重慶市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上.

2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、單項(xiàng)選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知向量1=（2,3），B=（x，4）,若日上（@一石），則實(shí)數(shù)x=（）

1188

A.--B.—C.—D.一

2233

【答案】B

【解析】

【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式計(jì)算得解.

【詳解】向量萬=（2,3）3=（片4）,則/=13，a-b=2x+12>

由-B），得=—￡啰=13—（2元+12）=1—2x=0'

所以x=工.

2

故選：B

2.下列是函數(shù)/（x）=tan［2x-：］的對(duì)稱中心的是（）

A.C.（0,0）

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函數(shù)的對(duì)稱中心，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】由2x—二=eZ可得，%=-+—,^eZ,

4284

所以，函數(shù)/（x）=tan|2x-；］的對(duì)稱中心的是3,kwZ.

,71kit713

對(duì)于A項(xiàng)，由--1--=--,可得左=——eZ,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

8442

t7Ckit7C

對(duì)于B項(xiàng)，由一+—=一，可得左=-^Z,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

8442

也

兀

由+

對(duì)于C項(xiàng),8-4一=0,可得％=—故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

E

兀

由+71

對(duì)于D項(xiàng),8-4一=—8,可得左=0eZ,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

1r

3.已知°,B是兩個(gè)單位向量，若向量a在向量B上投影向量為5匕，則向量B與向量■的夾角為

（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量可得數(shù)量積，結(jié)合夾角公式可得答案.

1ra-b1~T1

【詳解】因?yàn)橄蛄俊暝谙蛄緽上的投影向量為:7匕，所以可=不即Q,。=—;

2\b\2

5?（萬一5）=g—]=_g,卜_q二42+52_26?5=]；

b\a-byi

設(shè)向量1與向量2―5的夾角為。，則COS8=E——=,

因?yàn)?e[0,7i],所以夕=120°；

故選：D.

7T

4.在VA3C中，A=—,BC=2,若滿足上述條件的VA3C恰有一解，則邊長(zhǎng)AC的取值范圍是（

6

A.（0,2）B.（0,2]C.（0,2）U{4}D.（0,2]U{4}

【答案】D

【解析】

【分析】由題意CBLA5,或ACW6C,進(jìn)而可得.

【詳解】若滿足條件的VA3C恰有一解，如圖

則或ACW5C,

—BC2

—........=-------=4A

當(dāng)CBLAB時(shí)，sinA.兀，

sin—

6

當(dāng)ACW5C時(shí)，ACe（0,2],

所以AC的取值范圍是（0,2]u{4}.

故選：D

5.在藝術(shù)、建筑設(shè)計(jì)中，把短對(duì)角線與長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)度之比為亞-1的菱形稱為“白銀菱形”.如圖，在白銀

菱形ABC。中，若罰.通=丸/2，則九=（）

&372-2R3-2V2「V2-1口2-72

2222

【答案】C

【解析】

【分析】由汨?通=（物-函）?（加-西）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；

【詳解】解：設(shè)。是AC與8。的交點(diǎn)，則竺=膽=拒—1,

OAAC

貝|J礪.通=（赤-西）.（麗-利

=（-OB-O^\OB-OA^

——>2——>2

=OA-OB

=CM2-（V2-1）2OA2

=2（V2-1）（|AC）2=^|^AC2-

所以4=1二1.

2

故選：c

6.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為,3(tzcos5+Z?cosA)=5ccosA,

sinB+sinC=勺g，則與=()

5a2

8553

A.-B.-c.1D.-

5985

【答案】C

【解析】

34廠

【分析】根據(jù)邊角互化以及和差角公式可得cosA=y,進(jìn)而可得sinA=g,故b+c=6a，結(jié)合余弦定

理即可求解.

