人教A版高一數(shù)學(xué)講義：二次函數(shù)與一元二次方程不等式（七大題型）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

目錄

【思維導(dǎo)圖】...................................................................2

【知識點(diǎn)梳理】.................................................................2

【典型例題】...................................................................4

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式.............................................4

型:兀認(rèn)不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交

型:含有參數(shù)的兀認(rèn)不等式的解法9

題型四：一次分式不等式的解法..................................................12

題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題........................................14

題型六：不等式的恒成立與有解問題..............................................17

題型七：一元二次方程根的分布問題19

【題型歸納目錄】

【思維導(dǎo)圖】

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一：一元二次不等式的概念

一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即

形如以2+法+?！?00）或辦2+笈+。＜0仁。）（其中0,b,0均為常數(shù)，awO）的不等式都是一元二

次不等式.

知識點(diǎn)二：二次函數(shù)的零點(diǎn)

一般地，對于二次函數(shù)y=以？+6x+c,我們把使g?+bx+c=0的實(shí)數(shù)X叫做二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的零點(diǎn).

知識點(diǎn)三：一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.

知識點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系

2

對于一元二次方程or+0x+c=0（a〉0）的兩根為苞、x2S.xl<x2,設(shè)△=〃一4。0,它的解按照

A>0,A=0,A<0可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)丁=。必+&￥+。（。>0）的圖像與*軸的位置關(guān)

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式依2+公+。>0（。>0）或以2+公+。<0

（a>0）的解集.

A=b2-4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)a

2

y=ax+bx+c現(xiàn)0萬

(a>0)的圖象0花沖

有兩相等實(shí)根

ax2+Zzx+c=0有兩相異實(shí)根

b無實(shí)根

(Q>0)的根x,x（x<x）Xy—X9—-----

1212-2a

2

ax+bx+c>0再或b

(x|x<x>x2}〈XXw-----〉R

(a>0)的解集2a

ax2+bx+c<Q

,年<

x<x2}00

(〃〉0)的角軍集

知識點(diǎn)詮釋:

（1）一元二次方程以2+/^+。=0（。/0）的兩根石、々是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物

線y=af+匕％+。與％軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二

次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；

（3）解集分A>0,A=0,A<0三種情況，得到一元二次不等式依2+匕尤+c>。與依2+樂+°<0的

解集.

知識點(diǎn)五：利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟

（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；

（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；

（3）求解所列出的不等式（組）；

（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.

知識點(diǎn)六：一元二次不等式恒成立問題

,fa>0

（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即以2+法+?！?（。/0）恒成立=恒成立

A<0

,,fa<0

ax+bx+c<0（aw0）o<

A<0.

（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.

知識點(diǎn)七：簡單的分式不等式的解法

系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”

【典型例題】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

【典例11］（2024?高二.陜西寶雞?期中）一元二次不等式2尤2+7x+3>0的解集為.

【答案】卜〈-3或

【解析】由2龍？+7x+3=（2尤+1）（尤+3）=。得占=-3,%=-）,

所以2f+7無+3>0的解集為x〈一3或.

故答案為：［?。?3或力-；1.

【典例12］（2024?高一.北京石景山?期中）不等式d-2國-15>0的解集是.

【答案】{x|x>5或無<一5}.

【解析】由不等式/-2國-15>0可化為國2_2國-15=（國+3）（國-5）>0,

解得W>5或國V-3（舍去）,所以尤>5或尤<一5,

即不等式/-2忖-15>0的解集為{號》>5或》<-5}.

故答案為：{尤1無>5或x<-5}.

【方法技巧與總結(jié)】

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

(1)通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.

(2)對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.

(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.

(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.

(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

【變式111(2024?高一.江西上饒.開學(xué)考試)求解下列不等式：

(1)3尤2+5X-2<0

(2)(5-%)(x+4)>18

【解析】(1)因?yàn)?/+5了一2<0,所以(3“1)(尤+2)<0,解得-2<x<g；

(2)因?yàn)?5—%)(%+4)N18,所以—%2+工+220,即％2_1一240,

此時有-2)(%+1)<0,解得—1<x<2.

