向量的數(shù)量積及其計算綜合-人教A版高一數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)突破

專題12向量數(shù)量積及其計算綜合

題型?解讀

模塊一數(shù)量積重點(diǎn)題型梳理..........................................................1

【題型1】向量數(shù)量積的相關(guān)概念.................................................2

【題型2】向量數(shù)量積計算........................................................4

【題型3】向量的垂直問題........................................................7

【題型4】向量的模長............................................................9

【題型5】求向量的夾角........................................................11

【題型6】求向量的投影向量.....................................................13

【題型7】利用向量求線段長，夾角..............................................16

模塊二向量數(shù)量積中檔題...........................................................20

【題型8】極化恒等式求數(shù)量積..................................................20

【題型9】拆分向量求數(shù)量積....................................................27

【題型10］投影法求數(shù)量積......................................................33

【題型11］與幾何圖形結(jié)合的向量問題...........................................40

【題型12］隱圓中的數(shù)量積問題.................................................43

【題型13］三角形四心的識別及歐拉線問題......................................50

【題型14］三角形四心的相關(guān)計算...............................................59

【課后訓(xùn)練】.......................................................................63

題型匯編知識梳理與?？碱}型

模塊一數(shù)量積重點(diǎn)題型梳理

基礎(chǔ)知識

知識點(diǎn)01向量的夾角

⑴定義：已知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=a,oB='則ZAOB=，叫做向

量〃與/7的夾角.

⑵向量的夾角范圍

⑶特殊情況：

①e=。，a與〃同向；

TC

②e=U，a與人垂直，記作a_LZ;;

2

@0=7i,a與b反向.

知識點(diǎn)02平面向量數(shù)量積的概念

(1)平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a與0,它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a\\b\cosd叫做向量a與人的數(shù)量積(或內(nèi)

積).

記作：a-b,即a?=|a||5|cosd.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0

_a-ba-(a+b]

。與b夾角公式：cos'=廠而。與(7+6夾角公式：cos^^-pii-----A

\a\\b\而+N

模長公式：a-a=\ci\或a7a=,\a+b\=Al(a-i-b)

特別提醒：

(1)“?”是數(shù)量積的運(yùn)算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“X”；

(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，不再是向量；

(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個向量的夾角。決定：當(dāng)夕是銳角時，數(shù)量積為正；當(dāng)9是鈍角時，數(shù)量積

為負(fù)；當(dāng)夕是直角時，數(shù)量積等于零.

知識點(diǎn)03平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)a-b=b-a；⑵==a?(砌(人為實數(shù));(3)[a+b^-c=a-c+b-c-

(4)兩個向量°,〃的夾角為銳角Qq.》〉0且°,〃不共線；

兩個向量a,6的夾角為鈍角=a?/?<0且a,不共線.

(5)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

^a+b^-^a-b^=a-b(a+Z?)=a+2a-b+b^^一方)=a-2a-b+b2

易錯注釋：a-b-c^a-(b-cj^a-c-b,即三個向量相乘時不能交換順序

【題型1】向量數(shù)量積的相關(guān)概念

典型例題

【例題1】以下關(guān)于兩個非零向量的數(shù)量積的敘述中，錯誤的是()

A.兩個向量同向共線，則他們的數(shù)量積是正的

B.兩個向量反向共線，則他們的數(shù)量積是負(fù)的

C.兩個向量的數(shù)量積是負(fù)的，則他們夾角為鈍角

D.兩個向量的數(shù)量積是0,則他們互相垂直

【答案】C

【詳解】對于任意得兩個非零向量,a-b=\a\^cos^a,b^,其中e[0,兀].

若兩個非零向量同向共線，則(a,6)=0,cos(a,6)=l,。/=同慟>0,故A正確；

若兩個非零向量反向共線，則=兀，cos(a,b)=-l,a-Z?=-|a||/?|<0,故B正確；

若這兩個非零向量的數(shù)量積是負(fù)的，則cos(a,6)<0,兀，故C錯誤；

若兩個非零向量的數(shù)量積是0,則cos(d,b)=0,(a,b)=g,互相垂直，故D正確.

