平面解析幾何（五大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)（新高考）解析版

平面解析幾何

猜押考點3年真題考情分析押題依據(jù)

2024全國新高直線與圓的性質(zhì)應(yīng)用在高考

1.直線與圓位置關(guān)系的判斷；

考I卷11、考考查趨勢是主要考查圓的

2.圓的切線問題；

12、16一些基本性質(zhì)，一般難度較

3.直線與圓相交，弦長、半徑、弦心距關(guān)系的

2024全國新高小

應(yīng)用；

考n卷5、橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)是

4.兩圓位置關(guān)系的判斷；

10、19高考數(shù)學(xué)中的必考點也是高

5.兩圓、公共弦、公切線問題；

2023全國新高頻考點，一般考查的基本內(nèi)

6.與圓錐曲線的交匯問題

考I卷5、6、容一些性質(zhì)的綜合應(yīng)用

關(guān)于橢圓的問題的考查，是重中之重，往往客

平面解析16、22求橢圓雙曲線的離心率及離

觀題、主觀題雙重考查.

幾何2023全國新高心率的取值范圍是高考的高

1.橢圓的定義及應(yīng)用，焦點三角形；

考II卷5、頻考點。

2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

10、15、21拋物線在高考中小題中考查

3.研究橢圓的幾何性質(zhì)，特別是離心率問題；

2022全國新高非常普遍，重點考查有關(guān)拋

4.直線與橢圓的位置關(guān)系問題，分兩類，一類

考I卷14、物線的p的有關(guān)問題

是客觀題，二類是主觀題，其中主觀題往往是

16、21圓錐曲線的綜合應(yīng)用一般作

先根據(jù)幾何性質(zhì)等條件，求標(biāo)準(zhǔn)方程，而后進

2022全國新高為選填壓軸題目出現(xiàn)，是對

一步聯(lián)立方程組，解決求直線方程、求三角形

考II卷3、圓錐曲線綜合能力的考查

面積、定點定值、定直線以及最值范圍問題.

10、16、21

押題頸溜

題型一直線與圓的綜合

1.（2025?山東濟南?一模）若直線4：（加一2）x+3y+3=0與直線4：2x+（加一l）y+2=0平行，貝ljm=（）

A.4B.-4C.1或TD.—1或4

【答案】D

【分析】根據(jù)直線一般方程的平行關(guān)系求機的值，并代入檢驗.

【詳解】若直線4：(〃?-2)x+3y+3=0與直線4：2x+(〃z—l)y+2=。平行，

則(m—2)G找-l)=3x2=6,整理可得M-3〃2-4=0,解得〃z=4或〃7=-1,

若加=4,直線j2x+3y+3=0與直線L2x+3y+2=。平行，符合題意；

若利=-1,直線4：x-y-i=o與直線Lx-y+l=O平行，符合題意；

綜上所述：“2=4或〃7=-1.

故選：D.

2.(2025?山東?模擬預(yù)測)已知圓G：Y+y2=4與圓C2：(x+ay+(y+2)2=9有三條公切線，則”=()

A.721B.729C.±729D.±721

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，利用圓心距等于半徑之和即可求解.

【詳解】由題知，兩圓外切，由圓C方程得G(0,0),半徑6=2,

由圓C?方程得。2(-4，一2),半徑4=3,則力2+4=2+3=5,解得a=±J五.

故選：D

3.(2025?山西臨汾?二模)已知圓(x-iy+(y-l)2=9上的點尸到直線3x-4y+7=。的距離為1,則滿足條件

的點尸的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解.

【詳解】1)2+(丫-1)2=9的圓心為(1,1),半徑為r=3,

圓心到直線的距離為

(i,i)3一;+7|=|<lr,

故尸到直線3x-4y+7=0的距離為1的點共有4個，

故選：D

4.（24-25高二上?廣東深圳?期末）（多選）已知圓C:x2+y2_6x-4y+5=0,則下列說法正確的是（）

A.y-x的最大值為3B.x+y的最大值為7

C.工的最大值為6+2JQD.■?+>2的最大值為2]+4技

X

【答案】ACD

【分析】可設(shè)x=2夜cosO+3，尸2&sin8+2,，目0,2兀），則結(jié)合輔助角公式計算可得A、B；設(shè);=3則

可結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計算得C；/+/可以看作是圓上某點p到原點的距離的平方，則可借助原點到

圓心的距離加半徑的平方得D.