【變式12】(2024?高一?上海?課堂例題)解下列不等式組：

6-x-x2<0

(1)i2

[X2+3X-4<0

4x2—27x+8>0

(2)12

X2-6X+4<0

f3d+%—220

(3)42

[4X2-15X+9>0

【解析】(1)由不等式6-x-%2wo,得％2+%_620,

(%—2)(x+3)20,解得：工22或%工-3,

由％2+3%—4<0,得(%—l)(x+4)<0,解得：-4<x<1,

綜上所述：-4<x<-3,

所以的解集為：{x|-4<x<-3}.

，+3彳一4<011'

(2)由不等式4f-27x+18>0,得(4x-3)(x-6)>0,

,3

解得：尤>6或

4

由X2-6X+4<0，得d-6x+9<5，所以(彳一3)2<5,即一有<x-3<百，

解得：3-y[5<x<3+y[5,

綜上所述：XG0,

4%2—27x+8>0

所以<的解集為:0.

—6x+4<0

(3)由不等式31+%—2N0,得(3x-2)(x+l)20,

2

角軍得：x>-^x<-l,

由4%2-15%+9>0,得(4%—3)(%—3)>0,解得：x>3或％<工，

綜上所述：尤>3或無?-1,

所以+[之；。。的解集為：｛“歸>3或xV-氏

[4x-15.r+9>0<

【變式13]解下列不等式：

(l)x2+x+l>0;

⑵3-2缶2-Y;

(3)2X2+3X+4<0;

(4)x2<3無一4.

【解析】(1)因?yàn)?+%+1=0的判別式為：A=l-4=-3<0,

所以V+x+l>0的解集為：R.

(2)因?yàn)?-20尤2T2,即￡-2缶+320，

因?yàn)?-2缶+3=0的判別式為：A=8-12=-4<0,

所以3—2缶2—Y的解集為：R.

(3)2尤2+3尤+4=0的判另U式為：A=9-32=-23<0,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2/+3x+4的圖像開口向上，所以2/+3x+4<0的解集為：0.

(4)由于尤243尤一4,即￡一3了+4《0,

因?yàn)橛?-3尤+4=0的判另U式為：A=9—16=—7<0,

所以函數(shù)y=爐-3》+4的圖像開口向上，所以，—3x+4<0的解集為：0.

即爐43尤-4的解集為：0.

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

【典例21](2024?高一?山西朔州?階段練習(xí))己知不等式加+2x+c>0的解集為，卜上則下列

選項(xiàng)正確的是()

A.a=—12B.c=—12

C.c=2D.(2=2

【答案】AC

【解析】由于不等式以2+2x+c>0的解集為{x|—

所以x=-g和x是方程改2+2x+c=o的兩個實(shí)數(shù)根，

+~=B.~~x~=~?解得〃=-12,c=2,

32a32a

故選：AC

【典例22］（2024.高一?云南昭通?期末）已知不等式爐+26+6<0的解集為{x|-2<x<3},則實(shí)數(shù)必=

（）

A.-3B.3C.-2D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)椴坏仁絝+2辦+6<0的解集為國-2<》<可

所以方程式之+2ax+b=0的兩個根為：王--2,%2=3

1

—2+3——2aa=—

由韋達(dá)定理可得:2,ab=3

—2x3=Z?f

b=-6

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

三個“二次,，之間的關(guān)系

（1）三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一

元二次不等式的形式來研究.

（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：

【變式21］（2024?高一.河南濮陽?階段練習(xí)）已知關(guān)于尤的一元二次不等式依2+法-。<0的解集為

{x［3<x<5},則不等式一+法”〉。的解集為（）

或%>g1-1

A.B.

D.<x——<x<——

I35

【答案】D

【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式辦2+6X-C<0的解集為{X13<X<5},

所以。>0且方程西+樂_0=0的解為3,5,

hr

所以一一=8,一一=15,所以人=一8々,C=一154,

aa

則不等式ex?+>0,即為不等式-15公2一8內(nèi)一〃>0,

貝115%2+8%+1<0,解得一；<工<一",

所以不等式ex2+bx-a>0的解集為J%—g<x<--1j.

故選：D.

