數(shù)列（九大考點訓練）-2025年高中數(shù)學二輪復習突破（新高考專用）解析版

選填06數(shù)列

帽架導航

《.、

數(shù)列

等差等比數(shù)列的性質

法求解數(shù)列

分段數(shù)列D

求取值范圍和最值問題：

考點訓練數(shù)列的實際應用與數(shù)學文化

數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題

菲波那契數(shù)列I

數(shù)列新定義

數(shù)列與其他知識的交?

模擬題訓練

真題訓練

V考點訓煉

【考點01等差等比數(shù)列的性質】

【例1】等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，且4一%=9,$8-$5=66,則％=()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【詳解】設｛%｝的公差為d,則/-%=3d=9,解得d=3,

Sg—-8%+28d—5%—10d—34+18d-66,以q=4,

故。3=4+2d=4+6=10.

故選：C

【例2】已知S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和,若S“=3-2"T,則的=()

A.72B.-72C.144D.-144

【答案】D

【詳解】依題意，4=岳=3-4,a2=S2-S1=(3-4Z)-(3-A)=-3A,

a3=S3-S2=O-16A)-(3-42)=-12/1,由｛%｝為等比數(shù)列，得婚=《生，

即(—3X)2=(3—2)(—122),解得X=12或2=0,由%=—3/iw。，得4w0,

則2=12,所以。3=—144.

故選：D

【變式1-11已知等比數(shù)列｛?！埃凉M足：，>%>的，且巴旦=￡，則公比4=()

A.--B.2C.-1D.-2

2

【答案】D

【詳解】設等比數(shù)列｛q｝的公比為q,由%>%>/可得*>4>"，即卜"一2>:；

[a｛-a｛q>0

由>0得：4(q—l)(l+q+q2)>0.

■.T+g+,=[g+萬)+—>0,,,%(q-1)>0.

由4—“4>。得：6(1—/)>0；即q+—q)>0；

l+(7<0.gp^<-l,，q<0.

462

%+%axq+a1q〃]/(1+爐1+q

,,=5=5=<°-

a6axqaxqq

=解得：q~2或L2(舍).

q22

故選：D.

【變式1-2】已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且?guī)?120,等比數(shù)列也｝的首項為1,若外=々，貝1]地產(chǎn)

的值為()

11

A.—B.—5C.—D.5

55

【答案】B

【詳解】由題得九="（%；%5）=15%=120o/=8，

所以％=6=8,設等比數(shù)列也,｝的公比為4,所以八2=8nq=2,

則logF6=log225=—5

22

故選：B

【變式1-3］已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，且滿足S2,i=4”2-2a“-l,%=1,則數(shù)列｛%｝的通項公

式為.

【答案】an=2n-l

【詳解】設｛%｝的公差為d,

因為邑"_］=4"2-2?！?1,

2

以S3—4x2—2a2-1=15-2%,

又S3=4+%+q=3%,故15—2。2=3。2，解得%=3,所以d=%—4=2,

又〃1=1,所以%=4+（〃-1）1=1+2（〃-1）=2〃-1.

故答案為：an=2n-l

【考點02定義法求解數(shù)列】

【例3】已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，滿足3/=2S“+1,則$5=（）

A.11B.31C.61D.121

【答案】D

【詳解】令〃=1,得34=2^+1=24+1,得q=l,

由3a“=2S"+l,

當“22時，3ai=2S,i+1,兩式相減得，

3%-3%=2（S“-邑_］）=24，即4=3%,即。~=3,

Un-\

所以數(shù)列｛%｝是以4=1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

福zlx(l-35)

所以Ss=「----^=121.

51-3

故選：D.

【例4】已知數(shù)列｛%｝中，4=1,?！?凡_1+3〃-2(nGN\且〃N2),則通項公式?！?()

3〃2—〃+2?3n—3〃+2

D.----------

2

C〃(3w-l)D("1)(3〃+2)

【答案】C

【詳解】當“22時，an=an_｝+3n-2,即-a,i=3〃-2,而q=l,

所以=%+(%-%)+(%—的)+…+—a“_1)=1+4+7+…+(3〃—2)

-"(1+3"-2)_3加一■=1I-

所以所求通項公式為4=1^

故選：C

【變式2-1](多選)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為%若4=2,an+l-2an+anan+1=0,則()

B.數(shù)列1為等比數(shù)列

【答案】BCD

=+

【詳解】數(shù)列｛。"｝中，％=2,a?+1-2an+anan+l=0,則0,戶0,~>

aZa

n+\n乙

整理得1-----=-(1----),而1---=7,因此數(shù)列是首項、公比均為5的等比數(shù)列，B正確;

a2a

n+l?%2

Q

對于A,a3=-,A錯誤;

對于c，a-a懣「一口<°，則%+1<4,C正確;

n+lnz—1z—1

對于D,Wo=2+1+^^J+1+^^J+…+1+^^>11+/+/

彳口―F231

=11+----J—=E一源，口正確?