【詳解】由3(QCOS8+Z?cosA)=5ccosA可得

3(sinAcosB+cosBcosA)=5sinCcosAn3sin(A+5)=5sinCcosA,

3

故3sinC=5sinCeosA/:sinC0,/.cosA=—,

4

?.?AesinA=—,

由sinB+sinC=~~~~=百sinA可得b+c=6a,

則。2+匕+2丘=3,

a

1人-C?+—/32226bc

由余弦定理可rZF得IcosA=-------------=—,故。+b7-a------,

2bc55

,,a2++2bcbe5

故5_?，則==￡，

2一J〃8

a

故選：c

7.已知點(diǎn)。是ABC的內(nèi)心，若Z0=4通則cosNBAC=()

99

1111

A.-B.-C.一D.-

5689

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)法瓦般=4而，則四邊形A0OE為菱形，設(shè)該菱形的邊長(zhǎng)為。，則

99

9

AB=-a,AC=9a,表示出內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)等積法可以求出5C的長(zhǎng)，然后轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理

4

即可

—?4—?1—>—?4—?—?1—?

【詳解】解：由A0=—A3+—AC,設(shè)AD=—A3,AE=—AC,則四邊形ADQE為平行四邊形，

9999

因?yàn)辄c(diǎn)。是ABC的內(nèi)心，所以NQ4O=NQ4E,

9

所以四邊形AZJOE為菱形，設(shè)該菱形的邊長(zhǎng)為。，則AB=—a,AC=9a,

4

因?yàn)镺D〃AC,ZBDO=ZBAC,

所以VABC的內(nèi)切圓半徑r=asin4AC,

所以ACsinN3AC=；(AB+AC+3C)r,

9a9a

所以一x9a?sinN5AC=(—+9a+BC)asinNBAC,解得3c=9a,

44

所以VA3C為等腰三角形，

19

-AB—x—ci

所以cos/BAC=2_241,

AC9a8

故選：C

8.已知四邊形ABC。滿足N&4T>+N5CD=7t,且其外接圓半徑為之，四邊形ABC。的周長(zhǎng)記為L(zhǎng)若

2

△ABD的面積5=也二^”對(duì)匚，則當(dāng)L取最大值時(shí)，四邊形ABC。的面積為（）

2

A.10B.1510小D.20A/3

【答案】A

【解析】

【分析】利用面積可求sinA,利用余弦定理結(jié)合不等式可求周長(zhǎng)最大時(shí)四邊形ABC。的面積.

［詳解］因?yàn)镾=8ZA(40-43)-

2

BD?-m-AB?+2AD?AB

所以sinA=

22

由余弦定理BD2=AD2+AB2-2ADABcosA，代入上式可得sinA=2(1-cosA),

/兀134

不妨設(shè)Aw0,$，則由sir?A+cos2A=1可得cosA=1或cosA=l(舍)，所以sinA=￡,

BD5

在Z\ABD中，由----=2x—可得BD=4；

sinA2

由=4)2+鉆2_2AQ.鉆cosA可得AT>2+.2_gA。.A3=16,

所以16=A￡>2+AB——即AZZABW20,當(dāng)且僅當(dāng)A。=A3=2逐時(shí)，取等號(hào).

又(AD+AB)2=AD2+AB2+2ADAB=16+/ADAB<80,所以AD+AB<46.

同理可求CD+C3<2火，當(dāng)且僅當(dāng)CD=C5=時(shí)，取等號(hào).

所以當(dāng)L取最大值時(shí)，四邊形ABCD的面積為S=-ADABsinA+-CDCBsinC=10.

22

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題.本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足：2(l+i)=6i5,貝|()

A.|z|=3V2B.N的虛部是3

C.z—~z=6iD.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【答案】AC

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證可得答案.