【詳解】因為圓C:d+y2_6x_4y+5=0,貝U（x-3）2+（y—2?=8,

設(shè)x=2A/^COS9+3,y=2\/2sin0+2,6G[0,2K）,

對A：y-x=20sine-2&cose-l=4sin[^-：]-l,

3jr

所以當(dāng)e=時，y-九的最大值為3,故A正確；

4

對B：x+y=2&cos6+2血sin。+5=4sin[e+；]+5,

所以當(dāng)e=f時，x+y的最大值為9,故B錯誤；

4

對C：設(shè)"二攵，貝！Jy="，圓C:/+/—6%—4y+5=。，

x

圓心C（3,2）,半徑為20,則圓心到直線的距離小于等于半徑，^=^272,

所以上2_12%-4VO,計算得6-2廊VZV6+2廂，

所以上的最大值為6+2而，故C正確；

X

對D：丁+/可以看作是圓上某點p到原點的距離的平方，

|OP|2<（|OC|+r）2=（713+2可=21+4瘍，故D正確.

故選：ACD.

5.（24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí)）（多選）已知曲線C:（x-y）2+X（y-l）2=5,AeR,則下列選項正確

的是（）

A.VAeR,曲線C均不為圓

B.V2eR,曲線C都關(guān)于點（1,1）中心對稱

C.當(dāng)2=1時，xe|^1—>/5,1+\/5J

D.當(dāng)2=-1時，直線》=半是曲線C的一條漸近線

【答案】ABD

【分析】利用圓的方程的特點可判斷A選項；利用曲線的對稱性可判斷B選項；將曲線方程化為關(guān)于y的

二次方程，結(jié)合判別式可判斷C選項；求出雙曲線的漸近線方程，可判斷D選項.

【詳解】選項A：由曲線C:（x-y）2+4（y-l）2=5,2GR,

若曲線為圓，需滿足/和好系數(shù)相等且無交叉項，

展開原方程得：x2-2xy+（l+2）/-22j+（2-5）=0,交叉項系數(shù)為-2,無法消除，

故曲線C無法為圓，選項A正確；

選項B：驗證曲線關(guān)于點（1,1）對稱，將點（x,y）替換為對稱點（2-尤,2-y）代入方程：

得[（2-尤）-（2-y）T+4（2-y-l）2=a-y）2+X（y-l）2=5,與原方程形式一致，

故VXeR,曲線C都關(guān)于點（1,1）中心對稱，選項B正確；

選項C：當(dāng)4=1時，方程為（x-y）~+（y-l）2=5,

整理為關(guān)于>的二次方程：2y-（2+2x）y+x2-4=0.

判另IJ式A=（2+2xf—4x2x（x2-4）N0,即得/_2》一9<0,

解得尤e[l-瓦,,1+M],選項C錯誤；

選項D：當(dāng)2=-1時，方程為（x_y）2_（y_l）2=5,漸近線為（x—y）2_（y_l）2=0,

化簡得x-y=yT或=即得y=*或x=i,

所以直線丁=誄是曲線C的一條漸近線，選項D正確，

故選：ABD.

6.(2025?四川資陽?模擬預(yù)測)數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概

念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.在平面直角坐標(biāo)系中，

曲線C：%2+9=2忖+2長|就是一條形狀優(yōu)美的曲線，曲線C圍成的圖形的周長是為；若7(。,勾是曲

線C上任意一點，|4。+36-叫的最小值為.

【答案】4舟11-5^

【分析】分類討論去掉絕對值可得曲線的四段關(guān)系式，從而作出曲線的圖象，由曲線圖象判斷即可.

【詳解】曲線C：+/=2|x|+2|y|

當(dāng)xNO,yNO時，曲線C的方程可化為(x-iy+(y-l)2=2；

當(dāng)x40,y20時，曲線C的方程可化為(x+iy+(y-l)2=2；

當(dāng)xNO,yVO時，曲線C的方程可化為(x-iy+(>+1)2=2；

當(dāng)xWO,>40時，曲線C的方程可化為(x+l)2+(y+l)2=2,

所以曲線C的圖象如圖所示,

曲線C由4個半圓以及坐標(biāo)原點組成，其周長為2x2nx&=4①兀:

T(a,b)至U直線4x+3y-18=。的距離d=+；-1留,

當(dāng)xNO,y'O時，曲線C的方程可化為(x-iy+(y-l)2=2

曲線為圓心為(1,1),半徑為四的圓的一部分，如圖所示，

而(1,1)到直線4x+3y-18=0的距離為:+；T8|=g,

由圓的性質(zhì)得曲線C上一點到直線4x+3y_18=。的距離最小為血,

故|4a+3b-18|的最小值為11-50.

