新定義四邊形 同步練習(xí)（含答案）-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第7節(jié)新定義四邊形

一、知識(shí)梳理

深刻理解新定義四邊形的性質(zhì)，圍繞性質(zhì)完成題目要求.

二、分層練習(xí)

1.定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為“勾股四邊形”.

(1)在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種“勾股四邊形”的名稱；

⑵如圖7-1所示，將A4BC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(60。得到ADBE,連接AD.DC,CE,已知上DCB

=30°.

①求證：ABCE是等邊三角形；

②求證：DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是“勾股四邊形”.

圖7-1

2.如圖7-2(a)所示，在四邊形ABCD中，若NA,NC均為直角，則稱這樣的四邊形為“美妙四邊形”.

(1)在“平行四邊形、矩形、菱形”中一定是“美妙四邊形”.(填寫(xiě)圖形名稱)

(2)試證明：CD2-AB2=AD2-BC2.

(3)如圖7-2(b)所示，在等腰直角三角形ABC中，28=4C,乙4=90。,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AB,

AC上，連接DE,DF,如果四邊形AEDF是“美妙四邊形”，試證明：AE+AF=AB.

圖7-2

3.我們定義對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作“垂美四邊形”.

如圖7-3所示，點(diǎn)E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知BE=EC,AE=ED,Z.BEC=^AED=90。,,對(duì)角線AC

與BD相交于。點(diǎn),BD與EC相交于點(diǎn)F,AC與ED相交于點(diǎn)G.

⑴求證：四邊形ABCD是“垂美四邊形”.

⑵猜想四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

(3)若.BE=3,AE=4,AB=6?則CD的長(zhǎng)為

圖7-3

4.定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫作“等鄰邊四邊形”.

【概念理解】

(1)下列四邊形中是“等鄰邊四邊形”的是.

A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.梯形

(2)如圖7-4(a)所示，在四邊形ABCD中，若/ABC=/BCD,BC〃AD,對(duì)角線BD平分/ABC,貝曬邊開(kāi)鄉(xiāng)ABCD_

—“等鄰邊四邊形”.(填“是”或“不是”)

【性質(zhì)探究】

⑴小紅畫(huà)了一個(gè)“等鄰邊四邊形"ABCD,如圖7-4(b)所示，其中AB=AD,BC=CD.若/A=80。，ZC=60°,求出NB.

ZD的度數(shù).

(2)如圖7-4(c)所示，在“等鄰邊四邊形”ABCD中,ADAB=60°,ZABC=ZADC=90°,AB=AD=6,求對(duì)角線

AC的長(zhǎng).

圖7-4

5.定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫作“美妙線”，該四邊形叫作“美妙四邊

形”.

如圖7-5所示，在四邊形ABDC中，對(duì)角線BC平分乙4CD和乙4BD,那么對(duì)角線BC為“美妙線”，四邊形A

BDC為“美妙四邊形”.

⑴下列四邊形中是“美妙四邊彩'的有.

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)四邊形ABCD是“美妙四邊形"，AB=3+W/BAD=60°,乙ABC=90。,求四邊形ABCD的面積.(畫(huà)出

圖形并寫(xiě)出解答過(guò)程)

圖7-5

6.新定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫作“等對(duì)角四邊形”.

⑴已知：如圖7-6(a)所示四邊形ABCD是等對(duì)角四邊形上A*/C,〃=60。,AB=70。,求/C,ZD的度數(shù).

⑵在探究“等對(duì)角四邊形”的性質(zhì)時(shí)，小紅畫(huà)了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”ABCD,如圖7-6(b)所示，其中乙ABC=

^ADC,AB=4D,此時(shí)她發(fā)現(xiàn)(CB=CD成立，請(qǐng)你證明此結(jié)論.

⑶已知:在“等對(duì)角四邊形”ABCD中，ADAB=60°,^ABC=90°,AB=10,AD=8,求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

A

(a)(b)

圖7-6

7.定義：如果一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，那么把這條對(duì)角線叫作這個(gè)四邊形的“和

諧線”，這個(gè)四邊形叫作“和諧四邊形”.

(1)請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)“和諧四邊形”：.

(2)如圖7-7(a)所示，在四邊形ABCD中，AD||BC,乙4=100。/。=70\BD平分/ABC,求證：BD是四邊形ABC

D的“和諧線”.

(3)如圖7-7(b),在△4BC中，乙4=90。,4B=AC,在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A,B,C,D組成的四邊形為

“和諧四邊形"，且滿足AD為“和諧線”，AB=BD,請(qǐng)畫(huà)出草圖，并直接寫(xiě)出乙4BD的度數(shù)

A

圖7-7

8.

