浙江省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級下冊數(shù)學(xué)模擬試題

浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期仿真模擬數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)zi=3+4i/2=a+i,且zi&是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于()

3443

A.---

4B.33D.4

2.已知集合A={x\x>-1},B={-3,-2,—l,0,l,2},則(C")nB=()

A.{-3,—2}B.{-3,—2,—1}C.(0,1,2)D.[-1,0,1,2)

3.函數(shù)/(久)=Wln|幻的圖象大致為()

4.已知平面a內(nèi)的三點(diǎn)4(0,0,1),B(0,1,0),C(l,0,0),平面0的一個(gè)法向量為蔡=(一1,一1,-1),

且￡與a不重合，則()

A.a//p

B.a1°

C.a與0相交但不垂直

D.以上都不對

5.甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球.先從甲箱中等可能地取

出2個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中等可能地取出1個(gè)球，記事件“從甲箱中取出的球恰有i個(gè)紅

球”為4(i=0,1,2),“從乙箱中取出的球是黑球”為B,則()

1CC1

A.P(a)=1B.P(B\A1)=lC.=|D.P(4|B)=(

6.在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,M是BC中點(diǎn)，且麗=2NC,則福?前的值為()

A.32B.24C.16D.8

7.已知數(shù)列則“廝-2+口"+2=2即仇23,幾6'*)”是，數(shù)列｛%1｝是等差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.己知&&是雙曲線捺一意=1缶>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過&的直線/與雙曲線的左

支交于點(diǎn)4與右支交于點(diǎn)B,若|4&|=2a,且雙曲線的離心率為則（）

A.\AB\>\AF2\B.\AB\=\AF2\C.\AB\<\AF2\D.2\AB\=\AF2\

二、多選題

9.已知正四面體P-4BC的棱長為分別為正四面體棱BC,4C,PA的中點(diǎn)，F(xiàn)為面4BC

內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面EBC截正四面體P-ABC的外接球所得截面的面積為乎

B.若存在尢回，使得方=4兩+〃麗，則線段CF長度的最小值為號

C.過點(diǎn)P作平面a//平面EBC,若平面aC平面4BC="，平面an平面PAC=",則M

所成角的正弦值為日

D.平面EMN與平面ABC夾角的余弦值為g

10.已知/（久）=Asin（3x+g）（A〉0,3>0,0<0<工）的部分圖象如圖所示，則（）

Tv

A./（%）的最小正周期為n

B./（%）的圖象可由y=2cos2%的圖象向右平移盤個(gè)單位得到

C.f（x）在（―工,茬）內(nèi)有3個(gè)極值點(diǎn)

D./（久）在區(qū)間［詈,2向上的最大值為百

11.已知函數(shù)/（%）=a（e*+a）-%有兩個(gè)零點(diǎn)%1，%則下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.a的值可以取工B.a的值可以取之

4

C.|X1—比21的值關(guān)于a單調(diào)遞減D.f(x1)+f(x2)>0

三、填空題

12.某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競賽課程,

現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一

個(gè)學(xué)科的競賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報(bào)名方法數(shù)為.

13.已知實(shí)數(shù)久，y滿足/+必一4比一2y-4=。，貝"x-y的最大值是.

14.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(%)的定義域均為R,若"1—4%)，；x—f(x+2)都為偶函

4

數(shù)，則￡挺"'快)=.

四、解答題

15.2023年12月30日8時(shí)13分，長征二號丙/遠(yuǎn)征一號S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)

火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道.由中國航天科技集團(tuán)有限公司

研制的運(yùn)載火箭48次宇航任務(wù)全部取得圓滿成功.也代表著中國航天2023年完美收官.某

市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)從本市大學(xué)生和高中生

中抽取一個(gè)容量為n的樣本，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下列聯(lián)表:

關(guān)注度

學(xué)生群體合計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

3n2n

大學(xué)生

10T

高中生

3n

合計(jì)

T

(1)完成上述列聯(lián)表；依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群

體有關(guān)聯(lián)，求樣本容量〃的最小值；

(2)用頻率估計(jì)概率，從本市大學(xué)生和高中生中隨機(jī)選取3人，用X表示不關(guān)注的人數(shù)，求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-bc')2

2其中=a+b+c+d.

z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

16.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2cosB+abcosA=2c.

