圖形的變化-平移、旋轉(zhuǎn)-2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（山東專(zhuān)用）

專(zhuān)題24圖形的變化——平移、旋轉(zhuǎn)

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，探索它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和

考向一平移的性質(zhì)

它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)平行（或在同

平移

一條直線(xiàn)上）且相等。

2.認(rèn)識(shí)并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用?？枷蚨揭频木C合應(yīng)用

3.運(yùn)用圖形的軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

4.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索考向一旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用

它的基本性質(zhì):一個(gè)圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋

旋轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角

考向二平移、旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題

相等。

真題透視A

考點(diǎn)一平移

A考向一平移的性質(zhì)

1.（2024?東營(yíng)）如圖，將，DEF沿在方向平移3cm得到VABC,若。昉的周長(zhǎng)為24cm,則四邊形ABED

的周長(zhǎng)為cm.

【答案】30

【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)、三角形周長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)，掌握平移的性質(zhì)及等量代換成為解題的關(guān)鍵.

由平移的性質(zhì)可得AT>=3E=3cm,DE=AB,再根據(jù)，戶(hù)的周長(zhǎng)為24cm可得/由+跖+*=24,然后根

據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式及等量代換即可解答.

【詳解】解：：將」）所沿EE方向平移3cm得到VABC,

,/iEF的周長(zhǎng)為24cm,

，DE+EF+DF=24,^\iAB+EF+DF^24,

.,?四邊形ABED的周長(zhǎng)為

AB+BF+DF+AD=AB+BE+EF+DF+AD^（AB+EF+DF）+BE+AD^24+3+3^30cm.

故答案為：30.

A考向二平移的綜合應(yīng)用

1.（2024?東營(yíng)）在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=3.

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖1,將△C4B繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到連接AD,BE,線(xiàn)段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是

,AD與BE的位置關(guān)系是；

⑵類(lèi)比探究

將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)任意角度得到CDE,連接的＞,BE,線(xiàn)段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置

關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AO交CE于點(diǎn)N,請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由；

（3）遷移應(yīng)用

如圖3,將鉆繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度得到CDE,當(dāng)點(diǎn)。落到AB邊上時(shí)，連接8E,求線(xiàn)段BE的長(zhǎng).

【答案】（1）3E=3AD；AD±BE

（2）一致；理由見(jiàn)解析

【分析】（1）延長(zhǎng)DA交BE于點(diǎn)H,根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CD=AC=1,CE=BC=3,ZACD=ZACB=90°,根

據(jù)勾股定理得出A。=^/^^萬(wàn)=0，昭=序目=3及，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

ZADC=ZDAC=1x90°=45°,ZCBE=ZCEB=1x90°=45°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

ZBHD=180°-45°-45°=90°,即可得出結(jié)論；

1

（2）延長(zhǎng)D4交BE于點(diǎn)證明“864^（五，得出——NADC=NBEC,根據(jù)三角形內(nèi)

BEBC3

角和定理得出N①W=NDCN=90。，即可證明結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AN=即=：4。，根據(jù)勾股定理得出

45=必手=回，證明AC*ABC,得出槳=4^，求出AN=典，根據(jù)解析（2）得出

wn_3而

BE=3AD=------.

5

【詳解】⑴解：延長(zhǎng)D4交班于點(diǎn)兒如圖所示:

???將△C43繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到CDE,

：.CD=AC=1,CE=BC=3,ZACD=ZACB=90°,

J根據(jù)勾股定理得：AD=JF+F=歷,BE=M+32=3亞,

：.BE=3AD,

VCD=AC,CE=BC,ZACD=ZACB=90°.

：.ZADC=ADAC=1x90°=45°,ZCBE=ZCEB=-%90°=45°,

22

ZBHD=180。—ZADC-ZCBE=180。—45°-45°=90°,

/.ADLBE.

（2）解：線(xiàn)段AD與的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論一致；理由如下:

延長(zhǎng)ZM交班于點(diǎn)H,如圖所示:

?,將Z\C鉆繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到.CDE,

CD=AC=19CE=BC=3,ZACD=NBCE,NDCE=ZACB=90。,

,ACCD1

*BC-CE-3?

