中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：正方形 （三）及答案

中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：專題十四考點32正方形

1.如圖，AC和是菱形ABCD的對角線，若再補(bǔ)充一個條件能使其成為正方形，下列條

件:

?AC=BD；

?ABr+AD1=BDr-

?ZACD=ZADC,

其中符合要求的是（）

C.②③D.②④

2.如圖，在正方形ABCD中，AE平分NBAC交8C于點E,點口是邊上一點，連接。F,

若8￡=AF,則NCD尸的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

3.如圖，正方形ABC。的邊長為4.對角線AC,8。交于點0,E是AC延長線上一點，且

CE=CO,則5E的長度為（）

E

A.4夜B.6V2C.2V10D.4廂

4.如圖，在正方形ABC。中，點E尸分別在邊AB,CD上,NEFC=120。,若將四邊形EBCE沿EE折

疊，點8恰好落在AD邊上，則ZAEB'為（）

B'

JC

A.70°B.65°C.30°D.60°

5.如圖，在△ABC中，ABAC=9Q°,分別以AB,AC為邊向外作正方形A3GR與正方形

ACDE,H為GO的中點，連接EH、FH,若L”H=4,S^DEH=6,則3C的長為()

A,275B.2V6c.27100.473

6.如圖，正方形ABCD和長方形AE?7G周長相等，邊EF、相交于點"，連結(jié)DH、

，則A)

DF,右S長方形EDCH=8sAHDF

cD

3-ti

7.如圖，在邊長為4正方形ABCD中，點E在以3為圓心的弧AC上，射線OE交于R

連接CE,若CELD/，貝1]￡＞石=().

BC

A.2B.-A/5C.-A/5D.-75

555

8.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是AD邊上的一點，40:〃。=1:2.將48加4沿3/

對折至△BMN,連接DN,則DN的長是（）

9.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊A3上，BE=1,ZDAM=45°,點R在射線

AM上，且AP=后，過點R作AD的平行線交R4的延長線于點H,CT與AD相交于點G,

連接EC、EG、EE下列結(jié)論：

①△￡（才的面積為"；

2

②AAEG的周長為8；

@EG2=DG2+BE2其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

10.如圖，四邊形A3CD為正方形，NE=NF=90。，AE=EF=CF=4,則A3的長為.

11.如下圖所示，正方形ABCD在正方形。EFG的外部繞著點?？梢赞D(zhuǎn)動，且連接

AG,EC,當(dāng)△的4的面積為12時，△￡Z）C的面積是.

c

12.四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點3落在邊上的笈處,

點A對應(yīng)點為4,且=上4，則A"的長是.

13.如圖，正方形ABCD的邊長為10,E為A。的中點，連接CE,過點3作BPLCE交CD于

點、F,垂足為G,連接AG、DG,下列結(jié)論：

①BF=CE；

(2)AG=CD；

③NCDG=ZAGE；

④EG=275；

⑤DG二M.

其中正確結(jié)論有（填寫序號）.

14.如圖，四邊形ABCD是正方形.

圖①圖②圖③

（1）問題解決:如圖①，若E,R分別是3C,CD上的點，且求證:

△ABE公ABCF；

（2）類比探究：如圖②,若點E,F,G,H分別在3C,CD,DA,A3上，且EG_LHF,求

證：EG=HF；

（3）遷移應(yīng)用：如圖③，在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點。是3c的中點，點E

是AC上一點，且求AE:EC的值.

