2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第1講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法配套課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第1講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)潔表示法配套課時(shí)作業(yè)1．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…，則2eq\r(5)是該數(shù)列的()A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第7項(xiàng) D．第8項(xiàng)答案C解析由數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，…的前三項(xiàng)eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\r(2＋3n－1)＝eq\r(3n－1)，由eq\r(3n－1)＝2eq\r(5)，可得n＝7.故選C.2．(2024·上饒模擬)已知數(shù)列{an}滿意an＋1＋an＝n，若a1＝2，則a4－a2＝()A．4 B．3C．2 D．1答案D解析由an＋1＋an＝n，得an＋2＋an＋1＝n＋1，兩式相減得an＋2－an＝1，令n＝2，得a4－a2＝1.故選D.3．已知數(shù)列{an}對(duì)于隨意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，則a36＝()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．1 D．4答案D解析因?yàn)閍p＋q＝ap＋aq，所以a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4.4．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，則a10＝()A．64 B．32C．16 D．8答案B解析∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，兩式相除得eq\f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.則eq\f(a10,a8)·eq\f(a8,a6)·eq\f(a6,a4)·eq\f(a4,a2)＝24，即a10＝25＝32.故選B.5．(2024·黑龍江模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an＝()A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2n－2答案A解析因?yàn)镾n＝2an－4，所以n≥2時(shí)，有Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即eq\f(an,an－1)＝2(n≥2)．因?yàn)镾1＝a1＝2a1－4，所以a1＝4，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.6．(2024·濟(jì)寧模擬)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，則eq\f(1,a5)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(1,30) D.30答案D解析∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,nn＋1)，∴eq\f(1,a5)＝5×(5＋1)＝30.故選D.7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)答案D解析因?yàn)閍n＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對(duì)隨意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對(duì)隨意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故選D.8．(2024·山西太原模擬)把1,3,6,10,15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的圓點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示)．則第7個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30答案B解析視察三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律，可以發(fā)覺(jué)每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是該項(xiàng)的序號(hào)，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以依據(jù)這一個(gè)規(guī)律計(jì)算可知，第7個(gè)三角形數(shù)是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故選B.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()A.2n－1 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1 D.eq\f(1,2n－1)答案B解析由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(3,2)，而S1＝a1＝1，所以Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A．這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為eq\f(27,31)B．eq\f(98,101)是該數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內(nèi)D．?dāng)?shù)列{an}是遞減數(shù)列答案C解析an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得a10＝eq\f(28,31)，故A不正確．令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300，此方程無(wú)正整數(shù)解，故eq\f(98,101)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．因?yàn)閍n＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，且n∈N*，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以eq\f(1,4)≤an＜1，所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))內(nèi)，故C正確，D不正確．選C.11．若數(shù)列{an}滿意eq\f(1,2)≤eq\f(an＋1,an)≤2(n∈N*)，則稱{an}是“緊密數(shù)列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是“緊密數(shù)列”，且a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝x，a4＝4，則x的取值范圍為()A．[1,3) B．[1,3]C．[2,3] D．[2,3)答案C解析依題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤\f(x,\f(3,2))≤2，,\f(1,2)≤\f(4,x)≤2，))解得2≤x≤3，故x的取值范圍為[2,3]．12．(2024·天津模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝1，(n＋2)·aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，n∈N*，則它的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f(2,n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2) D．a(chǎn)n＝n答案B解析由(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，得(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)))2＋eq\f(an＋1,an)－(n＋1)＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an＋1,an)＋1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋2·\f(an＋1,an)－n＋1))＝0，因?yàn)閧an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以eq\f(an＋1,an)＋1>0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，則an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1).故選B.13．設(shè)數(shù)列{an}滿意a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．答案eq\f(20,11)解析由題意可知，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，則eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前10項(xiàng)的和為eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a10)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意log2(Sn＋1)＝n＋1(n∈N*)，則an＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2nn≥2))解析由已知可得Sn＋1＝2n＋1，則Sn＝2n＋1－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，因?yàn)閚＝1時(shí)不滿意an＝2n，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2nn≥2.))15．已知數(shù)列{an}滿意2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，則{an}的通項(xiàng)公式是________．答案an＝eq\f(3,4)·2n解析因?yàn)閿?shù)列{an}滿意2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝4－1，解得a1＝eq\f(3,2)；當(dāng)n≥2時(shí)，構(gòu)造2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝4n－1－1，與題目條件中的等式相減，得到2nan＝4n－4n－1，整理得an＝eq\f(3,4)·2n，該表達(dá)式對(duì)n＝1也成立，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3,4)·2n.16．已知數(shù)列{an}滿意an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－a))n＋2n>8，,an－7n≤8，))若對(duì)于隨意的n∈N*都有an>an＋1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\f(1,2)<a<1解析∵對(duì)于隨意的n∈N*都有an>an＋1，∴數(shù)列{an}單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－a<0，,0<a<1，))即eq\f(1,3)<a<1.又由題意知a9<a8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－a))×9＋2<a8－7，解得a>eq\f(1,2)，故eq\f(1,2)<a<1.17．(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特模擬)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿意a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．解(1)因?yàn)閍eq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，所以當(dāng)n＝1時(shí)，aeq\o\al(2,1)－(2a2－