC=S,則AC的長為.

【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到8。=。。，根據(jù)三角形的周長公式得到AC?AB=2,根據(jù)題意列

出方程組，解方程組得到答案.

【解答】解：???47)是BC邊上的中線，

：.BD=DC,

由題意得，(AC+CO+人。)-(.AB+BD+AD)=2,

整理得，AC-AB=2,

崎腰科

解得，?，

故答案為：5.

【變式7-2](2021春?芙蓉區(qū)校級月考)△ABC中，AC=2BC,8c邊上的中線4。把△A8C的周長分成

40和60兩部分，求BC的長.

【分析】先根據(jù)A。是BC邊上的中線得出8O=CD,設(shè)BO=CQ=x,AB=y,AC=4x,再分△ACO

的周長是60與AABD的周長是60兩種情況進(jìn)行討論即可.

【解答】解：:人。是邊上的中線，AC=2BC,

:?BD=CD,

設(shè)4Q=CQ=x,AB=y,則AC=4x,

分為兩種情況：①4C+CQ=60,48+80=40,

則4x+x=60,x+y=40,

解得：X=12,y=28,

卻4c=2x=24,A3=28,AC=4x=48,

?；4C+A4=24+28=52>AC,

???此時符合三角形三邊關(guān)系定理；

@AC+CD=40,AB+BQ=60,

則4x+x=40,x+v=60,

解得：x=8,y=52,

即AC=4x=32,A8=52,BC=2x=l6,

???AC+8C=32+16=48VA/3,

???此時不符合三角形三邊關(guān)系定理：

綜合上述：BC=24.

【變式7-3］（2022秋?重慶期末）如圖，在二角形A8C中，AB=10cm,AC=6cm,。是。。的中點(diǎn)，￡點(diǎn)

在邊48上，三角形BOE與四邊形ACQE的周長相等.

（1）求線段4E的長.

（2）若圖中所有線段長度的和是53c加，求的值.

【分析】（1）設(shè)AE=w,根據(jù)三角形8DE與四邊形ACOE的周長相等列方程，解方程即可;

（2）找出圖中所有的線段，再根據(jù)所有線段長度的和是53刖，求出28C+OE,得到答案.

【解答】解：（1）???三角形6QE與四邊形ACOE的周長相等，

；?BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE,

*/BD=DC,

：J3E=AE+AC,

設(shè)AE=xcm,則BE=（1（）-x）ent,

由題意得，10-x=x+6.

解得,x=2,

.\AE=2c/th

(2)圖中共有8條線段,

它們的和為：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC=2AB+AC+2BC+DE,

由題意得，2A8+AC+28C+OE=53,

：.2BC+DE=53-(2A8+AC)=53-(2X10+6)=27,

i27

；?BC+沙￡二號(cm).

【題型8證明三角形中線段不等關(guān)系】

【例8】(2022春?鼓樓區(qū)期末)如圖，。為△A3C內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AOPB+PC.

【分析】首先延長BP交AC于點(diǎn)。，再在△48。中可得PB^PD<AB+AD,在中，PCVPD+CD

然后把兩個不等式相加整理后可得結(jié)論.

【解答】證明：延長BP交AC于點(diǎn)D,

在中，PB+PD<AB+AD?

在△PCO中，PCVPD+CD②

①+②得PR+PD+PC<AR+AD-￥PD+CD,

即PB+PC<AB+AC,

即：AB+AOPB+PC.

【變式8-1](2021春?嵩縣期末)如圖所示，。是△4BC的邊AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連結(jié)4Q,請

判斷A8+8C+4C與28。的大小關(guān)系，并說明理由.

D

---------------

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解.

【解答】解：AB+BC+AO2BD.理由如下：

在△人8。中，AB+AD>BD,

在△4CO中，BC+CD>BD,

：.AB+AD+BC+CD>2BD,

即AB+BC+AO2BD.

【變式8-2］（2022春?臺江區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，已知NBAC=70°,/ABC和/AC8的平分

線相交于點(diǎn)D.

（1）求/BDC的度數(shù)；

（2）試比較D4+DB+DC與三（AB+8C+4C）的大小，寫出推理過程.

【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出/A8C+NACB=110°,再由角平分線的定義求出NCBD+N

BCO=55°,然后由三角形內(nèi)用和定理即可得出答案；

（2）由三角形的三邊關(guān)系得：QA+QB>A8,OB+OC>BC,O/UQC>AC,則2（DA+DB+DC）>AB+BC+AC,

卻可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）???/BAC=70°,

AZABC+ZACB=180°-70°=110°,

：NA8C和ZACB的平分線相交于點(diǎn)D,

???ZABD=ZCBD=|ZABC,ZACD=ZBCD=^ZACB,

：./CBD+/BCD=|（/ABC-/ACB）=1xll0°=55。.

AZBDC=1800-QCBD+NBCD)=180°-55°=125°；

(2)DA+DB+DC>^(AB+BC+AC),理由如下：

在△A8。中，由三角形的三邊關(guān)系得：D4+Q8>AB①，

同理：DB+DOBC?,DA+DOAC?,

①+②+③得：2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC,

：.DA+DB+DC>^(48+8C+4C).

【變式8-3](2021秋?饒平縣校級期中)在銳角三角形ABC中，AB>AC,/1M為中線，P為△八MC內(nèi)一

點(diǎn)，證明：PB>PC(如圖).

【分析】在AAMB與△4MC中，AM是公共邊，BM=M。，且4B>AC,根據(jù)在兩邊對應(yīng)相等的兩個三

角形中，第三邊大的，所對的角也大，得出/AM8>NAMC.而/4M8+NAMC=180°,則NAMCV

90°.由于夕為銳角△AMC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P作P"_LBC,垂足為“，則〃必定在線段AM的延長線上.

【解答】證明：在△4W8與△AMC中，AM是公共邊，且48>AC,

/.ZAMB->ZAMC,

AZAA/C<90°.

過點(diǎn)。作尸H_L8C,垂足為H,則，必定在線段8M的延長線上.

如果H在線段MC內(nèi)部，則BH>BM=MC>HC.

所以P8>PC.

BMH

專題11.2三角形內(nèi)角和定理