15.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊的中點，ZAEF=9Q°,且所交正方形外

角平分線b于點E

（1）［觀察猜想］填空：AE與口的數(shù)量關(guān)系（提示：取的中點舷，連接

EM）；

（2）［類比探究］如圖2,若把條件“點E是邊的中點”改為“點E是邊上的任意一

點”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；

（3）［拓展應(yīng)用］如圖3,若把條件“點E是邊的中點”改為“點E是邊延長線上的一

點”，其余條件仍不變，那么（1）中的結(jié)論是否成立呢？若成立寫出證明過程，若不成立請

說明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：①若AC=5￡),根據(jù)對角線相等的菱形是正方形即可得菱形ABCD是正方形，①符合

要求；

②AC,皮)是菱形具有的性質(zhì)，不能得出菱形ABCD是正方形，②不符合要求；

③=302,則的。=90。，根據(jù)有一個角為直角的菱形是正方形可得菱形ABCD

是正方形，③符合要求；

④若菱形ABCD是正方形，則4。=后40,由NACD=NA￡>C,可得AC=AZ),故不能得出

菱形ABCD是正方形，④不符合要求；

故符合要求的為①③，

故選：B.

2.答案：C

解析：?.?四邊形A3。是正方形，.-.AD=BA,ZDAF=ZABE=9Q°.

AD=BA,

在△IMF和△ABE中，JZDAF=ZABE,

AF=BE,

.■.△DAF^AABE(SAS),/.ZADF=ZBAE.

?.?AE平分Z8AC,四邊形A3CD是正方形，

ZBAE=-ABAC=22.5°,ZADC=90°,

2

ZADF=22.5°,NCDF=ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5。.故選C.

3.答案：C

解析：???四邊形A3CD是正方形，

:.AC±BD,AO=BO=CO=DO,

■：正方形ABCD的邊長為4,

.-.BC=4,

在Rt2XBOC中，

BO2+CO2=BC2,

即256)2=42,

解得80=2后，

?;CE=CO,

:.OE=472,

在RtABOE中,

BE=y/OE2+BO2=7(4V2)2+(2A/2)2=2M.

故選：C.

4.答案：D

解析:?四邊形A3CDABCD是正方形，

:.AB//CD.-.AB//CD,ZA=90°^A=90。，

ZBEF+ZEFC=180°LBEF+/.EFC-180，，

vZ￡FC=120°7/_EFC=120',

:./BEF=1800-NEFC=600"EF=180°-/.EFC-60°,

???;將四邊形EBCF沿EF折疊，點3恰好落在AD邊上，

ZBEF=AFEB!=60°:.乙BEF=LFEB'=60；

ZA￡B'=180。一ZBEF-ZFEB=60°LAEB'=180°-Z.BEF-LFEB'=60c,

故選:DD.

5.答案：C

解析：?.?在正方形A3GR與正方形ACDE中，

:.ZGAB=ZDAC=45°,

ZBAC=45°,

ZGAB+ABAC+ADAC=180°,

G,A,。三點共線,

設(shè)AB=a,AC=b,

則AG="z,AD=42b,

GD=-Jia+41b,

?；H是GO的中點,

??5"號

.r-sfla+sflb\[2a-s[2b

AHTT=yj2a----------------=---------------

22

c1.__A/2a.

???S叢AFH=~AHx^—=4,

/.a2-ab=16,

S—H，DHx叵=6,

△DHti22

/.b2+ab=24,

a2+b2=40，

???ABAC=90°,

：.BC=YIAB2+AC2

=+及

=740

=2回.

故選c.

6.答案：C

解析：?.?正方形ABC。和長方形AEFG周長相等，

：.AB+AE+ED+DC+CH+BH=AE+EH+HF+GF+BG+BA,

即：ED+CH=HF+BG,

又?.?6G=HF,CH=DE,

：.HF=CH,

S長方形EDCH=8s△HDE，

:.EHxDE=8x-xHFxDE,^EH=4HF,

2

?.?ABC。是正方形，AEbG是矩形，

.-.AB=EH=4HF,AE=BH=BC—CH=3HF,

AE_3HF_3

"AB~4HF~4'

故選：C.