*.AACDs八BCE,

然=器《NBCM/BEC,

BE=3AD；

XVZENH=ZCND,NHEN+/ENH+/EHN=180。，NCND+/CDN+ZDCN=184。，

ZEHN=ZDCN=90°f

*.AD±BE；

（3）解：過(guò)點(diǎn)C作。VLAB于點(diǎn)N,如圖所示:

V

E

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AC=CD,

：.AN=ND=-AD,

2

:在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=3,

???根據(jù)勾股定理得：AB=y/l2+32=^10^

VZANC=ZACB=90°,ZA=ZA,

J,ACNs,ABC,

.AN_AC

??一，

ACAB

AN1

a即丁=而

解得：AN二叵,

10

/.AD=2AN=—,

5

根據(jù)解析（2）可知：BE=3AD=.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握三角形相似的判定方法.

考點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)

A考向一旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用

1.（2024?德州）在VABC中，AC=BC,ZACB=120''，點(diǎn)。是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與A,5重合），

以點(diǎn)。為中心，將線(xiàn)段OC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線(xiàn)DE

CC

JoyB

EEE

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)NACD=15。時(shí)，求N3DE■的度數(shù)；

(2)如圖2,連接BE,當(dāng)0°</4CD<90°時(shí)，ZABE的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，NABE的度數(shù)；

如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,點(diǎn)/在上，且CM:MD=3:2,以點(diǎn)C為中心，將線(xiàn)CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)120。得到線(xiàn)段CN,連接

EN,若AC=4,求線(xiàn)段EN的取值范圍.

【答案】(1)75。

(2)-4BE的大小不發(fā)生變化，ZABE=30°,理由見(jiàn)解析

(3)回EN(聲

55

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCDE=120。，由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到NA=30。，由三角形

外角的性質(zhì)得N3DC=45。，進(jìn)而可求出的度數(shù)；

(2)連接CE交2。于點(diǎn)。，證明一BOCS-EOD得型=型，再證明CO”即可求出—ABE的度

OBOE

數(shù)；

(3)過(guò)點(diǎn)C作C"_LAB于H,求出NA=3O。，則CH=；AC=2；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NC7)E=120。，CD=DE,

ZMCN=nQ°,CM=CN,設(shè)CD=DE=5x,則C版=QV=3x；如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作OG^CE于G,則

可得到。G=gnc=|x,CE=2CG,由勾股定理得CG=Jcr>2—DG。=孚尤；證明NEGV=90°,在

RSECN中,由勾股定理得EN=2^21x;再求出54彳<[,即可得到生旦《硒<舊史.

5555

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCDE=120。.

VAC=BC,ZACB=120°,

-J8-=3。。.

2

"：ZACD=15°,

ZBDC=ZACD+ZA=30°+15°=45°,

ZBDE=NCDE-ZBDC=120°-45°=75°；

(2)解：—ABE的大小不發(fā)生變化，ZABE=3Q°,理由如下:

連接CE交30于點(diǎn)O,

E

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCDE=120。，CD=DE,

：.ZDCO=ZDEO==o,

230

???ZDEO=ZABC=30°,

又丁/BOC=NEOD,

:?BOCs、EOD,

.PCOB

??歷一演

.PCOP

9，~OB~~OEf

?:/COD=/BOE,

，CODsBOE,

：.ZABE=ZDCO=30°；

（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作C"LAB于”,

VAC=BC,ZACB=nO0,

??.ZA=4=U2=3。。,

2

,:CHA.AB,

???CH=-AC=2；

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCDE=120。，CD=CE,NMCN=、20。,CM=CN,

設(shè)CO=。石=5元，

CM:MD=3:2,

3

：.CM=CN=-CD=3x,

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。G^C￡于G,

VZCDE=120°,CD=CE,

180?！狽CD石

ZDCO=ZDEO=T~=30°,

■:0G八CE,

:.DG=-DC^-x,CE=2CG,

22

在RtZXCDG中，由勾股定理得CG=JcrP—OG?=%叵工,

2

JCE=5忘,

VZDCE=30°,ZDCN=120°f

：.ZECN=120°-30°=90°,

在RtAECN中，由勾股定理得EN2=CE2+CN2

=84x2,

:.EN=2后x或EN=-2血x（舍去）；

丁點(diǎn)。是43上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與A,8重合），

ACG<CD<AC,BP2<5x<4,

24

—<x<—

55

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性

質(zhì)，等邊對(duì)等角等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?泰安）如圖1,在等腰中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)D,E分別在48,CB上，DB=EB,

連接AE,CD,取AE中點(diǎn)/，連接BF.

