湖北省襄陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期2月聯(lián)考試卷含答案

/襄陽(yáng)市優(yōu)質(zhì)高中2024屆高三聯(lián)考試題數(shù)學(xué)試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：答卷前、考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等在答題卷上填寫(xiě)清楚.選擇題答案用2B鉛筆在答題卷上把對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，非選擇題用0.5mm的色簽字筆在每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)做答，答在試題卷上無(wú)效.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范圍，再求交集即可.【詳解】，，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求復(fù)數(shù)的模.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：A3.已知是兩個(gè)不共線的向量，向量共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量基本定理求解即得.【詳解】向量不共線，則，由共線，得，，于是，則且，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C4.拋物線的準(zhǔn)線方程為，那么拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先通過(guò)準(zhǔn)線方程求出，在代入拋物線求焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，解得，所以拋物線即，即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.5.襄陽(yáng)為“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”，境內(nèi)生態(tài)環(huán)境優(yōu)美，旅游資源十分豐富，景區(qū)景點(diǎn)給人以自然的美妙與人文的魅力.其中南漳香水河、春秋寨，谷城薤山，保康五道峽，棗陽(yáng)白水寺、唐梓山風(fēng)景區(qū)，襄州鹿門(mén)寺都是風(fēng)景宜人的旅游勝地，一位同學(xué)計(jì)劃在假期從上面7個(gè)景區(qū)中選擇3個(gè)游玩，其中香水河和五道峽最多只去一處，不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案數(shù)有（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】【分析】分兩種情況討論，當(dāng)香水河和五道峽只去一處時(shí)，不同的選擇方案為；當(dāng)香水河和五道峽一處也不去時(shí)，不同的選擇方案為，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：因?yàn)橄闼雍臀宓缻{最多只去一處，故可分為兩種情況討論.當(dāng)香水河和五道峽只去一處時(shí)且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為；當(dāng)香水河和五道峽一處也不去時(shí)且不考慮游玩的順序，則不同的選擇方案為.綜上：滿足題意的不同選擇方案數(shù)為+=30.故選：B.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期，再結(jié)合賦值法求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由為奇函?shù)，得，即，由為偶函數(shù)，得，即，因此，即，則，即函數(shù)的周期是8，由，得，所以.故選：D7.四棱錐各頂點(diǎn)在同一球面上，，，，則這個(gè)球的表面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定三角形ABD為等邊三角形，求出外接圓半徑r,直接利用球和錐體的關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)一步利用球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】四棱錐各頂點(diǎn)在同一球面上,，,則四邊形四點(diǎn)共圓，對(duì)角互補(bǔ)，，故為等邊三角形，又，則點(diǎn)P在底面射影為的中心H，球心O在PH所在直線上，設(shè)外接圓半徑為r，則,，設(shè)外接球的半徑為，當(dāng)球心O在PH上，故，即，解得（大于PH長(zhǎng)度，舍去）．同理當(dāng)球心O在PH延長(zhǎng)線上，則即，解得成立，故球的表面積為故選：B8.數(shù)列中，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.3 B.6 C.12 D.15【答案】A【解析】【分析】先將條件變形得到，進(jìn)而構(gòu)造常數(shù)數(shù)列求出的通項(xiàng)公式，代入，通過(guò)參變分離，求最值即可.【詳解】由已知，兩邊同時(shí)除以可得，即，即，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，所以，所以，又恒成立，即恒成立，因?yàn)?，，所以，所以又所以要恒成立，有，所?故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)遞推式兩邊同時(shí)除以后，構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，可快速求出的通項(xiàng)公式，然后通過(guò)參變分離將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開(kāi)式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是160C.展開(kāi)式共有6項(xiàng) D.展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)和是【答案】AB【解析】【分析】先通過(guò)展開(kāi)式第3項(xiàng)的系數(shù)是60求出，然后利用二項(xiàng)式定理逐一判斷即可.【詳解】的展開(kāi)式第3項(xiàng)為，則由已知可得，解得，A正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是，B正確；展開(kāi)式共有項(xiàng)，C錯(cuò)誤；令可得展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)和是，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知直線，圓，且圓過(guò)點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A.