【例題2】(多選)設(shè)a,b都是非零向量，則下列命題中正確的是()

A.若a,b的夾角為鈍角，則°仍<0

B.若|"司=,+可，則a±b

C.若〃山〉0,則的夾角為銳角

D.若a=2b，則a+b與a—36同向

【答案】AB

【詳解】對A,a,Z?的夾角為鈍角，則cos〃,b<0,

所以Q.0=|ti|lz?|cos/a,&\<0,A正確;

對B,當(dāng)卜-。|=卜+可時，易知：以凡b為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以a_Lb,B正確;

對C,當(dāng)同向共線時，有〃./?>(),所以C錯誤；

對D,〃+b=3。,。-36=—匕，所以a+人與〃一3。反向，D錯誤.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)11下列說法正確的是().

A.單位向量均相等

B.向量。，。滿足“為=0,則“，6中至少有一個為零向量

C.零向量與任意向量平行

D.若向量4,8滿足同=忖，則°=±6

【答案】C

【詳解】對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；

對于B：向量a,。滿足。3=0,貝U同=0或忖=0或夾角為故B錯誤；

對于C：零向量與任意向量平行，故C正確；

對于D,若向量a,b滿足同=忖，a,萬的方向可以是任意的，故D錯誤.

【鞏固練習(xí)2】設(shè)。，6是兩個非零向量，則"a2<0"是"a與6的夾角為鈍角"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】若.2<0,則a與6的夾角可能為180,不一定是鈍角，因此充分性不成立；

若。與6的夾角為鈍角，則可得cos（a@<0,因此可得a-6=WWcos（a@<0,所以充分性成立，

即“a2<0”是與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

【鞏固練習(xí)3】（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.對于任意向量2，都有0〃a

B.a//B且卜卜忖是a=b的充要條件

C.若°/=0，則a與b中至少有一個為0

D.兩個非零向量a與6夾角的范圍是［0,可

【答案】AD

【詳解】對于A,零向量與任意向量共線，A正確；

對于B,a//b且卜卜忖，當(dāng)a,6方向相反時，a=—b,即a//B且卜卜忖不是a=Z?的充要條件，B

錯誤；

對于C,當(dāng)時，a-b=Q,C錯誤；

對于D,兩個非零向量Q與人夾角的范圍是［0,可，D正確.

【題型2】向量數(shù)量積計算

典型例題

【例題1】已知等邊三角形ABC的邊長為1,則AB.8C=（）

A.yB.在C.--D.-3

2222

【答案】C

【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式計算得到答案.

【詳解】因為卜耳=忸。|=1,且向量⑷?與5c的夾角為所以AR5C=lxlxcosg=—g

1?

【例題2】已知AABC是邊長為1的正三角形，AN=］NC,P是8/V上一點(diǎn)且AP=MAB+§AC,則

APAB=()

【答案】A

iiuunumn2a1ruu?Quxr

【詳解】由AN=§NC,得A7V=：AC,JLAP=mAB+-AC=mAB+-ANf

Q1

而尸,8,N三點(diǎn)共線，則用+g=l,即加=—,

所以AP='AB+2AC,

99

(12、122

所以APA5=-AB+-ACAB=-+-xcos60°=-.

(99J999

故選：A.

【例題3】如圖，在.ABC中，ZBAC=60°,AB=4,AC=2,A—C4的值為；。是BC

A.2B.8C.-2D.-8

【答案】—4,-8

【詳解】⑴夾角為120°,代入公式計算即可：AB-C4=|AB|-|G4|-COS120°=-4

(2)因為AD=AC+C￡>=Ae+qC3=AC+；(AB-AC)=：A2+：AC,

BC=AC-AB,AB-AC=|AB|X|AC|XCOS^/1B,AC^=4x2xcos60=4.

所以AD-Be=(：A2+gAc)(AC—A2)

=-AB-AC+-|AC|2--|AB|2=1X4+-X4--X16=-8

331?311333

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1］已知向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,

【答案】22

37r

【詳解】由題意得同=2,a-b=2x小Mxcos——=-2.

114

TT--1

【鞏固練習(xí)2】如圖，在VA3C中，NBAC=§,AD=2Z)B，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+]AB,

若b4=2,,q=3,則ape。的值為.

