陜西省寶雞市某中學2024-2025學年高三年級下冊3月模擬數(shù)學試卷

陜西省寶雞市岐山高級中學2024-2025學年高三下學期3月模

擬數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={%€2|》+1>0},B=（x||.r+l|<3},則AC|3=（）

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.若復數(shù)（2+i）（a+i）在復平面內對應的點位于y軸上，則實數(shù)。=（）

A.—2B.—C.-D.2

22

3.若空間中三條不同的直線。，6,c滿足qj_c,b±c,則。//6是。，b,c共面的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量q=（1,0）,02=（1,6），設a=4q+e2，b=3e1-e2,則2與B的夾角為（）

、71―兀-兀一2兀

A.—B.—C.—D.—

6433

5.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+9）的圖象關于直線x=g對稱，則tan^=（）

A.2+石B.2-6C.l-y/3D.y/3-2

6.為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，

某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂、非遺展演

六個節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為（）

A.1B,…D.工

6201060

7.已知AB為圓錐尸。的底面直徑，。為底面圓心，正三角形AC￡>內接于。O,若PA=6,

圓錐的側面積為12也r，則出與BO所成角的余弦值為（）

AA/2口指A/50

A.D.RU.nD.

6453

8.已知a>0且awl,若函數(shù)/（*）=1。⑥+2產-108小與8（%）=3+2廠+/在區(qū)間（0,+8）上

都單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(O,V3-1)B.(V2-l,l)C.[73-1,1)D.[V2-l,l)

二、多選題

9.從某校高一和高二年級分別隨機抽取100名學生進行知識競賽，按得分(滿分100分)

繪制如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計概率記高一年級學生

得分平均數(shù)的估計值為x,高二年級學生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計值分別為y,z.從高

一和高二年級各隨機抽取一名學生，記事件"高一年級學生得分不低于60分，高二年級

學生得分不低于80分”，事件N="高一年級學生得分不低于80分，高二年級學生得分不低

于60分”則()

高一年級學生得分高二年級學生得分

A.x<zB.y>zC.事件M,N互斥D.P(M)=P(N)

2_

10.已知可，工分別是雙曲線=l0>0)的左、右焦點，斜率為后且過點F2的直

b

線交C的右支于48兩點，A在第一象限，且|A￡|=|AB|,則()

A.點耳到C的漸近線的距離為行

B.|AB|=10

C.C的離心率為2

D.分別以8耳月月為直徑的圓的公共弦長為小

11.塌縮函數(shù)在神經網(wǎng)絡、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領域經常用到.常見的塌縮函數(shù)有

tanh(x)=會:，sig(x)=\,設tanh⑺的值域為。，sig(x)的值域為E,則下列結

e+e1+e

論正確的是()

A.石三D

2025

B.￡[sig(i)+sig(-i)]=2025

1=1

試卷第2頁，共4頁

C.方程2sig(x)=l+tanx的所有實根之和為1

D.若關于x的不等式sig(e*+eT)+sig(-蘇+2m+1)>1恒成立，則實數(shù)機的取值范圍

為(-L3)

三、填空題

12.已知VA2C為銳角三角形，且AB=5,AC=6,VABC的面積為6",則3C=

/、\\x—ci\—a+Lx>1

13.己知函數(shù)外力=｛1'.，的最小值為-1,則”__________.

[X—2ax+3,x<1

2

n1

14.記國表示不超過x的最大整數(shù).若正項數(shù)列｛%｝滿足4+2〃y-3〃=0,2=E-，

a

[_z=li_

則數(shù)列也｝的前101項和為.

四、解答題

15.已知｛4｝是等差數(shù)列，論,｝是等比數(shù)列，且％=4=3,%+。4=2瓦,<2]?3=b3.

⑴求｛%｝和色｝的通項公式;

(2)求數(shù)列的前”項和.

16.甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是:，乙每次擊中目標的概率是

假設兩人是否擊中目標相互之間沒有影響.

⑴求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；

(2)設甲擊中目標的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

17.已知函數(shù)〃耳=(%—1”-依-6,曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程為

x+y+2=0.

