上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年上海市南洋模范中學(xué)高一下學(xué)期摸底考試卷

數(shù)學(xué)試卷

(考試時(shí)間120分鐘滿分150分)

考生注意：

1.帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學(xué)計(jì)算器、考試中途不得傳借文具.

2.本試卷共3頁(yè)，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

3.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題紙上，作答在原卷上不予評(píng)分

一.填空題(12題共54分，1?6題每題4分，7?12題每題5分)

(〃一1)(2〃+1)

lim---------------乙=

］3n.

2

【答案】一

3

【解析】

【分析】根據(jù)極限的運(yùn)算法則，利用limL=0,直接可求得結(jié)果.

28n

_1_±

【詳解】(?-1)(2?+1)2n2-n-l「2〃一二2,

吠川十lrim-----%------=lim--------——=lim——-~~—=-，

”-003n3n…0033

一、、,2

故答案為：一

3

2.函數(shù)/(x)=|x—1|的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】［1,+8)(或(1,+8)也正確)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接得出單調(diào)區(qū)間.

【詳解】/X=X-1=<

所以函數(shù)/(x)=|x—1|的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8).

故答案為：［l,+s)(或也正確)

x+l,x<1

3.函數(shù)/(x)==「則/(/(2))=—

-x+3,x>1

【答案】2

【解析】

1/15

【分析】先計(jì)算/(2)=—2+3=1,再計(jì)算/⑴即可.

【詳解】因?yàn)?(2)=—2+3=1,

所以/(/(2))=〃1)=1+1=2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

、,兀、1217r37t

4.知cos(tz—)=一，且一<a<一，貝|cosa=.

41344-----------

【答案】謔##工應(yīng)

2626

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得sin(a-四)=』，再結(jié)合兩角和的余弦公式，即可

413

求解.

71JTL7171

【詳解】因?yàn)橐?lt;a<—，可得0<a——<-,

4442

又因?yàn)閏os(a-；)=弓，所以sin(a-；)=\，

則cosa=cos[(a--)+—]=cos(a--)cos--sin(a-—)sin—=x^-=.

44444413213226

故答案為：謔.

26

5.方程cosx-gsinx=1(xe[0,2兀])的解集為

【答案】|o,y,27rj

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式和余弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)閏osx-VJsinx=1，

所以2cos卜+gbl(x￡[0,2兀]),

2/15

所以cos|x+g

2

又xe[0,2句,

…71兀771

所以X+§￡

LL…兀兀-71571T兀7兀

所以％+—=―或X+一=——或xX+—=—

333333

4兀

解得1=0或、=—或x=2兀.

3

故解集為（o,?,27rl.

0,y,27rL

故答案為:

2m—3

6.要使sina=--------有意義，加的取值范圍是

4-m

、，7

【答案】-1,—；

【解析】

【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，列出不等式求解作答.

【詳解】因sinae[—1,1],因此

4-m

網(wǎng)31

所以《4-m

^>-1

、4-m

網(wǎng)10

所以《4-m

1±^>0

、4一加

7

加＞4或冽（一且-IV加＜4

3

7

解得一1<m<—,

3

7

所以實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為-IVm<—.

3

3/15

7

故答案為：一10

3

7.已知cos（a+cos（（z-/7）=——,則tanatan^=

【答案】-7

【解析】

43

【分析】根據(jù)cos(a+夕)=1,cos(a-j3)=--,利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)，再兩式相加、相減

分別得到cosacos尸、sinasin/7,然后利用商數(shù)關(guān)系求解.

43

【詳解】因?yàn)閏os(a+m=y,cos((z-^)=-j,

43

所以coscos,一sincesin,=-,cosacos+sinersin/3=--,

兩式相加得：cosercos=—,

7

兩式相減得：sinasin/3=-----,

10

所以tanatan夕=-7,

故答案為：-7

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)

算求解的能力，屬于中檔題.

8.若函數(shù)/(x)=-8-ax-2x)是偶函數(shù)，則該函數(shù)的定乂域是.

