中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù)鉛垂直

二次函數(shù)鉛垂直

1.如圖，已知拋物線W］：y=ax2+bx-2與X軸交于A，。兩點，4。=5,點A在直線/：

片上.

（1）求拋物線W1的解析式；

（2）將拋物線砒沿x軸翻折后得到拋物線W2,W2與直線/交于A,B兩點，點尸是拋

物線仍上A,B之間的一個動點（不與點A、2重合），于PN〃y軸交AB

于M求MN的最大值.

2.如圖，拋物線y=辦2+法+4交工軸于4-3,0）,3（4,0）兩點，與y軸交于點C,AC,

BC.M為線段OB上的一個動點，過點M作尸軸，交拋物線于點尸，交BC于點0.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點P作尸NJ_3C,垂足為點N.設(shè)M點的坐標(biāo)為加（私0）,請用含機(jī)的代數(shù)式表

示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多

少？

3.（高新四模）如圖，已知拋物線以y=-/+bx+c與x軸交于點8（-3,0）和點A（1,

0）,現(xiàn)將拋物線乙沿y軸翻折，得到拋物線L1,點A和點8的對應(yīng)點分別為Ai和81.

（1）求拋物線L1的解析式;

（2）拋物線匕與y軸交于點C,在直線81c上方的拋物線匕上是否存在一動點尸，使

四邊形PCOB1的面積最大？若存在，求出最大面積，并指出此時P點的坐標(biāo);若不存在,

請說明理由.

二次函數(shù)全等

1.如圖，拋物線+6x+c經(jīng)過點（3,12）和（-2,-3）,與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A,

B,C,它的對稱軸為直線/.

（1）求該拋物線的表達(dá)式;

（2）產(chǎn)是該拋物線上的點，過點P作/的垂線，垂足為。，E是/上的點.要使以尸、

D、E為頂點的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點P,點E的坐標(biāo).

2.如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=8,AC=4,以AB所在直線為x軸建立平面直

角坐標(biāo)系，若C(0,273).

(1)請直接寫出A、8的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線表達(dá)式；

(3)/為拋物線對稱軸，尸是直線/右側(cè)拋物線上的點，過點P作/的垂線，垂足為。,

E是/上的點.要使以P、D、E為頂點的三角形與AABC全等，求滿足條件的點尸，點

E的坐標(biāo).

二次函數(shù)相似

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L-.y—ax2+(c-a)x+c經(jīng)過點A(-3,0)和點B(0,

-6),L關(guān)于原點。對稱的拋物線為V.

(1)求拋物線乙的表達(dá)式;

(2)點尸在拋物線沙上，且位于第一象限，過點尸作POLy軸，垂足為D若△PO。

與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標(biāo).

6-

5-

4-

3-

2-

1-

-6-5-4-3-2-If123456x

-2

-3

-4

-5

-6

2.已知拋物線y=-x?+2x+8與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求點B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點C,與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點P,使△PCC'

與APOB相似，且PC與P。是對應(yīng)邊？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=0?+法+2（°。0）與x軸分別交于A,2兩點,

點A的坐標(biāo)是（-4,0）,點8的坐標(biāo)是（1,0）,與y軸交于點C,尸是拋物線上一動

點，且位于第二象限，過點尸作軸，垂足為線段尸。與直線AC相交于點E.

（1）求該拋物線的解析式;

（2）連接OP,是否存在點P,使得NOP￡）=2NC4。？若存在，求出點尸的橫坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

4.二次函數(shù)y=o?+6x+4（°力0）的圖象與x軸交于A（-4,0）,B（1,0）兩點，點M為

y軸負(fù)半軸上一點，且0M=2.

（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）點E是線段（包含A,B）上的動點，過點E作x軸的

垂線，交二次函數(shù)圖象于點P,交直線AM于點N,若以點P,

N,A為頂點的三角形與△AOM相似，若存在，請求出點P的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.已知拋物線4：y=-V-2x+8與x軸負(fù)半軸交于點A,與y軸交于點3.現(xiàn)將拋物線右

平移，使平移后的拋物線L2過點B和點C（3,ll）.