(1)求。，6的值;

(2)討論/(X)的零點個數(shù)，并證明所有零點之和為①

42J2

18.已知拋物線「V=鼻>,QE:x2+(y-l)9-=r20<r<-^-，點P在:T上.

3I3J

⑴求I因的最小值；

⑵設點P的橫坐標為2,過戶作OE的兩條切線，分別交「于B,C兩點.

(i)求直線BC斜率的取值范圍；

(ii)證明直線3C過定點.

19.球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖

形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構成的二面

角叫做球面三角形的一個內角.如圖(1),球0的半徑R=0,A,B,C,O為球。的球面上的四

⑴若球面三角形的三條邊長均為竽求此球面三角形一個內角的余弦值.

(2)在球0的內接三棱錐D-ABC中，DB±^ABC,AB:AC:BC=y/3：s/2A,直線DC與

平面ABC所成的角為g.

(i)若V,N分別為直線AA3C上的動點，求線段"N長度的最小值；

(ii)如圖(2),若尸,。分別為線段AC,BC的中點，G為線段8。上一點(與點B不重合),

當平面OBC與平面GP。夾角的余弦值最大時，求線段BG的長.

試卷第4頁，共4頁

《陜西省寶雞市岐山高級中學2024-2025學年高三下學期3月模擬數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案CCBCDAADABACD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】分別化簡集合AB,結合交集的運算規(guī)律即可求解.

【詳解】因為x+l>0,所以x>—l,所以A={xeZ|x>-l},

因為|x+l|43,所以-4WxW2,所以3={x|"4WxW2},

AW{0,L2},

故選：C.

2.C

【分析】利用復數(shù)的乘法運算化簡復數(shù)，即可根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為(2+i)(a+i)=2a-l+(a+2)i在復平面內對應的點位于y軸上，所以2〃-1=0,

1

a=一.

2

故選：C

3.B

【分析】通過特例說明不能推出。，b,c共面，即充分性不成立；再由平面幾何知識

得出同一平面內的直線不平行必相交，推出a//b一定成立，即必要條件成立，兩者綜合即

可得出結果.

【詳解】

如圖所示：滿足。_Lc,bLc,且a//8,但是。ua,bua,cu￡,

所以可知a//b是。，b,。共面的不充分條件；

當。，6,c共面時，由平面幾何知識可知同一平面內的直線不平行必相交,

答案第1頁，共15頁

又因為a，c,bLc,所以必然有a/小，

即a//b是a,b,c共面的必要條件，

綜上可知a//b是a,b,c共面的必要不充分條件.

故選：B.

4.C

【分析】由條件結合向量坐標運算公式求萬，方，再求7后，同，陽，再結合向量夾角公式

求結論.

【詳解】因為4=（1,0）,貳=（L君），

所以2=41+最=（4,0）+小君）=（5,6），

&=3^-^=（3,0）-（1,^）=（2,-73）,

所以晨五=5義2+6、卜石）=7,同=/2+（指丫=2近,

|5|=^22+（-V3）2=77，

設2與9的夾角為。，

a-b71

則8Sn"而=訴訴=5,又。中可

所以。=三，即￡與B的夾角為三.

故選：C.

5.D

【分析】利用最值求0=-^+祈人?Z,再結合范圍求出。=-占，再利用二倍角公式求

66

tanE=2—6即可.

12

【詳解】由題意可知/（5）=sin+。）=±1,得g+0=T+E，攵￡Z,

解得夕=—5+E,左eZ,因一貝汁9=一］,

6226

c兀

2tan一八

因tang=-------12^=解得tanm=2一百或_2—g（舍）

61-tan2^312

12

故tanZ=tanf|=-tan—=-2

2y12J12

答案第2頁，共15頁

故選：D

6.A

【分析】利用排列，求出六個節(jié)目演出的方法數(shù)和曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器

樂節(jié)目前面演出方法數(shù)，再利用古典概率公式，即可求解.

【詳解】因為歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出，有A；A；=120種

排法，

又六個節(jié)目演出，共有A：=720種排法，

A3A219A1

由古典概率公式可知，所求概率為尸=）=蕓==,

A6720o

故選：A.