故選：BCD

12

【變式2-2】記4為數(shù)列｛4,｝的前〃項積，已知%=3,—+-=1,則數(shù)列色｝的通項公式為—.

an4

【答案】?=2〃+1

b

【詳解】由題意得，廣=見（〃？2）.

u

n-1

2+3j；?務+q=l（"42），即%+2=々（心2）,

4°n"n

???〃-%=2（〃22）,

12,）

*.*—+廠=1,q=3,=3,

axbx

?,?數(shù)列｛2｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

/.bn=3+2（〃—1）=2〃+1.

故答案為：bn=2n+l.

【變式2-3】已知數(shù)列/解前〃項和為工，若83+3向=9%+3,則S?=,4=.

【答案】789〃—3〃

【詳解】當〃=1時，8Si+9=9%+3,解得4=6,

當〃=2時，8s2+27=8%+8a2+27=9%+3,解得〃2=72,貝！jS?=4+%=78.

當2時，由8s.+3〃+i=9凡+3得8sl+3〃=94T+3,

兩式相減8S“+3角一（8S1+3"）=9a?+3-（9^+3）整理得an=9al+2x3",

即4+3"=9（4T+3〃T）,因為q+3=9*0,所以數(shù)歹U｛a“+3"｝是首項為9,公比為9的等比數(shù)列，則

見+3"=9",即。"=9"-3".

故答案為：78；9"-3"

【考點03分段數(shù)列】

【例5】已知數(shù)列｛?！埃凉M足：。用=[2""'：空色，4=與器，則下列結果為負數(shù)的是：（）.

[凡-為偶數(shù)2025

A.。20,021B.。22'^23C.“24'^25D.。26'^27

【答案】B

【詳解】設包=a2n,c?=%一,則勿=2a2,i=2色t-1）,

同理：c?=2cn_1-1,

b-2

對于他J：2—2=2（%-2）,*7^=2,

所以色一2｝是以乙一2=%—2=24-2=2&-1）為首項，公比為2的等比數(shù)歹U,

解得：2=2"（卬―1）+2,同理：q,=2i（%-l）+l,

,J2024\/2024、

r---------1+2>0,==2iU---------1+1>0,

<2025）Cl1<2025；

,2024八,/2024八

。22=b]]=2111--------1+2>0,心一。2-2《025111、U，

[2025）

（2024）&5=%=21票-1]+1<0,

。24="12=2%+2<0,

（2025）（2025）

<2024八。八C/2024八?八

。26="13=2、-------1+2<0,“27=。4=2、1+1<0,

12025）2714（2025）

所以B正確.

故選：B

%當17為偶數(shù)時

【例6】已知數(shù)列｛%｝滿足%M2'=網(wǎng)姒，若iq的所有可能取值構成集合加，則股中的

3%+1,當%為奇數(shù)時

元素的個數(shù)是（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

【答案】B

/，當a”為偶數(shù)時

【詳解】若。，又。向

3a,+1,當巴為奇數(shù)時

根據(jù)上述運算法進行逆推，可得%=2,3=4,

所以。5=8或。5=1；

若。5=8,則。4=16,q=32或〃3=5；

當?shù)?32時，〃2=64,6=128或1=21；

若〃3=5時，生=1°，4=2。或〃1=3；

當%=1,貝！J%=2,/=4%=8或。2=1；

當％=8時，a,=16；

當〃2=1時，％=2,

故4=1時，q的所有可能的取值集合M=｛2,3,16,20,21,128｝

即集合M中含有6個元素.

故選：B

2”,〃為奇數(shù)

【變式3-1］已知數(shù)列｛%｝滿足：瑪=,%,，〃為偶數(shù)，設5“=%+%+%+…+%，貝！1$2024=（）

、2

A.4048B.8096C.22024-2D.22025

【答案】A

為奇數(shù)

【詳解】因為數(shù)列｛4｝滿足：〃為偶數(shù)，且S“=%+。4+。8+…+%”，

對任意的〃eN*,2〃為偶數(shù)，則…=2,

所以，=%+&+〃8=2〃,所以，邑024=2x2024=4048.