（1）求拋物線％的表達(dá)式；

（2）點P（〃?，〃）O>3）為拋物線以上一點，過點尸作y軸平行線，交直線3c于點〃，過

點P作x軸平行線，交y軸于點N.當(dāng)AAC?與AMPN相似時，求點尸坐標(biāo).

6.如圖，拋物線y=+法一4與x軸交于A、C兩點（點A在點C的右側(cè)），與y軸交

于點8,且。A=。艮

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點尸在拋物線上，當(dāng)NP3A+NC2O=45°時，求點尸的橫坐標(biāo).

二次函數(shù)直角三角形

1.如圖，拋物線與x軸交于點A（1,0）,B（3,0）,與y軸交于點C（0,3）.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；

（2）連接BC,在拋物線的對稱軸上是否存在一點E,使△BCE是直角三角形？若存在,

請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，頂點為〃的拋物線L［：y=ax2+bx+3

與x軸交于A(3,0),8(-1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線工1頂點M的坐標(biāo)；

(2)平移拋物線裝得到新拋物線乙2,使得新拋物線上經(jīng)過原點。，且與x軸另一交點

為E,若AE4M為直角三角形，請求出滿足條件的新拋物線上的表達(dá)式.

二次函數(shù)矩形

(矩形)如圖，拋物線/：y=aj?+bx+,3QW0)與無軸交于A(-3,0)和8(1,0)兩

點，與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將原拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線,1'與原拋物線相交于點點

X為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，原拋物線對稱軸上是否存在一點N,使以點A,M,N,H

為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形？若存在，請求出點N、點”的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

2.已知拋物線L：y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）,

與y軸交于點C.

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；

（2）拋物線L平移后得到二，點A、C在少上的對應(yīng)點分別為4,C,若以

A、C、A\C為頂點的四邊形是面積為20的矩形，求平移后的拋物線少的表

達(dá)式.

二次函數(shù)面積相等

1.已知拋物線L：y=x2+x—6與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），并與y軸

相交于點C.

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)，并求出AABC的面積；

（2）將拋物線向左或向右平移，得到拋物線L',且1/與x軸相交于A\B，兩點（點A，在點

B'的左側(cè)），并與y軸交于點C',要使△A'B'C，和AABC的面積相等，求所有滿足條件的

拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線Ci：yuor2-x+c(aWO)與x軸交于A(-1,0),

B(3,0)兩點，交y軸于點C.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)設(shè)拋物線Ci關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的拋物線為C2,點A,B的對

應(yīng)點分別為A,B'.拋物線C2的頂點為E,則在x軸下方的拋物線

C2上是否存在點F,使得的面積等于的面積.若存在,

求出產(chǎn)點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

二次函數(shù)等腰三角形

1.已知拋物線C：y=a/+bx-4的對稱軸為x=2,且過點A(1,2).

(1)求拋物線C的表達(dá)式及頂點坐標(biāo);

(2)對稱軸直線x=2與x軸的交于點。，與拋物線C交于點M平移拋物線C得到拋

物線C',使得拋物線C'的頂點M在直線x=2的右側(cè).若等腰三角形。M0面積為8,

請敘述平移過程.

2.拋物線？=加+&+。與x軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,-

3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點。是拋物線上一點，且/的角平分線在x軸上，點M是y軸上一點，若^

AOM是以為腰的等腰三角形，求出點M的坐標(biāo).

二次函數(shù)菱形

1.(菱形)如圖，拋物線了=2乂2+^~乂+?(�)與苫軸交于4,B兩點，與y軸交于C

點，已知B(2^,0),C(0,3),以AC為邊在AC左側(cè)作等邊△AC。，點。在第二

象限.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將等邊△AC。沿x軸方向平移，在拋物線的對稱軸上存在一點E,使得以點A,C,

D,E為頂點的四邊形是菱形，請求出點E的坐標(biāo)，并寫出平移方式.

2.已知：拋物線；y=f+bx+c與x軸分別交于力(-3,0),B(1,0)兩點，與"軸交

于點c.

(1)求拋物線的關(guān)系式以及頂點。的坐標(biāo)；

(2)將拋物線/沿x軸向右平移，得到拋物線/'與x軸交于點例且點M是點力的

對應(yīng)點，若4D、股是一菱形的三個頂點，求/’的解析式.