⑴求證：CD=2BF,CD1BF；

（2）將DBE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫(xiě)出所與C。的位置關(guān)系：；

②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）@BF±CD-,②見(jiàn)解析

【分析】（1）先證明ABE冬CBZ）得到AE=CD,=根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)得至U

CD=AE=2BF,根據(jù)等邊對(duì)等角證明NEBA=NBCD,進(jìn)而可證明M_LCD；

(2)①延長(zhǎng)砥到點(diǎn)G,使/G=M,連接AG,延長(zhǎng)班到使6石=%以，連接AM并延長(zhǎng)交8于點(diǎn)

N.先證明工AGF與EBF,得至ljZFAG=ZFEB,AG=5石，進(jìn)而AG〃區(qū)石，AG=5。.證明LAGB注/\BDC

得到NABG=NBCD,然后利用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)得到加〃AN,則Z4BG=44N=N5CD,進(jìn)而證明

AN_L8即可得到結(jié)論；

②根據(jù)乙AGB注/\BDC得到CD=6G即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在和△€?￡)中，

AB=BC,ZABE=ZCBD=90°,BE=BD,

.^ABE^CBD(SAS),

:.AE=CD,NFAB=NBCD.

廠是RtZXABE斜邊AE的中點(diǎn)，

:.AE=2BF,

：.CD=2BF,

BF=-AE=AF,

2

,\ZFAB=ZFBA.

:.NFBA=ZBCD,

NFBA+NFBC=90。,

:.ZFBC+ZBCD=90°.

:.BF±CD；

(2)解：①瓦U_CD；

理由如下：延長(zhǎng)所到點(diǎn)G,使FG=BF,連接AG,延長(zhǎng)班到M,使6石=技欣，連接4"并延長(zhǎng)交。。于

點(diǎn)N.

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

/.AGFEBF(SAS)9

:.ZFAG=ZFEB,AG=BE,

:.AG//BE,

ZGAB+ZABE=180°f

ZABC=NEBD=90。,

ZABE+ZDBC=180°,

.\ZGAB=ZDBC.

BE=BD,

AG=BD.

在和BDC中，

AG=BD,/GAB=/DBC,AB=CB,

:.^AGB^BDC(SAS),

:.ZABG=ZBCD.

尸是AE中點(diǎn)，2是四中點(diǎn),

；.B尸是ABM中位線(xiàn)，

:.BF//AN.

ZABG=ZBAN=Z.BCD,

:.ZABC=ZANC=90°,

:.ANLCD.

.BF//AN,

BFLCD.

故答案為：BF±CD；

:.CD=BG,

BG=2BF,

:.CD=2BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的中位線(xiàn)性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與

運(yùn)用，靈活添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.

3.（2024?煙臺(tái)）在等腰直角VABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連接AD.將

線(xiàn)段AD繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得線(xiàn)段E。，連接8E.

圖1圖2

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上時(shí)，線(xiàn)段BE與CO的數(shù)量關(guān)系為；

【類(lèi)比探究】

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線(xiàn)段3E與C。的數(shù)量關(guān)系并證明；

【聯(lián)系拓廣】

(3)若AC=BC=1,CD=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出sin/ECO的值.

【答案】(1)BE=6CD;(2)BE=0C￡),補(bǔ)圖及證明見(jiàn)解析；(3)sin/EC￡>=2姮或sin/ECD=2叵

135

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線(xiàn)三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)E作ENLCB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,利用一線(xiàn)三垂直全等模型證明△ACC^△;砌E,再證明=

即可；

(2)同(1)中方法證明再證明=即可；

(3)分兩種情況討論：過(guò)點(diǎn)E作延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)河，求出EM,CE即可.

【詳解】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)E作￡M_LCB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)河，

ZADC+ZEDM=90°,

,?ZACB=90°,

/.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,

?.CD=EM,AC=DM,

---AC=BC,

：.BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,

BM=EM，

'：EM±CB,

BE=-J1EM=及CD,

故答案為：BE=y/2CD-,

(2)補(bǔ)全圖形如圖：

A

過(guò)點(diǎn)E作ENJ-8C交8c于點(diǎn)M，

由旋轉(zhuǎn)得A￡>=nE,ZADE=90°,

：.ZADC+Z.EDM=90°,

,?ZACB=90°,

:.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,

：./\ACD^ADME,

；.CD=EM,AC=DM,

AC=BC,

：.BM=BC-CM=DM-CM=CD,

：.BM=EM,

'：EM±CB,

BE=亞EM=?CD;