故選：A.

七吆q+cos〃7i,〃為奇數(shù)fn+2］3"工工?干、

【變式3-2］已知數(shù)列｛4｝的首項為1,，用:n，數(shù)列｛------亦r｝的刖〃項和小于實

Q〃+COSmi,〃為偶數(shù)［an+\anJ

數(shù)A1,則M的最小值為（）

【答案】C

【詳解】當時'*即署a2k-1

2k-1

所以當〃為奇數(shù)時，｛界是常數(shù)列.又4=1,

所以當〃為奇數(shù)時，2=?=1,即%=〃，

n1

當〃為偶數(shù)時，an=an+i-l=n+\-l=n,

所以當〃WN*時，an=n-

、〃+2n+2_1________]

設向則〃一+—.2〃+

、/、/\

故也〃｝的前〃項和為4+82+A+占為）+（，二］+…+/_（“+；2c

1111

m一（〃+1）?2向＜5'當〃趨向于無窮大時，前〃和趨向于，

所以M的最小值為

故選：C.

【變式3-3］己知數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，其前〃項和為若°川=<可’為是偶數(shù)且$3=29,則

3a“+1,凡是奇數(shù)

29,n=l

【答案】5

7?i+22,n>2

【詳解】?.?邑=29為奇數(shù)，且當凡是奇數(shù)時，氏+|=34+1是偶數(shù)，

r.4、的、的中必有兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)，

若為奇數(shù)，。2、%是偶數(shù)，

次

S3=%+3q+1+1+1=29,解得q=5,

..々2=16,a3=8,%=4,%=2,^6=1,%=4,

為從第四項起，數(shù)列｛%｝是以3為周期的數(shù)列，且一個周期內的和為7,

若q為偶數(shù)，/吟為偶數(shù)，則生號為奇數(shù)，且4+4卜29,解得仁與矛盾（舍去），

若為偶數(shù)，出追為奇數(shù)，則4=券+1為偶數(shù)，且%+｝5+1=29,解得q=g矛盾（舍去）,

則〃=1時，&,,=29；當〃22時，=7（〃-1）+29=7〃+22,

29,?=1

則&”=

7H+22,H>2

29,〃=1

故答案為：5；

7n+22,n>2

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是對％分奇偶數(shù)討論，從而確定q的值以及其從第4項開始的周期性，最后

求和即可.

【考點04求取值范圍和最值問題】

【例7】已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，弓=1,數(shù)列也-%+1｝為等比數(shù)列，若（42024,則正整數(shù)

m的最大值為（）

B.10D.12

【答案】C

【詳解】等比數(shù)列｛a,｝的前〃項和為S“，q=1,設公比為4,

由數(shù)列⑸-4+1｝為等比數(shù)列,

所以當4=1時，可得S+1=〃-1+1=〃，不是等比數(shù)列，

當時，可得5"-%+1=皆二"1+1=二一一一"1,

1-ql-q1-q

所以評=。，所以g=2,

i-q

所以為=2",由（W2024,可得2"142024,

又*=1024,211=2048,可得正整數(shù)機的最大值為1L

故選：C.

【例8】（多選）若等差數(shù)列｛為｝的前“項和為S",首項為公差為d,設4>0,ak+ak+l<0,且此N*,

則下列說法正確的是（）

A.若k=6,則當且僅當〃=6時，5,有最大值

B.若％=7,則當且僅當n=13時，數(shù)列的前〃項和刀有最大值

C.若％=8,則包的取值范圍為住,

%V8J

D.若函數(shù)S（x）=gx2+（q-gjx的對稱軸方程為x=%,則尤o的取值范圍為

【答案】ABD

【詳解】對A選項，&>。，4+%<。，則%<。，所以當且僅當〃=6時，S"有最大值，A正確；

對B選項：%>。，%+%<0，則幾=S+%jxl3=13%>0,幾次+知2二7^%）4,強>。

咤<0,

當且僅當〃=13時，數(shù)列的前〃項和（有最大值，B正確；

對C選項：〃8=。1+74>0,〃8+〃9=2%+15d<0,且d<0,%>。，

1d2名「613、

所以一不<一<一京，則一R亍二，C錯誤；

7q156V15）

對D選項：由已知可得4>。，d<0,且q+（左一l）d>0,24+（2左一l）d<0,

所以左—1<--j-<k——,而％o=7—，故/J左一彳，％],即D正確.

