應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問(wèn)題-2025年新高考物理大題必刷（含答案）

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問(wèn)題-2025年新高考

物理大題必刷

大題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問(wèn)題

目錄

考情分析.................................................................................1

題型分類訓(xùn)練.............................................................................2

題型一兩物體多次碰撞問(wèn)題...........................................................2

題型二多物體多次碰撞問(wèn)題...........................................................6

刷模擬..................................................................................11

刷真題..................................................................................21

壽情分析

多次碰撞問(wèn)題是高考物理動(dòng)量與能量綜合題的典型難點(diǎn)，近五年全國(guó)卷及新高考卷中占比

約6%-10%,主要集中于壓軸計(jì)算題；2025年高考對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法與圖像法解決多次碰撞問(wèn)題”

的考查將延續(xù)“重邏輯推演、強(qiáng)數(shù)學(xué)整合、拓實(shí)際應(yīng)用”的命題導(dǎo)向，突出物理建模與數(shù)學(xué)工具的

深度融合能力。備考需以遞推思想為核心，強(qiáng)化極限分析與圖像轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)關(guān)注材料科學(xué)

與智能科技熱點(diǎn)，做到“以數(shù)解物，以理馭變”。通過(guò)從具體到一般的歸納推理，考查學(xué)生構(gòu)建遞

推模型的能力（如從第1次碰撞推導(dǎo)第n次碰撞通式）-可以多關(guān)注:如乒乓球連續(xù)彈跳、多米諾

骨牌碰撞連鎖反應(yīng)；中子慢化過(guò)程中的多次碰撞模型、納米顆粒碰撞的統(tǒng)計(jì)規(guī)律;金屬疲勞測(cè)試

中的微顆粒多次碰撞模型；自動(dòng)駕駛多車碰撞避免的動(dòng)量分配模擬;量子彈道輸運(yùn)中的碰撞統(tǒng)

計(jì)規(guī)律簡(jiǎn)化模型；宇宙塵埃粒子在引力場(chǎng)中的碰撞聚集過(guò)程分析。

題sg翁類訓(xùn)練

題型一兩拓體多次碰找問(wèn)題

1.（2025遼寧一模）如圖甲所示,在足夠長(zhǎng)的固定斜面上有一靜止的物塊=0時(shí)將質(zhì)量為m的物塊4

從距離物塊B斜上方乙處由靜止釋放"=益時(shí),物塊、B發(fā)生第一次碰撞，時(shí)，二者發(fā)生第二

9At=19t0

次碰撞,在兩次碰撞間物塊A的”—力圖線如圖乙所示（其中0、機(jī)均為未知量），若每次碰撞均為彈性碰

撞且碰撞時(shí)間極短,兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)且與斜面間的最大靜摩擦力均等于滑動(dòng)摩擦力。

（1）求物塊A沿斜面上滑與下滑加速度大小的比值；

（2）求第一次碰撞后物塊/沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離；

（3）已知物塊B的質(zhì)量M=17小，且4、8物塊每次碰撞前物塊B均已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng),求物塊B沿斜面下滑

的最大距離。

_______P

2.在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊8,物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，力為1.0m,

凹槽與物塊的質(zhì)量均為小,兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃為0.05,開(kāi)始時(shí)物塊靜止，凹槽以u(píng)0=5m/s的初速

度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失，且碰撞時(shí)間不計(jì)。g取lOm/s?。求：

voLBLA

,2——5

〃〃//////////////〃〃/////〃///〃〃/,

⑴物塊與凹槽相對(duì)靜止時(shí)的共同速度；

（2）從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)；

（3）從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者剛相對(duì)靜止所經(jīng)歷的時(shí)間及該時(shí)間內(nèi)凹槽運(yùn)動(dòng)的位移大小。

通過(guò)分析前幾次碰撞情況，畫(huà)出物體對(duì)應(yīng)的V-t圖像,通過(guò)圖像可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程清晰明了,

并且可通過(guò)圖像所圍面積把物體的位移求出

3.（2025湖南長(zhǎng)沙一模）人們?cè)絹?lái)越深刻地認(rèn)識(shí)到冰山對(duì)環(huán)境的重要性，冰山的移動(dòng)將給野生動(dòng)物帶來(lái)一

定影響。為研究冰山移動(dòng)過(guò)程中表面物體的滑動(dòng),小星找來(lái)一個(gè)足夠長(zhǎng)的水槽，將質(zhì)量為州長(zhǎng)為L(zhǎng)的車

廂放在水槽中模擬冰山，車廂內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為巾（小〈河）、體積可以忽略的滑塊。車廂的上下表面均光

滑，車廂與滑塊的碰撞均為彈性碰撞且忽略碰撞的時(shí)間。開(kāi)始時(shí)水槽內(nèi)未裝水，滑塊與車廂左側(cè)的距離

為或在車廂上作用一個(gè)大小為尸，方向水平向右的恒力，當(dāng)車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時(shí)撤去水