【詳解】因?yàn)閦(l+i)=6i5,所以7=二=「IQ：。=3+3i,

|z|=V32+32=3y/2，故A正確；

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,3)位于第一象限，故D錯(cuò)誤；

z=3-3i，其虛部為—3,故B錯(cuò)誤；

z-z=(3+3i)-(3-3i)=6i,故C正確.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/(x)=sinG%-石cos。8a?Q,則下列結(jié)論中正確的是()

A.若。=2,則將/(尤)的圖象向左平移上個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6

B.若|/(王)一/(%)|=4,且打一司的最小值為'，貝1M=2

C.若/(%)在［0,上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為(0,3］

D.若/(%)在［0,捫有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

【答案】ABD

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)/(%)的解析式；由三角函數(shù)的圖像變換判斷選項(xiàng)A；由/(%)—/(々)|=4,可得苞,々

jrjr1

是函數(shù)/(九)的最大、小值點(diǎn)，從而可判斷B；由/(力在0,-上單調(diào)遞增，則—4―T,可判斷選項(xiàng)

_3_32

C；設(shè)。=0X—三，即y=2sin/在re-5,刃"—g僅有3個(gè)零點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】函數(shù)/(x)=sina)x-\/3cos=2sin

選項(xiàng)A：若啰=2,f(x)=2sinf2x-|L將/(%)的圖像向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)y=sin2x的

圖像，所以A正確；

選項(xiàng)B：若，(％)—/(%)|=4,則用,々是函數(shù)/(X)的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)，若上—々|的最小值為

一,則最小正周期是乃，所以。=2,B正確；

2

JT'Trqr、

選項(xiàng)C：若/(x)在0,-上單調(diào)遞增，則0〃一一＜-,所以0＜。＜一，C錯(cuò)誤；

'，3」322

71幾

選項(xiàng)D:—COX---,當(dāng)［0,句時(shí)，t=(DX----￡---,(D7t---

33L33」

-rrjr

若/(%)在［0,1］僅有3個(gè)零點(diǎn)，即y=2sin/在/e--,a)7v--僅有3個(gè)零點(diǎn)

則2乃《0乃一工＜3乃，所以工〈0〈竺，D正確，

333

故選：ABD.

11.已知平面向量萬萬滿足同=2,同=1,〃,一45),則下列說法正確的是()

A.g-/［feR)的最小值為6

22

B.若￡-+g=l,則降+回的最大值為不

C.若向量工滿足入扇5—25=30°，則同的最大值是26+2

D,若向量2滿足不一］忑一2：=30。,則同的最小值是2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量垂直的數(shù)量積表示得出二方=1，然后把向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算后，分別利用二次

函數(shù)知識(shí)，基本不等式可得選項(xiàng)AB中最值，從而判斷AB,利用平面向量的幾何意義，由圓的性質(zhì)可得

C點(diǎn)軌跡是圖中兩段優(yōu)弧，再由圓的性質(zhì)可得所求距離的最值，判斷CD.

【詳解】選項(xiàng)A,因a±(a—4b),所以〃.(〃—4石)=〃-4aZ=4—4〃?石=0,〃?B=1,

|a—=J(〃-仍＜=yja—2ta^b+t2b=,4-2/+1—I)2+3,

所以才=1時(shí)，忖一回取得最小值5A正確；

22

選項(xiàng)B,---=1=>5加2+2/=10,

25

\ma+nt^=yj(ma+nb)2=ym2c^+2mna-b+n1b^=，4療+2mn+n1

<^4-m2+(m2+n2)+n2=^5m2+2n2=\/10，

當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=土蟲0時(shí)等號(hào)成立，B錯(cuò)；

7

選項(xiàng)CD,("—￡,2—23)=30。，

a-b=2xlxcos(^a,b^=l,cos(a,B)=；,又0。?°,石)V180。，所以(a,B)=60°,

作示=>QE=2b>ZEOA=60°,OE=OA=2,以。為圓心，Q4為半徑作圓，如圖,

當(dāng)C是圓0的優(yōu)弧A0E上點(diǎn)時(shí)，即工=西1時(shí)，滿足標(biāo)―—2弓=30°,

再作。點(diǎn)關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)"，以"為圓心，HA為半徑作圓，

當(dāng)C是圓”的優(yōu)弧AC?E上點(diǎn)時(shí)，即工=㈣時(shí)，也滿足《一點(diǎn)"—2弓=30°,

當(dāng)C不是這兩段優(yōu)弧上的點(diǎn)時(shí)，都不滿足NACE=30°,即不滿足（工一￡,"-25）=30°,

△Q4E是等邊三角形，因此|O//|=26,兩圓半徑都是2,

由圖可知10cl即，的最小值是2,最大值是26+2,CD都正確，

故選：ACD.