故選：ABD

【變式4-1］已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,??=aH+1-3-4--l,"eN*,則數(shù)列｛%｝的通項公式a,=，若

數(shù)列｛%｝對任意的〃eN*,左(%+4-〃)22”-5恒成立，則實數(shù)上的最小值為

【答案】4"-4+/1《/0.015625

【詳解】an=a“+i-3?4"-1=>%-q,=3?4"+1,

當〃之2,〃wN*時,

凡二(〃「％)+(4/1一見-2）+…+（。2_4）+4=（3-4"T+1）+（3.4〃-2+1）+???+（3-4+1）+1

1-4

化+4—〃)>2〃-5n左(4“-4+〃+4—〃)之2〃-5nk>-,

2n-52九一32n-517-6n

wbn=—,bn+i-bn=-—=邛+1-，

當〃=1,2時，b2>b［9b3>b2,

當〃23,〃eN*時，bn+l<bn<b^<---<b4<b3,因此％是數(shù)列｛2｝的最大項

要想數(shù)列｛"”｝對任意的“eN*,左4+4-“)22”-5恒成立，

只需左24=占，

64

故答案為：4陵-4+〃；—

64

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用參變量分離法，結合構造新數(shù)列，利用差比法判斷數(shù)列的單調性.

【變式4-2］將數(shù)列4=3”-2與數(shù)列或=4w-3的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則使得q,>2025成立

的"的最小值為.

【答案】170

【詳解】由題意，｛叫與也｝的公共項為1,13,25,37,

故g=12"一11,所以12〃一11>2025,解得〃>50深9，

所以”的最小值為170.

故答案為：170

?2732〃+i512

【變式4-3］已知數(shù)列｛?！埃那皐項和為S“，且4=2”,則使不等式—+”+…+不「<而立成立的正

31025

整數(shù)H的最大值為（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】C

2角(2"+22)-(2向-2)11

【詳解】依題意，52（￡-1）=2?+1_2

n+1n+,+2

〃2-1SnSn+i~(2-2)(2"+2—2)-2-22"-2’

222J2M111111

則----1--------1-----1---------=--------------1---------------------1-----1-----------------------

334n+1n+2

S22S2s3SnSn+i22-22-22-22-22-2

號一生

=_1______1__式7-tq_______1______1___<__5_1_2_即nn___1___>_1____5_1_2_=___1__

22"+2_2'''22"+2-21025;2,,+2-2210252050,

因此2”+2<2052<2巴解得〃<10,所以所求正整數(shù)〃的最大值為9.

故選：C

【點睛】易錯點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫

未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的.

【考點05數(shù)列的實際應用與數(shù)學文化】

【例9】蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關，如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件

制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段AB,作一個等邊三角形ABC,然后以點3為圓

心，為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點。（第一段圓?。?，再以點C為圓心，C。為半徑逆時

針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)弥?!的“蚊

香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為.

【答案】80兀

【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為手2兀,

設第八段圓弧的半徑為r?,則可得rn+l=rn+l,rt=l,

故數(shù)列也｝是以首項4=1，公差"=1的等差數(shù)列，

貝Irn=l+n-l=n,

則“蚊香”的長度為

2兀27c2兀2兀/、2兀15x(1+15)

彳外+彳4+…+石缶=石(6+弓+-+公)=彳*---------=80TT.

故答案為：80TI.

【例10】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二

十六題，叫做“物不知數(shù)”.原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問

物幾何？現(xiàn)有一個相關的問題：被3除余1且被4除余2的正整數(shù)，按照從小到大的順序排成一列，構成

數(shù)列｛4｝，貝U%您的值為()

A.24294B.24296C.24298D.24300

【答案】C

【詳解】被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，

構成首項為10,公差為3*45的等差數(shù)列，

所以％=10+12x(〃-1)=12n-2,

貝I」2025=12x2025-2=24298.

故選：C.

【變式5-1】如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第〃層有％個球，則數(shù)列［，1的前5項和為

()

【答案】A

【詳解】由題意得，4=1,

當時，％一％=2,。3-〃2=3,…,Q〃一%=〃，

以上各式累加得：an=1+2+3+…+九22),

經(jīng)檢驗4=1符合上式，所以為=嗎少

12=2

所以一=1__L

annn+1

設數(shù)列的前W項和為s”,

25

則5“=2所以Ss=2_(=?

o3

故選：A.