平恒力。

（1）求車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時(shí)車廂的速度v0的大小；

（2）求從車廂與滑塊發(fā)生第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞的過(guò)程中，車廂的位移/.；

（3）若在水槽中裝入一定深度的水，車廂在水槽中不會(huì)浮起。開(kāi)始時(shí)滑塊與車廂左側(cè)的距離為d,由于外

界碰撞，車廂在極短時(shí)間內(nèi)速度變?yōu)檠?，方向水平向右。車廂移?dòng)過(guò)程中受到水的阻力大小與速率的關(guān)

系為了=配伏為已知常數(shù)），除第一次碰撞以外，以后車廂與滑塊之間每次碰撞前車廂均已停止。求全程

車廂通過(guò)的總路程s。

題型二多物體多次域撞問(wèn)題

4.（2024重慶模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，粗糙絕緣水平面上方,豎直線AW右側(cè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，

完全相同的多個(gè)不帶電絕緣滑塊沿電場(chǎng)方向依次排列在一條直線上，編號(hào)依次為2、3、4……它們的間

距均為L(zhǎng),2號(hào)滑塊與邊界距離也為乙。另一個(gè)編號(hào)為1的帶正電滑塊以初速度。。從左邊界進(jìn)入電

場(chǎng)，所有滑塊的質(zhì)量都為小，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為必=三備，滑塊1所受電場(chǎng)力恒為用=

250gL

2

所有滑塊均在一條直線上且可視做質(zhì)點(diǎn)，滑塊碰后均會(huì)粘在一起。已知重力加速度為g?？赡苡?/p>

750L

到的數(shù)學(xué)公式有：I?+22+32+……+n2=皿"+?3+，,求：

6

M

1；234

口口口口口

N

（1）滑塊1剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的加速度大?。?/p>

⑵滑塊1、2碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能；

（3）能發(fā)生碰撞的滑塊的最大編號(hào)。

5.（2024湖南永州一模）如圖所示，物塊4、B質(zhì)量分別為私4=2kg,^B=1kg,用輕繩相連并用勁度系數(shù)R

=500N/m的輕質(zhì)彈簧系住掛在天花板上靜止不動(dòng)。B正下方有一個(gè)半徑為R=0.6m的四分之一光滑

固定圓弧軌道，其頂點(diǎn)a距離物塊8的高度％=0.2mo某時(shí)刻A、B間的繩子被剪斷，然后A做周期T

=0.4s的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，8下落并從a點(diǎn)平滑地進(jìn)入光滑固定圓弧軌道。當(dāng)人第二次到達(dá)平衡位置時(shí)，8恰

好運(yùn)動(dòng)到圓弧末端與質(zhì)量為小°=0.6kg的滑塊。相碰結(jié)合為滑塊。。。平滑的滑上與圓弧末端等高

的傳送帶，傳送帶的水平長(zhǎng)度為乙=1必以％=lm/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，D與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)n

=0.2。傳送帶右端有一等高的固定水平平臺(tái)，平臺(tái)上表面光滑,平臺(tái)上靜置著2024個(gè)相距較近的質(zhì)量

為m1=3.2kg的小球，D能夠平滑地滑上平臺(tái)，且D與小球、小球與小球之間的碰撞均為彈性正碰（人、

B、。、小球均可以看作質(zhì)點(diǎn),重力加速度g=10m/s2，忽略空氣阻力）。求：

（1）物塊1做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅；

（2）光滑固定圓軌道對(duì)物塊8的沖量大??；

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中。與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量。

先利用所學(xué)知識(shí)把前幾次碰撞過(guò)程理順，分析透徹，根據(jù)前幾次數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)歸納法,

可寫出以后碰撞過(guò)程中對(duì)應(yīng)規(guī)律或結(jié)果，然后可以計(jì)算全程的路程等數(shù)據(jù)

6.（2024江西二模）如圖所示,質(zhì)量均為小的九個(gè)小物塊等間距地放置在傾角為。的足夠長(zhǎng)的斜面上，斜面

與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=2tand,相鄰物塊間距為L(zhǎng)。現(xiàn)給物塊1一個(gè)瞬時(shí)沖量了,使其向下運(yùn)動(dòng)

與物塊2碰撞并粘在一起，之后向下運(yùn)動(dòng)再與物塊3碰撞并粘在一起……碰撞時(shí)間極短，物塊均可看成

質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為9,已知1+2+3+---+n=-^n（n+l）,l2+22+32+---+n2=

~7Z（7l+l）（2?2+l）o求：

0

（1）物塊1和2碰撞后瞬間的速度大??；

（2）從物塊1開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到物塊1和八碰撞前瞬間，運(yùn)動(dòng)的物塊克服摩擦力做的功；