三、填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知2i—3是關(guān)于x的方程2%2+〃*+4=0（0，4€1i）的一個(gè)根，則。+4=.

【答案】38

【解析】

【分析】代入方程結(jié)合復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算法則待定系數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】將x=2i—3代入方程2f+0x+q=。

得2（2i_3）2+p（2i_3）+q=（2p_24）i+10_3p+q=O,

2/7-24=0\p=n

所以〃+9=38.

]0—3p+q=0q-26

故答案為：38

13已知向量M=(1,一2)與6=(sina一2f,2sin(a+三))共線，則sin(2a-6)=.

【答案】一g

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線可得-2sina-￥^j=2sin(a+1),即可利用和差角公式以及輔助角公式得

|=sina+巳，由誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式即可求.

【詳解】由向量M=(1,-2)與5=(sina—羊,2sin(?+1))共線可得

z

_..7C、

-2sin?-=2sin（cr+—）,

兀

故-2sina+=sintz+百cosa>貝!J=2gsin|a+—

336

故|=s】n卜+71"，

6

則sin(2a--1^)=sin(2tz+-cos(2tz+:)=2sin2^tz+-^-j-l=2x—-1=-—,

故答案為：—

9

14.己知函數(shù)/(xXsin?！狢OS4X(0<X<2TT),則關(guān)于x的方程：/(/(x))+(7(x)—講=0的實(shí)根個(gè)

數(shù)為.

【答案】8

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)/(X),再設(shè)/(1)=/,將問題轉(zhuǎn)化為/")和y=—?-1)2的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到

其交點(diǎn)的范圍，再次數(shù)形結(jié)合即可得解.

［詳解］因?yàn)?(%)=sin4x-cos4x=(sin*2x+cos2%^sin2x-cos2x)

=sin2x-cos2x=-cos2x(0<%<2兀)，

令"%)=/,則/(/(x))+(/(x)—1『=0換元整理為/(/)=—(/—I)2,

作出圖像/⑺和y=—?—爐在1』上的大致圖象，

由圖可知兩函數(shù)在定義域內(nèi)有兩交點(diǎn)，

一,

iA(M)2

即方程/?)=—?—1)2在定義域內(nèi)有2個(gè)實(shí)根分別為4=0,r2=%oe(O,l),

再作出y=/(x)的圖像，用y=o和y=x0與之相交，共有8個(gè)實(shí)根.

故答案為：8

四、解答題.本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

15.己知偶函數(shù)/(x)=2sin(2(yx+。)，(。>0,。w(0,兀))，且函數(shù)/(x)的最小正周期為兀.

(1)求。與0的值；

(2)若g(x)=/(%)+2sin2%,求g(x)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.

7T

【答案】(1)(p=-~,CD=1

2

jr1(711\

(2)對(duì)稱軸方程為x=—+—E,左eZ,對(duì)稱中心為|—+—E,0|,左eZ,

82I82)

【解析】

7T

【分析】(1)根據(jù)周期公式即可求解①=1,根據(jù)偶函數(shù)即可求解°=5,

(2)由輔助角公式化簡(jiǎn)，即可利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【小問1詳解】

根據(jù)周期可得2。="，故0=1,

兀

由于/（%）為偶函數(shù),且℃（0,兀），夕=]

【小問2詳解】

7T

由(1)矢口/(%)=2sin(2x+5)=2cos2%，

g(%)-/(x)+2sin2x=2cos2x+2sin2x=2A/2sinf2x+j,

717r7E1JT|

令2%+—=—+防c,左EZ,得％=—+—既,左￡2,故對(duì)稱軸方程為x=—+—kn,keZ,

428282

令2%+烏=也,左wZ,得冗=--+—kn,keZ,故對(duì)稱中心為(一三71+,1左兀,。］/eZ,

48218822)

16.已知如圖在邊長(zhǎng)為8的正三角形48c中，。為的中點(diǎn)，E為3。的中點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P為VABC的重心，且有/=加通+〃正，求相和力的值;

（2）若點(diǎn)。在以點(diǎn)E為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，且有豆=》而+丁近，求尤+y的取值范圍.

