直線的傾斜角與斜率（教學(xué)設(shè)計(jì)）-高二年級(jí)上冊數(shù)學(xué)人教A版選擇性

2.1.1直線的傾斜角與斜率教學(xué)設(shè)計(jì)

本章主要學(xué)習(xí)直線和圓的方程，通過在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置和圓的幾何

要素，用代數(shù)方法刻畫直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離，建立直線和圓的方程，再用方程來研究和

解決與直線和圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn)，初步感悟平面

解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握它們之間的關(guān)系.（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理）

2.理解直線的方向向量和向量坐標(biāo)表示.（數(shù)學(xué)抽象）

3.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：①掌握直線的傾斜角與直線斜率的概念；

②掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式.

2.難點(diǎn)：會(huì)用向量方法導(dǎo)出斜率定義的過程.

三、學(xué)情分析與教材分析

1.學(xué)情分析：

本節(jié)課中兩點(diǎn)確定一條直線是學(xué)生知道的，但如何在直角坐標(biāo)系下確定直線的幾何要素，

并將其代數(shù)化，對(duì)學(xué)生來說有點(diǎn)困難。所以在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生在掌握兩點(diǎn)確定一條直

線的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步意識(shí)到直線上的一點(diǎn)和方向也能確定直線的位置，將其轉(zhuǎn)化形成傾斜角的

概念。而直線的傾斜角是個(gè)幾何量，直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)是代數(shù)量，建立二者之間的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生

來說也有一定的困難，教學(xué)中，要借助向量工具，通過從特殊到一般的過程，引導(dǎo)學(xué)生用任意

角的三角函數(shù)來刻畫直線傾斜角，建立直線的斜率公式。

基于以上分析，確定了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：傾斜角和斜率概念的形成和理解，直線的斜率公

式的推導(dǎo)。

2.教材分析：

內(nèi)容解析：本課是人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章第一節(jié)《直線的傾斜角與斜率》的

第一課時(shí)，是高中解析幾何內(nèi)容的開始。直線的傾斜角和斜率分別從幾何和代數(shù)的角度刻畫了

直線的方向，過兩點(diǎn)的斜率公式把直線的傾斜角與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來，將直線的幾何

特征代數(shù)化，是用坐標(biāo)法研究直線及其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。

為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，首先需要研究在平面直角坐標(biāo)系中確定直線的幾何

要素，通過一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線，引人直線傾斜角的概念刻畫直線的方向；進(jìn)而通過

向量法，用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫直線傾斜角的正切值，引出直線斜率的概念；最后建立過兩

點(diǎn)的直線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.這一過程了體現(xiàn)了坐標(biāo)法和數(shù)形

結(jié)合的基本思想。

本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的起始課，本節(jié)課不僅要理解兩個(gè)概念、得到一個(gè)公式，更要了解幾

何問題代數(shù)化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想方法。傾斜角作為一個(gè)幾何概念，主要是

為后面的斜率、直線與直線的平行和垂直的判定知識(shí)做鋪墊。斜率則是以代數(shù)方法研究圖形的

幾何性質(zhì)的重要概念，是確定直線方程的重要因素。本節(jié)課有著開啟全章，奠定基調(diào)，滲透方

法的作用。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點(diǎn)的直線斜率

公式。

四、教學(xué)過程

1.引入新知

今天由我?guī)Т蠹疫M(jìn)入數(shù)學(xué)的世界。

閱讀本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。（ppt展示）

我們先觀看一個(gè)視頻。（播放視頻）

引導(dǎo)語：在視頻中講到解析幾何就是將幾何通過確定平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)，從而將

幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來進(jìn)行研究，在我們的幾何當(dāng)中，最簡單的元素是點(diǎn)、線、面，那點(diǎn)

在直角坐標(biāo)系內(nèi)如何表示，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，今天，我們在直角坐標(biāo)系中通過代數(shù)的方法來

研究還有哪些可以確定直線的基本要素，今天我們所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是直線的傾斜角與斜率。

2.新課探究

問題1:直線是最簡單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？

學(xué)生：兩點(diǎn)確定一條直線.

追問：還有沒有其他確定一條直線的方法？y人

學(xué)生：一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線.設(shè)A,8為直線上的兩點(diǎn)，\\/'/,

則通就是這條直線的方向向量.所以，兩點(diǎn)確定一條直線可以歸結(jié)為一點(diǎn)和

一個(gè)方向確定一條直線.Z7v

追問：經(jīng)過一點(diǎn)P有多少條直線？

學(xué)生：無數(shù)條.