故答案為：4J5兀；11-5A/L

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于分情況討論，得到不同情況下函數(shù)的圖像，從而求解.

7.（2025?甘肅蘭州?一模）（多選）已知曲線g爐+/=2國-23，則以下說法正確的是（）

A.點（L-1）在曲線內(nèi)部B.曲線關(guān)于原點對稱

C.曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積為2兀-4D.曲線的周長是0兀

【答案】BC

【分析】選項A,結(jié)合圖象，當(dāng)x=l時，丫=忘-1或1-忘，可判斷；選項B,將x換成T,將V換成一九

方程不變，可得；選項C,結(jié)合方程的對稱性，在第一象限時，圖象為圓的一部分，根據(jù)圓的方程可得其在

第一象限與坐標(biāo)軸圍成的面積，進而可得；選項D,同C結(jié)合方程的對稱性，求在第一象限部分的長度即

得.

【詳解】

選項A：當(dāng)尤=1時，得1+/=2-2忖，即/+2”|-1=。，

因|小0,故*-2+M；xlx（-l）=夜故片五一1或

因T<1一行，故點（1,-1）在曲線外部，故A錯誤；

選項B：將x換成r,將y換成7,方程C:/+y2=2國-2區(qū)不變，

故曲線關(guān)于原點對稱，故B正確；

選項C：將將x換成t,方程C:f+y2=2同一2區(qū)不變，故曲線關(guān)于y軸對稱，

設(shè)曲線在第一象限與坐標(biāo)軸圍成的面積為S,則曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積為4s,

當(dāng)x>0,y>0時，方程C:x?+丁=2x-2y,即（x-l），+（y+1『=2,

其圓心坐標(biāo)為C（1,T）,半徑為r=也，如圖，

當(dāng)y=。時，得x=0或x=2,故弦長OA=2,

ir

由心+0=01,故NOCA)，

2

則5=！兀/-]_/=]_71-],故45=2兀-4,故C正確；

422

選項D：由題意可知曲線的周長為404=4、22口=2正兀，故D錯誤，

4

故選：BC

8.(2025?北京石景山?一模)已知點M,N為圓尤2+/一2,-3=0上兩點，S.\MN\=2^,點尸在直線

島-y-5=0上，點。為線段MV中點，則|尸。|的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)弦長求出圓心到弦的距離，進

而確定點。的軌跡，最后根據(jù)點到直線的距離公式求出IPQI的最小值.

【詳解】已知圓的方程為Y+y2-2y-3=0,將其配方可得f+(y_l)2=4.

可知該圓的圓心坐標(biāo)為C(0,D,半徑r=2.

因為點Q為線段MN的中點，根據(jù)垂徑定理可知CQLMN.

已知|加|=2百，則;|MV|=G.

在Rt_CQM中，根據(jù)勾股定理|CQ|=J-_(g|MN丫=打一(而2=1.

所以點。的軌跡是以C(0,l)為圓心，1為半徑的圓.

已知點尸在直線6-〉-5=0上，可得圓心CQ1)到直線氐-〉-5=0的距離為：

|V3x0-l-5|6,

d=—.-=—=3

7(73)2+(-1)22,

因為點。的軌跡是以C(0,1)為圓心，1為半徑的圓，所以I尸。I的最小值等于圓心C到直線的距離d減去圓C

的半徑1,即3—1=2

故選:B.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1.（2025?遼寧鞍山?二模）如圖，圓。:爐+丁=4與x軸交于A、B兩點，4、4是分別過A、8的圓。的

切線，過圓。上任意一點尸作圓。的切線，分別交4、乙于點C、。兩點，記直線AO與BC交于點則

r2

B.—+y2=l(y^0)C./+=2（尸0）

22

D.y+y=l(y*0)

【答案】B

【分析】先求出切線CD的方程，然后分別令》=-2,2求出C,。兩點坐標(biāo)，利用點斜式求出直線AD和直線

8C的方程，聯(lián)立解出點M坐標(biāo)即可求出點M的軌跡方程，要注意挖掉兩個不能取到的點.

【詳解】設(shè)點*%,%）,當(dāng)圓心。與切點尸所成直線的斜率不存在時，即當(dāng)點P（0,±2）時,

易知以C（-2,2）,。（2,2）,所以此時點M為矩形A3C。的對角線的交點，即M（0』）；

當(dāng)圓心。與切點尸所成直線的斜率存在時，則％”=&,因為OP_LCD,

xo

所以切線CD的斜率為kco=-^~=-—，又切線C。過點尸（七,%）,

所以切線。的方程為,整理得無ox+%y=x；+y；,

%

又點P在圓。上，所以x：+y：=4,故切線CD的方程為x()x+%y=4.