【定義理解】

如圖7-8(a)所示，在^ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)很麻CP是4ABC的“雙中線”，ZACB=

90°,AC=3,AB=5.則CP=

【類比探究】

(1)如圖7-8(b)所示，點(diǎn)E是菱形ABCD一邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BE上的中點(diǎn),則稱AP是菱形ABCD的“雙中

線”.若AB=4,ZBAD=120°,貝UAP=.

⑵如圖7-8(c)所示，AP是矩形ABCD的“雙中線”.若AB=4,BC=6,求AP的長(zhǎng).

【拓展應(yīng)用】

如圖7-8(d)所示,AP是平行四邊形ABCD的“雙中線”.若AB=4,BC=6,ZBAD=120°,求AP的長(zhǎng).

1.⑴解：正方形、矩形、直角梯形均可.

(2)證明：?VAABC^ADBE,

；.BC=BE.

ZCBE=60°,

.二△BCE是等邊三角形.

②???△BCE是等邊三角形，

；.BC=CE,ZBCE=60°.

ZDCB=30°,

ZDCE=90°.

VAABC^ADBE,

,?.DE=AC.

;在RtADCE中，DC2+CE2=DE2,

DC2+BC2=AC2.

2.⑴解：如圖38所示,在矩形ABCD中，ZA,/C均為直角”則矩形ABCD是“美妙四邊形”.

故答案為矩形.

證明：（2）如圖39所示，連接BD.

ZC=90°,ZA=90°,

???BD2=CD2+CB2,BD2=AD2+AB2.

CD2+CB2=AD2+AB2.

???CD2-AB2=AD2-BC2.

D______________C

AB

圖38

(3)如圖40所示，連接AD.

???四邊形AEDF是“美妙四邊形"，ZA=90°,

ZEDF=90°.

*.?ZA=90°,AB=AC,

點(diǎn)D為斜邊BC上的中點(diǎn)，

.\ZB=ZC=45°,AD±BD,

1

BD=CD=AD=-BC.

2

：.ZBDE+ZADE=ZADF+ZADE=90°.

???NBDE=NADF.

在^BDE和△ADF中，

Z-BDE=Z-ADF,

???{BD=AD,

乙B=/-DAF,

ABDE^AADF(ASA).

???BE=AF.

???AE+AF=AE+BE二AB,即AE+AF=AB.

3.(1)證明：VZBEC=ZAED=90°,

???(BEC+Z.CED=乙CED+乙AED,,即/BED=NCEA.

VBE=EC,AE=ED,

???ABED^ACEA(SAS).

??.Z.BDE=Z-CAE.

???Z-AGE=Z-DGO,

：.ZAOD=ZAEG=90°.

???ACJ_BD.

，四邊形ABCD是“垂美四邊形”.

解：⑵+CD2=AD2+B*理由如下.

VACXBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°.

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2.

：.AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)???△BCE和AAED是等腰直角三角形，BE=3,AE=4,

BC=3",AD=4V2.

AD2+BC2=AB2+CD2,

???(4V2)2+(3A/2)2=62+CD2.

：.CD=V14.

故答案為V14.

4.解：

【概念理解】

⑴在矩形、菱形、平行四邊形和梯形中，只有菱形的鄰邊相等，所以菱形是“等鄰邊四邊形”，故選B.

(2)：BD平分NABC,

-?.ZABD=ZDBC.

VBC//AD,

-?.ZDBC=ZADB.

.\ZABD=ZADB.

,?.AB=AD.

二四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.

故答案為“是”.

【性質(zhì)探究】

(1)如圖41所示，連接AC.

VAB=AD,BC=CD,AC=AC,

.?.△ABC絲△ADC(SSS).

.\ZB=ZD.

VZBAD=80°,ZBCD=60°,

/.BAC=Z.DAC=-ABAD=40°,

2

Z.BCA=/.DCA=-^BCD=30°.

2

??.z_B==180°-40°-30°=110°.圖41

(2)如圖42所示，連接AC.

VZABC=ZADC=90°,AB=AD,AC=AC,

???RtAABC^RtAADC(HL).

；?ZBAC=ZDAC.

NDAB=60。，

i

???^LBAC=-^DAB=30°.

2

1

BC=-AC.

2

設(shè)AC=x,則BC=1x.

vAC2=AB2+BC2,AB=6,

2

.../=62+C%),解得久i=4V3,X2=一4百(不符合題意，舍去).

.??對(duì)角線AC的長(zhǎng)為4V3.

5.解：（I）：.菱形和正方形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，，菱形和正方形是“美妙四邊形”.

故答案為2.

⑵求四邊形ABCD的面積有兩種情況。

①當(dāng)AC是“美妙線”時(shí),如圖43所示.

?；AC平分/BAD和/BCD,ZBAD=60°,

?-?/.BAC=^DAC=-^BAD=30°,zBCX=ZDCX.

2

VZABC=90°,AB=3+V3

圖43

???BC=V3+1.