⑴求a；

(2)若4=§,且△ABC的周長為2+逐，求A4BC的面積.

17.在平行六面體ABCD-4祖6。1中，底面ABCD為正方形，AB=AAi=2,乙41aB=%

側(cè)面CDDiQ1底面力BCD.

(1)求證：平面4BC1平面CDDiG；

(2)求直線AB】和平面所成角的正弦值.

18.己知橢圓C：提+《=1(a>b〉O),離心率e=*,且點(diǎn)4(2,-1)在橢圓上.

(1)求該橢圓的方程；

(2)直線I交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，直線ZP,4Q的斜率之和為0,且NP4Q=T，求APAQ的面

積.

19.已知函數(shù)/(x)=2/—3/+%.

(1)若曲線y=/0)在點(diǎn)(xo./Oo))處的切線的斜率為1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(%0，/(配))處的

切線方程；

(2)定義:若Vxe[a,6],均有f(%)Vg(x),則稱函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)的控制函數(shù).

①Vxe[0,l],試問g(x)=x是否為函數(shù)〃x)=2比3—3/+x的“控制函數(shù)，，？并說明理由；

@VxG[0,3],若g(%)=x+m為函數(shù)f(x)=2旬-3久2+=的“控制函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

試卷第4頁，共4頁

《浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期仿真模擬數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案AACADABBABDABD

題號11

答案ACD

1.A

【詳解】分析：計(jì)算々2=a-i,由zi&=3a+4+(4a-3)i,是實(shí)數(shù)得4a-3=0,從而得

解.

詳解：復(fù)數(shù)zi=3+4i,Z2=a+i,

z2=a—i.

所以ziz2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,是實(shí)數(shù)，

所以4a—3=0,即a=

4

故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)共軌的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集及交集計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)榧狭?{x|x2—1},B=[-3,-2,-1,0,1,2},

則CRA={x\x<-1},

則(CR4)CB={—2,—3}.

故選：A.

3.C

【分析】由解析式判斷出函數(shù)的奇偶性，再帶入特殊點(diǎn)逐一排除即可.

【詳解】由函數(shù)〃久)=二ln|x|可知定義域?yàn)?-8,0)u(0,+8),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

1+4X

1_A_xAX_1

因?yàn)?■(-%)=^Tjln|-x|=-ln|x|=-fM，

所以函數(shù)/(久)=痣比團(tuán)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)B;

因?yàn)榘?)=缶ln|l|=。，故排除選項(xiàng)A;

因?yàn)?(|)=31n|=?n2>0,故排除選項(xiàng)D.

故選：C.

答案第1頁，共14頁

4.A

【分析】計(jì)算出元?南=元?前=0,可得出訪也為平面a的一個(gè)法向量，從而可判斷出平面

a與0的位置關(guān)系.

【詳解】AB=(0,1,-1),AC=(1,0,-1),

n-AB^(-1,-1,-1)-(0,1,-1)=-1x0+(-1)x1+(-1)x(-1)=0,

n-ZC=-(1,0,-1)=-1x1+0+(-1)-(-1)=0,

???nLAB,元1左，.?.元也為a的一個(gè)法向量，

又a與0不重合，因此，a///?.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查利用向量判斷兩平面的位置關(guān)系，求出兩平面的法向量是解題的關(guān)鍵，考

查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【分析】根據(jù)題意，先求出P(4)),PQ4i),PQ42)，判斷A,由條件概率公式和全概率公式

依次判斷B、C、D選項(xiàng)即可.

【詳解】根據(jù)題意，甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，貝UPQ4o)=^=gp&)=筆1=|,

P(42)=^=g故A不正確；

乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則P(8|A)=2=*,P(8|4)=￡=|,P(BM2)=總=3

4十Z。4十ZO4十NZ

故B不正確；

則有P(B)=PQ4o)P(BMo)+P(2)P(B|&)+P(42)P(B|X2)=ixj+|x|+ix|=|)故

C正確；

則「。2田)=黯=P嗎:片"=與=右故D正確；

故選：D

6.A

【分析】將俞，前分別用荏,而線性表示，再運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，計(jì)算即得.