【變式22］（2024?高一?全國?專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式以2+版+°>0的解集為

{x|-l<x<5},其中。，b,。為常數(shù)，則不等式cf+a+QWO的解集是（）

A.{x\-l<x<^}B.{x\-^<x<l}

C.或xNl}D.或%之：}

【答案】A

【解析】關(guān)于X的一元二次不等式辦2+法+°〉0的解集為{x|-l<xv5},

貝iJavO,且T,5是一元二次方程以2+笈+C=0的兩根，

a<0

b=-4a

b

于是-1+5=-,解得c=-5a,

a

a<0

-1x5=-

a

則不等式cf+Zzx+a00化為一5加-4ov+a<0,即5x2+4%-l<0，解得-1<%,

所以不等式ex?+陵+。<0的解集是{%|-14工工!}.

故選：A

【變式23］（多選題）（2024.高一.江蘇南通.開學(xué)考試）已知關(guān)于%的不等式％2—4火+3,2<0（〃<0）的解集

為{%|再v九〈馬},貝U（）

A.不等式％2—4QX+3Q2<。（〃<。）的解集為{旬a(chǎn)<x<3a］

B.尤科2+尤］+苫2<0的解集為ja-g<a<o）

4

C.%入2+%1+尤2的最小值為一§

D.xY+x2+的最小值為生m

%工23

【答案】BC

【解析】不等式/一4辦+3/<。（。<0）的解集為｛引與<x<x2｝,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得玉%2=3片,%+%2=4。且〃<0,.

4

玉々+玉+W<°可化為3/+4。<0,解得一§<〃<。，B正確；

玉%2+玉+%2=3〃2+4〃=+—gx—g,當(dāng)且僅當(dāng)〃=―1時等號成立，C正確；

?.?Q<0,方程f—4公+3/=0的解為〃,3。，且3〃<〃，

2

，不等式兀之一4QX+3a<0（〃<0）的解集為｛x|3a<x<a］fA錯誤；

%+~^-=4〃+｝,而一4〃一-->2（-4a）-（1,當(dāng)且僅當(dāng)-4Q=,即〃=_@時取等

%馬3〃3〃Y，I33〃6

號

4?H-----<——X）+x2H-------的最大值為-tg,D錯誤.

3a3XyX23

故選：BC.

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

【典例31］（2024?高一?江蘇徐州?階段練習(xí)）解關(guān)于尤的不等式：ar2+（a-2）x-2>0（aeR）.

【解析】①當(dāng)。=0時，原不等式化為X+140,解得x?-l.

②當(dāng)a>0時，原不等式化為［X-2］（X+I）N0,解得尤2工或X<—1.

Vaja

③當(dāng)a<0時，原不等式化為［x-1｝x+l）W0.

27

當(dāng)一>—1,即〃<—2時，解得—1W兀W—；

aa

2

當(dāng)一=-1,即a=—2時，解得％=-!滿足題意；

a

22

當(dāng)一<—1,即—2va<0時，解得一W%<—1.

aa

綜上所述，當(dāng)a=0時，不等式的解集為｛x|xV-l｝；

當(dāng)a>0時，不等式的解集為，x卜2/或r4一“；

當(dāng)-2<a<0時，不等式的解集為*■|wxW-l卜

當(dāng)a=-2時，不等式的解集為｛T｝；

當(dāng)。<-2時，不等式的解集為

【典例32］（2024.高一.全國.課堂例題）解關(guān)于x的不等式：x2+ox+l<0（QER）；

【解析】A="-4

①當(dāng)A=/_4K0,即—2KaK2時，原不等式無解.

②當(dāng)△=/一4>0,即〃〉2或。<一2時，

方程尤?+辦+1<。的兩根為占=一"+?^,x—a一0丁

則原不等式的解集為卜「"尸<x<①尸］

綜上所述，當(dāng)-24aW2時，原不等式無解；

當(dāng)a>2或。<-2時，原不等式的解集為，x\~a~^~^<x<』±5二］.

【方法技巧與總結(jié)】

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

（I）討論二次項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為

二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.

（2）判斷方程根的個數(shù)：討論判別式/與0的關(guān)系.

（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確

定解集形式.

【變式31］（2024?高一?上海?課后作業(yè)）解關(guān)于x的不等式：ax2+2%-l<0.