易知A(-2,0),3(2,0),在切線CD的方程中，令x=—2,則丫=皆乜,

令x=2,則>="^,所以c［-2,小包］，。［工上徑］,

%I%JI%J

4-2.2-x

所以直線AD的斜率“-為2-尤。，直線AD的方程為，=丁」(x+2),

皿一2-(-2)一2%%

4+2%

直線AD的方程為〉=言氣工-2),

直線BC的斜率心_%_2+/

BC一2yo

--2-2--2y0

2一%o

y=(x+2)x=

2yo%

聯(lián)立直線AD和直線BC的方程<，解得V

2+x%，

0y二

y=(尤-2)2

一2%

所以點又無:+y：=4,所以點M所滿足的方程為f+y；=l,

因為切線CO分別交4、于點C、。兩點，所以切線不能為乙,%即%二。，

且前述直線OP的斜率不存在時即M(0,l)也滿足上述方程，

所以點M的軌跡方程為J+『=l("0).

故選：B.

22

2.(2025高三?全國?專題練習(xí))“1〈根<5”是“曲線^—+工=1表示橢圓”的(

5-mm-1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及必要不充分條件，即可直接判斷即可.

22

【詳解】若曲線一匚+工=1表示橢圓，

5-mm-1

5-m>0

貝|J〈機一1>0,解得1<m<3或3VHz<5,

5-mm-1

因為{時1＜機＜3或3＜機＜5}u|m|1＜m＜51,

22

所以“1〈根<5”是“曲線^+工=1表示橢圓”的必要不充條件.

5-mm-\

故選：B

22

3.（2025.湖南常德.一模）已知橢圓3+與=1（°>5>0）的左，右焦點分別為K,匕點P在橢圓上，連接尸月

ab

并延長交橢圓C于點N.若咫，尸B，且則橢圓C的離心率為（）

zA\,V3RD.V7Lr.-V-1-3n\-J.-V-1-7

5555

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義及勾股定理列式求出離心率.

【詳解】設(shè)WN|=〃z,由「—=44N,得|「耳|=4m，|PN|=5m,

由橢圓定義得I尸81=2a-4m,\NF2\=2a-m,

由尸￡_1尸工，得+|尸居則25療+（2”4〃2）2=（2°-相）2,

364

解得相=歷4,|尸耳|=］。,口乙1=6。，令橢圓C的半焦距為c,

由|出『+|呷2=|時匕得4c2=（1y+&）2,解得_￡=巫,

55a5

所以橢圓C的離心率為巫.

5

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對

角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的

正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)y=6sin。n。>0）圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為立，

2

則①的值為.

【分析】根據(jù)y=gsins：3>0）推出AB=26，設(shè)圓柱底面半徑為一,再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖推出T=2付,

利用圓柱的斜截面橢圓及離心率且，求出「即可.

2

【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)y=^sin@v（G>0）圖象的一部分，可得AB=2指.

兀

設(shè)圓柱底面半徑為「，則7=臼2=2",所以。=上1，

or

設(shè)橢圓長軸長為2〃，短軸長為2。，

因為離心率為^得e='=,

2a2

貝!|a?=/+/,

b

即4=4/,所以2=2蕓r1=得AC=4r,

aAC2

又由勾股定理得AC2-BC2=16,-4/=（2行了，

解得r=l,故（y=l.

故答案為：1.

5.（2025高三?全國?專題練習(xí)）用平面a截圓柱面，圓柱的軸與平面a所成的角記為。，當(dāng)。為銳角時，圓

柱面的截線是一個橢圓，數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球模型證明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個大小相同的

球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于a的上方和下方，并且與圓柱面和。均相切，切點分別為用，耳.下列關(guān)于

截口曲線的橢圓的結(jié)論中不正確的有（）

A.橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等

B.橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距|O|Q|相等

C.所得橢圓的離心率e=cos，

?3

D.其中GEZ為橢圓長軸，R為球。?的半徑，有R=|AG》tan］

【答案】D

【分析】根據(jù)題意利用橢圓定義可判斷AB；結(jié)合圖形的幾何特征利用橢圓的離心率定義可判斷C；結(jié)合圖

形的幾何特征利用解三角形可判斷D.

【詳解】設(shè)尸為截口曲線的橢圓的一點，如圖，過點P作線段跖，所分別與球?！?。2切于點QE,

故有|尸耳|+|「我=|附+|「目=|郎=|。四，

由橢圓定義可知，該橢圓以1，尸2為焦點，iQQl為長軸長，故B正確.