7.A

【分析】先求出圓錐的底面半徑和50,過點A作AE//BD交。O的延長線于點E,ZPAE為

K4與50所成角，由余弦定理求解即可.

【詳解】設圓錐的底面半徑為小母線長為/,

因為PA=6,所以/=PA=6,

所以S=?！?671r=120兀，所以廠二2夜，

所以。4=O5=OC=OD=20,又正三角形AC。內接于。。，

LAC

所以2r=4j2=.“，解得：AC=246,所以AC=CO=AO=，

sin60°

所以BO=dAB°-AD?=J（4&y一僅卡了=272,

過點A作AE〃&）交。。的延長線于點E,BD=AE=2B

所以上4與所成角即為上4與AE所成角或其補角，

所以44E為上4與所成角，PA=PE=6,

由余弦定理可得：,osZPAE=尸治+鉆2-PE?=6+僅應）2—6?二交,

2PAAE262&6

故選：A.

答案第3頁，共15頁

p

【分析】利用換底公式得/(x)=]n(<)弋=]_1_

lax,然后利用對數(shù)函數(shù)的

ln(“+2)ln〃

性質即可推得0<。<1;再對g(x)=(a+2)，+a，求導，利用導數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質，求解不

等式即得讓0-1或。<八5-1,合并考慮即可.

【詳解】由題可知小)=丁笆不-獸=?JInx,

ln(〃+2)Inaln(〃+2)ln〃

/、/、11c11

因為〃X)在區(qū)間(。,+8)上單調遞增，所以麗可一布>°，即記E>嬴，

當時，有l(wèi)n(〃+2)<Ina,得2<0,不成立舍去；

當0VQV1時，有)則]/顯然成立,故

ln(a+2>0lna<0,1

XJLXIC/I/IULIYL

又g(x)=3+2)x+"在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，

g'(%)=(a+2)"ln(a+2)+axlna20在%￡(0,+。)時恒成立,

所以11+￡|2一」2)在一e包+8)時恒成立，

(2VInaJ/、

因為[l+習>l,則有—]n(q+2)Wl'即Tn〃wln(a+2),

則得一<a+2,BPa2+2?—I>0?解得。之—l或〃V—A/5—I,

a

又0<a<l,所以應-lVa<L

故選：D.

9.AB

【分析】由頻率分布直方圖求出對應％y，z的值，即可判斷AB選項；由互斥事件的定義求

答案第4頁，共15頁

McN來判斷C選項；求出P(M),P(N)來判斷D選項.

【詳解】

x=(35x0.01+45x0.02+55x0.03+65x0.02+75x0.01+85x0.005+95x0.005)xl0=58.5,

z=(35x0.005+45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0.005)x10=67.5,

0.05+0.1+0.15+0.2=0.5,y=70,

x<z,A選項正確；y>z,B選項正確；

MAN="高一年級學生得分不低于80分，高二年級學生得分不低于80分”片0,C選項

錯誤；

由評率估計概率得：P(M)=(0.2+0.1+0.05+0.05)x(0.15+0.05)=0.08,

P(N)=(0.05+0.05)x(0.2+0.3+0.15+0.05)=0,07,D選項錯誤.

故選：AB

10.ACD

【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理可求得閨叫,從而可求得c,即可判斷選項A,C；

用余弦定理和雙曲線的定義可求得判斷選項B；點可作于點￡,易知分別以

8片,丹鳥為直徑的圓的公共弦為4E,勾股定理可求公共弦長，即可求解選項D.

又因為治B=后，可得sinNB居耳=拳,cosNBF/=g

又因為|明|=|AB|,所以|愿月明-|明|=|前|一|短卜為=2,忸￡|=%+|%|=4a=4,

則在ABT例中由余弦定理有地2=］耳聞2+忸囿2一2國同忸閶?os5耳,

答案第5頁，共15頁

即16=閨工「+4-2x2用用義；，解得出閶=4或一3(舍)，

則2c=閨詞=4,則c=2,所以b=拒二1=6,即點乙到C點漸近線的距離等于班，A

正確；

C的離心率為e=￡=2,C正確；

a

在AMB中，由余弦定理可得有片工「+|4局2-2閨閶HQcosNA瑞小則

(|A^|+2)2=42+|A^|2-2X4X|A/?|X^-^,解得恒閶=6,所以|金|=|&閭+2a=8wl0,

B錯誤；

TT

過點F1作耳￡，A3于點E,因為NBEK=AFXEF2=g,則點￡在8耳F,F2為直徑的圓上，

所以以明，月名為直徑的圓的公共弦為可/且忸耳|=2"-忸閭=4=由同，所以

忸同="2_1=厲,D正確.