【解析】當(dāng)。=0時，解得x<1；

當(dāng)awO時，貝|公=4+4。=4（。+1）,

①”0時，貝必>0,解得T-G<x（二1丁國:

aa

②a<0時,則有：

若A<0,即/<-1時,則XCR；

若A=0,即a=-l時，則且xwl；

若△>（）,即一!<a<0時，解得+或

aa

綜上所述：當(dāng)。=0時，解集為（x|x<g

金刀生、??—1—Ja+1

當(dāng)Q>0時,解集為\X|---------<X<

a

當(dāng)時，解集為R；

當(dāng)。=—1時,解集為｛x|xwl｝；

1

當(dāng)一1V4V0時,解得二3寇或[士叵

\QIa

【變式32](2024.高一.北京石景山?期中)求下列關(guān)于X的不等式的解集:

4

(1)--+i<o；

x-1

(2)辦之-2>2x-ox(d!GR)

4丫+3

【解析】(1)由不等式，7+1W0,可得上一40,解得一3(工<1,

x—1x-1

4

即不等式一7+14。的解集為5-3W1｝.

x-1

(2)由不等式ox之一222x-ox,可得化為a/+(〃一2)1一220,

若。=0,不等式可化為-2x-2N0,解得1,即解集為1｝；

2

若不等式可化為。(％+1)0—-)>0

a

當(dāng)。>0時，不等式即為(x+l)(x-2)Z0,解得xV—1或北2,即不等式的解集為｛XI尤W-1或北2｝；

aaa

2

當(dāng)QV0時，不等式即為(x+1)(%—)40,

a

222

①當(dāng)一1>一時，即一2<〃<0時，解得一1,解集為｛%|—WxW—1｝；

aaa

9

②當(dāng)—1=—時，即〃=—2時，解得x=—l,解集為｛%|x=—l｝；

a

2?2

③當(dāng)當(dāng)一1<一時，即〃<—2時，解得一—,解集為｛x|-1WxW—｝

aaa

綜上，

2

當(dāng)。〉0時，不等式的解集為或%之一｝；

a

當(dāng)。=0,不等式的解集為1｝；

2

當(dāng)一2<〃<0時，不等式的解集為｛x|—WxW-l｝；

a

當(dāng)a=-2時，不等式的解集為｛x|x=T｝；

當(dāng)。<一2時，不等式的解集為｛x|-IVx42｝.

a

【變式33】(2024?高一?四川瀘州?階段練習(xí))(1)關(guān)于x的不等式加-622%-辦(七》€(wěn)2.若不等式的解

集為｛x|-24x4-1｝,求a、b的值；

(2)若Q>0,求不等式依2—(〃+2)]+22。解集.

【解析】(1)原不等式可化為"2+(々-2)尤-bN。，

由題知，一2、一1是方程辦2+(a—2)x—Z?=。的兩根，

a<0

a—2[ci=—1

由韋達(dá)定理得-----=-3,解得.

a[b=2

La

(2)當(dāng)。>0時,所以原不等式化為

22

當(dāng)一>1時，即0<〃<2時，解原不等式可得xWl或xN—；

aa

2

當(dāng)一二1時，即。=2時，原不等式即為(x-1)?20,解得久ER；

a

22.

當(dāng)一<1時，即。>2時，解得尤(—或x21

aa

綜上所述，當(dāng)0<。<2時，解原不等式解集為：卜xWl或隹詈；

當(dāng)a=2時，原不等式解集為R；

當(dāng)a>2時，解得rxV：或

題型四：一次分式不等式的解法

【典例41](2024.高一.江蘇徐州.階段練習(xí))不等式1-2)(尤-3)丁0的解集為().

X+1

A.{布<-1或2?x<3}B.{x\x<-1^2<x<3]

C.{%[x<-1或2vxv3}D.{x|-l<x<3}

【答案】B

【解析】由白二辿苴wo，

x+1

得2-2)(1)*或上2)(尸3)/0,

x+l>0x+l<0

解得24x43或xv-1,

所以不等式(X-2)(X-3)：&0的解集為{中<一1或2VxW3}.

X+1

故選：B.