(3)如圖，當(dāng)。在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作E"_LC8于點(diǎn)”,連接CE,

E

：.CM=CD+DM=3,

；?CE=4CM1EM'=V13，

22A/13

sinZECD=—

CE71313

當(dāng)。在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作成，CB于點(diǎn)如圖，連接CE,

A

同理可得：AACE^ADME9

：.DM=AC=1,ME=CD=2,

：.CM=2-1=1,

,,CE=V22+12=\/5,

EM_2_2y/5

sin/ECD=

~CE~45~~T

綜上：sinZECD=冥亙或sinZECD=—

135

4.(2024?山東)一副三角板分別記作VABC和,其中NABC=NDEF=90。，NBAC=45。，Z￡DF=30°,

AC=DE.作8M_LAC于點(diǎn)河，EN1DF千點(diǎn)、N,如圖1.

⑴求證：BM=EN；

(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C,點(diǎn)A與點(diǎn)D重

合，將圖2中的DC尸繞C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a后，延長(zhǎng)8M交直線(xiàn)D尸于點(diǎn)P.

①當(dāng)(z=30。時(shí)，如圖3,求證：四邊形QVPM為正方形；

②當(dāng)30。<&<60。時(shí)，寫(xiě)出線(xiàn)段MP,DP,C￡>的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°<a<120。時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段

DP,8的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)①證明見(jiàn)解析；②當(dāng)30。<?<60。時(shí)，線(xiàn)段MP,DP,C。的數(shù)量關(guān)系為DP+MP力;當(dāng)60。<(/<120。

CD2

時(shí)，線(xiàn)段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系為竺二變=走；

CD2

【分析】(1)利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)①證明NC7VD=9O。，ZDCN=90°-30°=60°,可得NAC?V=9O。，證明NRWC=N3A/C=90。，可得

四邊形PMCN為矩形，結(jié)合BM=EN,即3M=C7V,

BM=CM,可得CM=av,從而可得結(jié)論；②如圖，當(dāng)30。<0<60。時(shí)，連接CP,證明絲PNC,

可得PM=PN,結(jié)合〃=30。，可得'尸+加尸=走;②如圖，當(dāng)60°<a<120。時(shí)，連接CP,同理

CD2

PMC^PNC,結(jié)合NCDF=30。，可得MP-DP=更

CD2

【詳解】(1)證明：設(shè)AC=DE=a,

9：ZABC=ZDEF=90°,ABAC=45°,

：.ZA=ZC=45°,

：.AB=BC,

BMJLAC,

：.BM=AM=CM=-AC=-a

229

?；ZEDF=30。,EN±DFf

：.EN=-DE=-a

22f

BM=EN；

(2)證明：①???ND=30。，CN1DF,

：.ZCND=90°,ZDCN=90°-30°=60°,

V^=ZACr)=30°,

???ZACN=90°,

,：BMLAC,

：.ZPMC=ZBMC=90°,

，四邊形尸MCN為矩形，

,:BM=EN,WflBM=CN,

而=

CM=CN,

???四邊形PMCN是正方形；

②如圖，當(dāng)30。＜。＜60。時(shí)，連接CP,

?：CP=CP,

:..PMC沿,PNC,

；?PM=PN,

：.MP+DP=PN+DP=DN,

ND=30。，

OP+M尸

5=吧=cos30°=,

CDCD2

.DP+MPV3

??--------=—；

CD2

②如圖，當(dāng)60。＜戊＜120。時(shí)，連接CP,

P

由(1)可得：CM=CN,ZPMC=ZPNC=90°,

?：CP=CP,

:.PMCWPNC,

:?PM=PN,

：.DN=PN-DP=MP-DPf

*：NCD尸=30。，

MP—DP

/.cosZCDF=—=cos30°=，

CDCD2

,MP-DPV3

??--------=—

CD2

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)

的性質(zhì)，正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助

線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵.

A考向二平移、旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題

1.(2024?濟(jì)寧)如圖，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是4(1,3),8(3,4),。(1,4).