（3）為使第八個(gè)物塊能向下運(yùn)動(dòng)，求給物塊1的瞬時(shí)沖量/應(yīng)滿足的條件。

1.（24-25廣東湛江期中）如圖所示,在光滑固定水平圓環(huán)中有兩個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球，小球a位于A點(diǎn),

小球b位于B點(diǎn)，AB是圓環(huán)的一條直徑，771。=4m”圓環(huán)的周長(zhǎng)乙=10m,剛開(kāi)始兩球都靜止,現(xiàn)給小

球a一方向垂直AB、大小為Wm/s的速度”，兩球碰撞都是彈性碰撞，且碰撞時(shí)間極短。

（1）分別求出第一次碰撞后瞬間兩球的速度大小或、%;

（2）求從小球a、b第一次相碰到第二次相碰的時(shí)間間隔t：

（3）求小球a從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與小球b第100次相碰過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程s。。

____________________________

2.（2024山東濰坊二模）如圖所示，空間內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），電場(chǎng)強(qiáng)度E=250V/m,

絕緣的水平面上有一均勻帶電的長(zhǎng)板右側(cè)有一絕緣擋板，長(zhǎng)板A的上表面光滑，下表面與水平面間

的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.2,一絕緣的物塊B靜置在長(zhǎng)板的左端。長(zhǎng)板A與物塊8質(zhì)量均為m=1kg,長(zhǎng)板A

的長(zhǎng)度2=0.48m,長(zhǎng)板A帶有q=1.6x10-2。的正電荷。某時(shí)刻對(duì)物塊8施加一個(gè)水平向右的恒力尸

=6N,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊8與擋板的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短,水平面足夠長(zhǎng)，電場(chǎng)區(qū)域足夠

大,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)板A所帶電荷量及電荷分布不發(fā)生變化,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取10m/s2?

求：

（1）物塊B與檔板第一次碰撞后，長(zhǎng)板A與物塊8的速度vA和vB-,

（2）物塊B從開(kāi)始到即將與擋板發(fā)生第二次碰撞，長(zhǎng)板4電勢(shì)能的減少量；

（3）物塊B從開(kāi)始到即將與擋板發(fā)生第三次碰撞，恒力尸的沖量/；

（4）物塊B從開(kāi)始到即將與擋板發(fā)生第n次碰撞，長(zhǎng)板的位移外

q..................

3.（2024湖北武漢二模）如圖所示，傾角0=30°的足夠長(zhǎng)斜面固定在水平面上"=0時(shí)刻,將物塊4、8（均

可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面上相距Z=0.05nz的兩處同時(shí)由靜止釋放。已知A的質(zhì)量是B的質(zhì)量的3倍，A、B

與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為以=乎、然=暇，人、口之間的碰撞為彈性碰撞，且碰撞時(shí)間極短，

63

重力加速度大小g=lOm/sz,求：

（1）4、口發(fā)生第一次碰撞后瞬間，入、B的速度大??；

（2）A、B發(fā)生第三次碰撞的時(shí)刻；

（3）從靜止釋放到第n次碰撞，A運(yùn)動(dòng)的位移。

_____________________________

4.(2024四川一模)如圖所示，水平地面上固定一水平長(zhǎng)直軌道ABC,段和段足夠長(zhǎng)，在水平軌道

A點(diǎn)放置一小物塊P,在段沿軌道有n個(gè)與物塊P相同的小物塊，相鄰兩個(gè)小物塊的間距均為L(zhǎng)=

1m,從左往右依次編號(hào)1、2、3、…、"，其中1號(hào)小物塊距8點(diǎn)的距離也為L(zhǎng)。小物塊P在水平向右的拉

力斤作用下，從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，P到達(dá)B點(diǎn)前已經(jīng)開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，拉力F的功率恒為Po=28W,物塊

P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)前瞬間撤去斤,此后物塊P滑上8c段,物塊P運(yùn)動(dòng)L后與1號(hào)物塊碰撞,碰后二者粘連在

一起繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)力與2號(hào)物塊碰撞,碰后三者粘連在一起繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)力與3號(hào)物塊碰撞,此后每次

兩物塊碰后都粘連在一起向前運(yùn)動(dòng)與下一個(gè)物塊碰撞。已知物塊與AB段軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為“0=0.2,

物塊與段軌道動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.07,每個(gè)物塊質(zhì)量均為m=1kg,所有物塊都視為質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)?shù)刂亓?/p>