【答案】(1)m=n=-

3

⑵卜哈Y

【解析】

【分析】（1）利用重心的性質(zhì)，結(jié)合基底表示可得答案;

（2）建立坐標(biāo)系，利用三角換元可求答案.

【小問1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)尸為VABC的重心，所以通=|而=g（詬+*）=加而+〃才至,

所以加=〃=1.

3

【小問2詳解】

以。為原點(diǎn)，所在直線分別為無,V軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖,

則3（4,0）,C（—4,0）川0,4碼,磯2,0）,由題意點(diǎn)0所在圓的方程為（x—2）2+寸=1,

設(shè)Q（2+cos仇sin0）,貝ij通=（4,—46）,AC=（-4,-473）,&=（2+cos&sin8—46卜

因?yàn)锳Q=xAB+yAC,所以一-4百y=sin6—4g,即x+y=1一：后,

由sin0￡[—l,l],可得%+yw

17.已知幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心

恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在VA3C中，內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,現(xiàn)以

A&3C,AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為,02,。3,且acos(3—C)=cosA

(2封sinC-a).

(1)求A；

⑵若a=5AaQa的面積為遞，求VA3C的周長(zhǎng).

jr

【答案】（1）A=-

3

⑵3+A/3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和差的余弦公式得到2asin_BsinC=2J仍sinCcosA，利用正弦定理

將邊化角，即可得解；

（2）連接AQ,A03,由正弦定理可得A。1=#C，AQ=￥。，根據(jù)等邊AOiQa的面積得到

7

2

QO3=J,在AOIAQ和VA3C中分別利用余弦定理，可得到A、尸+°2的值，從而求出A+C,即

可得到VA3C的周長(zhǎng).

【小問1詳解】

Vacos（B-C）=cosA（2y/3bsinC-aj,acos（3-C）+acosA=2石Z?sinCcosA,

???』—（5+C）,acos^B-C^-acos^B+C^lyfibsinCcosA,

a（cosBcosC+sinBsinC）-（cosBcosC-sinBsinC）=2AsinCcosA,

2asinBsinC=2^Z7sinCcosA，2sinAsinBsinC=2A/3sinBsinCcosA，

B,Ce（0,7i）,:.sin3w0,sinCw0,

***sinA=A/3COSA，故tanA=百，

AG（0,7i）,A=j.

如圖，連接AO-AO.,由正弦定理得，—T=2A°I,

sin—sin一

33

AOi=旦，AO.=—b.

333

?.?等邊AaQQ的面積S=g?QQ2?sin1=

IT

:等邊三角形的外心也是等邊三角形的內(nèi)心，ZOtAB=ZO3AC=-

兀271

VZBAC=-f：.ZQAO3=y,

2

在△O1AO3中，由余弦定理得，=AO^+AO3—2AO1-AO3-cosAO{AO3,

工上+《—2.如即Z?2+0?+be=7，

3333

在VABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos^,即/+02—人。=3,

bc=2,b~+c~—5^故+2/?c=3，

；.VABC的周長(zhǎng)為3+百.

18.銳角VA3C面積為S,角AB,C的對(duì)邊分別為。，4c,且32-4/詁5=25.

(1)求證：B=2A；

7

(2)若b+c=—。，求cosA的值；

2

13

(3)求°+彳。的最小值.

acosA

【答案】(1)證明見解析

(3)6

【解析】

【分析】(1)利用三角形面積公式得到匕2-1=ac，根據(jù)余弦定理表示cos3和cos2A,即可證明結(jié)論.

(2)利用二倍角公式及和角公式表示sinB和sinC,結(jié)合正弦定理邊化角可得結(jié)果.