6；—；—；—；—「

1-y-r

O123456X

(1)將VABC向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得4片片G，畫(huà)出平移后的圖形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)耳的坐標(biāo)；

(2)將繞點(diǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得4片G.畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析，4(3,2)

(2)作圖見(jiàn)解析，兀

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

(1)利用平移的性質(zhì)作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線(xiàn)即可，

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連線(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)即為弧長(zhǎng)即可可求解

【詳解】(1)解：如下圖所示:

(2)解：如上圖所示:

c、一-Li7rxB,C.x90°7rx2x90o

G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑為：——意——=———=7i

lol）loO

2.（2024?青島）如圖，將正方形ABCZ）先向右平移，使點(diǎn)2與原點(diǎn)。重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)。順時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到四邊形A'B'C'D,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)水的坐標(biāo)是（）

C.(2,1)D.(1,2)

【答案】A

【難度】0.65

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)和平移，全等三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)題意得到平移

方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則可得平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）；如圖所示，設(shè)石（2,-1）繞原點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,分別過(guò)E、/作無(wú)軸的垂線(xiàn)，垂足分別為G、H,證明，HFg.GOE（AAS）,

得到OH=GE=1,HF=OG=2,則尸（-1,-2）,即點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一1,-2）.

【詳解】解：由題意得，平移前8（-3,0）,A（-l-l）,

:將正方形ABCD先向右平移，使點(diǎn)2與原點(diǎn)。重合，

平移方式為向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

如圖所示，設(shè)E（2,-l）繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為「分別過(guò)E、P作無(wú)軸的垂線(xiàn)，垂足分別為

G、H,

：.ZOHF=ZOGE=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NE。尸=90。，OE=OF,

/HOF+ZHFO=ZGOE+NHOF,

/.ZHFO=ZGOE,

：.HFO^^GOE(AAS),

：.OH=GE,HF=OG,

???￡(2,-1),

Z.OH=GE=1,HF=OG=2,

???^(-1,-2),

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是,

故選：A.

3.(2024?濰坊)如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B,C均在x軸上.將

VABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△AB'C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】(4,4-竽)

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.作CRLAO,

求出。歹，。尸的值即可得到答案.

【詳解】解：作CNLAO,交y軸于點(diǎn)尸，

ABC是等邊三角形，AOLBC,

AO是—BAC的角平分線(xiàn)，

,-.ZOAC=30°,

OC=-AC,

2

在RtAOC中，AO'+OC-=AC1,

即16+（」AC）2=AC?,

2

解得AC二型

3

AC=AC=—

3f

4J3

OF=AO-AF=4-ACcos60°=4--—,

3

FC=AC-sin600=—x—=4,

32

；C（4,4一孚），

故答案為：（4,4-紅，）.

4.（2024?淄博）如圖，已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3,1）,B（-l,3）,將線(xiàn)段AB平移得到線(xiàn)段CO.若

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C（l,2）,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

【答案】(3,4)

【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，

上下移，橫不變，縱加減.根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加上了1,縱坐標(biāo)

加1,則B的坐標(biāo)的變化規(guī)律與A點(diǎn)相同，即可得到答案.

【詳解】解：A(-3,1)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(L2),

，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)加上了4,縱坐標(biāo)加1,

田-3,1),

...點(diǎn)。坐標(biāo)為(T+4,3+1),

即(3,4),

故答案為：(3,4).

新即特訓(xùn),

一、單選題

1.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）如圖，。方，點(diǎn)4,8在直線(xiàn)。上，點(diǎn)C在直線(xiàn)。上，且A5=3C=C4,

把VA5C沿AB方向每次平移;AB的距離.第一次平移得到第一幅圖；第二次平移得到第二幅圖；第三次

平移得到第三幅圖...繼續(xù)平移，那么第二十次平移得到第二十幅圖中等邊三角形的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圖形類(lèi)規(guī)律探索，由平移的性質(zhì)和等邊三角形的定

義并結(jié)合圖形得出規(guī)律第〃個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為4〃個(gè)，由此計(jì)算即可得解.

【詳解】解：由平移的性質(zhì)和等邊三角形的定義可得：

第1個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為：4=4x1個(gè)，

第2個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為：8=4義2個(gè)，

第3個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為：12=4x3個(gè)，

第〃個(gè)圖形中等邊三角形的個(gè)數(shù)為：4〃個(gè)，

故第二十次平移得到第二十幅圖中等邊三角形的個(gè)數(shù)是4x20=80個(gè)，

故選：C.