【變式5-2](多選)傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和小石子

所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所給的稱為三角形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列{4},其前“項和為s”,

則()

???

??????

?????????

3610

A.%=21B.an+1=an+n+2C.a^+1=anan+2D.Sn+l-Sn=^^-

【答案】AB

【詳解】A選項,由題得G=1+2,%=1+2+3,4=1+2+3+4,........,

根據(jù)等差數(shù)歹!J的求和公式可得4,=1+2+3+―+〃+1=5+2)("+1),貝|j?=2i,人正確；

n22

B選項，%=(?3),+2)/2+3〃+；+2九+4一“+〃+2,B正確；

C選項，C1=5+3)3+2)2,而(〃+2)(〃+1).(“+4)(〃+3)=(〃+1)(〃+2)(〃+3)(〃+4),

+2

"+i4""224

anan+2,C錯誤；

n+3n+2

D選項，Sn+]-S?=an+lJ^\D錯誤?

故選：AB

【變式5-3】如圖的工藝品是由九個圓柱焊接而成.這些圓柱具有共同的軸，最下邊的圓柱的高為10cm、底

面半徑為5cm.從由下至上第二個圓柱開始，每個圓柱的底面半徑與高都分別是其下面一個圓柱的底面半徑

與高的0.8倍，則這個工藝品的表面積(含最下邊圓柱的下底面積)約為cm：(精確到Icn?)

1

【答案】1014

【詳解】由題設，第〃個圓柱的高4=10X0?T,底面半徑/=5x0.8"。

所以，第〃個圓柱的側面積為2口九=100x0.827兀，底面積為*=25xOV兀，

1_o649

貝1|側面積之和為IOOTTX(1+0.82+0.84+---+0.816)=100TTX1°54~857cm2,

2

底面積之和為兀片+片-…+(42-4)+療］=2M2=2兀*25它157Cm,

所以工藝品的表面積為857+157=1014cm2.

故答案為：1014

【考點06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題】

【例11】已知單調遞增的整數(shù)列｛外｝共有〃項，％=1,4=200,且對任意的整數(shù)〃?e［2,3，都存在整數(shù)

力使得冊=《+勺("可以相等)，則數(shù)列｛%｝至少有()項.

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【詳解】當”=10時,數(shù)列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200滿足；

若有9項，依題意見=2,am<2am_x,

所以〃3<4,<8,<16,tz6<32,tz7<64,as<128,

而為=200,所以。8=1。。，%=50,%=25,此時q=25>8+16,

所以應無法取整數(shù)；

顯然當都不成立.

故選：D.

【點睛】本題主要考查數(shù)列的新定義，還考查了分析推理求解的能力，屬于難題.

【例12］若數(shù)集S的子集滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1,則稱該子集為數(shù)

集s的超子集.已知集合，記4=｛1,2,3…，磯weN*,“23),記4的超子集的個數(shù)為乙,當4的超子集個

數(shù)為221個時，?=.

【答案】11

【詳解】集合｛1,2,3「..,匕％+1,%+2｝小?^)的超子集可以分為兩類：

第一類中不含有％+2,這類子集有個，

第二類子集中含有k+2,這類子集為｛123，…囚的超子集與伏+2｝的并集，共有必+上個，

■-ak+2=ak+l+ak+k,

a3=1,&=3,

..Q5=7,。6~14,a7=26,。8=46,。9—79,a1?！?33,?？凇?21,

故答案為：11.

【變式6-1】已知無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，不等式％凡<。對任意不等于2的正整數(shù)〃恒成立，且

6S?=(a?+l)(a?+2),那么這樣的數(shù)列有個.