追問：它們組成一個(gè)直線束，這些直線的區(qū)別是什么？

學(xué)生：無數(shù)條直線方向不同、直線的傾斜程度不同.

思考:怎樣描述這種“傾斜程度”的不同？

師引導(dǎo)：從學(xué)校出發(fā)到文化廣場，路上有很多上坡路，這些坡有陡有緩，我們?nèi)绾蚊枋銎?/p>

度的陡緩程度呢？

學(xué)生：找一個(gè)水平面

師引導(dǎo)：對(duì)，我們通過水平面當(dāng)做參照物來描述坡度的陡緩程度，那F卜//2

數(shù)學(xué)當(dāng)中也有一個(gè)很好的參照物，就是坐標(biāo)系。所以我們可以把直線放入\//,

坐標(biāo)系中，通過直線與X軸所成的角不同來描述直線的傾斜程度。為了更，.“

好的描述直線方向，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向|

為這條直線的方向。

自學(xué)課本第51頁（1分鐘）（自學(xué)任務(wù)：傾斜角概念）

自學(xué)傾斜角概念后，在導(dǎo)學(xué)案所給圖中標(biāo)出直線的傾斜角。（我們在思考一哈這里是直接

學(xué)生自學(xué)得出還是通過一定的探索過程）

強(qiáng)調(diào)：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.

思考：直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？

y

圖中直線4的傾斜角%為零度角，直線4的傾斜角%為直角，，/'2

直線，2的傾斜角為銳角，直線，4的傾斜角&4為鈍角.因此，直線-J

的傾斜角a的取值范圍為0。4夕＜180。.（呈現(xiàn)一哈這幾種的圖像，V

更加直觀的呈現(xiàn)給評(píng)委）-[/|

這樣，在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜

角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，

傾斜角不相等.因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表

示了直線的方向.

概念辨析：判斷下列結(jié)論是否正確

1.在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角.V

2.方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等.V

3.方向不同的直線，傾斜角可能相等.X

4.可以用傾斜角表示一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向V

小結(jié)：任何一條直線都有唯一確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng)

問題2：傾斜角從“形”的角度描述了直線傾斜程度，那么從“數(shù)”的角度能否描述直線

的傾斜程度？

我們知道，直線/可由其上任意兩點(diǎn)耳,鳥唯一確定，直線/又有唯一確定的傾斜角，可以

推斷，直線/的傾斜角一定與兩點(diǎn)《(%,%),2(%，%)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)

系？

在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)我們一般先從特殊情況入手再過渡到一般情況，下面我們從最特殊的情

況開始研究.

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線/的傾斜角為a.

(1)已知直線/經(jīng)過。(0刀)，P(瓜1),a與o,p的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量法的優(yōu)勢，以及為什么要用正切函數(shù)(復(fù)習(xí)

任意角的三角函數(shù))來建立角a與給定兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系.

對(duì)于問題⑴，如圖，向量方=(百,1),且直線0P的傾斜角為a.我們學(xué)習(xí)過關(guān)于角的

知識(shí)點(diǎn)由正切函數(shù)的定義，有

+_1

tanct-———

G3

(1)

(2)類似地，如果直線/經(jīng)過4(-U),6(0,0),a與片,鳥的坐標(biāo)又有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行小組探究，探究過程中，難點(diǎn)在于將向量移動(dòng)到以原點(diǎn)為起點(diǎn).

如圖，^=(-1-72,1-0)=(-1-72,1).平移向量月月到麗，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1-A1),

且直線OP的傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義，有

1

tana=-----=1-&

-1-V2

(2)

追問：你能將上述方法進(jìn)行一般性的推廣嗎？

（3）一般地，如果直線/經(jīng)過兩點(diǎn)《（石,口）,彳々），那么a與《，鳥的坐標(biāo)

有怎樣的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過獨(dú)立思考，將問題推廣到一般情形，并自主探究解答.當(dāng)福的方向

不同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生討論傾斜角與4,6兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，得到計(jì)算公式后追問下面的問

題.

一般地，如圖2.14,當(dāng)向量8耳的方向向上時(shí)，耳g=%,%—%），平移向量耳耳到而，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（々-和丁2-％），且直線OP的傾斜角也是a,由正切函數(shù)的定義，有

同樣，當(dāng)向量斯的方向向上時(shí)，如圖2.15,羽=（%—%,%—%），也有

占一4%—%

所以，計(jì)算直線A2的斜率時(shí)，與品6兩點(diǎn)的順序無關(guān).