2.（23-24八年級(jí)上?山東淄博?期末）如圖，VABC是等腰直角三角形，DE是過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)，BDYDE,

AELDE,則3DC與AACE通過(guò)下列交換：①繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后重合：②沿的中垂線(xiàn)翻折后重合：③沿ED

方向平移,CE4后與即C重合：④繞中點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則"8與重合；⑤先沿西方向

平移一CE4,使點(diǎn)E與點(diǎn)、D重合后，再將平移后的三角形繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,則即C與/MCE重合.其

中正確的有（）

n

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與平移的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng).掌握無(wú)論旋轉(zhuǎn)還是平移，運(yùn)動(dòng)后的圖形與原圖形

是全等的是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定定理AAS得到BDC沿CEA,則=CD=AE,連

接CN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出加；結(jié)合平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：VABC是等腰直角三角形，OE是過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)，BD±DE,AELDE,

,BC=AC,NBDC=ZACB=ZAEC=90°,

ZDBC+ZDCB=AECA+Z.DCB=90°,

ZDBC=NECA,

.BDCgCEA,

:.BD=CE,CD=AE,

連接CM,

：VABC是等腰直角三角形，M為AB的中點(diǎn)，

：.CMA.AB■,

①繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后BDC與"CE不能重合，故①錯(cuò)誤；

②沿AB的中垂線(xiàn)翻折后無(wú)法使8DC與"匿重合，故②錯(cuò)誤；

③沿EO方向平移oCE4后不能與，8DC重合，故③錯(cuò)誤；

④繞中點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，則小支與-BDC重合，故④正確；

⑤先沿即方向平移CEA,使點(diǎn)E與點(diǎn)。重合后，再將平移后的三角形繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，貝h8DC

與ZVICE重合，故⑤正確；

綜上分析可知，正確的有2個(gè)，故B正確.

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）如圖，甲同學(xué)將RtABC（ZC=90°,AC=3C）按照下面方式操作：

第一步，將Rt^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到V/WE；第二步，過(guò)E作防，CB,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

F；第三步，作直線(xiàn)CO,CD交EB,EF分別于點(diǎn)G,H.

甲同學(xué)根據(jù)操作，寫(xiě)出了四個(gè)結(jié)論：

@ZFBE=ZDBE；②EH=BD；③DG是一的中線(xiàn)；@AB-EG=BE.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.③④C.①②③D.②④

【答案】C

【分析】本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).利用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)結(jié)合三角形的性質(zhì)求得N￡BE=ND3￡=67.5。，即可判斷①和③；證明四邊形AEFC是矩形，推出

一班F一班Q和△印汨2△OC8，即可判斷②；利用勾股定理計(jì)算出和3石和EG,即可判斷④.

【詳解】解：???NC=90。AC=BC,

：.ZBAC=ZABC=45°f

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=5C=。石=AD,ZDEA=ZDAE=45°,ZADE=ZACB=9009AB=AE,

：.ZACD=/ADC=1(180°-45°)=67.5°,/ABE=ZAEB=1(180°-45°)=67.5°,

??.ZFBE=180。一ZABE-ZCBA=67.5°,

:?/FBE=NDBE,結(jié)論①正確；

,:NGDB=ZADC=67.5°=NGBD,

:,GB=GD,

丁/EDB=90。,

??.ABED=90°-67.5°=22.5°=ZGDE,

：.GE=GD,

：.GE=GB,結(jié)論③正確；

ZCBA=ZBAE=45°,

：.BC//AE,

,:EFLCB,

:?NF=NBDE=90。,

：.ZF=ZFEA=ZACB=90°f

???四邊形AEFC是矩形，

ZFBE=ZDBE=67.5°,

JZBEF=ABED=22.5°,

又BE=BE,

工.BEF之二BED,

：.BF=BD,EF=ED,

?:NHDE=NDCB=225。,ZHED=NDBC=45。,DE=BC,

：./\HDE"Z\DCB,

；.HE=BD=BF,結(jié)論②正確；

設(shè)AC=〃，貝AC=5C=O石=A￡>=所=a,

AB=AE=CF=缶，

.?.FB=BD=(C-l)a,

/.BE=^BF~+EF2=逝一1)a,+/="一2缶,

EG=-BE=々4-2夜a,

22

BE+EG=—J4—2A/5a豐y/2a=AB,

；.AB—EG#BE,結(jié)論④錯(cuò)誤，

故選：C.

