江蘇省2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三解析幾何3.1小題考法-解析幾何中的基本問題講義含解析

PAGEPAGE15專題三解析幾何[江蘇卷5年考情分析]小題考情分析大題考情分析?？键c(diǎn)1.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(5年4考)2.圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)(5年5考)主要考查直線與橢圓(如2014年、2015年、2024年、2024年)的位置關(guān)系、弦長問題、面積問題等；有時(shí)也考查直線與圓(如2024年)，常與向量結(jié)合在一起命題.偶考點(diǎn)直線的方程、圓的方程第一講小題考法——解析幾何中的基本問題考點(diǎn)(一)直線、圓的方程主要考查圓的方程以及直線方程、圓的基本量的計(jì)算.[題組練透]1．已知點(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為____________．解析：由題意知直線l與直線PQ垂直，所以kl＝－eq\f(1,kPQ)＝1.又直線l經(jīng)過PQ的中點(diǎn)(2,3)，所以直線l的方程為y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝02．(2024·南通一模)已知圓C過點(diǎn)(2，eq\r(3))，且與直線x－eq\r(3)y＋3＝0相切于點(diǎn)(0，eq\r(3))，則圓C的方程為____________．解析：設(shè)圓心為(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－\r(3),a)·\f(\r(3),3)＝－1，,a－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\r(3)))2＝a2＋b－\r(3)2，))解得a＝1，b＝0，r＝2.即所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝43．(2024·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動圓C上的點(diǎn)都在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x－\r(3)y＋3≥0,x＋\r(3)y＋3≥0))，表示的平面區(qū)域內(nèi)，則面積最大的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，面積最大的圓C即為可行域三角形的內(nèi)切圓．由對稱性可知，圓C的圓心在x軸上，設(shè)半徑為r，則圓心C(3－r,0)，且它與直線x－eq\r(3)y＋3＝0相切，所以eq\f(|3－r＋3|,\r(1＋3))＝r，解得r＝2，所以面積最大的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝4[方法技巧]1．求直線方程的兩種方法干脆法選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件干脆求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果待定系數(shù)法先由直線滿意的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)2.圓的方程的兩種求法幾何法通過探討圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程考點(diǎn)(二)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，以及依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求相關(guān)的最值與范圍問題.[典例感悟][典例](1)(2024·無錫期末)過圓x2＋y2＝16內(nèi)一點(diǎn)P(－2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，則四邊形ACBD的面積為________．(2)(2024·南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－4,0)，B(0,4)，從直線AB上一點(diǎn)P向圓x2＋y2＝4引兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，則線段AM長的最大值為________．[解析](1)設(shè)O到AB的距離為d1，O到CD的距離為d2，則由垂徑定理可得deq\o\al(2,1)＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2，deq\o\al(2,2)＝r2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2，由于AB＝CD，故d1＝d2，且d1＝d2＝eq\f(\r(2),2)OP＝eq\f(\r(26),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝r2－deq\o\al(2,1)＝16－eq\f(13,2)＝eq\f(19,2)，得AB＝eq\r(38)，從而四邊形ACBD的面積為S＝eq\f(1,2)AB×CD＝eq\f(1,2)×eq\r(38)×eq\r(38)＝19.(2)法一：(幾何法)因?yàn)橹本€AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC的方程為x1x＋y1y＝4，PD的方程為x2x＋y2y＝4，將P(a，a＋4)分別代入PC，PD的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax1＋a＋4y1＝4，,ax2＋a＋4y2＝4，))則直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直線CD過定點(diǎn)N(－1,1)，又因?yàn)镺M⊥CD，所以點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑的圓上(除去原點(diǎn))．又因?yàn)橐設(shè)N為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，所以AM的最大值為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).法二：(參數(shù)法)因?yàn)橹本€AB的方程為y＝x＋4，所以可設(shè)P(a，a＋4)，同法一可知直線CD的方程為ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝eq\f(4－4y,x＋y).又因?yàn)镺，P，M三點(diǎn)共線，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝eq\f(4x,y－x).因?yàn)閍＝eq\f(4－4y,x＋y)＝eq\f(4x,y－x)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)(除去原點(diǎn))，所以AM的最大值為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＋eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).[答案](1)19(2)3eq\r(2)[方法技巧]解決關(guān)于直線與圓、圓與圓相關(guān)問題的策略(1)探討直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要留意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)找尋解題途徑，削減運(yùn)算量．(2)解決直線與圓相關(guān)的最值問題：一是利用幾何性質(zhì)，如兩邊之和大于第三邊、斜邊大于直角邊等來處理最值；二是建立函數(shù)或利用基本不等式求解．(3)對于直線與圓中的存在性問題，可以利用所給幾何條件和等式，得出動點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化為直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．[演練沖關(guān)]1．已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x＋y－6＝0，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得∠BAC＝60°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．解析：由題意知，直線l與圓M相離，所以點(diǎn)A在圓M外．設(shè)AP，AQ分別與圓M相切于點(diǎn)P，Q，則∠PAQ≥∠BAC＝60°，從而∠MAQ≥30°.因?yàn)镸Q＝2，所以MA≤4.設(shè)A(x0,6－x0)，則MA2＝(x0－1)2＋(6－x0－1)2≤16，解得1≤x0≤5.答案：[1,5]2．(2024·蘇北四市期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q在圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，則r的取值范圍是________．