二次函數(shù)平行四邊形

1.在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線Cl：y=ax2-2x-3與拋物線C2：y=x2+mx+n關(guān)于y軸對

稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(cè).

(1)求拋物線Cl,C2的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求A、B兩點的坐標(biāo);

(3)在拋物線C1上是否存在一點P,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB為邊,

且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

2.已知拋物線C：y=-爐+云+0經(jīng)過A(-3,0)和B(0,3)兩點，將這條拋物線的頂

點記為它的對稱軸與x軸的交點記為M

(1)求拋物線C的表達(dá)式；

(2)求點M的坐標(biāo)；

(3)將拋物線C平移到C,拋物線。的頂點記為M，，它的對稱軸與x軸的交點記為

N'.如果以點M、N、V為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線

C怎樣平移？為什么？

3.如圖，已知拋物線y=o?-2無+c與直線y=fcc+6都經(jīng)過A(0,3)、8(-3,0)兩點,

該拋物線的頂點為C.

(1)求此拋物線和直線AB的表達(dá)式；

(2)設(shè)直線A8與該拋物線的對稱軸交于點￡,在射線班上是否存在一點過點M

作無軸的垂線交拋物線于點N.使點M,N,C,E是平行四邊形的四個頂點？若存在，

求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

4.如圖，己知拋物線￡：y^cvr+bx+c(a>0),與x軸交于A,8兩點(點A在點2的左

側(cè))，與y軸交于點C,且O8=OC=3OA,點A(-1,0).

(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若拋物線工的頂點為拋物線的對稱軸交直線BC于點E,點P為直線。E右側(cè)

拋物線上一點，點。在直線BC上，是否存在以點E,P,。為頂點的四邊形是平行

四邊形，若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

y

AOx

E

D

5.已知拋物線m：y=ax1+bx-6與X軸交于A(-6,0),5(-2,0)兩點，

交y軸于點G拋物線的對稱軸為直線/.

(1)求拋物線機(jī)的表達(dá)式及其對稱軸.

(2)將原拋物線丁=加+區(qū)-6先向右平移5個單位，再向下平移4個單位,

得到新拋物線加；P是平移后的拋物線加上一動點，。是直線/上…動點.若

以點'P,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點尸的坐標(biāo).

二次函數(shù)位似

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y=-x?+x+2與y軸交于點C,與x軸交于A、8兩點

(點A在點8的左側(cè)).

(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)；

(2)連接AC、BC,以點C為位似中心，將△ABC擴(kuò)大到原來的2倍得到△A1B1C,其

中點4、81分別是點A、B的對應(yīng)點，如何平移拋物線乙才能使其同時經(jīng)過點Al、Bi,

求出所有的平移方式.

6-

5-

4-

3-

2-

1-

JI_?_?__?_L_>

123456比

-2

-3

二次函數(shù)等腰直角三角形

1.已知拋物線心y蔣x2+bx+c經(jīng)過點(-2，3)和(6,7),與X軸的交點為A、B,且

點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C.

(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將拋物線L平移，得到拋物線，，且點A經(jīng)過平移后得到的對應(yīng)點為4.要使△

48C是以8c為斜邊的等腰直角三角形，求滿足條件的拋物線。的函數(shù)表達(dá)式.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax?+bx+5經(jīng)過點M(1,3)

和N(3,5)

(1)試判斷該拋物線與x軸交點的情況；

(2)平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點A(-2,0),且與y軸交于點B,同時

滿足以A、0、B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由.

3.已知拋物線L：>=/+法+。經(jīng)過點A(0,3),B(1,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若點F是該拋物線對稱軸上一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使4

尸是以尸為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

4.如圖，拋物線：y=a/+bx+c與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點，與y軸交于點C

(0,-6).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上且在對稱軸的右側(cè)，點E在對稱軸上，是以O(shè)E為斜邊的

等腰直角三角形，求點。的坐標(biāo).

二次函數(shù)正方形

1.如圖，拋物線＞=；/一;》一3的對稱軸/與x軸交于點A,與y軸交于點3.