【答案】[-2,2]

【解析】

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=J8—以—是偶函數(shù),則a=0,函數(shù)/(x)=,8-2/的定義域8-2d20

解得-2<x<2,故函數(shù)的定義域?yàn)閇—2,2].

及答案為[-2,2].

9.已知x20/NO,且x+y=1,則—+儼的取值范圍是.

【答案】耳,11

【解析】

【詳解】試題分析：x2+v2=x2+(l-x)2=2x2-2x+l,xe[0,l],所以當(dāng)x=0或1時(shí)，取最大值1；當(dāng)

4/15

X=1時(shí)，取最小值］因此必+/的取值范圍為［；/］.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，除了像本題的方法，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求取值范圍，也可以

轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系求取值范圍，即x+.v=l表示線段，那么/+/的幾何意義就是線段上的

點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，這樣會(huì)更加簡(jiǎn)單.

10.已知VZ8C中，。=1,b=2,若VZ8C為鈍角三角形，則c的取值范圍是.

【答案】(1,6)U(右,3)

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，推得l<c<3,再結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】在V/8C中，a=\,b=2,

則—+即1<C<3,

b=2,a<b,

則角B為鈍角或角C為鈍角，

若角B是鈍角,

122-22

則cos5<0,即^+^C——<0,

2xlxc

故1<C<VL

若角。是鈍角，

i2_2

則cosC<0,即］“1<0,解得后<c<3.

2x1x2

綜上所述，C的取值范圍是(1,G)U(右,3).

故答案為：(1,V3)U(V5,3)-

11.己知V/8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足b=3,cos28=cos(Z+C),則V48C

周長(zhǎng)的取值范圍為.

【答案】(6,9］

【解析】

【分析】先求角3,再結(jié)合基本不等式和余弦定理可求三角形周長(zhǎng)的取值范圍.

【詳解】由cos2S=cos(^+C)n2cos25-1=-cos5n(cos3+l)(2cosB—l)=0,

5/15

|_TT

因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以cosB+lwO,所以cosB=—，所以3=—.

23

由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，BPa2+c2-tzc=9.

所以(a+c『—9=3K—，所以所以-6%+*.

又a+c〉b=3,所以6<a+b+c?9.

故答案為：(6,9］

12.設(shè)函數(shù)/0愴］+2工+31+：0+49.+50%,其中aeR,如果不等式/(x)〉(x-l)lg50在區(qū)間

［1,+⑹有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

47

【答案】a>一~—

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將原不等式等價(jià)變形為：(1-。)50"<1'+2'+3'+...+491再變量分離得到

1-a<(>+(#+(#+...+(含，原不等式在區(qū)間口，+◎上有解，即1-a小于右邊的最大值.根據(jù)

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值即可得到實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】不等式/(x)>(x-l)lg50,即］g1+2工+3。+4寸+50：a〉a_］)愴50=愴50㈠)，

原不等式可化為1+2、3、+L+49*+50、a>50”，

移項(xiàng)得(1-a)50*<F+2x+3x+...+49"

兩邊都除以503得

不等式f(x)>(x-l)lg50在區(qū)間［1,+s)有解，即(*)式的右邊的最大值大于1-a

在［1+功上是一個(gè)減函數(shù)

12349150x4949

當(dāng)X=1時(shí),g(x)的最大值為77+77——=——x

505022

因此得實(shí)數(shù)。的取值范圍是一萬(wàn),

故答案為：tz>-—

2

6/15

二.選擇題（4題共18分，13?14每題4分，15?16每題5分）

13.若e終邊不在坐標(biāo)軸上，且?05。,05。|+$由。卜由。|=一1,貝ije在（）

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及任意角三角函數(shù)判斷象限即可.

【詳解】因?yàn)閏ose|cose|+sin，bina=-1=-^sin26>+cos26*）,

所以卜in。［=一sin一cos。=|cos0|,

所以cos。40,sin。<0,。終邊不在坐標(biāo)軸上

所以6在第三象限.