故選：ACD

11.ABD

【分析】利用函數(shù)單調性可分別求出兩函數(shù)的值域，從而判斷A；利用sig(x)的結構特征,

得出sig(x)+sig(r)=l,再計算即可判斷B；將方程的根轉化成函數(shù)圖象的交點，利用兩

函數(shù)的對稱性可得到交點的對稱性，從而判斷C；利用$18(同+迤(-無)=1將不等式變形,

結合單調性得到二元不等式，利用最值解決恒成立問題即可判斷D.

Qx(ex-e-x)2x_i2

【詳解】對于A,因為tanh(x)=/1_j=/e節(jié)=1-苫幣.，所以tanh(x)在R上為增

函數(shù)，且tanh(x)的值域為(一1,1)=，又sig(x)=1=」-e(O,l)=E,所以E=D,

1+e1+e

故A正確；

因為)()乙ex1

對于B,sig(X+sigT=±7+--------1------=--1,所以

1+e*l+ex

2025

X[sig(0+sig(-/)]=2025,故B正確;

Z=1

對于C,因為2sig(x)=l+tanx,所以sig(尤)=g+gtanx,由B可知sig(x)的圖象關于點［)』

對稱，又y=g+gtanx的圖象也關于點也,j對稱，所以兩函數(shù)圖象的交點也關于點對

答案第6頁，共15頁

稱，則方程2sig(x)=l+tanx的所有實根之和為0,故C錯誤；

對于D,易知sig(x)為增函數(shù)，JLsig(x)+sig(-x)=l,gpsig(-x)=l-sig(x),

則sig(e*+eT)＞l-sig(-療+2機+l)=sig(療-2機-1),即e*+e-，＞根？一2加一1,因為

ex+ex＞2y/e-r-e-x=2-當且僅當x=0時等號成立，所以蘇-2〃z-l＜2,解得-1＜根＜3,

所以實數(shù)機的取值范圍是(-1,3),故D正確.

故選：ABD.

12.7

【分析】由面積和兩邊長,可以求出夾角A的正弦值，再利用同角三角函數(shù)關系求出余弦值，

最后利用余弦定理求出另一邊長即可.

【詳解】由SAMculARACYinAngxSxGsinAuGR,得sinA=手，

又VABC為銳角三角形，所以角A為銳角，所以cosA=Jl-sin?&=g，

尢占-工田“AB2+AC2-BC2用152+62-BC2

在VABC中，由余弦定理cosA=-----------------------,得：一=------------,

2ABAC52x5x6

BC1=49,BC=7.

故答案為：7.

13.±2

【分析】分類討論，或。＞1,求出了("的解析式，根據(jù)解析式畫出圖象，研究最值的

情況即可.

【詳解】①若。＜1,則

兀＞1時，/(x)=x-2a+l,且單調遞增，

時，/(力=%2-2依+3,則最小值為/(〃)=-/+3,

若“X)存在最小值T，貝IJ有—/+3W1—2a+l且一片+3=-1,

得。=-2；

答案第7頁，共15頁

②若則

lv九〈a時，/(x)=-x+l,xNa時，/(x)=x-2^+l,

時，/(%)=12—2依+3,且單調遞減，

/(1)=4-2^,f(a)=X-a,

若最小值為了⑴，貝U4—2a=—l,且4—2〃W1—〃，無解；

若最小值為/(〃)，則1一。二一1,且4—2〃>1一々，得〃=2,

綜上所述，〃=-2或〃=2

故答案為：±2

14.10101

【分析】根據(jù)因式分解可得%=6,即可根據(jù)放所縮法以及裂項可得

2^y/i>2^/i+l-,即可求和得解.