【答案】4

(詳解】當〃=1時，6%=。；+34+2,得q=1或%=2,

當心2時,由6s“=(4+1)(%+2),得加=(%+1)(%+2),

兩式相減得：6a“=a；-a；-+3an-3。“—,

整理得(a.+a?_i)(。“-a.7-3)=0,所以a“=-a；；—或%-a”—=3,

當％=1時，若〃2=-％,可得。2=-1，

因為不等式。<。對任意不等于2的正整數(shù)〃恒成立，

所以4>0對任意不等于2的正整數(shù)〃恒成立，

則當〃23時,an-an_x=3,即％=2,a4=5,???,an=-l+3(n-2)=3?-7,成立；

若生=一%=1,時，-an_x=3,即%=-1,a3=l,???,?！ǘ?〃一8,成立；

當q=1時，若%=%+3,可得％=4>。，axa2>0,不合題意，舍去；

當％=2時，若生二一%,可得。2=-2,

由題意可得%>0對任意不等于2的正整數(shù)n恒成立，

則當“W3時,a?-??_1=3,即。3=1,“4=4,…，an=-2+3(n-2)=3w-8,成立;

若。3=-。2=2,“24時，an-a?-i=3,即%=-2,%=2,…，an=3n-7,成立；

當q=2時，若。2=%+3,可得出=5>0,ata2>0,不合題意，舍去.

所以滿足題意的數(shù)列有4個.

故答案為：4.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是用凡與5“的關系求得-4-或a“-%—=3,但由于％=1或6=2兩

個值，就會有四種組合，分類意義驗證恒成立即可.

【變式6-2］已知數(shù)列｛%｝共有10項，且4@｛1,2,3｝,若014a2444…4%。，則符合條件的不同數(shù)列有—

個.

【答案】66

【詳解】若氏的值只有1種可能，則符合條件的不同數(shù)列有3個，

若氏的值有2種可能，則利用隔板法可知，符合條件的不同數(shù)列有C；C；=27個，

若凡的值有3種可能，則利用隔板法可知，符合條件的不同數(shù)列有C：=36個，

故共有66個符合條件的不同數(shù)列.

故答案為：66

【變式6-3】已知有窮數(shù)列｛4｝的首項為1,末項為10,且任意相鄰兩項之間滿足。用-4e｛1,2｝,則符合

上述要求的不同數(shù)列｛%｝的個數(shù)為.

【答案】55

【詳解】依題意，首項和末項相差9,而任意相鄰兩項之間滿足%M-%e｛1,2｝,

設a同-〃“=2成立的項數(shù)共有左項，設4+「4=1成立的項數(shù)共有機項，

可知：9=2k+m(k,meN),

當上=0時，即后一項與前一項的差均為1,數(shù)列｛4｝的個數(shù)為1；

當左=1時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)1個2,7個1,數(shù)列｛4｝的個數(shù)為c；=8；

當左=2時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)2個2,5個1,數(shù)列｛?！埃膫€數(shù)為C；=21；

當左=3時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)3個2,3個1,數(shù)列｛6｝的個數(shù)為C：=20；

當左=4時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)4個2,1個1,數(shù)列｛4｝的個數(shù)為C：=5；

所以符合上述要求的不同數(shù)列｛%｝的個數(shù)為1+8+21+20+5=55.

故答案為：55.

【考點07菲波那契數(shù)列】

【例13］斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故

又稱“兔子數(shù)列”，其數(shù)值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……,在數(shù)學上，這一數(shù)列以如下遞推的方法

定義：*1）=1,F（n）=F（n-l）+F（n-2）（n>3,〃￡N*），記此數(shù)列為｛“〃｝，則〃2019+“2020+“2022+%024等于

C.”2025

A.。2023B?4024D.42026

【答案】C

【詳解】由題意得，%=1,a〃+a〃+i=q'〃+2，〃￡N*,

則“2019+“2020+“2022+“2024="2021+“2022+%024=^2023+“2024=〃2025?

故選：C.

【例14］意大利數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,123,5,…，其中從第三

項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，即q=%=1,4+2=a〃+i+a”(〃￡N*).后來人們把這樣的一列數(shù)

組成的數(shù)列｛%｝稱為“斐波那契數(shù)列”.記S”為“斐波那契數(shù)列”｛%｝的前n項和，若

1

,^2024=P------^2025=Q,則"2025=.（結果用P，Q表小）

【答案】言

【詳解】由題意知%=%=1

aa〃（〃￡）

n+2=n+l+aN*=>q1+1=凡+2一%

所以則4=%3-q）=4%一4%，

^2024="2024（“2025—^2023）=。2024。2025102023a20249

="2025”2026—02025"2024'

。1+%+“3+,42025=〃2025a2026，即4=〃2025〃2026①，

a=aa

由題意得當n>3時，氏=?！ㄒ?+凡一2，則n-\n~n-2，

所以〃2=%一〃1，〃3=/一〃2,......=Q〃-4-2，Q〃=Q〃+]_Q〃T，

aa

所以S〃=4+%+。3+…+n-\+n

=4+3_卬）+（4_々2）+.一+（%一?—2）+（q+1_%）

a+aa

=nn+l~2=為+2-〃2=4+2，

所以§2024=〃2026-1=P，所以。2026=。+1②，

所以由①②可得a2025=-^—

。+1

故答案為：.