故選：C.

14.若sina+cosa=l,則tantz+cota的值是（）

A.1B.-1C.0D.不存在

【答案】D

【解析】

【分析】將已知條件兩邊平方，求得sinacosa=0,由此求得a的取值范圍，從而判斷出tana+cota的

值不存在.

【詳解】由5m戊+?051=1兩邊平方得5也2&+25卜&（：05&+（：052（/=1，即sinacosa=0,所以

k兀

a=——，所以tana+cottz的值不存在.

2

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

,A

15.在V45C中，若sin3sinC=cos2—,則V/5C一定是（）

2

A.等腰三角形B,直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角恒等變換，判斷三角形的形狀.

【詳解】由sin8sinC=cos2gnsin3sinC==>2sin8sinC=1—cos（8+C）,

所以：cos5cosC+sin5sinC=1=>cos（5-C）=1.

7/15

因?yàn)槊?。為三角形?nèi)角，所以B=C.

所以V48C為等腰三角形.

故選：A

16.已知函數(shù)/(g(x))為偶函數(shù)，則函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性為()

A.均為偶函數(shù)B,至少有1個(gè)為偶函數(shù)C.均為奇函數(shù)D.至少有1個(gè)為奇函數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據(jù)函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性，判斷函數(shù)/(g(x))的奇偶性，進(jìn)行判斷.

【詳解】若函數(shù)/(x),g(x)均為偶函數(shù)，則/(g(—x))=/(g(x))，所以/(g(x))為偶函數(shù)；

若函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則/(g(—x))=/(—g(x))=/(g(x)),所以/(g(x))為偶函

數(shù)；

若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則/(g(-x))=/(g(x)),所以/(g(x))為偶函數(shù)；

若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則==所以/(g(x))為奇

函數(shù).

所以函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)/(x),g(x)至少有1個(gè)為偶函數(shù).

故選：B

三.解答題(共78分，17?19每題14分，20?21每題18分)

17.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=sin(兀+工卜山《+:|

(1)判斷函數(shù)的奇偶性并求其最小正周期

(2)若/(a)=—得，0<?<求：的值.

【答案】(1)奇函數(shù)，最小正周期為兀；

0、3+46

20

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)的解析式，再分析函數(shù)的性質(zhì).

(2)根據(jù)和角公式求值.

8/15

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=sin(兀+x)sin[l+x]=-sinxcosx=—sin2x.

由/(x)=—gsin2x,所以/(一%)二一不皿一2%)=gsin2x=-/(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

且函數(shù)/(x)的最小正周期為：7二3=兀.

【小問(wèn)2詳解】

3133

由/(a)=-----，所以——sin2a=-----nsin2a=一,

102105

2兀1

且0<2a<—,所以—<cos2a<1,

32

若cos2a20,貝ijcos2a-Vl-sin22a--；

5

若cos2a<0,則cos2a=——sio?2a=—<—，故cos2a<0不合題意，舍去.

52

4

所以cos2a=—.

5

所以sin120+巴]=sin2acos—+cos2asin--2X—+—3+4^3

I3J33525210

所以/[&+￡]=-3smi2a+m]=—^^,

18.設(shè)函數(shù)y=/(x),其中f(x)=x2\x-a\.

(1)若函數(shù)歹=/(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若ae(2,3),記g(x)=/(x)-10,求證：函數(shù)，=g(x)在[2,4]上有零點(diǎn).

【答案】(1)0(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)/(D=/(T)求出。=0,在驗(yàn)證。=0時(shí)，/(x)為偶函數(shù)即可；

(2)利用ae(2,3)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/⑴=/(—1),即|1_可=|_1_回,

所以1一。=一1一?；騦-a=l+a,所以。=0,

此時(shí)f(x)=x2\x\,/(—x)=(-x)2|-x|=x21x|=/(x),滿足/(%)為偶函數(shù)，

9/15

所以a=0.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)間(x)=/(x)-10=x21x-o|-10,

所以g(2)=4|2—a|—10=4|a—2|—10,g(4)=1614-a|-10=161tz-41-10,

因?yàn)閍e(2,3),所以a—2e(0,1),tz—4G(—2,—1),

所以g(2)=4|a-2|-10e(-10,-6),g(4)=161a-41-10G(6,22),

所以當(dāng)ae(2,3)時(shí),g(2)g(4)<0恒成立，

故函數(shù)V=g(x)在[2,4]上有零點(diǎn).