問題3：（1）當(dāng)直線片鳥與y軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？

（2）當(dāng)直線片鳥與x軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？

學(xué)生：（1）當(dāng)直線18與，軸平行或重合時(shí),直線傾斜角為90°,tana不存在，又此時(shí)看=々,

tanqnXzA不存在，所以當(dāng)直線片鳥與丁軸平行或重合時(shí)，上述式子不成立.

再~X2

（2）當(dāng)直線［8與x軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為0,tan?=tanO°=O,又此時(shí)％=%,

tana=近二區(qū)=0,所以當(dāng)直線打舄與x軸平行或重合時(shí)，上述式子成立.

再一又2

教師：綜上可知，直線/的傾斜角a與直線/上的兩點(diǎn)耳（藥,％）,6（X2，%）（X的坐標(biāo)

有如下關(guān)系：

tana=~~—①

X2-X11

我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母人表示，即

k=tan~—②

----------西

特別地，垂直于X軸無斜率。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)特殊問題一般化的抽象得到傾斜角的正切值，即斜率的計(jì)算公式，并通

過師生對(duì)該公式意義的分析，發(fā)現(xiàn)它正是我們尋求的刻畫直線方向的代數(shù)表達(dá).這種形式能直

接參與代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問題的目的.

問題4：傾斜角的大小與斜率為正或負(fù)有何關(guān)系？

（使用希沃白板播放傾斜角與斜率的關(guān)系，學(xué)生觀察并完成下表的填寫，30秒時(shí)間核對(duì)答

案）

圖示

傾斜角

斜率

師生活動(dòng)：教師通過希沃白板展示動(dòng)圖，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想回答，幫助學(xué)生理

解其中的變化情況和特殊點(diǎn)的取值.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合正切函數(shù)的概念及其單調(diào)性，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)隨著傾斜角的變化，斜率的變

化情況，理解其中斜率不存在的情況，使得學(xué)生對(duì)傾斜角和斜率的概念有更清晰的認(rèn)識(shí).

思考：你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？(我們在之前就學(xué)過直線的方向

向量也可以表示直線的方向，這節(jié)課學(xué)習(xí)的斜率也是表示直線的方向，那么他們存在什么聯(lián)

系呢？)

我們知道，直線46上的向量強(qiáng)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.直線片鳥的

方向向量耳B的坐標(biāo)為(X2-石，為-%).(這里讓學(xué)生來呈現(xiàn)效果更好)，寫在導(dǎo)學(xué)案上展示

當(dāng)直線與X軸不垂直時(shí)，%1*%,此時(shí)向量一--《鳥也是直線打鳥的方向向量，且

2X?—%

它的坐標(biāo)為---]--(％-和為-%),即(1,2-0\=(1,左)，其中左是直線《鳥的斜率.因此，若

々一%I%—X"

直線/的斜率為左，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(》,y),則左=2.

X

師生活動(dòng)：利用斜率公式和直線的方向向量的坐標(biāo)表示，建立二者之間的聯(lián)系.利用直線

的方向向量

設(shè)計(jì)意圖：利用斜率公式和直線的方向向量的坐標(biāo)表示，建立二者之間的聯(lián)系，為今后相

關(guān)問題的解決奠定基礎(chǔ).

3.應(yīng)用新知

練習(xí)L已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率：

2〃3〃

(1)a=30°；(2)a=45°；(3)a=——；(4)a=——.

34

解析：(1)Z:=tan30o=—;(2)^=tan45°=l

3

/、73〃.

(3)k—tan—^―=-；(4)k=tan——=一1.

4

練習(xí)2.已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角:

(1)k=0；(2)k=A/3;(3)k=-y/3;⑷kg

答案：(1)0；(2)一；(3)—；(4)—?

336

例L已知A(3,2),5(—4,1),C(O,-1),求直線AB,BC,C4的斜率，并判斷這些直線

的傾斜角是銳角還是鈍角.

1-21

解析：直線AB的斜率=,

-1-1-21

直線5c的斜率用c二八(小=丁=一不

U一(-4)4Z

直線C4的斜率左CA=U^=：=1,

3—U3

由心3＞。＞及可知，直線與C4的傾斜角均

為銳角；由即c＜。可知，直線8。的傾斜角為鈍角.

練習(xí)3：經(jīng)過A(0,2),3(-1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(LQ,求人的值.

20k

解析：kAB=c/1、=不，所以左=2.

師生活動(dòng)：練習(xí)1和練習(xí)2由學(xué)生接龍回答，例