,、士3R?n(n+l)(2n+l)'4

力口速度g取10m/s2。(Z4=---------------------求：

\n=l0/

(1)小物塊到達(dá)B點(diǎn)的速度；

(2)物塊P與1號(hào)物塊碰后二者的總動(dòng)能；

(3)最多能發(fā)生幾次碰撞。

ABC

5.如圖，左右無(wú)限長(zhǎng)的光滑水平地面上有2022個(gè)大小相同的小球排成一排,相鄰小球間的間距均為"將

其從左到右依次編號(hào)。1號(hào)小球質(zhì)量為小，2?2022號(hào)小球質(zhì)量均為km（k為比例系數(shù)）。用一根不可伸

長(zhǎng)的輕繩拴接于1號(hào)小球，上端拴接于固定結(jié)點(diǎn)處,拴好后輕繩剛好豎直伸直。在輕繩旁邊固定一電熱

絲,通電時(shí)可將輕繩瞬間燒斷。將1號(hào)小球向左上方提起H高度，此時(shí)輕繩伸直,與豎直方向的夾角為

出所有小球仍在同一豎直面內(nèi)，將電熱絲通電后再由靜止釋放1號(hào)小球。所有小球之間的碰撞均為彈性

正碰,重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，忽略輕繩燒斷后對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的影響。

（1）求1號(hào)小球釋放后瞬間的加速度大小；

（2）求1號(hào)小球與2號(hào)小球第一次碰撞中給2號(hào)小球的沖量大小以及對(duì)2號(hào)小球做的功；

（3）1、2號(hào)小球間第一次碰撞后立即給1號(hào)小球施加水平向右的恒定外力斤（圖中未畫(huà)出），使1號(hào)小球每

次碰撞前瞬間的速度都相等，直到所有小球速度第一次相等時(shí)撤去外力，求外力尸的大小以及最終1號(hào)

和2022號(hào)小球間的距離（小球大小忽略不計(jì)）。

LLLL

_________?

6.如圖所示光滑圓弧軌道固定在水平面上與水平面平滑連接，圓弧軌道最低點(diǎn)A靜止放置物塊6、

c（可看做質(zhì)點(diǎn)），b、c的質(zhì)量分別為小、2m,b、c間有少量火藥（質(zhì)量可忽略），某時(shí)刻火藥燃燒將b、c迅

速分開(kāi)，分開(kāi)后b以速度向左沖上圓弧，經(jīng)一段時(shí)間再次回到b、c分開(kāi)位置后繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)c剛好

停止運(yùn)動(dòng)時(shí)b與之發(fā)生第一次碰撞。已知b與c的所有碰撞均為彈性碰撞，b與水平面間沒(méi)有摩擦，c與

水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g。已知該物塊b從圓弧

底端沖上圓弧到再次回到圓弧底端所用時(shí)間與b沖上圓弧速度大小無(wú)關(guān)，可用圓弧半徑R表示為

兀唐（R為題中未知量）求：

（1）圓弧軌道半徑的大??；

（2）6與c發(fā)生第3次碰撞前的速度；

（3）6、c第九次碰撞后到第n+1次碰撞前c運(yùn)動(dòng)的位移大?。╮i=2、2、3……）。

be

A

7.如圖所示，傾角為。的光滑斜面末端與水平傳送帶的左端D平滑連接傳送帶DC間的距離為"沿順時(shí)

針?lè)较蜻\(yùn)行的速度為其右端。與光滑且足夠長(zhǎng)的水平平臺(tái)平滑連接，平臺(tái)上有4個(gè)質(zhì)量為27n的小

滑塊。編號(hào)依次為將質(zhì)量為小的滑塊4由斜面上某一高度由靜止釋放。當(dāng)滑

塊A滑到傳送帶右端。時(shí)，恰好與傳送帶速度相同。小滑塊間的碰撞均為彈性碰撞。已知滑塊A與傳

送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為n，重力加速度為g，滑塊均視為質(zhì)點(diǎn)，求：

(1)滑塊4下滑的高度；

(2)小滑塊瓦的最終速度及被碰撞的次數(shù)。

________0

刷真題

8.（2024湖南高考真題）如圖，半徑為R的圓環(huán)水平放置并固定，圓環(huán)內(nèi)有質(zhì)量為mA和mB的小球人和B

初始時(shí)小球A以初速度比沿圓環(huán)切線方向運(yùn)動(dòng)，與靜止的小球B發(fā)生碰撞。不計(jì)小球與

圓環(huán)之間的摩擦,兩小球始終在圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

（1）若小球A與B碰撞后結(jié)合在一起,求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的大

??；

（2）若小球人與口之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn),求小球的質(zhì)量

..mA

mB

（3）若小球A與B之間為非彈性碰撞,每次碰撞后的相對(duì)速度大小為碰撞前的相對(duì)速度大小的e倍（0<

e<l），求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之間小球B通過(guò)的路程。

9.（2023全國(guó)乙卷高考真題）如圖，一豎直固定的長(zhǎng)直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為河的靜止薄圓盤，圓盤與管的上

端口距離為Z,圓管長(zhǎng)度為20Z。一質(zhì)量為小的小球從管的上端口由靜止下落，并撞在圓盤中心，

圓盤向下滑動(dòng)，所受滑動(dòng)摩擦力與其所受重力大小相等。小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)與管壁不接觸，圓盤始終水

平,小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短。不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g。求