【答案】1

2

【詳解】由AD=2￡>3,可得AD=]A3,

又C,P,。三點(diǎn)共線，

2—2m

則有AP=mAC+(1-m)AD=mACHAB,

19-2m11

由于AP=mAC+5A5(機(jī)ER),所以氣絲二：，即加=1,

5l^CD=CA+AD=-AC+^AB,

3

且ZBAC=,|明=2,網(wǎng)=3,

112

<APCr>=(-AC+-AB)(-AC+-AB)

12121

=——AC+-AB——ACAB

433

=—Ix4/+—Ix9c—Ix2cx3cx—I=I1

4332

【鞏固練習(xí)3](2021新高考2卷)已知向量。+b+c=0,\a\=l,\b\=\c\=2.a-b+b-c+c-a=

9

【答案】——

2

2■2.2.2

【解析】方法一：因為〃+/2+c=0,所以〃+b+c1=°，即a+b+c+lab+lac+2bc=0

所以1+4+4+lab+2ac+2bc=0所以2ab+2ac+2bc--9，所以=-

2

方法二：因為Q+/?+C=O,所以Q+/?=-C,所以(Q+Z?)'即。2+片+2QZ?=J

所以l+4+2〃〃=4,所以。為=一5，

同理a+c=-b,所以(〃+c)=卜。)，即J+J+2ac=b所以1+4+2。。=4,所以,

同理b+c=—Q,所以僅+c『二卜〃『，即片+J+2bc=/，所以4+4+2bc=l,所以人v=—

-9

所以ab+ac+Z?c=——

2

【題型3】向量的垂直問題

基礎(chǔ)知識

若向量辦Z?是非零向量，則〃_LZ?o〃?b=0

典型例題

【例題1】已知￡1，02為單位向量，1=61-202，。=2修+62，若。_1/?，則61與62的夾角為（）

A.90B.60°C.45D.30°

【答案】A

【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示

【分析】由向量垂直則數(shù)量積為0,建立等式，求得的值，從而得到向量間的夾角.

【詳解】由Q_1_/?得〃?》=（臼-2/）?（2臼+62）=2e；-3a?62-2e；=0,

所以61?02=0,即61_1_62,所以61與02的夾角為90

【例題2】（2324高一下?江蘇連云港?期中）在VABC中，若BC=a,C4=6,AB=c,且（a-b）_LC,

則VABC的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】依題意可得C=-（a+b）,根據(jù)向量垂直得到（"/?）?<?=0,再由數(shù)量積的運(yùn)算律求得忖=同,

即可得解.

【詳解】因為BC=a,CA=b,A8=c,所以<?=一（。+6）,

若（a_b）_l_c,貝=_（〃+萬>（“_方）=）2_“2=0,所以網(wǎng)=同，

即卜C|=|CA|,所以VABC是等腰三角形.

【例題3】已知口=1,W=3,(a+6)Z>=8.

(1)求的值；

(2)當(dāng)上為何值時，-—萬與a+2b垂直？

【答案】⑴-1

(2)-17

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示

【分析】(1)結(jié)合條件，按照數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得結(jié)果；

(2)利用第(1)問的結(jié)論，根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系計算可求出左的值.

【詳解】(1)因為同=1,忖=3,(°+孫6=8,

所以(4+6)?匕=a5+62=a-6+32=8,貝!］。力=_1.

(2)若左“-6與°+26垂直，則(妨-6)(a+2b)=0,

從而上J+2左〃—2b之=左—2左+1—18=0，解得：k=—Yl.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知,卜后忖=1,若(a+2b)_La,則cos(a,b)=

A.一走B.-走C.-

D

23T

【答案】A

【詳解】因為(a+26)_La,且同=后忖=1,

./\.2.-rrir3

則(a+2〃).a=a+2a?b=0,可得〃./=-萬〃2=,

a-b_2_G

所以cos(a,B

4i|-|z?|gxl2

【鞏固練習(xí)2】已知向量a,b滿足Mcos(a,?=-3,且6_L(2a+36),則|/?|

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

因為6M2a+36),則6-(2a+3Z?)=0,則2a.b+3z/=0，則2"電=-31，

【鞏固練習(xí)3］已知W=W=1,若(2a-6)，6,則向量°與人的夾角的余弦值為

【答案】2

2

【詳解】設(shè)向量〃與人的夾角為兀］）,

若（2a-Z?）_L》，則（2a-Z?>Z?=0,

所以2a?b-b=2|6Z||/?|COS^-|/?|=2cos^-1=0,

可得cos0=—.