【詳解】

答案第2頁，共14頁

如圖，~AM=AB+~BM+^AD,AN=AD+~DN=^AB+AD,且前.前=0,

則俞-AN=(AB+|ID)?(|^B+ZD)=|\AB\2+1\AD\2=|x36+|x16-32.

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義以及等差中項(xiàng)性質(zhì)對充分性和必要性分別進(jìn)行判斷即可得結(jié)論.

【詳解】判斷充分性：

a

因?yàn)?2-2+n+2=2<2小所以a^+2—CLn=an—Cln-2>

令n=2k(kEN*),貝"a2k+2-a2k=a2k-a2k-2=…=44一。2，所以數(shù)列｛即｝的偶數(shù)項(xiàng)成

等差數(shù)列，

a

令n=2k-l(fcGN*),則a2k+i—a2k-i=2k-i-a2k-3-=a3-alt所以數(shù)列｛a”｝的

奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，

但數(shù)列｛0｝不一定是等差數(shù)列，如：1,1,2,2,3,3；

所以“即-2+an+2=2an(n>3,neN*)”不是“數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列”的充分條件；

再判斷必要性：

若數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，則2廝=即_1+a“+i="捏+叱產(chǎn)=廝+與+等，

所以2an=an_2+an+2,所以“即-2+an+2=2an(n>3,neN*)”是“數(shù)列｛&J為等差數(shù)列”

的必要條件；

綜上，“an_2+a?+2=2an(n>3,neN*)”是“數(shù)列｛a"為等差數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B.

8.B

【分析】由已知條件和雙曲線的定義可得|40|=2a,\AF2\=4a,I&F2I=2V7a,\BF2\=

\AB\,由COSNF/IF2+COSNB4F2=0，應(yīng)用余弦定理，化簡可得|4B|=\AF2\

【詳解】由雙曲線定義和題設(shè)條件，得以即一=2a,c=V7a,\FrF2\=247a.

如圖所示，因?yàn)閨力F/=2a,所以1461=4。.

答案第3頁，共14頁

又由雙曲線定義,得|BFi|—IBF2I=2a,因?yàn)樯酱?\AFr\+\AB\=2a+\AB\,所以IBF2I=

\BFr\-2a=\AB\.

在△4尸1/2和△ABF2中，/-F1AF2+/-BAF2—it,有cosN&力&+cos/Ba%=°，

|4&『+|4尸2『一|乙尸2|2

應(yīng)用余弦定理，得=0,

2MFIIMF2I2\AB\\AF2\

22222

,g4a+16a-28a+\AB\+\AF2\-^B^=0,化簡得耨所以|四|=|也「

'22a4a2\AB\\AF2\Z\ADIZ

故選：B.

9.ABD

【分析】A選項(xiàng)，求出外接球半徑，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面距

離公式得到球心0在平面BEC上，從而求出截面面積；B選項(xiàng)，設(shè)F（s,t,0）,由丙=2兩+

〃麗，可得2+〃=1,求出|函2=1”丁+總，得到當(dāng)2書時(shí)，線段CF長度的最小值；

C選項(xiàng)，由平面平行的性質(zhì)得到1//BC,l2//CE,LG所成角的正弦值即為與CE所成角

的正弦值，利用空間向量求出異面直線的夾角余弦值，從而得到。，G所成角的正弦值；D選

項(xiàng)，求出兩平面的法向量，得到兩平面的夾角的余弦值.

【詳解】A選項(xiàng)，連接NB,過點(diǎn)P作PTL平面ABC,則點(diǎn)T在線段BN上，且8T=|BN,

球心。在PT上，連接0B,設(shè)正四面體的外接球半徑為R,貝!]OB=OP=R,

因?yàn)檎拿骟w的棱長為1,所以BT=g,PT=號

22

由勾股定理，得OT2+BT2=OB2,即（乎―R）+（f）=R2,解得R=手,

過點(diǎn)7作:TKLBN交于點(diǎn)K,則以點(diǎn)T為坐標(biāo)原點(diǎn)，TK,TN,7P分別為居y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

