中考數(shù)學高頻考點專項練習：解直角三角形綜合訓練 （二）

中考數(shù)學高頻考點專項練習：專題十八解直角三角形綜合訓練

1.如圖，一枚運載火箭從地面L處發(fā)射，雷達站R與發(fā)射點L之間的距離為6千米，當火箭

到達A點時，雷達站測得仰角為二,則這枚火箭此時的高度4￡為（）

千米千米

A.6sina千米B.6cosa千米C.6tanaD.‘

tana

2.如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,sinA=|,BC=|,則AC的長為（）

Q

A.-B.3C.-D.2

55

3.已知實數(shù)Q=tan30。，Z?=sin45Scos60°,則下列說法正確的是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

4.如圖，在RtzXABC中，NACB=90。，CD是A3邊上的高，CE是AB邊上的中線,

AD=3,CE=5,則tan/BCE的值為（）

「V5

J----

5

5.如圖，在△ABC中，4=45。,sinC=—,過點人作人￡＞，5c于點。，AB=2瓜若E,

2

R分別為A3、3c的中點，則ER的長為（）

A.2B.—C.—D.4

32

6.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉至矩形ARC'D位置，此時47的中點恰好與。點重合,

交于點E.若AB=3,則△AEC的面積為（）

7.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立

的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”）,當正午太陽

照射在表上時，日影便會投影在圭面上.圖2是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，

表AC垂直圭已知該市冬至正午太陽高度角（即NABC）為a,夏至正午太陽高度角（即

NADC）為B，若表AC的長為必則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為（）

,ccmm一?門八mm

A.mtantan[3B.----------------C.msin6z-mcospD.-----------------------

tanatan°sinacos0

8.如圖，在3x2的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.

點A、B、C、。均在格點上，與相交于點P,則NAPD的余弦值為（）

Lr.----

5

9.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是邊BC中點，將頂點。折疊至線段AP上一點

D',折痕為所，此時，點C折疊至點C.下列說法中錯誤的是（）

B.當AE=9時，D'E±AP

3

C.當AE=18-66時，△ADE是等腰三角

4

D.sinZDAP=-

5

10.如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B、C

三點都在格點上，則sin/ABC=.

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,4）=4,點E為對角線5。上一點，連接AE過點E作

交于點E連接A尸交助于點。，若=則線段A尸與的位置關系為

;5產的長為.

12.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物。點的俯角。為45。，C點的

俯角，為58。，為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度為6m,則甲建筑物的

高度為m.（sin58°?0.85,cos58°笈0.53,tan58°司.60,結果保留整數(shù)）.

A

BC

13.如圖，折疊矩形紙片A3CD,使點。落在A3邊的點M處，為折痕，AB=1,AD=2.

（1）當航為A3中點時，AE=；

（2）設AM的長為/,用含有/的式子表示四邊形CDER的面積是,

14.為弘揚革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學生前往烈士陵園緬懷革命先烈.大家被革命烈

士紀念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀念碑的通高CQ（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成

綜合實踐小組進行測量.他們在地面的A點用測角儀測得碑頂D的仰角為30。，在3點處測得

碑頂。的仰角為60。，已知AB=40〃z,測角儀的高度是1.5m（A、B、C在同一直線上），根據(jù)

以上數(shù)據(jù)求烈士紀念碑的通高CZX（行士1.732,結果保留一位小數(shù)）

D

必士3紇一一烏一工名

ABC

15.已知△ABC和都是等腰三角形，AB=6,BD=2.

(1)當NA=N6。石=60°時,

①如圖1,當點。在邊A3上時，請直接寫出CE和的數(shù)量關系:

②如圖2,當點。不在邊A3上時，判斷線段CE和的數(shù)量關系，并說明理由;

(2)如圖3,當NA=/BDE=90。時，請直接寫出CE和AD的數(shù)量關系:

(3)在(1)的條件下，將繞點5逆時針旋轉攻0。<0<360。)，當6C=CD時，請直

接寫出A。的長度.

答案以及解析

1.答案：C

解析：在RtAALH中，RL=6,ZARL^a,

AL

tana-——,

LR

4/二七尺?13110=61311磯千米）.