「AC二AC,ZBCA=ZDCA,ZBCA=ZDAC,

:AABC^AADC(AAS).

S四邊形148cQ=2S%c=2x3/8-5C=2xg(3+#)(/+1)=6+4幣.

②當(dāng)BD是“美妙線”時(shí),如圖44所示”過(guò)點(diǎn)D作DHJ_AB于點(diǎn)H.

ZABC=90°,BD平分/ABC,

；./ABD=/CBD=45。.

ABDH是等腰直角三角形.

,?.DH=BH.

:設(shè)AH=a,則.DH=V3a,BH=V3a,

圖44

???a+V3a=3+解得a=V3.

???DH=3.

?.?同理可證，△ABD也△CBD(ASA),

■-■S四邊形ABCD=2S&ABD=2x-DH=3x(3+V3)=9+3V3.

綜上所述，四邊形ABCD的面積為(6+4百或9+3V3.

6.(1)解:：四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”,NAr/C,ZA=60°,ZB=70°,

???Z.D=Z-B=70°.

???ZC=360°—70°-70°-60°=160°.

(2)證明:如圖45所示，連接BD.

VAB=AD,

:.NABD=NADB.

■:NABC=NADC,

1?NABC-NABD二NADC-NADB,即/LCBD=A.CDB.

：.CB=CD.

(3)解：求對(duì)角線AC的長(zhǎng)分兩種情況.

①當(dāng)NADC=NABC=90。時(shí)，延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E,如圖46所示.

VZABC=90°,ZDAB=60°,

E

：.ZE=30°.

,?AB=10,

???AE=2AB=20.

AD=8,

I.DE二AE--AD=20-8=12.

VZEDC=90°,ZE=30°,圖46

?'CD謂=45

AC=yjAD2+CD2=82+（4V3）2=4位.

②當(dāng)/BCD=/DAB=60。時(shí)過(guò)點(diǎn)D作DMLAB于點(diǎn)M,ON回BC于點(diǎn)N,如圖47所示.

?/DM±AB,DN±BC,ZABC=90°,

?.ZAMD=90°,四邊形BNDM是矩形.

ZDAB=60°,AD=8,AB=10,

AAADM=30°,AM=-AD=4.

2

DM=V34M=4V3,

BM=AB-AM=10-4=6.

；四邊形BNDM是矩形，

；.DN=BM=6,BN=DM=4V3

ZBCD=60°,

:?CN=瑞=2V3.

???BC=CN+BN=6V3.

AC=y/AB2+BC2=J102+（6V3）2=4V13.

綜上所述，AC的長(zhǎng)為4夕或4V13.

7.⑴解：根據(jù)定義可直接得出，菱形和正方形都是“和諧四邊形”.

故答案為菱形（或正方形）.

⑵證明：；AD〃BC,ZA=100°,

AZA+ZABC=180°,NADB=NDBC.

ZABC=80°.

VBD平分/ABC,

，ZABD=ZDBC=ZADB=40°.

???AB=AD,gPAABD是等腰三角形.

VZC=70°,ZDBC=40°,

???ZBDC=70°.

:.NONBDC.

???BD=BC,即ABDC是等腰三角形.

???BD把四邊形ABCD分成兩個(gè)等腰三角形，即BD是四邊形ABCD的“和諧線工

(3)解：ZABD的大小有以下三種情況.

①當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖48所示.

VAB=AC,AB=BD,

'AB二BD=AD,即△ABD是等邊三角形.

NABD=60。.

②當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖49所示.

VAB=AC,AB=BD,AD二CD,

???AB=BD=AD=CD.

ZBAC=90°,

???四邊形ABDC是正方形.

???NABD=90°.

③當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖50所示，過(guò)點(diǎn)D作DM團(tuán)/C于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)D作DNLAB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

???DM^ACtDN^\AB,ABAC=90°,

，四邊形ANDM是矩形.

■:AD=CD,

1

??.DN=AM=CM=-AC.

2

AB=BD=AC,

i

???DN=-BD.

2

???乙DBN=30°.

???/.ABD=150°.

綜上所述，若以點(diǎn)A,B,C,D組成的四邊形為“和諧四邊形"且滿足AD為“和諧線"則乙48。的度數(shù)

為（60。,90?；?50°.

8.解：

【定義理解】

?.?在RtAABC^p,ZACB=90°,AB=5,AC=3,

BC=-JAB2-AC2=V52-32=4-

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

；.EC=EB=2.

???AE=y/AC2+EC2=432+22=g.

:點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，

n6「V13

???PC=-AE=—.

22

故答案為當(dāng).

【類比探究】

⑴連接BE，延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作.BM團(tuán)4D,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如圖51所示.

；四邊形ABCD是菱形，AB=4,

??.AB=AD=BC=4,AD\\BC.

：.ZF=N