廣東省惠州市2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/廣東省惠州市2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知單位向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．2024年惠州馬拉松賽事期間，組委會(huì)需從甲、乙、丙、丁4位志愿者中選3位安排到物資分發(fā)、路線指引、醫(yī)療協(xié)助三個(gè)不同服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)1人．已知甲不能安排在物資分發(fā)服務(wù)點(diǎn)，則不同的安排方法共有（）A．9種 B．12種 C．15種 D．18種6．如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面 B．C． D．平面7．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B．C．函數(shù)的周期為2 D．8．已知，均為銳角，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C．無零點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減10．用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn)．若拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過C上另—點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（）A．C的準(zhǔn)線方程為B．C．若點(diǎn)，則D．設(shè)直線與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在直線上11．設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取為1，2，3，…，n，且，，現(xiàn)定義，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則隨著n的增大而增大C．若，則的最小值為1D．若，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為1，2，…，m，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．在銳角中，則的值等于．13．已知一試驗(yàn)田種植的某種作物一株生長(zhǎng)果實(shí)的個(gè)數(shù)x服從正態(tài)分布，且，從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取10株，果實(shí)個(gè)數(shù)在的株數(shù)記作隨機(jī)變量X，且X服從二項(xiàng)分布，則X的方差為．14．已知函數(shù)（，且），若恒成立，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．體育課上，同學(xué)們進(jìn)行投籃測(cè)試，規(guī)定：每位同學(xué)投籃3次，至少投中2次則通過測(cè)試，若沒有通過測(cè)試，則該同學(xué)必須進(jìn)行50次投籃訓(xùn)練．已知甲同學(xué)每次投中的概率為，每次是否投中相互獨(dú)立．(1)求甲同學(xué)通過測(cè)試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為，每次是否投中相互獨(dú)立．經(jīng)過測(cè)試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進(jìn)行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和記為X．求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．17．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若曲線上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．如圖1，是等邊三角形，為等腰直角三角形，，將沿AC翻折到的位置，且點(diǎn)P不在平面ABC內(nèi)）（如圖2），點(diǎn)F在線段PB上（不含端點(diǎn)）．(1)證明：；(2)若．（?。┊?dāng)點(diǎn)F為線段PB的中點(diǎn)時(shí)，求直線PB與平面ACF所成角的大??；（ⅱ）設(shè)平面ACF與平面PBC的夾角為，求的取值范圍．19．已知橢圓C：，，．橢圓C內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)T作直線AT交橢圓于M，作直線BT交橢圓于N．M、N是不同的兩點(diǎn)．(1)若橢圓C的離心率是，求b的值；(2)設(shè)的面積是，的面積是，若，時(shí)，求t的值；(3)若點(diǎn)，滿足且，則稱點(diǎn)U在點(diǎn)V的左上方．求證：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方．

參考答案1．【答案】C【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得.故選C.2．【答案】B【詳解】由，可得：，故選B3．【答案】C【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，所以，所以，所?故選C.4．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選D.5．【答案】D【詳解】運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理，若甲不入選，有（種）安排方法；若甲入選，則有（種）安排方法，所以共有（種）不同的安排方法．故選D．6．【答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由分別為所在棱的中點(diǎn)得，由正方體的性質(zhì)易知，平面，平面，所以，，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，為下底面的中心，故為的中點(diǎn)，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，由B選項(xiàng)知，則有，令一方面，由正方體的性質(zhì)知為直角三角形，，所以，不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，由正方體的性質(zhì)易知，所以，平面，平面，所以平面，故D選項(xiàng)正確.故選：C.7．【答案】D【詳解】為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.即函數(shù)的周期為4，即C項(xiàng)錯(cuò)誤.由，令，得，即B項(xiàng)錯(cuò)誤.又，所以D項(xiàng)正確.故選D.8．【答案】D【詳解】，，令，，，所以在上為增函數(shù)，∴，∵，均為銳角，∴，∴，故選D.9．【答案】AD【詳解】易知的定義域?yàn)?因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故A正確.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，則，故B錯(cuò)誤，D正確.令,得,則有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.故選AD.10．【答案】ABD【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，故A正確；設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，則，故B正確；若點(diǎn)，則，，，故C錯(cuò)誤；直線的方程為，又，即，令，可得，即，而直線的方程為，則點(diǎn)在直線上，故D正確.故選ABD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，所以，隨著的增大而增大，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，其中，.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，隨著增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨著增大而減小，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為1，2，…，m，且，，，則，，，所以，故D選項(xiàng)正確.故選ABD.12．【答案】2【詳解】設(shè)由正弦定理得13．【答案】2.1【詳解】,且，，,,由題意可得,所以的方差為.14．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，又，所以不合題意；當(dāng)時(shí)，，易知，在上單調(diào)遞增，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，又因?yàn)楹愠闪⑶遥?，則，得，所以，設(shè)，，令，得，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.15．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也符合上式，所以，，所以.（2），所以，，兩式相減得，，所以.16．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）記事件A：甲同學(xué)通過測(cè)試，則甲同學(xué)在3次投籃中，投中2次或3次，則.（2）若乙通過測(cè)試，則乙同學(xué)在3次投籃中，投中2次或3次，所以乙通過測(cè)試的概率為，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有0，30，60，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：050100故.17．【答案】(1)見解析；(2).【詳解】（1）由題意得，，令，得或，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在或上遞增，在上遞減，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在或上遞減，在上遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在和上遞減，在上遞增；（2）由（1）可知曲線上的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在，處分別取得極值，，因?yàn)榫€段與x軸有公共點(diǎn)，所以，所以，，所以，且，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18．【答案】(1)證明見解析；(2)（?。┲本€PB與平面所成角為;（ⅱ）.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）（i）因?yàn)闉榈妊切?，，即，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，故，，因，則，即，又因，所以兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系，

，F(xiàn)為線段PB的中點(diǎn)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以，設(shè)直線PB與平面所成角為，則，又，則，所以直線PB與平面所成角為，（ii）設(shè)平面的法向量為，，則，取，得，設(shè)，所以，所以，則平面的法向量為，則，取，得，所以，令，則，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以.19．【答案】(1)的值為或(2)1(3)證明見解析【詳解】（