故選：c.

2.答案：C

解析：在RtZVLBC中，ZC=90°,sinA=—=BC=-,

AB55

:.AB=-BC=-x-=2,

335

故選：C.

3.答案：A

解析：a-tan300=Z?=sin45°=^-,c=cos60°=—,

322

1041

—<——<——,

232

b>a>c,

故選：A.

4.答案：A

解析：在中，CE為AB邊上的中線，且CE=5,

AE=BE=CE=5,

AB=10,ZB=NBCE,

AD=3,

:.BD=1,DE=AE-AD=2,

CO為A3邊上的高，

CD±AB,

.?.在RSCDE中，CD=VCE12-DE2=752-22=421,

tanNBCE=tanZB=

BD7

故選：A.

5.答案：A

解析：ZB=45°,AD1BC,

.?.△AB。是等腰直角三角形，

:.AD=-AB=—x246=2y/3,

22

AD6

sinC=

AC~^

:.AC=4,

E,R分別為A3、3c的中點,

.,.EF是△ABC的中位線，

:.EF=-AC=2.

2

故選A.

6.答案：B

解析：根據(jù)題意可得AC=AC,

。為AC的中點，

AD=-AC'=-AC,

22

ABCZ）是矩形，

ADLCD,

在RtATLCD中，AD=-AC,

2

AD1

即sinZACD=——=-,

AC2

NACD=30°,

AB//CD,

NC鉆=30°,

ZC,AB,=ZC4B=30°,

ZEAC=30°,

AE=EC9

DE=-AE=-EC,

22

Qr\1

CE=-CD=-AB=2,DE=-AB=1,AD=6,

333

SAA￡C=1-￡C-AD=1X2XV3=V3

故選：B.

7.答案：B

解析:在RtA4CD中,AC=帆,ZADC=〃，

.?3上=4

tanptan(3

在Rt^ACB中,ZABC=a,

tanatana

BD=BC-CD=」-----,

tanatan0

故選:B

8.答案：C

解析：

作CELAB于E,

BD//AC,

:.ZPBD=ZPAC,NPDB=NPCA,

:./\PBD^/\PAC,

PDBD_1

'PC-AC-3J

PC=)DC=^^.

44

RtA46C中AC=3,BC=1,

,-.AB=V32+I2=Vib.

S△?AURCC=2-ABCE=2-ACBC,

.■，V10CE=3xl,

解得。石=亞，

ZAPD=ZCPE,

3M

cosZAPD=cosZCPE=—=,

PC3A/25

丁

故選：C.

9.答案:C

解析：矩形ABC。中，AB=2,BC=3,P是邊BC中點,

13

BP=-BC=-,ZB=90°,

22

AP=y/AB2+BP2=[2+g]=|,

AB24

cos/BAP=----,

AP55

2

故A正確；

矩形ABC。，

AD!IBC,

ZDAP=ZAPB,

4

/.sin/DAP=sinZAPB=cosNBAP=—,

5

故D正確；

設DE=DE=x,

4

木艮據(jù)題意，^AE=AD-DE=3-x,sinZDAP=-

D'E^AP,

.小"D'EX4

sinNDAP==-----=—,

AE3-x5

解得％=4

3

AE=AD—DE=3—%,

3

故B正確；

當。'石=AE時，

談DE=DE=x,根據(jù)題意，得AE=AD—DE=3—x,

%=3-%,

解得x=±;

2

此時。，A重合，三角形不存在，不符合題意；

當。石=47時，過點。作D'NLAD于點N,

則A7V=7VE；

矩形ABC。，

AD!IBC,

/DAP=/APB,

3

73

/.cosZDAP=cosZAPB=±=—,

55

2

設DE=DE=x,根據(jù)題意，得AE=AD—DE=3—x,￡>,E=AZ）,=x,

.ANAN3

解得⑷V=—x；

5

AE=AD-DE=3-x=2AN=-x,

5

解得x="；

11

—61518

..AE——x—=—；

51111

當=時，過點。作于點H,

談DE=DE=x,根據(jù)題意，^AE=Aiy=AD-DE=3-x,

43

DrH=ADrsinZDAP=-（3-%）,AH=ADrcosZDAP=-（3-x）,

32

HE=AE-AH=（3-x）--（3-%）=-（3-x）,

根據(jù)勾股定理，得HE?+D'H2=D'E2,

廠-12r--|2

-|（3-x）+：（3—x）=x2

解得x=6石-12；

AE=3—x=15—6^5；

綜上所述，AE=15-6石或AE=j1,

故C錯誤,

故選：c.