圓的半徑為2B.直線過(guò)定點(diǎn)C.的最小值是D.的最大值是0【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的方程，結(jié)合圓的性質(zhì)及數(shù)量積定義依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由圓過(guò)點(diǎn)，得，圓的圓心，半徑，A正確；直線，由，得，即直線過(guò)定點(diǎn)，B正確；顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心角最小，此時(shí)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A平面B.到平面的距離是C.異面直線所成角的余弦值為D.平面將正方體分成兩部分的體積比為【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)造面面平行，證明線面平行，可判斷A的真假；利用體積法求點(diǎn)到面的距離，可判斷B的真假；構(gòu)造兩條異面直線所成的角，將其放在三角形中，利用余弦定理求角的余弦，可判斷C的真假；求出平面分正方體所得的兩部分的體積，可得D的真假.【詳解】對(duì)A：連接，，，則易證，，所以，又平面，平面，所以平面；同理：，、是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以：平面平面，平面，所以平面.故A正確；對(duì)B：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以和到平面的距離相等，設(shè)為.又在中，，，所以.由.故B正確；對(duì)C：取中點(diǎn)，連接，.則，所以即為異面直線、所成的角.在中，，，，由余弦定理，.故C正確；對(duì)D：，，所以平面把正方體分成的兩部分的體積之比為：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.是函數(shù)的一個(gè)周期 B.在上單調(diào)遞增C.的最小值是 D.在有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】取特值計(jì)算判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷B；由偶函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合時(shí)的周期性分段討論判斷CD.【詳解】顯然，，即，因此不是函數(shù)的一個(gè)周期，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，，求導(dǎo)得，因此在上單調(diào)遞增，B正確；函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然，則只需討論在上最小值，當(dāng)時(shí)，，而，且與不同時(shí)為0，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，得，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，得，，當(dāng)時(shí)，，，由，得，，因此當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，所以函數(shù)的最小值是，在有3個(gè)零點(diǎn)，CD正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求含正(余)的二次式的最值問(wèn)題，可以換元或整體思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間或其子區(qū)間上的最值求解.第Ⅱ卷三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.13.航天發(fā)射可以推動(dòng)一個(gè)國(guó)家科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，提升國(guó)家的科技水平．航天發(fā)射同時(shí)還是一個(gè)國(guó)家綜合實(shí)力的體現(xiàn)，可以提高一個(gè)國(guó)家在國(guó)際上的地位，中國(guó)航天科技集團(tuán)于2023年1月18日發(fā)布的《中國(guó)航天科技活動(dòng)藍(lán)皮書(shū)（2022）》顯示，我國(guó)2023年計(jì)劃實(shí)施近70次宇航發(fā)射，1月至12月發(fā)射次數(shù)依次為：5，2，7，3，4，4，6，8，6，4，5，15，那么這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可.【詳解】將這12個(gè)數(shù)從小到大排列為：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，8，15，因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第9個(gè)和第10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故答案為：14.等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且，那么滿足的的最大值是______．【答案】【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的求和公式求出公比，然后代入求解的范圍即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，不符合條件，故，則，解得.所以由得，即，由于所以，即滿足的的最大值是.15.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在的定義域內(nèi)存在一個(gè)區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“漸緩增區(qū)間”．若對(duì)于函數(shù)，區(qū)間是其一個(gè)漸緩增區(qū)間，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先通過(guò)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到其導(dǎo)函數(shù)不大于零恒成立，通過(guò)參變分離求最值得的范圍，再通過(guò)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到其導(dǎo)函數(shù)不小于零恒成立，通過(guò)單調(diào)性求得的范圍，綜合可得答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，令，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以恒成立，即恒成立，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以，解得，綜合得.