(3)根據(jù)正弦定理及(2)中關(guān)系式可得c=a(4cos2A-l),結(jié)合基本不等式可得最小值.

【小問1詳解】

2222

*.*(/?-a)sinB=2S,S=—acsinBf(/;-a)sinB=acsinB,

f??sin5w0,??Z??—a2—etc，

-+6ZCC+U八~f-ClCC-U

由余弦定理得，4cosA二----------二-------二-----，cos3=---------------=---------=------

2bc2bc2b2aclac2a

c+〃2c?+2ac+a?1c?+2ac+a2

cos2A=2cos2A-l=2-1一1=—1=￡Z￡=COS5,

2b22(a2+ac)2a

為銳角三角形，...Be0,g,2Ae(O,7r),

，5=2A.

【小問2詳解】

*.*B=2A^sinB=2sinAcosA,

sinC=sin(A+J8)=sin(A+2A)=sinAcos2A+cosAsin2A=sinA(4cos2A-l\.

,77

Vb+c=—a,sinB+sinC=—sinA,

22

2sinAcosA+sinA(^4cos2A-l)=：sinA,

3嗚,sinAw0,

2cosA+4cos2A-l=—,解得cosA二一1？

24

j+M

由得，cosA=

4

【小問3詳解】

aasinC

由正弦定理得,一,c=-；-----

sinAsinCsinA

由(2)得，sinC=sinA(4cos?A-1),且sinAw0,

2A-1),

13/2-13,____________

.c+JTa4cosA-1+—9Ig-

,,—=-----------------=4cosA+--—>2J4cosA?---=6'

acosAcosA4cosA\4cosA

93

當(dāng)且僅當(dāng)4cosA=--------，即cosA=—時(shí)等號(hào)成立,

4cosA---------------4

13

???的最小值為6.

acosA

19.17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出這樣一個(gè)問題：怎樣在一個(gè)三角形中求一點(diǎn)，使它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離之

和最小？現(xiàn)已證明：在VA3C中，若三個(gè)內(nèi)角均小于120°，當(dāng)點(diǎn)尸滿足

1AP3=/APC=13PC=12O。時(shí)，則點(diǎn)尸到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)尸被稱為VABC的

費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)解決下列問題：

(1)已知在VA3C中，AB=AC=4,BC=25若點(diǎn)P為VA3C的費(fèi)馬點(diǎn)，求△4P3的面積；

7T

(2)已知在VABC中，AB=AC=1,A=—,若點(diǎn)P為VABC平面上任意一點(diǎn)，求

2

|：!?一須|+|由5+通|+|/—狗的最小值；

2兀

(3)已知在VA3C中，C=—,AC=1,3C=2,點(diǎn)M在線段A3上，且滿足=若點(diǎn)

3

P為AAMC的費(fèi)馬點(diǎn)，求麗?西+無?(兩+萬)的值.

【答案】(1)百

⑵1+V3

(3)--

5

【解析】

【分析】(1)設(shè)|百/根，|屈卜〃，|定卜s，利用余弦定理推導(dǎo)出〃=s,然后在ABPC中，利用余

弦定理可得出〃、s的值，再結(jié)合三角形的面積公式即可得解；

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，記點(diǎn)P(羽y)、

0(-1,0),可得|經(jīng)一互|+|"+順］+|衣—衣卜|而|+|而|+|無|,結(jié)合“費(fèi)馬點(diǎn)”的定義求解即

可；

(3)利用正弦定理、余弦定理求出sin8及3”的長(zhǎng)，求出S^BCM，進(jìn)而可得出S^MC，利用三角形的

面積公式結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

如下圖所示：

A

由余弦定理可得AB?2PA-PBCOS—，即m2+〃2+mn=16，?

3

27r

AC2=PA2+PC2-2PA-PCcos—,即療+/+3=16,②

3

—②可得/-s1+m[n-s^=Q,即(〃一s)+〃+s)=0,

顯然根十幾+s>0,故〃=s,