東北三省四城市聯(lián)考暨沈陽(yáng)市2025年高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試卷含答案

/2025年?yáng)|北三省四城市聯(lián)考暨沈陽(yáng)市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則（）A． B． C． D．4．為了了解學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測(cè)成績(jī)，現(xiàn)隨機(jī)抽取該校200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績(jī)?cè)趨^(qū)間這一組內(nèi)的學(xué)生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的矩形高度為（）A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.45．已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為3和4，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．6．在的展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C．20 D．407．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若，則（）A． B． C．0 D．18．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐SO中，AB、CD是底面圓O上互相垂直的直徑，E是母線SC上一點(diǎn)，，平面ABE截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到10．已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（）A．若，，則是等差數(shù)列B．若，，則是等差數(shù)列C．若，，則是等比數(shù)列D．若，，則是等比數(shù)列11．在平面內(nèi)，存在定圓和定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)軌跡敘述正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B．當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線C．當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且不與圓心重合時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線三、填空題（本大題共3小題）12．已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，，成等比數(shù)列，則．13．已知向量滿足，，且，則.14．2025年春晚，一場(chǎng)別開生面的機(jī)器人舞蹈表演震撼了觀眾．現(xiàn)在編排一個(gè)動(dòng)作，機(jī)器人從原點(diǎn)O出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次．求該機(jī)器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達(dá)）點(diǎn)位置的條件下，水平方向移動(dòng)2次的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的最大值．16．已知函數(shù)．(1)若存在，使成立，求k的取值范圍；(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．17．斜三棱柱各棱長(zhǎng)為4，，D為棱上的一點(diǎn)．(1)求證：；(2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值為，求BD的長(zhǎng)．18．某網(wǎng)店發(fā)現(xiàn)其某款商品的日銷售量與該店在購(gòu)物平臺(tái)APP的日訪問量呈線性相關(guān)關(guān)系，為了吸引更多的顧客購(gòu)買該商品，在APP上推出了A和B兩款互動(dòng)游戲，顧客在參與游戲后，有機(jī)會(huì)獲得優(yōu)惠券．下圖是該商品日銷售量y（單位：千件）與日訪問量x（單位：萬(wàn)人次）的散點(diǎn)圖：

(1)求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)日訪問量12萬(wàn)人次時(shí)日銷售多少千件商品；(2)A款游戲?yàn)橥P(guān)游戲，游戲規(guī)則為：顧客每次挑戰(zhàn)都有的概率成功通關(guān)，一旦成功，則游戲立即結(jié)束并獲得優(yōu)惠券，如果挑戰(zhàn)失敗，可繼續(xù)挑戰(zhàn)；每位顧客共有n次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，第n次無(wú)論成功與否都結(jié)束游戲．設(shè)X為游戲結(jié)束時(shí)，進(jìn)行挑戰(zhàn)的次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為，證明：；(3)B款游戲?yàn)槌榍蛴螒?，游戲?guī)則為：有個(gè)小球，編號(hào)為，參與者從中隨機(jī)抽取個(gè)小球，記錄編號(hào)后放回，再重新隨機(jī)抽取個(gè)小球，記被重復(fù)抽取的小球數(shù)為，并向參與者發(fā)放張優(yōu)惠卷，求使取得最大值時(shí)的m值．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離為d，且，其中，均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為曲線．(1)若曲線為雙曲線，試問，應(yīng)滿足什么條件？(2)設(shè)曲線C為曲線，點(diǎn)是C上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，點(diǎn)A，D關(guān)于y軸對(duì)稱．延長(zhǎng)AD至E，使得，且直線BE和曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)G位于第二象限內(nèi)．（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┰O(shè)直線OA斜率為，直線AG斜率為，判斷與的關(guān)系，并求的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】，虛部為.故選C.2．【答案】A【詳解】解不等式，可得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選A．3．【答案】D【詳解】令，則，所以，即，則故選D．4．【答案】A【詳解】由題意成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)學(xué)生的頻率為，因此，故選A5．【答案】B【詳解】圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選B．6．【答案】D【詳解】，的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)是.故選D．7．【答案】B【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱可知，，即，可得，因此函數(shù)具有對(duì)稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對(duì)稱軸，可得．故選B．8．【答案】C【詳解】由題意的，，則，，所以，在中，，，，且，則，，，則，所以，由正弦定理得，，即.故選C．9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的周期為，故A正確；對(duì)于B，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D錯(cuò)誤．故選AC．10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，若，則所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，即所以是等比?shù)列，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以是等比?shù)列，故D正確；故選BCD．11．【答案】ACD【詳解】設(shè)圓的半徑.當(dāng)點(diǎn)與圓的圓心重合時(shí)，線段的中垂線與直線的交點(diǎn)即為的中點(diǎn)，此時(shí)，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)可知線段的中垂線與直線的交點(diǎn)即為圓心，軌跡為一個(gè)點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)且非圓心時(shí)，如圖所示.∵點(diǎn)是線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，，，（其中為圓的半徑），∴點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖所示.∵點(diǎn)是線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，，，或，∴或（其中為圓的半徑），即，∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選項(xiàng)D正確.

故選ACD.12．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)整理得，解得（舍去），或，所以．13．【答案】【詳解】.14．【答案】【詳解】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動(dòng)2次”，按到位置需要1步，3步分類討論．記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL所以；所以，滿足AB的情況有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）．所以，所以．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，再由正弦定理得，又，所以，在中，所以，，所以，所以，又，所以；?）由余弦定理可得，即，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，可得存在，使成立，令，，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，若存在，使成立，則；（2），若在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則（舍）或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則，則k的最小值為．17．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）取AB中點(diǎn)O，在中，，O為AB中點(diǎn)，所以，在中，，，，由余弦定理可得，所以有，即，所以，又因?yàn)?，平面，平面，平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，如圖以O(shè)A，OC，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC，所在直線為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面法向量為，，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡(jiǎn)得，所以有（舍）或者，所以．18．【答案】(1)，千件(2)證明見解析(3)答案見解析【詳解】（1）由題意可得：，，，，所以回歸方程，時(shí)，，所以日訪問量12萬(wàn)人時(shí)銷售千件商品；（2）X可取值為，，，所以X的分布列為X123…nP…故①因?yàn)棰谟散佗诘?，所以；?）當(dāng)時(shí)，Y只能取n，故m只能取n，有；當(dāng)時(shí)，整數(shù)m滿足，其中t是0和中的較大者．兩次抽球包含的基本事件總數(shù)為，事件“”所包含的基本事件數(shù)為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，整理得到：，解得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最大值的整數(shù)或，當(dāng)時(shí)，取得最大值的整數(shù)，其中為不超過的最大整數(shù)．19．【答案】(1)，且(2)（?。?；（ⅱ），【詳解】（1）由，得，若曲線為雙曲線，則，所以可化為，則，則，所以當(dāng)，且時(shí)，曲線為雙曲線；（2）方法一：當(dāng)，時(shí)，，即，（?。┯深}意得，，設(shè)點(diǎn)，由，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BG的方程為，即，聯(lián)立，得，由直線BG與雙曲線有2個(gè)交點(diǎn)，則，又因?yàn)闈M足，由