【詳解】因為〃-3H=0,所以(q+36)(凡一6)二。，

因為｛為｝為正項數(shù)列，所以冊=3，

則與95+上卜…+看

當此2時，5=高<而*=2(心巧)，

答案第8頁，共15頁

故1+2（8-1）+2（舁&）+…+2（"—A/^T）=2（后—1）+1=2〃-1,

又對于MN*,都有\(zhòng)=京＞祈—=2（后一0

故f,>2（友—1）+2（省—⑹+…+2（,/2+]_巾）=2（J/+]_]）>2（^_]）=2“_2,

故當〃N2時，bn=[Y—]=2n-2,

/=i%

又2,所以同的前1。1項和—狐口+史學四——

故答案為：10101

15.⑴?！?3",bn=3"；

⑵9?。ㄘ?〃3+、而1

【分析】（1）設出公差和公比，根據(jù)條件得到方程組，求出公差和公比，得到通項公式;

（2）了\F，利用錯位相減法求和得到答案.

【詳解】（1）設公差為d,公比為4（4片0）,

%+%=2b2,故2%+4d=lb{q,6+4d=6q,

%%=b3,故3（3+2d）=3/,

聯(lián)立136（+34+d2=〃）6q=3直解味[d==33或d———（舍.去）,

q—u

故%=3+3伍-1）=3n,￡=3?3"T=3"；

⑵/=1^=言，設數(shù)列1，J的前”項和為s“,

ec1234n三

則S"守+§+三+于+一餐’①

答案第9頁，共15頁

2。,1111n1-rn3(3、1

兩式①-②侍手=l+§+—k…+正方=尸1=5一HF

3

9(13、1

所以S"丁

⑹⑴自

3

(2)分布列見解析，E(X)=]

【分析】(1)甲恰好比乙多擊中目標2次，包括甲恰好擊中目標2次且乙恰擊中目標。次,

甲恰好擊中目標3次且乙恰擊中目標1次，根據(jù)公式得到結果;

(2)根據(jù)題意確定變量X的所有可能取值，根據(jù)變量對應的概率和獨立重復試驗的概率公

式，寫出變量對應的概率，寫出分布列，做出期望值.

【詳解】(1)設甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A,甲擊中目標2次且乙擊中目標。次為

事件及，甲擊中目標3次且乙擊中目標1次為事件

2

3

貝IJP(A)=P(4)+P(B2)=C；IIxC；?噌

3

所以甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為仁.

128

(2)由題可知X的所有可能取值為。,1,2,3,

所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

07?7Q13

^^E(X)^0x-+lx-+2x-+3x-=-

17.⑴〃=1；b=l

(2)證明見解析

【分析】(1)求導得到了'(%)表達式，把％=0代入廣(%),能得到含。的等式，算出。.再代

答案第10頁，共15頁

入尤=0到，(x)算出另一個未知量6.

(2)根據(jù)第(1)問結果得到f(x)和f\x).令g(x)=f'{x),對g(x)處理，根據(jù)結果判斷g(x)

在不同范圍的增減情況.依據(jù)尸(x)正負，判斷f(x)在不同范圍的增減，得出最小是

/(%).算出/(%)小于0,再找兩點使式子值大于0,確定有兩個特殊點.設一個特殊點為4,

發(fā)現(xiàn)一再也是，所以和為0.

【詳解】(1)求導得到f'M=忖-。，根據(jù)函數(shù)在點(0,/(0))處的切線方程為x+>+2=0,

汨利〃'(°)=左=T

得到[1y(0)=-2.

把尤=0代入/''(x)得y,(0)=0xe°-a=-a,

因為/'(0)=T,所以一。=—1,即。=1.

/(0)=(0-l)e°-ox0-Z?=-2,算出6=1.

(2)由第(1)問知/(x)=(x-l)e，-x-l,f'(x)=xex-l.

令g(x)=7'(x),求導得g，(x)=(x+l)e*.