二、多選題

4.（23-24七年級(jí)下?山東濰坊?期末）在下面方格紙（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）中，由陰影部

分構(gòu)成了三個(gè)圖案，每個(gè)圖案分別由4個(gè)相同的基本圖形構(gòu)成，下列說(shuō)法正確的是（）

A.三個(gè)圖案的面積都是4

B.三個(gè)圖案都是軸對(duì)稱(chēng)圖形

C.三個(gè)圖案都可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)它的一個(gè)基本圖形得到

D.三個(gè)圖案都可以通過(guò)平移它的一個(gè)基本圖形得到

【答案】AB

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，利用平移設(shè)計(jì)圖案，熟練掌握平移、旋轉(zhuǎn)、

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、三個(gè)圖案的面積都是4,故符合題意；

B、三個(gè)圖案都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故符合題意；

C、只有圖案②③通過(guò)旋轉(zhuǎn)它的一個(gè)基本圖形得到，故不符合題意；

D、只有圖案②通過(guò)平移它的一個(gè)基本圖形得到，故不符合題意；

故選：AB.

三、解答題

5.（24-25七年級(jí)上?山東濟(jì)南?開(kāi)學(xué)考試）在方格紙上按要求畫(huà)圖（小正方形的邊長(zhǎng)為1cm）.

(2)畫(huà)出將圖①三角形繞點(diǎn)(13,7)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的圖形.

(3)畫(huà)出將圖②長(zhǎng)方形按2:1放大后的圖形，并在放大后的圖形內(nèi)畫(huà)一個(gè)最大的半圓.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】此題主要考查了網(wǎng)格作圖.熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，平移性質(zhì)，比例性質(zhì)，位似作圖，是解題的關(guān)鍵.

(1)把A、8兩點(diǎn)分別向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Z)、C,連接BC、CD、DA；

(2)把點(diǎn)(12,10),(14,10)分別繞點(diǎn)(13,7)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到(10,6),(10,8),再與點(diǎn)(13,7)分別連接;

(3)以點(diǎn)(8,3)為位似中心，按2:1放大圖②長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn),得(12,1),(12,7),(20,1),(20,7),順次首

尾連接，再以點(diǎn)。6,1)為圓心，4個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)半圓.

【詳解】⑴解:取點(diǎn)C(7,9),0(3,9),

順次連接3C、CD、DA,即可；

把(10,6),(10,8),(13,7)三點(diǎn)連接起來(lái)即得圖③三角形；

(3)解：以點(diǎn)(8,3)為位似中心，按2:1放大圖②長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn),

得（12,1）,（12,7）,（20,1）,（20,7）,順次首尾連接得到圖④長(zhǎng)方形，

再以點(diǎn)（16,1）為圓心，4個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑，在圖④長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)半圓，即可.

6.（24-25八年級(jí)上?山東德州?開(kāi)學(xué)考試）如圖1,已知點(diǎn)A（-a,0）,5（。,0）,赤亞表示6+2的立方根，且

痂1=2.將線(xiàn)段AO向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線(xiàn)段C。，點(diǎn)E在y軸的負(fù)

（2）證明4E〃BC；

（3）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）如圖2,CF平分/BCO,AF平分/E4O,求NA/C的度數(shù).

【答案】⑴A（-3,0）,B（6,0）,C（0,4）,0（3,4）

（2）證明見(jiàn)解析

⑶E（0，-2）

（4）45°

【分析】（1）根據(jù)立方根的性質(zhì)求解a,6的值，可得A,3的坐標(biāo)，再利用平移的性質(zhì)可得C,。的坐標(biāo)；

（2）由平移的性質(zhì)可得AO〃CD,證明=結(jié)合ZDCB=ZBAE,可得NABC=/B4E,從

而可得結(jié)論；

（3）如圖，取△O3C的三邊中點(diǎn)Q,K,G,可得0（0,2）,G（3,2）,K（3,0）,證明二CQG/QOK,可得

ZQCG=NOQK,可得QK〃臺(tái)C,證明,AOE空KOQ,可得OE=OQ=2,可得磯0,-2）；

（4）由AE〃3C,可得/取產(chǎn)+NC4F+NACF+NBCF=180。，結(jié)合三角形的內(nèi)角和可得

ZF=ZEAF+ZBCF,證明NE4B+/BCO=90。，再結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：?.?點(diǎn)A（—a,0）,3（6,0）,痂工表示6+2的立方根，且際1=2.