19.某市為了刺激當(dāng)?shù)叵M(fèi)，決定發(fā)放一批消費(fèi)券.已知每投放a(O<aV4,aeR)億元的消費(fèi)券，這批消

費(fèi)券對(duì)全市消費(fèi)總額提高的百分比了隨著時(shí)間x(天)(xeR,x20)的變化的函數(shù)關(guān)系式近似為j=當(dāng),

其中/(》)=7-x,2<x<7,若多次投放消費(fèi)券，則某一時(shí)刻全市消費(fèi)總額提高的百分比為每次投放的

0,x>7

消費(fèi)券在相應(yīng)時(shí)刻對(duì)消費(fèi)總額提高的百分比之和.

(1)若第一次投放2億元消費(fèi)券，則接下來(lái)哪段時(shí)間內(nèi)能使消費(fèi)總額至少提高40%?

(2)政府第一次投放2億元消費(fèi)券，4天后準(zhǔn)備再次投放機(jī)億元的消費(fèi)券，將第二次投放消費(fèi)券后過(guò)了x天

(xeR,0<x<2)時(shí)全市消費(fèi)總額提高的百分比記為g(x).若存在/e[0,2],使得g(x0)>80%，試求m

的最小值.

【答案】(1)接下來(lái)的1?5天內(nèi)，能使消費(fèi)總額至少提高40%

⑵-

5

【解析】

【分析】(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了(x)N2,分別在各段區(qū)間內(nèi)解不等式即可求得結(jié)果；

(2)分別表示出第一次投入和第二次投入帶來(lái)的消費(fèi)總額提高的百分比，由此可得g(x),由g(x)280%

可分離變量得到m2+6有解,令/=3+x,'0「(7)+463)+6,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單

3+xt

10/15

調(diào)性可確定力的最小值，即-2廠+4x+6的最小值,進(jìn)而得到結(jié)果.

3+x

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，了=4^；若了之40%,則〃x"2；

3+x

當(dāng)0WxW2時(shí)，/(%)=——>2,解得：l?x〈2；

當(dāng)2<x<7時(shí)，/(x)=7-x>2,解得：2<x<5；

當(dāng)x>7時(shí)，/(x)=022不成立；

綜上所述：l<x?5,即接下來(lái)的1?5天內(nèi)，能使消費(fèi)總額至少提高40%.

【小問(wèn)2詳解】

記第一次投放2億元優(yōu)惠券對(duì)全市消費(fèi)總額提高的百分比力,第二次投放加億元對(duì)對(duì)全市消費(fèi)總額提高的

百分比為必，

當(dāng)0X2時(shí)，"=2［7—(x+4)］3-xm3+x

—，y?~

-1105103-x

3-xm3+x4

貝Ug(x)=%+%=----1-------280%——有解,

5103-x5

—2x?+4x+6

即加2有解;

3+x

令，=3+x,貝!UE［3,5］,x=t-3,

令畸)=-2(-3)；4(-3)+6=-2/+,-24=_+16(3<,<5),

;y=2/+，在［3,273］上單調(diào)遞減,在［273,5］上單調(diào)遞增，

h(t)在［3,273］上單調(diào)遞增，在［273,5］上單調(diào)遞減，

2

;7/_\.61/、6—2%+4x+6)6

又“(3)=2,//(5)=---.h(t)m,n=-,即r—=不，

:.m>-,則加的最小值為9.