（1）求點A、3的坐標(biāo)；

（2）。為該拋物線上的一個動點，點。為點C關(guān)于直線/的對稱點（點。在點。的左側(cè)），

點M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點C,使得四邊形ACT如是正方形？若存在，請

求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

二次函數(shù)胡不歸

1.已知拋物線y=o?+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aWO)與x軸交于點A(-2?,0)、點、B

兩點，與y軸交于點C(0,2),對稱軸為x=-_|的.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)M是拋物線上的點且在第二象限，過/作MNLAC于M求AN+'EMN的最大

值.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-'■f+bx+c的圖象與無軸交于4、3兩點，A(-2,0),

-4

與y軸交于點C(0,2),點P是拋物線上y軸左側(cè)的一個動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若點P關(guān)于直線BC的對稱點P恰好落在y軸上，求點P的坐標(biāo).

3、在直角坐標(biāo)平面xOy中，直線y=-；x+2沿y軸向下平移；5個單位后，正好經(jīng)過拋

物線y=a/+8a%+2的頂點C,拋物線與y軸交于點B.

⑴求點C的坐標(biāo)；

(2)點M在拋物線對稱軸上，且位于C點下方，當(dāng)NMBC=NBC。時，求點M的坐標(biāo).

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線心：yur+bx+c與x軸交于A(-4,0),B兩

點，且經(jīng)過點(-1,3),點C是拋物線匕的頂點，將拋物線心向右平移得到拋物線乙2,

且點2在拋物線上上.

(1)求拋物線小的表達(dá)式；

(2)在拋物線上上是否存在一點尸，使得/B4C=90°,若

存在，請求出點尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

二次函數(shù)專題

1.(2024)已知一個二次函數(shù)y=ajT+bx+c的自變量尤與函數(shù)y

A.圖象的開口向上

B.當(dāng)x＞。時，y的值隨尤值的增大而減小

C.圖象經(jīng)過第二、二、四象限

D.圖象的對稱軸是直線x=l

1.(2023)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-m為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(0,

6),其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有()

15

4

則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（)

A.圖象的頂點在第一象限B.有最小值-8

C.圖象與x軸的一個交點是（-1,0）D.圖象開口向下

2.（2022）已知二次函數(shù)y=/-2x-3的自變量xi,X2,用對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi,y2,

當(dāng)-1<X2<2,尤3>3時，yi,y2,”三者之間的大小關(guān)系是（）

A.y\<yi<y3B.y2<yi<y3C."<yi<y2D.yi<y3<y\

3.（2021）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量尤與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值：

X…-2013???

y…6-4-6-4???

下列各選項中，正確的是（）

A.這個函數(shù)的圖象開口向下

B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點

C.這個函數(shù)的最小值小于-6

D.當(dāng)天>1時，y的值隨x值的增大而增大

4.（2021）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=7-Cm-1）x+m（相>1）沿y軸向下平移

3個單位.則平移后得到的拋物線的頂點一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（高新二模）點PG,n）在以直線x=l為對稱軸的二次函數(shù)>=/+辦+4的圖象上，則

L”的最大值等于（）

A.J-B.上C且D.15

4444

6.（高新四模）y=/+（1-。）%+1是關(guān)于%的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是時，

y在％=1時取得最大值，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.-5B.C.〃=3D.

7.（高新五模）已知拋物線-5ox+4q（aWO）不經(jīng)過第三象限，與x軸交于A,B兩

點，其頂點C.這條拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線頂點為C',若四邊形ACBC是正方

形，則?的值為（）

A.B.2C.3D.2或上

23233

8.（高新六模）己知二次函數(shù)〉=7-2蛆+??+2〃計3的圖象不經(jīng)過三、四象限，且當(dāng)x>1

時，y隨x的增大而增大，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.m>B-ir<-^c-D-

9.（工大一模）若拋物線y=/-2ax+/-2a+3（。為常數(shù)）與x軸有兩個交點，則此拋物線

的頂點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（工大二模）已知拋物線-4ax+6（a<0）經(jīng)過A（m-3,yi）,B（m+1,>2）兩