a=3,Z?+2=8,

解得：b=6,

：.A（-3,0）,3（6,0）；

?..將線(xiàn)段AO向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，

AC（0,4）,0（3,4）；

（2）證明：由平移可得：AO//CD,

：.ZDCB=ZABC,

丁ZDCB=ZBAE,

：.ZABC=ZBAE,

：.AE//BC；

：.2（0,2）,G（3,2）,K（3,0）,

AQG=OK=3,CQ=OQ=2,QG//OB,

：.ZCQG=ZCOB=90°f

.??.CQG&QOK,

.??ZQCG=ZOQK,

；.QK//BC,

AE//BC,

.?.QK//AEf

ZAEO=ZKQO,

VZAOE=ZKOQfAO=KO=3,

_AOE、KOQ,

：.OE=OQ=2,

磯0,-2）；

⑷解：VAE//BC,

：.ZC4E+ZACS=180°,即N￡AF+NC4F+ZACF+N5CF=180。,

?.?ZC4F+ZACF+ZF=180°,

JNF=NEAF+NBCF,

?；CF平分NBCO,AF平分/E4O,

.??ZEAF=-NEAB,ZBCF=-ZBCO,

22

VZEAB=ZABCfZABC+NBCO=90。，

：.ZEAB^ZBCO=90°,

ZF=1(ZEAB+ZBCO)=1x90°=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線(xiàn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，立方根的含義，平移的

性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.

7.(23-24八年級(jí)下?山東聊城?階段練習(xí))如圖，VABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(T1),B(-3,3),C(-l,2).平

移VABC得到A'B'C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2)

(2)畫(huà)出A'B'C'；

(3)A'3'C'可以由VA5c經(jīng)過(guò)一次平移得到嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出平移的方向，并求出平移的距離.

【答案】(1)。,0),(3,-1)

(2)見(jiàn)解析

(3)AQC'可以由VA5c沿著AT方向經(jīng)過(guò)一次平移得到，平移距離為5

【分析】本題考查了作圖一平移變換、勾股定理，熟練掌握平移的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)由題意得出平移方式為向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再由平移的性質(zhì)即可得出答

案；

(2)根據(jù)點(diǎn)4、夕、C的坐標(biāo)描點(diǎn)連線(xiàn)即可；

(3)連接A4"A7TC可以由VABC沿著AA方向經(jīng)過(guò)一次平移得到，再由勾股定理計(jì)算出平移距離即可

得出答案.

【詳解】⑴解：：A(-4,1)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2),

.??平移方式為向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

.??點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,-1)；

(2)解：如圖，AEC即為所作，

由勾股定理得：A4，=S4不=5，

平移的距離為5.

8.(2024?山東青島?二模)已知：如圖，在VABC中，ADJ.BC,AD=3cm,CD=4cm,BD=6cm,

將△ABD沿2C方向勻速運(yùn)動(dòng)得到AB、R,已知△ABD平移速度為1cm/s,A4分別與AD,AC相交于E、

G,AR與AC相交于尸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(O</<4).

解答下列問(wèn)題：

(1)連接他，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻3使四邊形M2。是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出/的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻/,使若存在，求/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)連接映，設(shè)四邊形ERPG的面積為S(cn?),求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】⑴存在，f=3s

(2)存在，r=1s

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⑶.一百/+手(°<‘<4)

【分析】(1)連接44,首先證明四邊形A4QQ為矩形，若四邊形A4QQ為正方形，則有?！?A￡>=3cm,

然后求解即可；

(2)首先根據(jù)勾股定理解得AB=375cm,由平移的性質(zhì)可得BB、=DDX=fem,BR=BD=6cm,

A4=AB=3\j5cm,,A。=AZ)=3cm,AAD{Bi=ZADB=90°,得用。=6-f(cm)，證明，BQEjBQA,

由相似三角形的性質(zhì)可得黑=若=磐，代入數(shù)值可解得。E="cm,8￡=述二反cm,進(jìn)而可

耳。。14片A212

得AE=與cm,當(dāng)AELER時(shí)，在Rt4ER和Rt與￡。中，由勾股定理可得關(guān)于t的方程，求解即可獲

得答案；

(3)根據(jù)題意得到一例2=90。，得出tan/4ABM2-ntan/CMK，求出然后證明出

CD4

J.

AEGN不‘2333

G%sGE4,作GN,AE,GM1A.F,得到丁=——=^~=~,求出GM"，然后

\FGM乙3555

4

利用S=SA*]-SA]GF)—SB]ED1求解即可.

【詳解】