解析：設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P(x0，y0)滿意題意，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q(y0，x0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y0－12＝r2，,y0－22＋x0－12＝1，))故只需圓x2＋(y－1)2＝r2與圓(x－1)2＋(y－2)2＝1有交點(diǎn)即可，所以|r－1|≤eq\r(1－02＋2－12)≤r＋1，解得eq\r(2)－1≤r≤eq\r(2)＋1.答案：[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(3,0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內(nèi)，動直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為16，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋(y－2)2＝32，圓心為C(m,2)，半徑為4eq\r(2)，當(dāng)△ABC的面積的最大值為16時(shí)，∠ACB＝90°，此時(shí)C到AB的距離為4，所以4≤CP＜4eq\r(2)，即16≤(m－3)2＋(0－2)2＜32，解得2eq\r(3)≤|m－3|＜2eq\r(7)，即m∈(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]∪[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))．答案：(3－2eq\r(7)，3－2eq\r(3)]∪[3＋2eq\r(3)，3＋2eq\r(7))4．(2024·南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上的兩個(gè)動點(diǎn)，且AB＝2eq\r(11).若直線l：y＝2x上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，使得eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：法一：設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB＝2eq\r(11)，得CM＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，即點(diǎn)M的軌跡為(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因?yàn)閑q\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，即(x0－x，y0－y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(a,2)))，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x－2，,y0＝y(tǒng)＋\f(a,2)，))則動點(diǎn)P的軌跡方程為(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))2＝5，又因?yàn)橹本€l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)P，所以直線l和動點(diǎn)P的軌跡(圓)相切，則eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－\f(a,2))),\r(22＋－12))＝eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.法二：由題意，圓心C到直線AB的距離d＝eq\r(16－11)＝eq\r(5)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，得2eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(OC,\s\up7(→)).如圖，連結(jié)CM并延長交l于點(diǎn)N，則CN＝2CM＝2eq\r(5).故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個(gè)點(diǎn)N，使得CN＝2eq\r(5)，所以點(diǎn)C到直線l的距離為eq\f(|2×－4－a|,\r(22＋－12))＝2eq\r(5)，解得a＝2或a＝－18.答案：2或－18考點(diǎn)(三)圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì)主要考查三種圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)，在小題中以考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)為主.[題組練透]1．(2024·南通、泰州一調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的漸近線的距離為________．解析：拋物線的焦點(diǎn)F(2,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，不妨取y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0，所以焦點(diǎn)F到漸近線的距離為eq\f(|6|,\r(32＋－42))＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)2．(2024·蘇北四市期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右、下、上頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)．若B2F⊥AB1，則橢圓C的離心率是________．解析：由題意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(xiàn)(c,0)，所以eq\o(B2F,\s\up7(→))＝(c，－b)，eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(－a，－b)，因?yàn)锽2F⊥AB1，所以eq\o(B2F,\s\up7(→))·eq\o(AB1,\s\up7(→))＝0，即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，又橢圓的離心率e∈(0,1)，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)3．(2024·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是________．解析：由題意得，雙曲線的右準(zhǔn)線x＝eq\f(3,2)與兩條漸近線y＝±eq\f(\r(3),3)x的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，故四邊形F1PF2Q的面積是eq\f(1,2)|F1F2|·|PQ|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)4．(2024·常州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：x＋y＋1＝0與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________．解析：雙曲線的漸近線分別為y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)x，依題意有－eq\f(b,a)>－1，即b<a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))<eq\r(2).又因?yàn)閑>1，所以e的取值范圍是(1，eq\r(2))．答案：(1，eq\r(2))[方法技巧]應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)的兩個(gè)留意點(diǎn)(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵．(2)在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是干脆求出c和a的值，而是依據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．[必備知能·自主補(bǔ)缺](一)主干學(xué)問要記牢1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；(3)相交?A1B2－A2B1≠0；(4)垂直?A1A2＋B1B2＝0.2．直線與圓相交(1)幾何法由弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成直角三角形，計(jì)算弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線方程代入圓方程中，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，求出x1＋x2和x1·x2，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1·x2).3．