當尤w(r?,-l),g'(X)<0,g(x)在(一8,-1)遞減；

當xc(—1,+OO),g'(x)>0,g(無)在(T,+oo)遞增.

g⑴>0,g(0)<0,所以存在唯一％使g(%)=0,即M=l.

當xe(-co,Xo),f\x)<0,f(x)在(-co,%)遞減；

當無€(%,+8),f'(x)>0,f(x)在(加,9)遞增,所以

13

f(x0)=-x0<0,又/(一2)=1-下>0,〃2)=e2-3>0,

/e

根據(jù)零點存在定理，/(元)在(-2,%)和(％,2)各有一個零點，共兩個零點.

設乃1是零點，/(無。=(占-l)e』-占-1=0,

經計算/(-X3=(一再一l)e』+占一1=e』—l)e』一再一1]=0,

所以一再也是零點，零點和為玉+(-再)=0.

18.(1)|尸耳取最小值為不

答案第11頁，共15頁

(2)(i)直線BC斜率的取值范圍為；

(ii)證明見解析.

【分析】(1)設尸(%,%),由兩點間的距離公式可得|PE|=，yo-gj+|,進而可求最小值;

(2)記直線P3,尸C3C的斜率分別為《,&,內,設切線方程為＞-3=網(wǎng)工-2),由題意可得

|2—2月區(qū)卜4-r2

H=r,進而可得人+%=上二,左/,=土==1，聯(lián)立直線與橢圓方程可得

/=與-2,%=牛-2,(i)可得%=含-3,計算可求直線BC斜率的取值范圍；(ii)

13

可求得直線BC的方程為，=(左+3(尤+2)-3工-1，進而可求定點.

4

【詳解】(1)設尸(無。,%),貝合；=1%,又4。」)，

所以|PE|=/；+(%-1J=%。+(%-1J=一|%+1=.一g)+|，

所以當%=:時，|尸耳取最小值，最小值為逑.

33

(2)記直線PBICBC的斜率分別為左,勤自,

因為點尸的橫坐標為2,可得尸(2,3),設過尸(2,3)的圓E的切線方程為y-3=k(x-2),

由題意可得即(4一,袂2-8左+4-嚴=。，

X"4—r2

因為左1，%2是方程的根，所以勺+%2=----萬,柩2=----7=1，

4-r4-r

f24

x=-y

又〈3,所以3/—4版+8左一12=0,

bi、rc8左1—128Q—12口口4kl4公

所以2XB=-,2%—~,BPxB——2,xc=-2,

(i)因為3C的斜率為43，

所以―之于='+*)=：《-2+牛一2卜+-3=言-3,

又因為0＜廠42叵，所以產.

34-r2I7j

即直線BC斜率的取值范圍為-；

答案第12頁，共15頁

4"2

+3=第-秋+3

所以直線5C的方程為y~yB=k3^x-xB),即y——^--4k1+3j=+A:2-3)fx-^-+2

1313

即y=(匕+左2_3)%+2(匕+攵2)__~，即y=(匕+左2)(%+2)—3X—■—,

令》=—2,貝Uy=g,所以直線BC過定點(一2,：.

19.(1)|

(2)(D(ii)&

56

【分析】(1)由題意易得四面體。4BC為正四面體，取Q4的中點E,連接8E,CE,分析可

得/3EC為二面角3-AO-C的平面角，進而結合余弦定理求解即可；

(2)(i)設BC=a(a>0),先證明AC_L平面BCD,可得AC_LCD,結合題設易得/DCB=g,

可得AD=J%=2g,a=a,建立空間直角坐標系，結合空間向量求解即可；

(ii)設3G=fJe(0,6],設平面03C與平面GPQ的夾角為凡利用空間向量表示出

cos8=與J1+竺9，令s=2&+l,再結合基本不等式求解即可.

5V3產+1

【詳解】(1)因為球面三角形A3C的三條邊長均為叵,R=班，

3

7T

所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為三，所以四面體。4BC為正四面體.

3

取Q4的中點E,連接BE,CE,則8E，Q4,CE，OA,且8E=CE=3，

2

則/3EC為二面角3-AO-C的平面角.

99_

由余弦定理可得cosZBEC==344