點，若A,2分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且yi>”，則機(jī)的值可能是（）

A.1B.2C.3D.4

11.（工大三模）已知拋物線L-4x+c,其頂點為與y軸交于點N,將拋物線L

繞原點旋轉(zhuǎn)180°,點/、N的對應(yīng)點分別為P、Q,若四邊形MNP。為矩形，則c的值

為（）

A.B.￡C.D.史

222

12.已知二次函數(shù)>=蘇+法+。的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

A.abc>0

B.關(guān)于％的一元二次方程〃X2+云+。=0的根是%i=-2,X2=3

C.a+b=c-b

D.q+4b=3c

13.（3分）如果三點A（-1,yi）,B（2,*）和C（6,*）在拋物線y=/-6x+m的圖象

上，那么yi,”與中之間的大小關(guān)系是（）

A.yi〈y2〈y3B."VyiV*C.y?><y2<y\D.y2<y3<yi

14.（3分）二次函數(shù)y=7+6尤+3的圖象過點A（2,3）,若關(guān)于x的一元二次方程/+6尤=

t-4。為實數(shù)）在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則t的取值范圍是（）

A.6<t<UB.2Wf<llC.30<12D.3Wt<7

15.已知二次函數(shù)y=a?+2ax+c（aWO）的圖象如圖所示，則下列說法：①ac>0；②若點

P（-2,加），Q（0.5,〃）都在該拋物線上，則〃2<〃；③3a+c>0；④方程a?+（2a+l）

x+c=O有兩個不相等的實數(shù)根.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

16.（3分）已知拋物線y=gox2+（l-a）x-l（a<0）,則它的頂點M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

17.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=*+2（相-1）尤+1-2加?！槌?shù)）的圖象經(jīng)

過點（T%）,（0,3），（2,%），且乂<3<%，則機(jī)的值為（）

A.3或一1B.—3或一1C.3D.-1

18.（3分）已知拋物線yn--Zox+dQW0）的圖象只經(jīng)過坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個象限，下列

敘述正確的是（）

A.頂點可能在第四象限B.最大值是4-。

C.a的值可能是5D.x>2時，y隨x增大而增大

19.已知點A（-2,yi）,B（0,”），C（3,*）,D（5,y4）在拋物線>=辦？-4ax+b（a

WO）上，且yi>”，則"與>4之間的大小關(guān)系為（）

A.*>*B.y2<j4C.y2=y4D.不確定

20.二次函數(shù)（aWO）的自變量尤與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如表：

x-m01m-2

y0-8-50…

根據(jù)表格中的信息，以下結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x=-1時，y有最大值

B.當(dāng)-IWxWO時，y隨x的增大而減小

C.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c+5=0的根為xi—1,無2=-3

D.若y>0,貝！|尤>2

21.在同一平面直角坐標(biāo)系中，有兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，且它們的頂點與原點的連線互

相垂直，若其中一條拋物線的表達(dá)式為丫=%2-4x+m,則機(jī)的值為（）

A.2或-6B.-2或6C.2或6D.-2或-6

22.（交大一模）已知拋物線y=gax2+a-a）x-］（a<o）,則它的頂點M一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

23.（交大二模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+2（加-l）x+〃?2-2制機(jī)為常數(shù)）的

圖象經(jīng)過點（-1,%），（0,3）,（2,%），且y<3<%，則機(jī)的值為（）

A.3或—1B.一3或—1C.3D.-1

24.（交大三模）已知拋物線y=a/-2辦+4（aWO）的圖象只經(jīng)過坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個象限，

下列敘述正確的是（）

A.頂點可能在第四象限B.最大值是4-a

C.。的值可能是5D.x>2時，y隨x增大而增大

25.（鐵--模-2024）對任意實數(shù)x,二次函數(shù)滿足J^+2X+52^+4x+6,

則a-b+c的值是（）

A.2B.3C.4D.5

26.（鐵一二模-2024）點8（利必）都在二次函數(shù)y=（xT）2+〃的圖象上.若

必<力，則根的取值范圍為（）

33

A.m>2B.m>—C.m<\D.—<m<2

22

27.（鐵一三模-2024）已知拋物線y=/-2加x-4（機(jī)>0）的頂點M關(guān)于坐標(biāo)原點。的對

稱點為,若點在這條拋物線上，則點M的坐標(biāo)為（）

A.（1,-5）B.（3,-13）C.（2,-8）D.（4,-20）

28.（鐵——模-2025）已知拋物線yua^+bx+c（aWO）經(jīng)過點（-1,。）和（1,4）,且拋

物線與x軸的其中一個交點的橫坐標(biāo)機(jī)滿足3<機(jī)<4,那么。的取值可能是（）

A.-3B.1C.2D.