推斷兩圓位置關(guān)系時(shí)常用幾何法即通過推斷兩圓心距離O1O2與兩圓半徑R，r(R>r)的關(guān)系來推斷兩圓位置關(guān)系．(1)外離：O1O2>R＋r；(2)外切：O1O2＝R＋r；(3)相交：R－r<O1O2<R＋r；(4)內(nèi)切：O1O2＝R－r；(5)內(nèi)含：0≤O1O2<R－r.4．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).(3)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.留意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系．(二)二級結(jié)論要用好1．過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.2.過圓C外一點(diǎn)P做圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B(求切線時(shí)要留意斜率不存在的狀況)如圖所示，則(1)P，B，C，A四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為PC；(2)該四邊形是有兩個(gè)全等的直角三角形組成；(3)coseq\f(∠BCA,2)＝sineq\f(∠BPA,2)＝eq\f(r,PC)；(4)直線AB的方程可以轉(zhuǎn)化為圓C與以PC為直徑的圓的公共弦，且P(x0，y0)時(shí)，直線AB的方程為x0x＋y0y＝r2.3．橢圓焦點(diǎn)三角形的3個(gè)規(guī)律設(shè)橢圓方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)．(1)三角形的三個(gè)邊長是PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e為橢圓的離心率．(2)假如△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個(gè)三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2taneq\f(α,2).(3)橢圓的離心率e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P).4．雙曲線焦點(diǎn)三角形的2個(gè)結(jié)論P(yáng)(x0，y0)為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，△PF1F2為焦點(diǎn)三角形．(1)面積公式S＝c|y0|＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(其中PF1＝r1，PF2＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半徑若P在右支上，PF1＝ex0＋a，PF2＝ex0－a；若P在左支上，PF1＝－ex0－a，PF2＝－ex0＋a.5．拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)弦AB的3個(gè)結(jié)論(1)xA·xB＝eq\f(p2,4)；(2)yA·yB＝－p2；(3)AB＝xA＋xB＋p.[課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練]A組——抓牢中檔小題1．若直線l1：mx＋y＋8＝0與l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，則m＝________.解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m＝1.答案：12．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f(4\r(5),5)，則圓C的方程為____________．解析：因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a＞0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM|＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．(2024·鎮(zhèn)江期末)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的左焦點(diǎn)與拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為________．解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(－3,0)，即為雙曲線的左焦點(diǎn)，所以a2＝9－1＝8，所以雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(8,3).答案：x＝eq\f(8,3)4．已知直線l過點(diǎn)P(1,2)且與圓C：x2＋y2＝2相交于A，B兩點(diǎn)，△ABC的面積為1，則直線l的方程為________．解析：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)＋2，即kx－y－k＋2＝0.因?yàn)镾△ABC＝eq\f(1,2)CA·CB·sin∠ACB＝1，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin∠ACB＝1，所以sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，所以圓心C到直線AB的距離為1，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直線方程為3x－4y＋5＝0；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋5＝0或x＝1.答案：3x－4y＋5＝0或x＝15．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為__________．解析：因?yàn)椤鰽F1B的周長為4eq\r(3)，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq\r(3)，所以a＝eq\r(3).又因?yàn)闄E圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝16．(2024·南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N在直線kx＋y＋3＝0上，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．解析：圓(x－2)2＋(y－2)2＝1關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由題意得，圓心(2，－2)到直線kx＋y＋3＝0的距離d＝eq\f(|2k－2＋3|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(4,3)≤k≤0，所以實(shí)數(shù)k的最小值為－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)7．已知以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點(diǎn)M，N，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，且直線MF1與此圓相切，則橢圓的離心率e＝________.解析：因?yàn)閳A的半徑r＝c，在Rt△F1F2M中，|F1F2|＝2c，|F2M|＝c，|F1M|＝eq\r(3)c，所以2a＝|F1M|＋|F2M|＝(eq\r(3)＋1)c，離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,\r(3)c＋c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－18．(2024·南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：由題意知△ABC為等腰直角三角形，且AC＝BC＝4，AB＝4eq\r(2)，∴圓心C到直線ax＋y－2＝0的距離d＝eq\r(42－2\r(2)2)＝2eq\r(2)，∴eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.答案：－19．(2024·揚(yáng)州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋y2－6y＋5＝0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．解析：由圓x2＋y2－6y＋5＝0，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝4，所以圓心C(0,3)，半徑r＝2.因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線bx±ay＝0與該圓沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即eq\f(|b×0±a×3|,\r(b2＋a2))>2，即3a>2c，即e＝eq\f(c,a)<eq\f(3,2)，又e>1，故雙曲線離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋(y－3)2＝2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的取值范圍是________．