（1）第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大??；

（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之間，小球與圓盤間的最遠(yuǎn)距離；

（3）圓盤在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球與圓盤碰撞的次數(shù)。

O

________0

大題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法和圖像法解決多次碰撞問(wèn)題

目錄

考情分析..........................................................................1

題型分類訓(xùn)練......................................................................2

題型一兩物體多次碰撞問(wèn)題......................................................2

題型二多物體多次雇4t問(wèn)題......................................................6

刷模擬...........................................................................11

刷真題...........................................................................21

壽晴分析

多次碰撞問(wèn)題是高考物理動(dòng)量與能量綜合題的典型難點(diǎn)，近五年全國(guó)卷及新高考卷中占比

約6%-10%,主要集中于壓軸計(jì)算題；2025年高考對(duì)“數(shù)學(xué)歸納法與圖像法解決多次碰撞問(wèn)題”

的考查將延續(xù)“重邏輯推演、強(qiáng)數(shù)學(xué)整合、拓實(shí)際應(yīng)用”的命題導(dǎo)向，突出物理建模與數(shù)學(xué)工具的

深度融合能力。備考需以遞推思想為核心，強(qiáng)化極限分析與圖像轉(zhuǎn)化能力，同時(shí)關(guān)注材料科學(xué)

與智能科技熱點(diǎn)，做到“以數(shù)解物，以理馭變”。通過(guò)從具體到一般的歸納推理，考查學(xué)生構(gòu)建遞

推模型的能力（如從第1次碰撞推導(dǎo)第n次碰撞通式）-可以多關(guān)注:如乒乓球連續(xù)彈跳、多米諾

骨牌碰撞連鎖反應(yīng)；中子慢化過(guò)程中的多次碰撞模型、納米顆粒碰撞的統(tǒng)計(jì)規(guī)律;金屬疲勞測(cè)試

中的微顆粒多次碰撞模型；自動(dòng)駕駛多車碰撞避免的動(dòng)量分配模擬;量子彈道輸運(yùn)中的碰撞統(tǒng)

計(jì)規(guī)律簡(jiǎn)化模型；宇宙塵埃粒子在引力場(chǎng)中的碰撞聚集過(guò)程分析。

題sg翁類訓(xùn)練

題型一兩拓體多次碰找問(wèn)題

1.（2025遼寧一模）如圖甲所示,在足夠長(zhǎng)的固定斜面上有一靜止的物塊=0時(shí)將質(zhì)量為m的物塊4

從距離物塊B斜上方乙處由靜止釋放"=9益時(shí),物塊A、B發(fā)生第一次碰撞，t=19t0時(shí)，二者發(fā)生第二

次碰撞,在兩次碰撞間物塊A的”—力圖線如圖乙所示（其中0、機(jī)均為未知量），若每次碰撞均為彈性碰

撞且碰撞時(shí)間極短,兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)且與斜面間的最大靜摩擦力均等于滑動(dòng)摩擦力。

（1）求物塊A沿斜面上滑與下滑加速度大小的比值；

（2）求第一次碰撞后物塊A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離；

（3）已知物塊B的質(zhì)量M=17小，且4、8物塊每次碰撞前物塊B均已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng),求物塊B沿斜面下滑

的最大距離。

答案：（1）2（2）膏女3）專L

解析:（1）根據(jù)題意，由圖乙可知,物塊A在13t0~19t0的時(shí)間內(nèi)沿斜面勻加速下滑，加速度大小

=60o="o

0119to—13名t0

物塊A在9io~13to的時(shí)間內(nèi)沿斜而勻減速上滑,加速度大小a?=?儼==孕

lobQ-VtQt。

解得㈣=2

電

（2）物塊4在13功~19%。時(shí)間內(nèi)與在0?況o的時(shí)間內(nèi)受力情況一致，則加速度相同，故方=9曲時(shí)

v=a1x9t0=9g

剛釋放物塊A時(shí)，AyB之間的距離為L(zhǎng),則有L=-x9to

整理得=看乙

ol

則物塊A在9曲~13to的時(shí)間內(nèi)沿斜而向上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的距離Li=.8幼）（13；（）%）_i6oo力0

聯(lián)立解得Li=

ol

（3）物塊A與物塊B第一?次碰撞時(shí)，由動(dòng)量守恒有mv=mvA1+MvB1

其中o=9v0,vA1=-8VQ,M—17m

聯(lián)立解得=

則物塊＞1在133o?19M時(shí)間內(nèi)下滑的距離上2=6*（19gI"。）_18%）力o:

已知第二次碰撞前物塊B已停止運(yùn)動(dòng)，故物塊B碰后沿斜面下滑的距離x1=L2-L1=2v0t0；

物塊4與物塊_B發(fā)生第二次碰撞，由圖可知，碰前瞬間物塊＞1的速度3=62；

由動(dòng)量守恒有rnvi=mvA2+MVB2

0

由機(jī)械守恒有--1-m^2+方皿喘2

聯(lián)立解得vB2—卷0

設(shè)物塊B下滑過(guò)程中的加速度為a,第一次碰撞后物塊B下滑的距離為電，則有2a的=諂

設(shè)第二次碰撞后物塊B下滑的距離為g,則有2ag=喝2

bza8。0±04

可行/2二飛一

以此類推可得為=（4）Xi

「（4y

則物塊_B運(yùn)動(dòng)的總距離rc=a；i+g+a;3H--!■/”=-----之—?xr

1—A

19

當(dāng)n—co時(shí)，代入數(shù)據(jù)解得x=當(dāng)入

45

2.在光滑水平地面上有一凹槽A,中央放一小物塊B,物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖所示，力為1.0m,

凹槽與物塊的質(zhì)量均為小，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃為0.05，開(kāi)始時(shí)物塊靜止，凹槽以％=5m/s的初速

度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊與凹槽槽壁碰撞過(guò)程中沒(méi)有能量損失，且碰撞時(shí)間不計(jì)。g取10m/s2。求：

”?？凇狟L

b—2——2—H|A

I//）/////////////////////////////〉///,

（1）物塊與凹槽相對(duì)靜止時(shí)的共同速度；

（2）從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)；

（3）從凹槽開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩者剛相對(duì)靜止所經(jīng)歷的時(shí)間及該時(shí)間內(nèi)凹槽運(yùn)動(dòng)的位移大小。

答案：（1）2.5m/s（2）6次（3）5s12.75m

解析：⑴設(shè)兩者間相對(duì)靜止時(shí)速度為V,

由動(dòng)量守恒定律得77W（）=2mv

解得n=2.5m/so

（2）物塊與凹槽間的滑動(dòng)摩擦力Ff=/iFN=/img

設(shè)兩者間相對(duì)靜止前相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為Si,

由動(dòng)能定理得—印\=[■（"I+m）v2—^-m?o

解得Si—12.5m

已知乙=1nz,可推知物塊與右側(cè)槽壁共發(fā)生6次碰撞。

（3）設(shè)凹槽與物塊碰撞前的速度分別為小、出,碰撞后的速度分別為3'、”2'，有

r

mV】+mv2—mvi+mv2

f

聯(lián)立解得Vi=V2,V2—V1

即每碰撞一次凹槽與物塊發(fā)生一次速度交換，在同一坐標(biāo)系上兩者的速度圖線如圖所示。根據(jù)碰撞次數(shù)可分

為13段。凹槽、物塊的o—力圖線在兩條連續(xù)的勺變速直線運(yùn)動(dòng)圖線間轉(zhuǎn)換，故可用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求

時(shí)間。則

W(m,s-1)

V=VQ+at,a——{ig

解得t=5s

。一力圖線所包圍的陰影部分面積即為凹槽的位移大小S2。（等腰三角形面積共分13份，第一份面積為0.5L,

其余每份面積均為L(zhǎng)）

s2=y+6.5L

解得,2=12.75mo

通過(guò)分析前幾次碰撞情況，畫(huà)出物體對(duì)應(yīng)的v-t圖像,通過(guò)圖像可使運(yùn)動(dòng)過(guò)程清晰明了，

并且可通過(guò)圖像所所面積把物體的位移求出

3.（2025湖南長(zhǎng)沙一模）人們?cè)絹?lái)越深刻地認(rèn)識(shí)到冰山對(duì)環(huán)境的重要性，冰山的移動(dòng)將給野生動(dòng)物帶來(lái)一

定影響。為研究冰山移動(dòng)過(guò)程中表面物體的滑動(dòng)，小星找來(lái)一個(gè)足夠長(zhǎng)的水槽，將質(zhì)量為雙長(zhǎng)為力的車

廂放在水槽中模擬冰山，車廂內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為山（山（河）、體積可以忽略的滑塊。車廂的上下表面均光

滑,車廂與滑塊的碰撞均為彈性碰撞且忽略碰撞的時(shí)間。開(kāi)始時(shí)水槽內(nèi)未裝水，滑塊與車廂左側(cè)的距離

為d。在車廂上作用一個(gè)大小為F,方向水平向右的恒力，當(dāng)車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時(shí)撤去水

平恒力。

（1）求車廂即將與滑塊發(fā)生第一次碰撞時(shí)車廂的速度”。的大??；

（2）求從車廂與滑塊發(fā)生第一次碰撞到發(fā)生第二次碰撞的過(guò)程中，車廂的位移C.；

（3）若在水槽中裝入一定深度的水，車廂在水槽中不會(huì)浮起。開(kāi)始時(shí)滑塊與車廂左側(cè)的距離為d,由于外

界碰撞，車廂在極短時(shí)間內(nèi)速度變?yōu)榉?，方向水平向右。車雇移?dòng)過(guò)程中受到水的阻力大小與速率的關(guān)