2

【題型4】向量的模長

典型例題

【例題1】已知向量￡,°的夾角為w=i,w=g,則愀-a卜（）

A.2B.75C.V13D.5

【答案】C

【分析】利用向量的模的計算公式計算可得結(jié)論.

【詳解】|36一《=J（36-a）2=yj9b2+a2-6a-b=^9x2+l-6xlxV2x^=V13.

【例題2】（2223高一下?貴州黔西?階段練習(xí)）若。是VA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

|OB-OC|=|O8+OC-2OA|,則VABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積與模長公式，可以得出A3-AC=0,由此可判斷出VABC

的形狀.

I-II--I?-II--I|UUTiiuunuum,

【詳解】由|O2-Oq=|OB+OC-2OA|,可得「q=|02-0A+0C-0曰，即C8=A8+AC,

|AB-AC|=|AC+AB|,

等式-AC|=kc+Aq兩邊平方，化簡得AbAC=0,.1ABLAC,

因此，VABC是直角三角形.

【例題3】已知向量滿足向=2,忖=1,〃（游+何,。例=一1,則,-叫=（）

A.2A/2B.4C.8D.2a

【答案】D

【詳解】解：由a_L（a+如，得。伍+勸）=0,

即/+幾〃力=0,解得2=4,

所以卜-勸ci~—80,b+16Z?-=2幣.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知向量°,b的夾角為|兀，且"=25W=5,則1+2力卜

【答案】2而

【分析】由向量的模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為向量a,6的夾角為■|n,且"=2百，忖=5,

【鞏固練習(xí)2】已知向量。，6的模分別為2,1,且4=6,則卜+4=

【答案】不

【知識點(diǎn)】已知數(shù)量積求模

【分析】由已知可得2溫=2,利用k+?=+b『可求值.

【詳解】由卜一耳=若，得卜-b1=3,所以(a-b『=3,所以?_2：$+:2=3，

所以22-2；$+F=3,解得2；$=2,

所以卜+可=J(a+耳=^a2+2ab^bt=++2=J.

【鞏固練習(xí)3】已知同=3,M=5,卜+聞=7.

(1)求向量a與。的夾角6;

(2)當(dāng)向量如+6與〃一6的模相等時，求實數(shù)上的值.

【答案】(1)0=60°

2

(2)無=一］■或左=—1

【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、已知模求數(shù)量積、已知模求參數(shù)

【分析】(1)利用數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律求出〃乃，再利用夾角公式計算作答;

(2)利用向量的模相等，兩邊同時平方，由數(shù)量積的運(yùn)算律求解左的值.

【詳解】(1)因同=3,忖=5,卜+6卜7,

則有49=(a+b『=a2+2a/+d=9+2。2+25,解得

15

因此COS6=3=N-=L，而0°464180°,于是得6=60°,

誹|3x52

所以向量a與b的夾角6=60、

(2)由悒+可=卜一母,K'J(ka+b^=(d-b^,

2,

期k2a2+2ka?b+b2=。2—Za-b+b?,得9左？+15左+6=0,解得左=一］或左=-L.

【題型5】求向量的夾角

典型例題

【例題1】若向量a,b滿足(a+b)-b=7,且|。=后，忖=2,則向量a與6夾角為.

【答案】￡

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計算

【分析】由已知求得a-b,然后利用數(shù)量積求夾角公式得答案.

【詳解】.忖=2,(a+b))=7,

a-6+|/?|=7,即a.b=7—4=3.

設(shè)向量a與〃的夾角為e,

a-b3g

則。而二齊又響刎

【例題2］若6,+可=退,一可=2同，則向量〃一6與“的夾角為()

%兀2兀5兀

A.B.C.—D.

33~6

【答案】A

【分析】由條件等式得到a)=O,由向量夾角的計算公式和等式,-。卜平同化簡得到

cos^a-b,a^=~~~?從而得到向量之間的夾角.