30.（師大一模-2025）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：y=--2fx+2p-f。為常數(shù)），

則下面選項正確的是（）

A.若點A（t,yi）,B（2r,y2）在拋物線L上，則yi>>2

B.若點A（-t,ji）,B（23j2）在拋物線工上，則

C.當(dāng)f>0時，拋物線乙只經(jīng)過第一、二象限

D.當(dāng)f<0時，拋物線L只經(jīng)過第一、二象限

31.（師大二模-2025）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=/+。一3）%-5的圖象不經(jīng)過

第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是（）

A.b<3B.b>3C.bWOD.b<0

32.（高新一模-2025）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f+如+混+3加（機(jī)為常

數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0,4）,其對稱軸在y軸左側(cè)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.這個函數(shù)圖象與x軸有1個交點

B.這個函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-2

C.當(dāng)久〉—凱寸，y的值隨x值的增大而減小

D.這個函數(shù)有最小值?

33.（高新二模-2025）已知二次函數(shù)8mx+16"z+8（MIWO）,當(dāng)xW3時，y隨尤的

增大而增大，當(dāng)0<x<t時，函數(shù)的最大值是8,最小值是16加+8,則t的值可能是（）

A.2B.4C.6D.9

34（工大一模-2025）.一次函數(shù)y=ax?+。久+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=

-1,則過點M（a,2a-6）和點一4ac,a-b+c）的直線一定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

35、（工大二模-2025）.已知拋物線y=/+（6+2）久+小，當(dāng)x=2時，y>0,且

當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）

88

A.--<m<2B.m》2C.m>——D.——<m<0

333

36（交大一模-2025）.已知關(guān)于尤的二次函數(shù)>=辦2+2以+3/+3,當(dāng)x22時，y隨尤的增

大而增大，且-2WxWl時，y的最大值為9,則a的值為（）

A.V2B.1C.1或-2D./或如

37、（高新三中一模-2025）若二次函數(shù)yua?+Zar+B。的圖象過不同的三個點A（f,yi）,

B（1-Z,y2）,C（-1,*）,且#>”>*,則t的取值范圍是（）

A.+<-AB.+<-5.C.■且D.+>'

2222

38.（交大二模-2024）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f+2（m-l）x+m2-2m（m為常數(shù)）

的圖象經(jīng)過點（一1,%）,（0,3）,（2,%）,且乂<3<%，則機(jī)的值為（）

A.3或—1B.—3或—1C.3D.-1

39.（交大三模-2024）已知拋物線>=以2-2"+4（a=0）的圖象只經(jīng)過坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個

象限，下列敘述正確的是（）

A.頂點可能在第四象限B.最大值是4-a

C.a的值可能是5D.x>2時，y隨x增大而增大

40、（交大四模-2024）已知點A（-2,yi）,B（0,y2）,C（3,*）,D（5,聲）在拋物線

y—a）C-4ax+b（aWO）上，且yi>y3,則”與y4之間的大小關(guān)系為（）

A.j2>y4B.yi<y4C.y2=y4D.不確定

41.（交大五模-2024）二次函數(shù)y=a?+法+c（aWO）的自變量尤與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如

表：

X.??-m01m-2???

???…

y0-8-50

根據(jù)表格中的信息，以下結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x=-l時，y有最大值

B.當(dāng)-lWxWO時，y隨x的增大而減小

C.關(guān)于龍的一元二次方程ax2+Z?x+c+5=0的根為Xi=LX2=-3

D.若y>0,則x>2

42.（交大六模-2024）拋物線y=/-2mx+,"2+2機(jī)-1的頂點一定不在第（）象限.