解析：設(shè)∠PCA＝θ，所以PQ＝2eq\r(2)sinθ.又cosθ＝eq\f(\r(2),AC)，AC∈[3，＋∞)，所以cosθ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3)))，所以cos2θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9)))，sin2θ＝1－cos2θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，1))，所以sinθ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),3)，1))，所以PQ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，2\r(2)))11．(2024·南京、鹽城、連云港二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的兩條漸近線與圓O：x2＋y2＝2的四個(gè)交點(diǎn)依次為A，B，C，D.若矩形ABCD的面積為b，則b的值為________．解析：由題意知，雙曲線C的漸近線方程為y＝±bx，如圖所示，兩條漸近線與圓O的四個(gè)交點(diǎn)為A，B，C，D.不妨設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝bm，,m2＋n2＝2，))解得m2＝eq\f(2,b2＋1)，而矩形ABCD的面積為2m×2n＝4mn＝4bm2＝eq\f(4b×2,b2＋1)＝b，解得b＝eq\r(7).答案：eq\r(7)12．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知直線l：x－y＋2＝0與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在直線l上．圓C：(x－2)2＋y2＝2上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿意AB⊥BP，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為________．解析：法一：由AB⊥BP，得點(diǎn)B在以AP為直徑的圓D上，所以圓D與圓C相切．由題意得A(－2,0)，C(2,0)．若圓D與圓C外切，則DC－DA＝eq\r(2)；若圓D與圓C內(nèi)切，則DA－DC＝eq\r(2).所以圓心D在以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線eq\f(x2,\f(1,2))－eq\f(y2,\f(7,2))＝1上，即14x2－2y2＝7.又點(diǎn)D在直線l上，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,14x2－2y2＝7，))得12x2－8x－15＝0，解得xD＝eq\f(3,2)或xD＝－eq\f(5,6).所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝eq\f(1,3).法二：由題意可得A(－2,0)，設(shè)P(a，a＋2)，則AP的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)，\f(a＋2,2)))，AP＝eq\r(2a＋22)，故以AP為直徑的圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a＋2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋2|,\r(2))))2.由題意得圓C與圓M相切(內(nèi)切和外切)，故eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(2)±\f(|a＋2|,\r(2))))，解得a＝eq\f(1,3)或a＝5.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，5)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，5))13．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．若△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積為ab，則橢圓的離心率為________．解析：設(shè)直線x＝m與x軸交于點(diǎn)H，橢圓的右焦點(diǎn)為F1，由橢圓的對稱性可知△FAB的周長為2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因?yàn)镕1A≥AH，故當(dāng)F1A＝AH時(shí)，△FAB的周長最大，此時(shí)直線AB經(jīng)過右焦點(diǎn)，從而點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，所以△FAB的面積為eq\f(1,2)·2c·eq\f(2b2,a)，由條件得eq\f(1,2)·2c·eq\f(2b2,a)＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，從而橢圓的離心率為e＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．已知A，B是圓C1：x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，P是圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的動點(diǎn)，則|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的取值范圍為________．解析：因?yàn)锳，B是圓C1：x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，所以線段AB的中點(diǎn)H在圓O：x2＋y2＝eq\f(1,4)上，且|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(PH,\s\up7(→))|.因?yàn)辄c(diǎn)P是圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的動點(diǎn)，所以5－eq\f(3,2)≤|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤5＋eq\f(3,2)，即eq\f(7,2)≤|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤eq\f(13,2)，所以7≤2|eq\o(PH,\s\up7(→))|≤13，從而|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的取值范圍是[7,13]．答案：[7,13]B組——力爭難度小題1．已知點(diǎn)P是圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一點(diǎn)，直線l：3x－4y－5＝0.若點(diǎn)P到直線l的距離為2，則符合題意的點(diǎn)P有________個(gè)．解析：由題意知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圓心(－2,3)到直線l的距離d＝eq\f(|－6－12－5|,5)＝eq\f(23,5)∈(4,5)，故滿意題意的點(diǎn)P有2個(gè)．答案：22．(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．解析：雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0)，一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，則圓心A到此漸近線的距離d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c).又因?yàn)椤螹AN＝60°，圓的半徑為b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)3．(2024·南京、鹽城一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y＝k(x－3eq\r(3))上存在一點(diǎn)P，圓x2＋(y－1)2＝1上存在一點(diǎn)Q，滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OQ,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(OQ,\s\up7(→))，可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，\f(y,3))).又點(diǎn)Q在圓x2＋(y－1)2＝1上，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,3)－1))2＝1，即x2＋(y－3)2＝9，所以點(diǎn)P既在圓x2＋(y－3)2＝9上，又在直線y＝k(x－3eq\r(3))上，即直線與圓有交點(diǎn)，所以圓心到直線距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－3\r(3)k)),\r(