【詳解】由條件可知卜+川二卜-4，兩邊平方后得口2=0,

白川4a2-a-b

cos(d-b,a)=->---7T--=

并且-

'/卜-可同2A/3..122-

因為向量夾角的范圍是［0,司，所以向量a-6與。的夾角為

6

【例題3】

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知忖=后忖=1.若(a+2b)_Lo,則cos(a,6)=()

.V3RA/3_y/3門6

2332

【答案】A

【知識點(diǎn)】向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運(yùn)算律

--3

【分析】根據(jù)向量垂直可得。心=-萬，代入向量夾角公式即可得結(jié)果.

【詳解】因為(〃+2b)_La,且卜卜也,慟=1,

/\.2rrir3

則(Q+2Z?)?〃=a+2Q?Z?=0,可彳尋=—5〃2=——,

rr3

所以cos(a,b)=rq-^i=廠2=一3.

'/INV3xl2

【鞏固練習(xí)2】向量a,。滿足同=6,W=l,卜-2.=1,則向量4,b的夾角是(

兀7T27r5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】由卜一24=1兩邊平方得@2-44.6+4)2=1,即3-4X有xlxcos(a,6)+4=l,

所以cosa,Z?=等，又。＜(。,6)＜兀，所以(。,6)=巳.

【鞏固練習(xí)3】已知0,b為單位向量，且13a-56卜7,貝崎與“一/,的夾角為()

【答案】C

【分析】設(shè)a與a一6夾角為6,利用忸=7求出.力，在利用夾角公式計算即可.

【詳解】因為°,6為單位向量，

由13。-50=7,所以(3a-5b『=49o95-30a包+25.=49,

即9-30。力+25=49na-6=-g,設(shè)°與夾角為。，

又?！闧0,兀],所以故選：c.

【題型6】求向量的投影向量

基礎(chǔ)知識

投影向量

a-b_|.|bb

⑴向量。在6上的投影向量：卜c°s"w，其中"是與匕同方向的單位向量

（2）如圖（1），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0作OM=a,ON=6,過點(diǎn)〃作直線ON的垂線，垂足為加1，則

就是向量3在向量〃上的投影向量.

（3）如圖（2）,設(shè)a,b是兩個非零向量，AB=a,CD=b,作如下的變換：過的起點(diǎn)A和終

點(diǎn)、B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為4,4得到A4，則稱上述變換為向量°在向量b投

影，4片叫做向量a在向量匕上的投影向量?

a-b

⑷向量°在6上的投影向量模長：可

b

典型例題

【例題1】已知同=1,忖=8,a與人的夾角為120,則向量石在￡方向上的投影向量為（）

A.4B.-4C.4aD.-Aa

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的公式求解即得.

【詳解】問=1,忖=8,°與6的夾角為120,

所以向量Z?在a方向上的投影向量為~vI_,rj—Wcos120a=-4a.

間悶11

【例題2】（2324高一下?江蘇常州?期末）已知向量。和。滿足同=4,忖=2,向量。功在向量。上

的投影向量為:°，則%一可=（）

A.3B.273C.4D.12

【答案】B

【分析】先由向量在向量々上的投影向量求出。力，然后求解卜-W即可.

.3

【詳解】因為向量a-/?在向量々上的投影向量為一&,

4

(a-byaa3

（〃—/?）?〃_331i23

所以?『-4，所以（a—Z?）,a=[4=—x16=12,

所以Q2_Q/=]2,得a?b=4,所以k-可二J（a-Z?）2一2a必+/=J16-2x4+4=26

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1】已知a,。是兩個非零平面向量，a1（3b-2a）,則b在，方向上的投影向量為（）

121

A.aB.—aC.—aD.一〃

233

【答案】C

2一

【分析】由向量垂直關(guān)系得。?。二，再由投影向量公式求解.

【詳解】由于Q_L（36—2Q）,

貝'1a-（3b—2a）=0,即“也==2|a『，

-2-

可得。為=§|a『，

7r\

則。在a方向上的投影向量為巴丁?￡=—0.

|葉3

【鞏固練習(xí)2】在V45C中，。是BC邊上的一點(diǎn)，且滿足3￡>=2。。，ADJ.BC則BA在8c方

向上的投影向量是（用BC表示）

2

【答案】—BC

【詳解】

CDB

IIIIBA-BCI

由BA.5C=陷?"qcosB,則g=|叼COSB,

叉AD_LBC,則網(wǎng)cosb=|M，

叉BD=2CD,則BU=2|CD],即

BABC

故阿>cl

BABCBC2i?BC2

又向量5A在BC方向上的投影向量是一^^「.岡二§色。卜網(wǎng)二§3。

【鞏固練習(xí)3】已知向量￡與/，的夾角為系，忖=石可，設(shè)八.在“上的投影向量為3，則4=

)

]_32

A.B.C.D.