3

【典例42］（2024.高一.江蘇南通.開學(xué)考試）不等式一=VI的解集為（）

x+2

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x\-2或%>1}D.{xl%<-2或

【答案】D

【解析】-^-<1,即士即八r+l）（：+?4°,解得或x<—2.

x+2x+2［%+2。0

故選：D.

【方法技巧與總結(jié)】

分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些?

cx+d

(1)>0=(辦+/?)?+d)>0

ax+b

cx+d

(2)<0=(ax+b)(cx+d)<0

ax+b

cx+d

(3)200(ax+b)(cx+d)>0且O￥+bw0

ax-vb

(4)

【變式41］（2024.高一.全國.隨堂練習(xí)）不等式一7<0的解集為（）

X-J

A.{x|x>5}B.{x|x<-3}C.{尤|一3〈九<5}D.或%>5}

【答案】C

Y-4-3

【解析】由—<?？傻茫▁+3）（x-5）<0,解得一3Vx<5,

X-J

故不等式的解集為{x|-3<X<5}.

故選：C

X—1x—1

【變式42］（2024?高一?全國?課后作業(yè)）不等式——->——-的解集為（）

x+2x+2

A.{%|%<-2或%>1}B.[x\x<-2]C.{小>1}D,3-2vxv

【答案】D

【解析】因?yàn)橐话?gt;一x-1x-1%一］―rzn兀一1八

,即可得排

x+2x+2

等價于（x—l）（x+2）<0,解得一2〈尤<1,

所以不等式的解集為例-2<尤<1}.

故選：D.

【變式43］（2024.高一.全國.專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式：的解集為（）

2-x

13

A.—<x<2B.—V%<2

34

13

C.—或%>2D.%<一或%>2

34

【答案】B

【解析】由421得等^20,

2—x2—x

其解集等價于;w0,

3

解得J4x<2.

4

故選：B

題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題

【典例51］（2024.高一?上海?隨堂練習(xí)）某船從甲碼頭順流航行75km到達(dá)乙碼頭，停留30min后再逆流

航行126km到達(dá)丙碼頭.如果水流速度為4km/h,該船要在5h內(nèi)（包含5h）完成整個航行任務(wù)，那么

船的速度至少要達(dá)到（）千米.

A.45B.46C.47D.48

【答案】B

【解析】設(shè)船速為xkm/h,則由題意得當(dāng)+當(dāng)Wg（無>4）,

x+4X-42

所以150（%-4）+252（無+4）<9（x+4）（%-4）,

化簡得9x2-402.x-552>0,

4

所以（9x+12）（x-46）20,解得（舍去），或止46,

所以船速至少為46km/h.

故選：B

【典例52］（2024.高一.全國?課后作業(yè)）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每

天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得

400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（）

A.{鄧0V尤<16}B.{鄧2《尤<18}

C.{x［15<x<20}D.{尤|104x<2。}

【答案】C

【解析】設(shè)這批臺燈的銷售單價為X元，由題意得，［30-2（x-15）}x>400,

即/一30*+200<0,解得10<x<20,又因?yàn)閤>15,所以15Vx<20,

這批臺燈的銷售單價x的取值范圍是同15<無<20}.

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

利用不等式解決實(shí)際問題需注意以下四點(diǎn)

（1）閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語言多為文字語言，而且不少應(yīng)用題文字?jǐn)⑹銎^長.閱讀理解材

料要達(dá)到的目的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量

之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向.

（2）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)（1）中的分析，把實(shí)際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型，并且，

建立所得數(shù)學(xué)模型與已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向.

（3）討論不等關(guān)系：根據(jù)（2）中建立起來的數(shù)學(xué)模型和題目要求，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得到

有關(guān)理論參數(shù)的值.

（4）作出問題結(jié)論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論.

【變式51］（2024?高一?云南?期末）在物理學(xué)中，若不計空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度//

與時間。滿足關(guān)系=產(chǎn)，其中g(shù)“10m/s2,一名同學(xué)以初速度%=lhn/s豎直上拋一排球，排球能

夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最多停留（）

A.1.6sB.1.7sC.1.8sD.1.9s

【答案】c

【解析】由題意可得：h=Ut-5t2,

令=即5/-11f+2<0,解得0.2<」<2,

所以排球能夠在拋出點(diǎn)2m以上的位置最多停留2-0.2=1.8秒.