則8（。，-苧，。），嗚今。），4（/今。）/（。，釁"（一"片）,。（0,0黑）,

嗚-勤）

設(shè)平面EBC的法向量為率=（x,y,z）,

答案第4頁，共14頁

f沅?就=（3，z）?&今o）=,+9=o

則〈,

一~c~rf\/3V3V6\3V3V6

lm-￡C=（“，/z）.匕，石，-w）=1%+石y-=on

令y=1,貝Ux=-43,z=-2V2,則布=（-V3,1,-2V2）,

則點(diǎn)。（0,0噂）到平面EBC的距離為d=嚕9=弛'一『鼻屋'匚巴=o,

即球心。在平面BEC上，

2

則平面EBC截正四面體P-4BC的外接球所得截面的面積為nR2=豆（彳）A正確;

B選項(xiàng)，設(shè)尸（s,t,0）,則方=1,匕_乳麗=&*,一生前=（0片,_曰）,

s=-A

4

,遮一遮

由而=4麗+〃麗，可得t=-----ZH----〃解得4+〃=1,

126r

V6V6、V6

——=-----A------〃

333r

CF^(s-|,t-^,0),故國2=&-|)2

=i(Z2-A+l)=i(A-j),+工

16

故當(dāng)4=]時(shí)，|而『取得最小值與故線段CF長度的最小值為￡B正確;

2164

C選項(xiàng)，因?yàn)槠矫鎍//平面EBC,且平面EBCn平面力BC=BC,平面EBCC平面PAC=CE,

所以4//BC,l2//CE,

所以所成角的正弦值即為BC與CE所成的角NEBC的正弦值,

其中cos（前，前）=與=遮，

后咫余3

所以sin/EBC="-COS2/EBC=],故人,1所成角的正弦值為字C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，設(shè)平面EMN的法向量為元=（%i，yi，Zi）,則

答案第5頁，共14頁

比.前=My/)-&一今一彳)=/一個(gè)外—[z]=o,

、元.前==i，yi，zj.(",—')=&+%i—3zi=0

令Z1=1,則久1=手,為=彳，則元=律,乎,1),

其中平面48c的法向量為元=(0,0,1),

設(shè)平面EMN與平面ABC的夾角為S，則cos。=|cos優(yōu)砌=品^==春=?

故平面EMN與平面ZBC夾角的余弦值為手，D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對

于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，

注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和

球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.

10.ABD

【分析】根據(jù)圖象上的特殊點(diǎn)和對稱軸可求函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖

像變換，誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由圖可知，4=2,周期T=C—2)x4=m則口=即=2,故A正確；

由/(,)=2，得2sin(2X卷+g)=2,即sin(口+1)=1,

解得9H—=—F2ktlI,k￡Z,即卬=—F2fcir>fcGZ；

623

因?yàn)?<0<1所以9=泰貝(I/O)=2sinQx+f；

對于B,y=2cos2x的圖象向右平移2個(gè)單位得

y=2cos[2(x-期=2cos(2久——=2cos(%—2x

=2sin—Q—2x)]=2sin(2x+=/(x),故B正確；

對于C,由-詈<x<￥，得-*2x+y2m根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知,

12623

2%+；=涉2%+：4，即x和久是函數(shù)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

對于D,由中<x<2n,得4n<2x+岸等，貝|0Wsin(2x+廓Wf，此時(shí)。</(%)<汁,

633\3/2

答案第6頁，共14頁

則/0)在區(qū)間[岸,2T上的最大值為百，故D正確；

故選：ABD

11.ACD

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，對。=:和&=5分別求極值，判斷極值的符號，

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得AB的真假；把a(bǔ)(/+a)-%=0轉(zhuǎn)合成

ex=|-a,數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)丫=a與y=；-。的交點(diǎn)，分析1與一%21的值關(guān)于。關(guān)系，

判斷C的真假；先根據(jù)fQi)=/?(%)=0,推出工=士士，在根據(jù)尸(久1)+尸(久2)=

CL%1一%2

a(e%+e%2)—2,可得D正確.