2222

【答案】C

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

b-a\'a

【詳解】Z?-a在a上的投影向量為即一n

---2

。b-a—a

則有2=||2

H

又向量a與6的夾角為g,忖=百比

【鞏固練習(xí)4］若q,e2是兩個相互垂直的單位向量,a=2ex+e2,b=3e1+4^2,貝在/?上的投影向

量為()

6834

A.—c,H----%B.乎+不2

251252

C.yG+二《2D.66+84

【答案】C

【分析】借助投影向量公式結(jié)合數(shù)量積公式與模長公式計算即可得.

6同+1?夕I

9同+24,.

_l±±.(3e+4e『2(3ei+4ej_g§

9+16(狷+4勻5-5152

即a在b上的投影向量為.

【題型7】利用向量求線段長，夾角

典型例題

【例題1】(2324高一下?廣東深圳?階段練習(xí))正方形A3CD的邊長為。，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC

邊上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M,則NOMF的余弦值為.

【答案】—史

10

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出兩向量￡7),A廠的坐標(biāo)，計算兩向量的夾角，即可得

出結(jié)果.

1

【詳解】法—：拆分向量：^DMF=|_n_rAFED=\AB+-AD\\AD-AE\=--O

AF-EDI3Jv76

小心AFEDV2

ZDMF=?——n——?=----

AF-ED10

法二：以AB所在直線為x軸，A￡)所在直線為＞軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖,

因為正方形A3CO的邊長為。，E是A5的中點(diǎn)，廠是3C邊上靠近點(diǎn)區(qū)的三等分點(diǎn),

設(shè)=則尸￡)(0,。)，A(0,0),

則ED=y-^a\,AF=

而NDMF等于ED與AF所成的角.

aa

--XQ+QX—

EDAF

所以cosZDMF=230

\EDWAF\10?

【例題2]（高一下?江蘇南京?期中）在平行四邊形ABC。中，已知E,廠分別是3C,CZ）上的點(diǎn),

且滿足BE=2EC，CF=3FD,若4。=幾/1￡+〃4尸(4〃eR),則力+〃的值為；若AE=2,

AF=3,ZE4F=60。，則AC的長為.

133719

【答案】

105

【分析】結(jié)合平面向量得線性運(yùn)算得到AC=[2+；〃]AB+[g22+〃]AO,根據(jù)平面向量得加法運(yùn)算

3

111

2+"=1

有AC=A5+AD,對應(yīng)系數(shù)相等即可得到＜,解方程組即可求出結(jié)果；根據(jù)

|%+〃=1

97

AC=卡AE+二AF,結(jié)合平面向量得數(shù)量積得定義以及數(shù)量積得運(yùn)算律即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，在平行四邊形A5c。中，因為BE=2EC,CF=3FD,

所以AE=AB+8E=AB+：A。，AF=AD+DF=AD+^AB,

^AC=2AE+//AF=2lAB+|+如與

+〃

2+-^=l

=f2+^1-//jAB+(1-2+//jA￡>,而AC=A3+A￡),所以<410

,解得

42=12

13Q2

所以4+〃二正；由上述次口AC=/L4E+//A/=mAE+《AF\

22

JLAE-AF=|AE|-|AF|COS60O=2X3X1=3,所以=922

—AEI+2---AE-AF+I-AF

101055

旦x4+2x2x2x3+汽x9=醇…的長為中

10010525

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1]已知VABC中，ZA=—,AS=4,若點(diǎn)。在邊3C上，且8。=2。。，AD=—

33

則AC的長為

【答案】3

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形，利用因？=2。。，得出3A￡>=2AC+A3,再利用平面向量的數(shù)量積求

出|AC|即可.