故選：C.

【變式52］（2024.高二?湖北?學(xué)業(yè)考試）為建設(shè)美麗中國，增強(qiáng)民眾幸福感，市政府大力推進(jìn)老舊小區(qū)改

造工程.和諧小區(qū)計劃建設(shè)一塊長為10m、寬為6m的矩形花園，其四周種植花卉，中間種植草坪（如圖所

示）.如果花卉帶的寬度相同，且草坪的面積不超過總面積的三分之一，那么花卉帶的寬度可能為（）

6m

?---------10m

A.ImB.2mC.3mD.4m

【答案】B

【解析】設(shè)花卉帶的寬度為xm,則（10一j?"2x）q,

10x63

所以（5—x）（3—x）45,即（尤—4）246,可得4—#WxW4+卡，

［10-2%>0LI-

又ccnx<3，故4-#4x<3,而1<4-"<2,則x可能取值為2.

［6-2x>0

故選：B

【變式53］（2024?高一?河南?開學(xué)考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃

河等自然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)

發(fā)展.某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的

定價在200元的基礎(chǔ)上提高10x元（1<%<10,無eZ）,則被租出的客房會減少15元套.若要使該連鎖酒

店每天租賃客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（）

A.250元B.260元C.270元D.280元

【答案】C

【解析】依題意，每天有（500-15引間客房被租出，該連鎖酒店每天租賃客房的收入為

（500-15x）（200+10%）=-150x2+2000%+100000.

因?yàn)橐乖撨B鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，

22

所以一150/+2000尤+100000>106600,BP3x2-40x+132<0,解得6<x<§.

因?yàn)镮VxVIO且xeZ,所以x=7,即該連鎖酒店每間客房每天的租價應(yīng)定為270元.

故選：C.

【變式54］（2024?高一?江蘇南京?期中）通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市場.2022

年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米.

（1）據(jù)市場調(diào)查，售價每提高1歐元/平方米，銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，

試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？

（2）為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2023年對該種玻璃實(shí)施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高

價格到機(jī)歐元/平方米（其中機(jī)>25）,其中投入|（布-600）萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費(fèi)用，投入500萬歐元作

為固定宣傳費(fèi)用，投入萬歐元作為浮動宣傳費(fèi)用，試問：該種玻璃的銷售量〃（單位：萬平方米）至

少達(dá)到多少時，才可能使2023年的銷售收入不低于2022年銷售收入與2023年投入之和?并求出此時的售

價.

【解析】（1）設(shè)該種玻璃的售價提高到M無225）歐元/平方米，

由題知［80-2（x-25）1x22000,即d-65尤+1000W0,解得254x440,

所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.

（2）由題意得加722000+500+2〃?+，（〃/-600）,整理得加〃？15002m+|/n2,

兩邊同除以機(jī)得〃？"叩~m+2,

m3

X-+-w+2>2.1—--771+2=102,當(dāng)且僅當(dāng)媽=9根，即m=30>25時取等號，

m3\機(jī)3m3

所以“2102,故該種玻璃的銷售量〃(單位：萬平方米)至少達(dá)到102萬平方米時，才可能使2023年的

銷售收入不低于2022年銷售收入與2023年投入之和，此時的售價為30歐元/平方米.

題型六：不等式的恒成立與有解問題

【典例61](2024?高一?全國?課后作業(yè))若不等式f-(a+2)x+4N-“—l恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍____.

【答案】{*V4}

【解析】VI<<4,不等式X?—(a+2)x+4N—a—1恒成立，

即a(x-l)Vx2-2x+5恒成立.

當(dāng)x=l時，不等式為0V4恒成立，此時aeH；

當(dāng)1<XW4時，a<X'~2x+5=x-l+^-,

X~1X~1

vl<x<4,.,.0<x-l<3,

4I~A-4

x-l+---->2J(x-l)----=4(當(dāng)且僅當(dāng)x-l=----,即x=3時取等號)，

x-1Vx-1x-1

.e.6Z<4.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{平44}.

故答案為：\a\a<4].