【詳解】求導(dǎo)得/(第)=碇％-1,

當(dāng)a<0時(shí)，/'(%)<0恒成立，

故/(%)在R上為減函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故a>0;

令/(%)=0，得％=—Ina,

當(dāng)%E(—8,—Ina),/'(%)<0；當(dāng)%E(—Ina,+8)時(shí),/'(%)>0；

則/(%)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增,

故/(%)的最小值為/(—Ina)=a(e-lna+a)+Ina=1+a2+Ina；

對于A選項(xiàng)：當(dāng)a時(shí)，/(—In?=1+(?+ln；=^—ln4,

243=35<44=256n3$x312<44x412,故3"<416,

因?yàn)閥=%G在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則e需<316<4,故II<ln4,則/(―ln[)<0,

當(dāng)％T—8時(shí)，/(%)T+8;且久T+8時(shí)，/(%)T+8;

故/(%)在(-8,ln4)及(ln4,+8)各有一個(gè)零點(diǎn)，故A對；

對于B選項(xiàng):當(dāng)a=機(jī)寸，于是f(%)min=-嗚)=1+0+ln|=|一ln2>0,

故/(%)在R上無零點(diǎn)，故B錯(cuò)；

對于C,a(ex+a)-%=0,即e%=，-見工口犯，可視為兩函數(shù)y=e*與y=，-a的交點(diǎn)橫

坐標(biāo)，

當(dāng)a增加，直線y=?-。斜率變小，同時(shí)向下平移，故氏-%21收縮變小，故C正確；

答案第7頁，共14頁

對于D,因?yàn)榫胕，%2為函數(shù)/(%)=a(e*+a)-%的零點(diǎn)，則a>0,

不妨設(shè)久i<&，

X12

ae=xr—ai_

則％1G(0,—lna),x2E(—Ina,+8),2

ae%2=x2—aaXT-X2

又尸(%I)+f'(%2)=a(e*i+e*2)-2,

exi-ex2e*i+e*2eX1-eX2x-x

所以尸(%i)+/,(x)=a(e%i+e%2)-2a12

2----------=—2a-----------xx2

X1~X2XT-X2e1+e2

e*i-e=2x-x

設(shè)y=r2

exi+ex22

則y=_5一%2,令t—久i—%2，t<0,

eX1-x2+12

則、=會(huì)+，所以y'=U<0,

所以函數(shù)y=會(huì)一g在(_叨0)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)t<0時(shí)，—|>0,

eL+l2

eX1-eX2x-xeX1+eX2/eX1-e%2x-x

即，r2Q12

xx2>0,即一2xx2>0,

e1+e2X1~X2e1+e2

f'Gi)+/'(%2)>0,故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行:

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù);

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

12.96

【分析】利用分步加法和分類乘法原理，先安排4名同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競賽，在安排剩下

的2名同學(xué)到其他競賽課程中即可.

【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競賽課程,

答案第8頁，共14頁

則有：出=6種情況，

剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個(gè)學(xué)科競賽課程時(shí)有：

①2名同學(xué)選擇1個(gè)學(xué)科競賽則有：禺=4種情況，

②2名同學(xué)各選擇1個(gè)學(xué)科競賽則有屐瑪=12種情況，

所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報(bào)名方法數(shù)為：

6x(12+4)=96種情況，

故答案為：96.

13.1+3V2

【分析】利用圓的參數(shù)方程思想，引入?yún)?shù)a來表示x、y,代入x-y后得到關(guān)于a的三角函

數(shù)來求最值.

【詳解】由/+V—4x—2y—4=0得：(x—2尸+(y—1尸=9,

所以可設(shè)二色然。SCR),

則x—y=2+3cosa—1—3sina=1+3&cos(a+：),

因?yàn)閍eR,

所以久—y的最大值是1+3V2,

故答案為：1+3V1

14.520

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，推出函數(shù)尸(切的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱以及關(guān)于點(diǎn)(2,；)對稱,

即可依次求得尸(1),尸(2),…的值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?(I—4x)為偶函數(shù)，則/(1+4久)=f(l—4x),即f(l+x)=/Q-x),

則/''(1+x)--f'(l-x),即/(1+x)+r(i-x)=0,

故尸(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，且尸(1)=0；

又［x-/(X+2)為偶函數(shù)，則一;x-/(-x+2)=：久-f(x+2),

則一2+/(一久+2)=；-/0+2)，即f'(一乂+2)+f'(x+2)=|,

故尸(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3對稱，且尸(2)=%

又將久=1代入廠(1+%)+尸(1-%)=0得/(2)+尸(0)=0,貝仔，(0)=-3

4

令x=L由尸(一久+2)+廣(久+2)=軻得廣⑶+/(1)=$則尸⑶=巳；

答案第9頁，共14頁

同理可得尸(4)+/(0)=j則尸(4)=]