P+1

【點睛】方法點睛：與新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的

運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所

學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；

2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，

逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.

【變式7-1]（多選）斐波那契數(shù)列（H加加zcdseq〃e〃ce）,又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家萊昂納多.斐波那契

以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學上斐波那契數(shù)列以%=q-1+q_2（“23,"??^）的遞推

方法定乂，已知。1=1,%=1,則（）

a6

A.—=4B.3凡=%―2+%+2

a3

（3?++“5+***+〃2023〃2024D（+“4+“6+***+〃2024〃2025

【答案】ABC

【詳解】對于A,由%=1,%=1，=%-1+%一2（。之3,〃EN*）,

可得。3=2,。4=3,%=5,4=8,貝U法=4，故A正確；

對于B,an_2+an+2=an_2+an+i+an=an_2+an_x+an+an=3an,故B正確；

對于C,4+/+a5H----1■%）23=%+（〃4—%）+（%—〃4）+…+（%024—々2022）=。2024，故C正確；

對于D,6^+6Z4+6Z6H-----1"/024=（%一4）+（。5—4）+（%—。5）+…+（/025—%023）="2025—1，D錯誤.

故選：ABC.

【變式7-2】1202年,意大利數(shù)學家斐波那契(LeonardoFibonacci,約1170-約1250)以兔子繁殖問題,引

入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,即片=工=1,Fn=Fn_x+Fn_2(n>3,n^.人

們在自然界中發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的例子.斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域也有著

廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛4｝,則數(shù)列｛q｝的前2025項的和為.

【答案】1350

【詳解】由題意知數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列｛q｝：1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,

即數(shù)列｛風｝是以3為周期的數(shù)列，一個周期內的三項和為2,

因為2025=675x3,故數(shù)列｛。,｝的前2025項的和為675x2=1350,

故答案為：1350

【變式7-3】己知斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的第”個數(shù)記為工(〃eN*)，則片=8=1,

2024

工+工+1=凡+2，已知&23=m，月024=”9貝。工42=.(用含機，”的代數(shù)式表示)

1=4

【答案】*+mn-6

【詳解】因為工+￡討=工+2，

2024

所以，42=￥+以+代+…+成24

i=l

=￥+7^(片—片)十月(瑞-K)dF&24(凡025—723)=邛一打工+^2024^2025

期)=

025=%24-3+6n(n+m),

20242024

所以X42=—(42+代+居)=〃(〃+加)-(1+1+4)=/+加〃-6.

i=4i=l

故答案為：九之+mn—6

【點睛】斐波那契數(shù)列的性質：(1)S.=%+%+/+…+%=?+2—1；

(2)%+〃3+-----1■a2n-\=a2n；

(3)a2+a4+a6+???+a2n=a2n+l-1；

a+a+a+--+a=-|(?-l)

(4)3693n3n+2

(5)*+4+2=3%；

（6）“加+〃-1-aman+am-\an-\；

⑺a；=%%-4%；

（8）a~+a.1=a2n+1；

aa

（9）a：+a；+嗎H---ka；=nn+i；

（10）—=a-i+a

a,nn+l

【考點08數(shù)列新定義】

【例15］若數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且V〃eN*,都有（q+%+…+="+W+…，則稱數(shù)列包,｝

具有“尸性質”，則下列說法正確的是（）

A.若%=3〃-2,則數(shù)列｛%｝具有“P性質”

B.若為=2"T,則數(shù)列｛叫具有“P性質”

C.具有“尸性質”的數(shù)列｛為｝的前〃項和為當D

D.具有“P性質”的數(shù)列｛%｝的前"項和為3"-1

【答案】C

【詳解】當〃=1時，工="，所以％3=那，

因為%>。，解得4=1,當〃=2時，

則（1+%）2=E+W，因為〃“>o,

233

所以％=2,當〃=3時，（3+673）=1+2+^,

所以用=3,猜想假設當〃=左時%=上成立，

止匕時&=l+2+L+已=左（:1）,

現(xiàn)證明F+2?+33+L+〃3=［四1辿：，

當鞏=1時，左邊為1,右邊為1,

成立，當