【典例62](2024?高三?全國?專題練習(xí))設(shè)。，b,ceR,對任意滿足|4,1的實(shí)數(shù)x,都有

辰2+fcv+4”1,則同+同+同的最大可能值為一

【答案】3

【解析】任意滿足此1的實(shí)數(shù)x,都有辰2+bx+c|,,l,

若x=0,則胤,1,

可取c=—1,b—O,可得辰01|”1,即加42恒成立，

由于噫曠1,可得a最大取2,

可得同+4+匕|,,3,

即有同+網(wǎng)+同的最大可能值為3.

故答案為：3.

【方法技巧與總結(jié)】

不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R,要解決這個問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù).

【變式61】（2024.高一.廣東深圳?期中）當(dāng)TWxWO時，關(guān)于尤的不等式/+辦+i5-aN0恒成立，則。的

取值范圍是.

【答案】a<6

【解析】關(guān)于x的不等式尤2+6+15-心0恒成立

即,twxwo時恒成立,

x-1

’―1―15

a<

、1min

又士3_（1）2_2（"16=1+型3"力』_2=6,

x—1x~l1—XV1—X

當(dāng)且僅當(dāng)1一尤=獸，即x=-3時等號成立，

1-X

:.a<6.

故答案為：a<6.

【變式62]（2024.高一.河南?階段練習(xí)）當(dāng)24x46時，關(guān)于x的不等式”?一2〃優(yōu)一5<0恒成立，則相的

取值集合是.

【答案】卜I根〈（J

【解析】當(dāng)機(jī)=0時，-5<0,顯然恒成立.

當(dāng)相>0時，二次函數(shù),=〃標(biāo)-273-5的圖像開口向上，對稱軸為直線x=l,

當(dāng)2WxW6時，-2〃a-5<0恒成立，貝!]36〃Z-127〃一5<0,解得0<根<2.

24

當(dāng)機(jī)<0時，二次函數(shù)丁=皿2-2〃優(yōu)-5的圖像開口向下，對稱軸為直線x=l,

當(dāng)24尤46時，初/-2如-5<0恒成立，貝114根一4〃?一5<0,顯然成立，所以加<0,

故機(jī)的取值集合是｛蜀m<^

故答案為：【詞7”<二4.

【變式63】（2024?高一?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知函數(shù)尸加-（2a+3）x+6（aeR）.

（1）若的解集是｛Xx<2或x>3｝,求實(shí)數(shù)。的值；

（2）當(dāng)。=1時，若一24尤42時函數(shù)丁4一（優(yōu)+5）%+3+根有解，求根2+3的取值范圍.

【解析】（1）依題意，>=依2-（2a+3）x+6>0的解集是｛尤Ix<2或x>3｝,

a>0

所以2+3=四生，解得a=l.

a

2x3=9

、a

（2）a=l時，y4一（機(jī)+5）x+3+機(jī)在一2?尤<2有解，

BPX2+mx+3—加40在一24x42有解，

iqq

因?yàn)槎?兀2+3+3-機(jī)的開口向上，對稱軸兀=一5,

rri7

①<-2BPm>4,X=-2時，函數(shù)取得最小值4一2根+3-機(jī)<0,即加N—,

23

m>4.

2

②-2<-孩<2即T<機(jī)<4時，當(dāng)無=一￡取得最小值，此時一?+3-mVO,

解得2V相<4.

③當(dāng)一即mW時，當(dāng)x=2時取得最小值，此時4+2m+3-7%<0,

解得加<-7,

綜上，加22或mW—7.

所以療+3的范圍為切27.

題型七：一元二次方程根的分布問題

【典例71］（2024?高一?全國?課堂例題）已知二次函數(shù)y=（左-3）x?+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn)，則左的取

值范圍是（）

A.k<4B.k<4C.%<4且丘3D.心4且％/3

【答案】D

【解析】由已知二次方程（"B.+Zx+IH有解，

所以上—3*0,且4-4住-3）20,

所以女44且左力3.

故選：D.

【典例72］（2024.高一.廣西南寧?階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程：/-4》-病=0有兩個實(shí)數(shù)根均、

44

A.—B.--C.4D.4

44

【答案】D

x+=4°、

，二小化簡療二療3+t,代入即

【解析】根據(jù)一元二次方程的