Z4

因?yàn)槭?5)+/(-1)=5/(3)+/(-1)=0,所以f'(5)一/(3)=5則r(5)=1；…，

由此可得尸(n),nGN*組成了以0為首項(xiàng)，；為公差的等差數(shù)列，

故,尸(卜)=。+)+工+三+—+義x工=

zlJv716=650+520,

-k=l42424

故答案為：520

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)類問題，要能綜合利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求

解，比如函數(shù)的奇偶性和對稱性以及周期性等，解答本題的關(guān)鍵就在于要根據(jù)函數(shù)的奇偶性

推出函數(shù)的對稱性，從而采用賦值法求值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而求解.

15.(1)列聯(lián)表見解析，n=70

(2)分布列見解析，E(X)=￡

【分析】(1)根據(jù)題意即可完成列聯(lián)表，再由題意可得f>61.46,即可求出n；

(2)由題意可得X服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即可得解.

【詳解】(1)列聯(lián)表如下：

關(guān)注度

學(xué)生群體合計(jì)

關(guān)注不關(guān)注

3nn2n

大學(xué)生

10105

3n3n3n

高中生

10105

3n2n

合計(jì)n

55

"97123n2,

“2_\ioo100)_n

X=/x型X型X鄴=

5555

因?yàn)橐罁?jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān),

所以*2=：>3.841=>n>61.46,

由題可知，〃是10的倍數(shù)，所以〃的最小值為70；

(2)由(1)可知n=70,所以不關(guān)注的人數(shù)為|x70=28,

答案第10頁，共14頁

用頻率估計(jì)概率，所以不關(guān)注的概率為p=l^=l,

X的所有可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=(|)3=W，P(X=1)=C,X(|)2=券

P(X=2)=CaQ，|=需，P(X=3)=C>(|),券

所以X的分布列為

X0123

2754368

P

125125125125

因?yàn)閄?B(3,|),所以E(X)=3x：=:

16.(l)a=2；

⑵當(dāng)

【分析】(1)應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式有asinQ4+B)=2sinC,再由三角形內(nèi)角性

質(zhì)即可求邊長；

(2)應(yīng)用余弦定理及已知得力2++兒=4且b+c=逐，進(jìn)而求得be=1,最后應(yīng)用面

積公式求面積.

【詳解】(1)由題設(shè)a(acosB+bcosA)=2c,由正弦定理有a(sinAcosB+sinBeosZ)=2sinC,

所以asin(/+B)=2sinC,而A+B=n—C,故asinC=2sinC,又sinC>0,

所以a=2.

(2)由(1)及已知，有cos/=匕=匕+：-4=一工,可得爐++be=4,

2bc2bc2

又a+b+c=2+V5,即b+c=V5,

所以(力+c)2—be=5—be=4=be=1,故S-gc=^besinA=手.

17.(1)證明見解析

⑵丁

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【詳解】(1)因?yàn)榈酌?BCD為正方形，

所以BCJ.CD,又側(cè)面CDDiG_L底面2BCD,

答案第11頁，共14頁

側(cè)面CDDiGCl底面48CD=CD,且BCu平面ABC。，

所以BC1平面CDDiQ,

又因?yàn)锽Cu平面AiBC,所以平面4/C1平面CDDiG.

(2)因?yàn)榱=A4i=2,=%連接C0「

則△CD%為正三角形，取CD中點(diǎn)。，則OiOlCD,

由BC_L平面CDDiG及必。u平面CDDiG，得必。1BC,

又CDCBC=C,所以5。1底面ABCD,

過點(diǎn)。作。M〃8c交4B于M,

如圖以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則4(2,—1,0),X1(2,0,V3),5(2,1,0),當(dāng)(2,2,百)，C1(0,2,⑹,

所以布=(0,1,一g)，而=(—2,2,0),屈1=(0,3,百).

設(shè)平面4BC1的法向量元=(x,y,z),

所以1元.A^