【詳解】如圖所示，

在VABC中，ZBAC=—,AB=4,點(diǎn)。在邊BC上，且BD=2DC,

ULWlULIULILUUULUU

:.BD二AD-AB,DC=AC-AD,AD-AB^2(AC-AD),

0?uu?i2umn°uutiuunuun

即3AT>=2AC+AB,兩邊平T萬行：g^D=4AC+4ACAB+AB2

2萬uum2uum

/.9x(-^—)2=4AC+4x|AC|x4xcosl20°+42

ULWlULUUUUU1ULUU

化簡得|ACf-2|AC|-3=0,解得：|AC|=3或|AC|=-1(舍去)

所以AC的長為3

【鞏固練習(xí)2】(2425高一上?甘肅定西)如圖，VA3c中，ZC=60°,AC>BC>6,點(diǎn)。，E分別

在邊AC,BC±,S.BE=AD=6,連接。E,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是。E的中點(diǎn)，則線段MN

的長為.

【答案】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得2瑞=防+序，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求模長即可.

lUim,|UiT|/uuuuur、uunuuri

【詳解】由題意可知：［。曰=/可=6,（。4,防）=60。，貝可D4.￡8=6x6x5=18,

因為點(diǎn)M是42的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，

UULUUUUUUULILILlUULlLILIUULIUULLUUIUULILlULl

則NM=ND+DA+AM,NM=NE+EB+BM=-ND+EB—AM,

UUULUUU1UUL

兩式相加可得2M0=D4+EB,

uuur,uunuur2uunuunuuruur

則4Ml=（zDA+EB\X=D42+2DAEB+EB2=36+36+36=108,

1|UUUT|

即1端1111r=27,所以|N叫=3a

【鞏固練習(xí)3】（2324高一下?廣東茂名?期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，

BE+CE=0,DC=3DF,DE與BF相交于。.若AD=2,AO-(3AD-2AB)=-7,則AB的長

為一

【答案】4

【分析】先以AB、AD為基底表示A。，再利用向量的數(shù)量積把AO?（3AO-2A2）=-7轉(zhuǎn)化為關(guān)于何目

的方程，即可求得A3的長，

【詳解】在平行四邊形A5CD中，E是BC的中點(diǎn)，CF=2FD,DE與B尸相交于。.

設(shè)￡)。=；1。石(0<2<1),BO=//BF(O<//<1)

則AD+DO=AD+ADE=AD+2AD^=[\-^^AD+AAB

AB+BO=AB+/JBF=AB+^AD-^AB^=(1-^JU)AB+JLJAD

由A0=A￡>+00=48+80,可得(l_g〃)A3+〃AD=+2AB

2=-

231

解之得；則AO=AD+DO=-AD+-AB

42

l--//=2

3

則AO-(3AD-2AB)=1|AZ)+|ABj-(3AZ)-2AB)=||AZ)|2-|AB|2=-7

又AD=2,則9-卜8/=一7,解之得|AB|=4,即A3的長為4.

【鞏固練習(xí)4】（2324高一下?廣東韶關(guān)?期末）數(shù)學(xué)家波利亞說："為了得到一個方程，我們必須把同

一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系"這就是算兩次原理，又

稱為富比尼原理.例如：如圖甲，在VABC中，D為BC的中點(diǎn)，則在中，^AD=AB+BD，

在“CD中，有AO=AC+C￡）,兩式相加得，2AD=AB+3D+AC+CD因為。為BC的中點(diǎn)，所

以3。+。=0，于是240=45+47.如圖乙，在四邊形ABC。中，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn).

⑴如圖乙，請用"算兩次"的方法證明：2EF=AB+DC;

ULIU

⑵如圖乙，若AB=1,DC=2,AB與。C的夾角為60。，求EB與筋的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量加法分析證明；

（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可求歸百，進(jìn)而結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.

UUUUUUUULILmUUUUUUUUULUUU

【詳解】（1）因為EF=EA+AB+BF,EF=ED+DC+CF,

則2EF=（EA+即）+（AB+r>C）+（BF+CF）,

UUUUU1LILIUUUUi

且￡,尸分別為A￡>,BC的中點(diǎn)，則E4+EO=0,3尸+CF=O,

所以2所=O+（AB+DC）+O=AB+DC.

（2）由題意可知：,@=1,|℃卜2,?18?℃=,2口￡）?！?560。=1,

由(1)可知：2Ek=AB+DC,即￡F=：(AB+DC),

2

則EF-AB=1(AB+DC)-AB=1^AB+AJBDC^=I,

EF2=；(AB+OC『=^A