系為/=曲（k為已知常數(shù)），除第一次碰撞以外，以后車廂與滑塊之間每次碰撞前車廂均已停止。求全程

車廂通過(guò)的總路程s。

答案：（1）%==^~mL（3）s=d+s+si=d+。+T7T7-TV=d+

vMM+mafk（M+m）k（M+rri）

3M2—Mm/,_kd\

fc（7W+m）I°M）

解析：（1）對(duì)車廂，由動(dòng)能定理可得

Fd=^Mvl

解得

（2）車廂與滑塊的碰撞為彈性碰撞,設(shè)第一次碰撞后車廂和滑塊的速度分別為"河和小,由機(jī)械能守恒定律

yW=

根據(jù)動(dòng)量守恒定律

MVQ=MVM+mvm

解得

M-m

J

2M

V-=M+mVo

第一次碰撞到第二次碰撞之間，車廂與滑塊的位移分別為XM,力小,則有

XM=

工m一”館力

位移關(guān)系為

xm-XM~L

聯(lián)立解得

M-mT

xM—rL

(3)每一次碰撞后車廂的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)量定理

—E/At=EM'v

—EkvM—EM'v

累加后得

—ks=Mbv

第一次碰撞前，車廂的路程為d,所以

kd=Mv)

碰撞前車廂的速度

,kd

設(shè)第n次碰撞后，車廂的速度為外,滑塊的速度為啖，第九次碰撞至停下，車廂的路程為sno第一次碰撞，由機(jī)

械能守恒定律

+--mv^=--Mv2

動(dòng)量守恒定律

Mvi+mvr=Mv

解得

M—m

V1=V

M+m

,2M

V>=M+mV

第一次碰撞后，對(duì)車廂

—ksi=M'v

解得

Si=/xv

第二次碰撞，由機(jī)械能守恒定律

根據(jù)動(dòng)量守恒定律

Mv?+mv2—mvi

解得

2m,

二M一+m^1

,_M—m,

V2~M+mV,

所以第二次碰撞后車廂的路程

Mv?2mM47W2m

s=,=

2kk{m+M)

此后的每次碰撞前滑塊的速度大小都變?yōu)榍耙淮蔚牡涠幈叮噹o止。

M-\-m

所以第三次碰撞后車廂的路程

_.M—m_M—m

kkM+mV<1M-\-m52

第四次碰推后車廂的路程

__/M—m\2

k〈M+m)劭

第n次碰撞后車廂的路程

MV(M-mV1-2

Sn=j4=(.)?2

根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得車廂在第二次及以后的路程之和

2M2

S=、V

所以

kd\

s.,=d+s+s尸&+42。+產(chǎn)囁。="當(dāng)匕當(dāng)~M)

題型二多物體多次碰撞問(wèn)題

4.（2024重慶模擬預(yù)測(cè)）如圖所示,粗糙絕緣水平面上方，豎直線1W右側(cè)空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng),

完全相同的多個(gè)不帶電絕緣滑塊沿電場(chǎng)方向依次排列在一條直線上，編號(hào)依次為2、3、4……它們的間

距均為L(zhǎng),2號(hào)滑塊與MN邊界距離也為乙。另一個(gè)編號(hào)為1的帶正電滑塊以初速度v0從左邊界進(jìn)入電

場(chǎng)，所有滑塊的質(zhì)量都為m,與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為”=滑塊1所受電場(chǎng)力恒為用=

250gL

2

片需，所有滑塊均在一條直線上且可視做質(zhì)點(diǎn)，滑塊碰后均會(huì)粘在一起。已知重力加速度為g?？赡苡?/p>

750L

到的數(shù)學(xué)公式有：I?+22+32+……+n2=mi產(chǎn)+1）,求：

6

M

1；234

口口口口口

N

⑴滑塊1剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的加速度大?。?/p>

⑵滑塊1、2碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能；

（3）能發(fā)生碰撞的滑塊的最大編號(hào)。

……_____—3

答案：（1）有害（2）嚓駟（3）最多能與編號(hào)為6的物塊碰撞

375L1500

解析：（1）對(duì)滑塊1,根據(jù)牛頓第二定律可得

limg—Fo—ma

解得

_Vo

a—375乙

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得

vl—VQ=—2aL

由動(dòng)量守恒得

mVi=2mv[

損失的機(jī)械能為

AE報(bào)=—mvl--mv'^

聯(lián)立解得

人口一373小比

（3）第n次碰前、碰后，系統(tǒng)的動(dòng)能關(guān)系

nmv^=（n+后

碰撞后動(dòng)能記為瓦后，則

及后=y（n+l）m噂=前

將Eki記作第i次碰后系統(tǒng)總動(dòng)能，則有

O

為2=v(Eki+FoL-2/imgL)

O

Q

&3=4(廂+瓦L-34mgL)