55

20.設(shè)aeR,已知函數(shù)>=/(x)=log?(x+a).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，用定義證明y=/(x)是(—2,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù)；

11/15

(2)若定義在-2,2］上的奇函數(shù)歹=8(切滿足當(dāng)04%42時(shí)，g(x)=/(%),求g(x)在區(qū)間［-2,0］上的

反函數(shù)>=〃(x)；

(t—Y\

(3)對(duì)于(2)中的g(x),若關(guān)于x的不等式g>1-1暇4在［0,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值

(9+3)

范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)y=/z(x)=l—,xe［—1,0］

(3)(-5,37］

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；

(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義可以求出參數(shù)，從而根據(jù)反函數(shù)的定義即可求出反函數(shù)解析式；

(3)將不等式的右側(cè)轉(zhuǎn)化為特殊的函數(shù)值，再利用已經(jīng)證明的函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，y=/(x)=log3(x+2).

x+2

任取X］〉馬〉—2,則/(xj—/(X2)=log3(Xi+2)—log3(X2+2)=log3^^,

工2十乙

因?yàn)橛?gt;、2〉一2，所以再+2>12+2〉0,

rX+21［X+2

即r>0A.

工2+2%2+2

所以/(%)—/(9)>0，即/(芯)〉/(》2),

故了=/(x)是(―2,+s)上的嚴(yán)格增函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

由題意得當(dāng)0<x<2時(shí)，g(x)=/(x)=log3(x+tz),

又g(x)是定義在12,2］上的奇函數(shù)，即g(0)=0,得a=i.

所以當(dāng)0VxV2時(shí)，g(x)=log3(x+1),

由g(x)=-g(—x)得當(dāng)一2<xK0時(shí)，g(x)=-log3(-x+1),

12/15

而IV-X+1V3,貝|g(x)e［-1,0］,g(x)在［-2,0］上單調(diào)遞增,

y

令y=-log3(—x+l),則f+l=3-，，得x=l—I

故g(x)在區(qū)間［-2,0］上的反函數(shù)y="x)=l—Ixe［-1,0］.

【小問(wèn)3詳解】

由于0Vx<2時(shí)，g(x)=log3(x+l),g(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，0<g(x)<l；

—2<x<0時(shí)，g(x)=-log3(-x+l),g(x)在［-2,0］上單調(diào)遞增，一l<g(x)<0；

log(x+l),0<x<2］

則g(x)=<［一1。3：_2］)-<0在12,2］上單調(diào)遞增,

"t-r"

關(guān)于x的不等式g>l-log4在［0,2］上恒成立,

、9+3,3

't-3'、

又gl-log4,所以g

I3、9+3,>gI

即」<t-yW2在［0,2］上恒成立，令3、=加

39+3x+2

19加+18>tr<(19m+18).=37

得《cc恒成立，即〈\/min

t〉(—3—2加)——5

-3-2m<t\/max

故實(shí)數(shù)/的取值范圍是(-5,37］.

21.若函數(shù)g(x)=,則稱/(x)為g(x)的“對(duì)一函數(shù)”.

(1)求證：“對(duì)一函數(shù)”的總數(shù)為偶數(shù);

⑵設(shè)cos2x的“對(duì)一函數(shù)”為廠(x),定義域?yàn)镽且嚴(yán)格增的事函數(shù)G(x)=；ax

i'+2m+l,其中a,m

為正整數(shù).求：//(x)=E(x)-jG(x)的整數(shù)零點(diǎn)；

(3)若奇函數(shù)/(x)為在(-叱0］上的嚴(yán)格增，且/(x)為g(x)的“對(duì)一函數(shù)”，求解不等

式：g(x)<g(g(-2025).g(2025)).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)0(3)(1,+(?)

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【解析】

【分析】(1)分函數(shù)/(X)是不是自身的“對(duì)一函數(shù)”討論.

(2)先根據(jù)條件確定函數(shù)》(x)的解析式，再求函數(shù)的整數(shù)零點(diǎn).

(3)先分析函數(shù)g(x)的性質(zhì)得到g(-x)g(x)=l,從而不等式化簡(jiǎn)為g(x)<g⑴，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于

/(力