A.-B.—C.三D.四

二次函數(shù)應(yīng)用大題

1.（2024）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索心與纜索上均呈拋物線型,

橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以。為原點，以直線叮,為x軸，以橋

塔4?所在直線為y軸，建立平而直角坐標(biāo)系.

已知：纜索心所在拋物線與纜索上所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間

的距離0c=100%,AO=BC=17m,纜索Li的最低點P到FF'的距離PZ）=2加.（橋塔

的粗細(xì)忽略不計）

（1）求纜索匕所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）點E在纜索上上，EF±FF',且所=2.6根，F(xiàn)O<OD,求尸O的長.

2.（2023）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度

與拱高之積為48蘇，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了

兩個設(shè)計方案.現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12加，拱高PE=4m.其中，點N在x軸上，PELON,

OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8/M,拱高PE=6加.其中，點N'在x軸上，尸'

E'±O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計）.方案一

中，矩形框架ABC。的面積記為Si,點A、。在拋物線上，邊BC在ON上;方案二中，

矩形框架ABC'。的面積記為S2,點A,O在拋物線上，邊在ON上.現(xiàn)知，小華

2

已正確求出方案二中，當(dāng)AE=3租時，S2=12V2m,請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，

解答下列問題：

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在方案一中，當(dāng)時，求矩形框架ABC。的面積Si并比較Si,S2的大小.

3.(2022)現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示,

以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直

角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計要求：OE=lQm,該拋物線的頂點P到OE的距離為9〃z.

(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的

點A、3處分別安裝照明燈.已知點A、3到OE的距離均為6祇，求點

A>3的坐標(biāo).

4.(8分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲，沙包運(yùn)動的路線可以近似的看作是拋物線.如圖，在

平面直角坐標(biāo)系中，一個單位長度代表1機(jī)長、嘉嘉在點A(6,1)處將沙包(看成點)

拋出，其運(yùn)動路線為拋物線加y=a(尤-3)2+2的一部分，淇淇恰在點8(0,c)處接

住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動路線為拋物線/2：y=」x2Qx+c+l的一部分.

88

(1)寫出人的最高點坐標(biāo)，并求a,c的值；

(2)若嘉嘉在x軸上方2m的高度上，且到點A水平距離不超過09〃的范圍內(nèi)可以接

到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值.

5.(8分)某校課外科技活動興趣小組研制了一種航模飛機(jī)，這種航模飛機(jī)飛行的軌跡可以

看作是拋物線的一部分.活動小組在水平安全線上設(shè)置一個高度可以變化的發(fā)射平臺，

當(dāng)發(fā)射平臺的高度變化時，飛機(jī)飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到.如圖所示，以

水平安全線上發(fā)射平臺所在位置A為坐標(biāo)原點，以水平安全線為無軸，建立平面直角坐

標(biāo)系.

通過實驗，在A處發(fā)射飛機(jī)，收集到飛機(jī)相對于出發(fā)點的飛行水平距離x（單位：機(jī)）與

飛行高度y（單位：M）的部分對應(yīng)數(shù)值如表.

飛行水平距離x/m020305080…

飛行高度V機(jī)040547064

根據(jù)上面的信息，解決下列問題：

（1）當(dāng)活動小組在A處發(fā)射飛機(jī)時，求飛機(jī)落到水平安全線時飛行水平距離；

（2）在水平安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN,AM=l25m,MN=5m,若飛機(jī)能落到回收區(qū)域

MN內(nèi)（不包括端點N）,求發(fā)射平臺相對于安全線的高y/m

度的變化范圍.

司MN水平安基線

6.【情境探究】小明和小強(qiáng)做彈力球游戲.游戲規(guī)則如下：小明拋出彈力球，彈力球落地后

彈起再落下，小強(qiáng)在某個位置放置一塊接球板，若彈力球在第二次落地前碰到接球板則

小強(qiáng)勝（球與接球板觸碰），否則小明勝.

【數(shù)學(xué)建?！繌椓η騼纱芜\(yùn)動軌跡均可近似看成拋物線，如圖所示.一次游戲過程中：小

明站在起點。處拋彈力球，以O(shè)為坐標(biāo)原點，水平方