10.答案:f

解析：如圖，取AB的中點。，連接AC,CD,

AC=Vl2+32=710,BC=712+32=V10,CD=A/12+22=A/5,

/.AC=BC,

又點。是AB的中點，

:.CD±AB,

.-.sinZABC=—=^==—,

BC7102

故答案為：f

Q

H.答案：AFLBD；-

4

解析：AB=3,AD=4,

BD=y/AB2+AD2=A/9+16=5,

在RtAABF和RtAAEF中，

AB=AE

AF=AF，

RtAABF^RtAAEF(HL),

:.BF=EF,

又AB=AE,

:.AF±BD,

S八4DF)——xAB,AD——xBD,AO,

△AL5L)22

/.3x4=5AO,

??Y

BF

tan/BAO=

AOAB

9

.,.5—_—B--F,

123

5

9

BF=-,

4

o

故答案為：AF±BD；

4

12.答案:16

解析：如圖，過。點作。于點E,設AE=x,

A

BC

根據(jù)題意可得：ABLBC,DCLBC,

;.ZAED=/BED=ZABC=NDCB=90。,

：.四邊形BCDE是矩形，

從甲建筑物A點處測得乙建筑物。點的俯角a為45。，C點的俯角/3為58。，為兩座

建筑物的水平距離，乙建筑物的高度C。為6,

:.BE=CD=6,ZADE=45°,ZACB=5S°,

在Rt^ADE中，NAOE=45。，

ZEAD=90°-ZADE=45°,

:.ZEAD=ZADE,

DE=AE=x,

/.BC=DE=x9

:.AB=AE+BE=x-\-6,

AH

在RtA4BC中，tanZACB=——，

BC

Y-UA

即tan58°=------?1.60

x,

ARjr_i_￡

tanZACB=tan580=—=-——"60,

BCx

解得x?10,

經檢驗%?10是原分式方程的解且符合題意，

AB=x+6?16(m).

故答案為：16.

13.答案：(1)—

16

(2)-r--?+l(O<?<l)

44I'

解析：(1)AB=1,AD=2,“為A3中點時，

AM=—,

2

在RtaAEM中，EM=2-AE,^AE2+AM2=EM2,

得AE2+［；］=(2—AE『，解得AE=jj；

(2)連接DM,過點E作石G,5c于點G.

設DE=x=EM,貝l］EA=2—x,

AE1+AM2=EM',

/.(2—X)2+r=/,

解得x=+L

:.DE=—+1,

4

折疊矩形紙片A3CD,使點。落在A3邊的點"處,

:.EFYDM,ZADM+ZDEF=90°,

EGLAD,

ZDEF+ZFEG^90°,

ZADM=ZFEG,

AMt_FG

tanZADM=------

AD2^~r

:.FG=-

2

t2

CG=DE=—+1,

4

t1t

CF=——-+1,

42

S四邊形CDEF=-(CF+DE)xCD=-r--Z+1(0<?<1).

14.答案：烈士紀念碑的通高CO約為36.l(m)

解析：由題意得：AM=BN=CE=L5m,AB=MN=40m,ZDEM=90°,ZDNE=60°,

ZDME=30°

NONE是AOMN的外角,

ZMDN=ZDNE-ZDMN=30°,

ZDMN=ZMDN=30°,

DN=MN=40m

在RtAOA?中，DE=DN-sin60。=40x#=2073(m),

DC=DE+CE=20百+1.5^20x1.732+1.5?36.1(m).

答：烈士紀念碑的通高CO約為36.l(m).

15.答案：(1)①CE=AD

②CE=AD,見