故答案為：.16.直線與雙曲線的左、右支分別相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合正切函數(shù)定義推出，從而求出直線的斜率，設(shè)，利用直線的垂直關(guān)系，求出的表達(dá)式，代入雙曲線方程，可得關(guān)于的齊次式，即可求得答案.【詳解】如圖，，則,因，故，故，則，即直線的斜率為，設(shè)，則，即，又，，c為雙曲線的半焦距，則,即，即，則，將，代入，得，整理得，即，解得或，由于，故，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率的求解，解答的關(guān)鍵是利用題意，求出B點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而代入雙曲線方程，得到關(guān)于的齊次式，即可求解離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足（1）求角；（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理進(jìn)行角化邊得到的關(guān)系，再利用余弦定理求得角；（2）利用平面向量的數(shù)量積得，再利用求得，從而可得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】利用正弦定理進(jìn)行角化邊，得，整理得，由余弦定理可得，又，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?由得，即.所以的周長(zhǎng)為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；兩式相減得：即：.所以：是以為首項(xiàng)，以為公差得等差數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?所以：.19.如圖，在四棱錐中，，，底面是直角梯形，．（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，先由幾何條件證明平面，再利用線面垂直判定定理證明平面，從而可求解.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的中的一個(gè)法向量，利用空間向量法求解面面夾角，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，連接交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，在中，因?yàn)椋谥?，又因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在和中，，所以，又因?yàn)椋?，所以，則，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，由（1）知平面，平面，所以平面平面，且平面平面，因?yàn)?，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則.故平面與平面的夾角余弦值為.20.2023年湖北省羽毛球青少年俱樂(lè)部聯(lián)賽鄂北大區(qū)賽在襄陽(yáng)舉行，來(lái)自襄陽(yáng)、十堰、孝感、隨州4個(gè)城市的28支俱樂(lè)部的305名運(yùn)動(dòng)員揮拍上陣，展現(xiàn)了湖北省基層青少年羽毛球運(yùn)動(dòng)的活力與潛力、賽前各俱樂(lè)部對(duì)此賽事積極準(zhǔn)備，某俱樂(lè)部計(jì)劃對(duì)男子個(gè)大單打項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行內(nèi)部選拔，在隊(duì)員甲和乙中選擇優(yōu)勝者參加比賽．選拔規(guī)則是兩人比賽，先連勝兩局者直接勝出，比賽結(jié)束．若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則獲勝局?jǐn)?shù)多者勝出．現(xiàn)已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率是，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲恰好在第4局比賽后勝出的概率；（2）記比賽結(jié)束時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)為，求的分布列與期望．【答案】20.21.分布列見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論．（2）利用離散型隨機(jī)變量分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求的分布列；以及期望．【小問(wèn)1詳解】用A表示甲恰好在第局贏得比賽的是事件，表示第局甲獲勝，表示第局乙獲勝，則，，，所以.【小問(wèn)2詳解】的可能取值為，，，，，所以的分布列如下表：所以21.已知點(diǎn)A、分別是橢圓：的上、下頂點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、與橢圓上、下頂點(diǎn)均不重合），證明：直線、的交點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)體積確定橢圓中、的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫(xiě)出，，再表示出直線、，確定其交點(diǎn)，并判斷它們的交點(diǎn)在一條定直線上.【小問(wèn)1詳解】由，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，因?yàn)椤⒉慌cA、重合，故直線的斜率一定存在.設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：.設(shè)，，則，.所以.直線：；直線:.所以：.所以：.即直線與的交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求證點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題，一般可以采用以下方法：（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，寫(xiě)出直線方程，得到點(diǎn)在定直線上；（2）大膽猜測(cè)定直線的性質(zhì)，如該題就大膽猜測(cè)兩直線的交點(diǎn)所在的直線與軸平行，所以直接消去x，得到y(tǒng)