%=而為（Ek（1）+瓊L—numgL）

數(shù)學(xué)處理后，有

Ekn=(y^o)+々電-一丹+1)

mv§

將同二Vo

75aL'”—250gL代入，得到

2

瓦力”_二萬(wàn)1館”。2（^1一布n

由

焉-蔡＜°

得編號(hào)為6的物塊碰撞結(jié)束，繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，未與7碰撞，已減速到0,所以，最多能與編號(hào)為6的物塊碰撞。

5.（2024湖南永州一模）如圖所示，物塊4口質(zhì)量分別為ni4=2kg,7nB=1kg,用輕繩相連并用勁度系數(shù)A;

=500N/m的輕質(zhì)彈簧系住掛在天花板上靜止不動(dòng)。B正下方有一個(gè)半徑為R=0.6m的四分之一光滑

固定圓弧軌道，其頂點(diǎn)a距離物塊B的高度h=0.2mo某時(shí)刻入、B間的繩子被剪斷，然后人做周期T

=0.4s的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，6下落并從a點(diǎn)平滑地進(jìn)入光滑固定圓弧軌道。當(dāng)人第二次到達(dá)平衡位置時(shí)，8恰

好運(yùn)動(dòng)到圓弧末端與質(zhì)量為巾°=0.6kg的滑塊C相碰結(jié)合為滑塊。。。平滑的滑上與圓弧末端等高

的傳送帶,傳送帶的水平長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1小、以％=lm/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，D與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)”

=0.2。傳送帶右端有一等高的固定水平平臺(tái)，平臺(tái)上表面光滑,平臺(tái)上靜置著2024個(gè)相距較近的質(zhì)量

為m1=3.2kg的小球，D能夠平滑地滑上平臺(tái)，且。與小球、小球與小球之間的碰撞均為彈性正碰（人、

B、。、小球均可以看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g=10m/s2，忽略空氣阻力）。求：

⑴物塊A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅；

（2）光滑固定圓軌道對(duì)物塊8的沖量大??；

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中D與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量。

10/1\2024

答案:（l）0.02m（2）57V-s⑶4一卷（1）J

解析：（1）初始狀態(tài)下，伸長(zhǎng)量為

△g=包”竺應(yīng)=0.06M

k

剪斷后，A處于平衡位置時(shí)伸長(zhǎng)量為

振幅

A=△/1—△力2—0.02m

（2）物塊石做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

謫

解得

ti=0.2s

B落入Q的速度

va—gti=2m/s

根據(jù)動(dòng)能定理

2

mBgR=^-mBv-^mBvl

得B在圓弧末端的速度

v=4m/s

在圓弧上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

,3T,八i

3-^---打=0.1s

取向下為正方向，豎直方向：

Iy+rnBgt2=-mBva；

解得

ly=—3N-S

........…―_——百

水平方向

Ix—mBv—4N?s

故沖量

I=5N-s

（3）根據(jù)動(dòng)量守恒

mBv=（MB+小。）外

解得

vD=2.5m/s

分析。第一次滑過(guò)傳送帶有

a=ug,L=vQt——a/\i?

得

Ai=0.5s

則有

Qi=/j.mDg{y0^t—L）—1.6J

物體?；掀脚_(tái)后與第一個(gè)小球發(fā)生彈性正碰，撞前速度

vDo=1.5m/s

規(guī)定向右為正方向，有

mDvDo=mDvDi+=-^mDv\+

解得

。劣二一0.5m/s,"i=lm/s

之后小球依次與下一個(gè)小球發(fā)生彈性正碰，由于質(zhì)量相等，速度交換，而物體。返回進(jìn)入傳送帶，假設(shè)勻減速

到速度為0,則

電=F=正?。家?1小

不會(huì)向左滑出傳送帶，因此。在傳送帶上反向向右加速，以

v'Dx=_VDI=0.5m/s

再次滑上平臺(tái)，與第一個(gè)小球發(fā)生彈性正碰，之后的運(yùn)動(dòng)具有可類比性，物體。在與小球第一次碰后在傳送

帶上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

亡3=2?—=0.5s

a

相對(duì)位移

力3I外企31七3vDlh

3A”。萬(wàn)+,+*萬(wàn)一-廠

得

=*力3=0.5m

在此過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為

Q'—△41=1.6J

同理可知，當(dāng)物體。與小球發(fā)生第k次碰撞，設(shè)碰前。的速度大小為外t,碰后。的速度大小為以，則有

卷超t=TTIV設(shè)

WWfc-i=-mDvk+m^Uk,^-DI+gnh

可得

1

vk=不”-i

在傳送帶上產(chǎn)生熱量

Q?-△軟=jLtmDgxEvk=2mDv0Xvk=￥1-]J

〃g5L\3，」

所以

Q=Qi+Qz=4——信-J

先利用所學(xué)知識(shí)把前幾次碰撞過(guò)程理順，分析透徹，根據(jù)前幾次數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)歸納法，

可寫出以后碰撞過(guò)程中對(duì)應(yīng)規(guī)律或結(jié)果，然后可以計(jì)算全程的路程等數(shù)據(jù)

6