7.答案：B

解析：如圖，連接BE,過點B作BHLCE于點H,

AD

a

BC

?.?點E在以3為圓心的弧AC上，

BC=BE,

BHLCE,

EH=CH,ZHBC+ZHCB=90°,

四邊形ABCD是正方形，

ZBCD=ZBCH+ZDCE=90°,

ZHBC=ZDCE,

BC=CD,ABHC=ZDEC=90°,

ZXHBC^AECD（AAS）,

CH=DE=EH,

CE=IDE,

在Rt2XCDE中，CD2=CE2+DE~,

42=（2DE^+DE1,

DE=1V25^DE=1V25（舍去）.

故選：B.

8.答案：D

解析：如圖，延長MN與CD交于點E,連接3E,過點雙作取，。。,

5

\-AB=6,M是AD邊上的一點，AM:MD^1:2,

:.AM=2,DM=4,

將八BMA沿BM對折至ABMN,四邊形ABCD是正方形,

:.ZBNE=NC=9Q°,AB=AN=BC,

：.RtABAE^RtABCE(HL),

:.NE=CE,

:.EM=MN+NE=NE+2,

在RtzXMDE中，設(shè)￡)￡=%,則ME=6—x+2=8—x,

根據(jù)勾股定理可得42+/=(8-4,解得x=3,

:.NE=DE=3,ME=5,

-：NFLCD,/MDE=90。,

：./\MDE^/\NFE,

.EFNFNE_2

"DE~MD~ME~3?

DN=《DF?+NF2=,

故選：D.

9.答案:C

解析：如圖，在正方形A3CD中,

ADIIBC,AB=BC^AD=4,

ZB^ZBAD^90°

:.ZHAD=90°,

HFHAD,

.-.ZH=90°,

ZHAF=90°-ZDAM=45°,

ZAFH=ZHAF,

AF=叵,

：.AH=HF=1=BE,

：.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

:.AEHF出ACBESAS),

：.EF=ECZHEF=ZBCE,

ZBCE+ZBEC=90°,

HEF+ZBEC=90°,

:.ZFEC=90°,

??.△CEF是等腰直角三角形，

在RtZXCBE中，BE=1,BC=4,

EC2=BE'+BC~=11,

1117

2

S.ECF=-EFEC=-EC=—,故①正確；

過點R作/Q，3c于Q,交AD于P,

：.ZAPF=90°=ZH=ZHAD,

：.四邊形APR"是矩形，

?:AH=HF,

二矩形AHRP是正方形，

:.AP=PH=AH=1,

同理:四邊形ABQP是矩形，

.?.PQ=AB=4,BQ=API,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC—BQ=3

AD//BC

:△FPGS/\FQC

FPPG

"~FQ=~CQ，

,1PG

——---,

53

PG=-,

5

Q

AG=AP+PG=-,

5

在Rt^EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG=^AG2+AE2=y,

817

「.△AEG的周長為AG+EG+AE=《+《+3=8,故②正確;

?「AD=4,

DG=AD-AG=—,

5

.??4+m=超+1=咆

2525

?.?團(tuán)/雪=空工嗎

L5J2525

EG2DG2+BE2,故③錯誤，

正確的有①②，

故選:C.

10.答案：2回

解析：如圖所示，連接AC交ER于G,

vZE=ZF=90°,ZAGE=ZCGF,AE=CF,

:./\AEG^/\CFG（AAS）,

：.GE=GF=-EF=2,AG^CG,

2

在RtA4EG中，由勾股定理得AG=，4￡2+G￡2=23,

AC=2AG=475,

四邊形ABCD為正方形,

AB=AC=2y/lQ.

故答案為：2回.

11.答案：12

解析：過G作交ZM延長線于過E作EN_LC￡＞交延長線于N,

:"END=NDMG=9Q0,

■：四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，

:.AD=CD,NEDG=ZADC=90。,DG=DE,

:.ZADN=9Q>°,

ZEDN+ZNDG=ZADG+ZNDG=90°,

:./EDN=ZADG,

?;DG=ED,

運△GMD(AAS),

:.EN=GM,

?.?△EDC的面積=^CD?EN,△ADG的面積=,

22

.△DEC的面積=Z\ADG的面積=12.

故答案為：12.

12.答案：2

解析：設(shè)AM=x,A'E-y,

由折疊有性質(zhì)知A"'=A"=x,ZNB,A=ZB^90°,NA'=NA=90°,

:.ZA=ZAB'N=90°,

ZDEB'+ZDB'E=ZDEB'+ZDB'E+ZNB'C=90°,

ZDEB'ZNB'C=ZAEM,

:.八次EMs公B'NC,

??v?v-1-4

:./\XEM與ABWC的相似比為,，

2

CN=2x,B'C=2y,

：.B'N=9-2x,DB'=9-2y,B'E=9-y,

19-2r

22

9-2x9

DE=9-x-

22

:.B'E2=DE2+B'D2,即（9—y）2=1|]+（9-2y）\

3Q

解得x=5，%=5（舍去），

:.B'C=3,

B'C2+CN2=B'N2,即32+（2x）2=（9—2尤了,

解得x=2,

:.AM=2,

故答案為：2.

13.答案:①②

解析：?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AD=CD=BC,ZBCD=ZADC=90。,

：.ZDCE+ZDEC=90°,

?:BFICE,

：.ZDCE+ZCFB=90°,

:.ZBFC=ZDEC,

.-.△BFC^ACED（AAS）,

：.BF=CE,故①正確；

如圖，延長GE,BA交于點H,過點。作DVLEC于N,

H

???點E是AD中點，

AE=DE=5,

?.-AB//CD,

：.ZH=ZDCE,

又ZAEH=/DEC,

:.Z\DEC^Z\AEH（AAS）,

:.CD=AH,

:.AB=AH,

又BF：LCE,

:.AD=AB=AH,

：.AG=CD,故②正確；

SBFC咨MED,

：.DE=CF=5,CE=BF,

BF=VBC2+CF2=,100+25=545,

CE-5^/5,

?；

S-1XJBCXCF=-XJBFXCG,

△FBC22

.?.10X5=5A/5CG,

:.CG=2小,

EG=345,故④錯誤；

.?.點G不是EC的中點，

:.DG豐CG,

:"GDC豐NGCD,

AG=AH,

:.ZAGE=ZH,

ZAGE=ZH=ZGCD^ZGDC,故③錯誤；

-.-S*c=2-xDExD2C=-xCExDN,

DN=2亞,

CN=yJCDr-DN2=7100-20=4-75,

NG=2?

DG=NDM+NG2=V20+20=2而.

故⑤錯誤，

故答案為：①②.

14.答案：(1)見解析

(2)見解析

(3)2:1

解析：(1)?.?四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABC=ZBCD,

.AE±BF,

ZAEB+NCBF=90°,

'.-ZBFC+ZCBF=90°,

:.ZAEB=ZBFC,

:ABE2ABCF(AAS).

(2)如圖②，過點A作AE7/GE交5C于點笈，過點B作BE7/HE交CD于點F.

I艙

四邊形ABCD是正方形，AD//BC,AB//DC,

四邊形AE'EG與四邊形尸'尸是平行四邊形.

:.GE=AE',HF=BF',

由(1)知：ZXABE'^^BCF',

:.AE=BF',

:.GE=HF；

(3)如圖③，過點C作CFLBC,交5E的延長線于點E

■

.AD±BE,

ZADB+ZFBC=90°,

\CFLBC,

:.ZBFC+ZFBC^90°,

:.ZADB=ZBFC,

\AB=BC,ZABC=/BCF=9QP,

.-.△ABD^ABCFCAAS),

：.BD=CF,

vZABC=90°,即，AB±BC,CF±BC,

AB//CF,

:△ABEs/\CFE,

AE:EC=AB:CF=AB:BD,

?.?。是BC的中點，

:.BD=-BC,

2

?：AB=BC=2BD,

：.AE:EC=AB:BD=2:1.

15.答案：(1)AE=EF

(2)成立，理由見解析