P4與球0］切于點鳥，0書_1,。，OF^a,故。1片_1。不，

有|。出「=|OOj2To司2="一。2=〃，則2b=2|。闿

即橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確.

c所

由題意可得。=/。。月，則e=—=M=COS6,故C正確.

a\OO^

由題意知|AGj|=|耳＜引,。=/。04=4。1耳（這是因為N0Q4+N0a￡=NA0E+N00E=］）,

則q=故tan'=^^=畫，

222RR

R-兇

即K.e,故D錯誤.

tan—

故選：D.

22

6.（2025?四川自貢?二模）（多選）設(shè)0為坐標(biāo)原點，橢圓C：5+斗=1（。＞"0）的左右焦點分別為憶F2,

ab

點A（0,3）為定點，而點B在橢圓上，且位于第一象限，若|AB|=|AR=2|OK|,貝l|（）

A.儲―及=3

B./片38=60。

C.當(dāng)月入的面積為6-30時，C的方程為［+?=1

63

D.當(dāng)A3//X軸時，C的離心率6=心二^

2

【答案】ACD

【分析】對A,根據(jù)題意，可求得c=g得解；對B,根據(jù)題意可得點耳居,8在以點A為圓心，2石為半

徑的圓上，求得/片8耳=（Nf；A8=30。，得解;對C,由橢圓焦點三角形面積公式求得廿=3，進而求出〃=6

得解；對D,根據(jù)題意可得力=3,結(jié)合橢圓焦點三角形面積公式求得〃=9+6若，進而得解.

【詳解】對于A,由|AB|=|A局=2|。閭，則NOAg=F，又|3=3,

所以Q用=百，即c=VL故A正確；

對于B,由對稱性可得|A可=|A6|,所以點。8,8在以點A為圓心，2內(nèi)為半徑的圓上，

ZF}BF2=^ZF,AF2=30°,故B錯誤；

對于C,因為/耳2a=30。，由橢圓焦點三角形面積公式得&平馬=〃tanl5o=6-36,

.?方（2一⑹=6一3石,解得廿=3,則4=6,

所以橢圓方程為［+4=1，故C正確；

對于D,當(dāng)AB//X軸時，可得力=3,由橢圓焦點三角形面積公式得〃tanl5。=gx2cx%,

即〃（2一⑹=3百,解得《=9+6百,

5=12+65則八最T』’解得八勺,故D正確.

故選：ACD.

22

7.（2025?河北保定?模擬預(yù)測）己知A3是橢圓（7言+1=1（°>6>0）上兩點，月,工分別為C的左、右焦

點，AB-Af；=0,AS=2A^（2^0）,5|A^|=12|AB|,則C的離心率為（）

A.-B.巫C.-D.叵

5555

【答案】D

【分析】由已知，可得ABLA%A,耳8三點共線，^\AB\=5m,\AF2\=l2m,可得怛閶=13加，由△ABF!

的周長為4a,可得機=g,在RtA￡月中，利用勾股定理有1|a[+]|"=4c2,化簡整理，即可求出

離心率.

【詳解】由AB-A月=0可知，

AB±AF2,由他=九%（/1?0）得，三點共線.

y.5\AF2\=U\AB\,設(shè)|神卜5詞然|=12機，

22

連接BF2,則\BF2\=7（5/M）+（12/M）=13m,

由橢圓的定義可知8的周長為4a,

2

貝lj5m+12帆+13帆=4a,解得加=百〃，

Q9

所以|A司=12根=W〃,再根據(jù)橢圓的定義可知，|A耳|=2〃A司二w。，

則在Rt,耳瑪中，|A球+3段2=|耳詞2,即1I4+（%）=4c2,

解得e=￡=姮.

a5

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由51Ml=12|AB|,^\AB\=5m,\AF2\=12m,得到怛閶=13根，由△AB&的周長為4a,

2

可得加==〃，再在Rt耳中，利用勾股定理即可.

y2

8.（2025高三?全國?專題練習(xí)）斜率為-1的直線與橢圓「:5+=1(a>6>0)交于4,3兩點,點T是橢圓

ab2

上的一點，且滿足7AL7B,點P,Q,R分別是△。^，△。^-△。/^（。為坐標(biāo)原點）的重心.記直線

。尸,。0,。尺的斜率分別為匕,％，與，若k1k2k3=-士,則橢圓「的離心率為.

【答案】邁

3

h2

【分析】分別取AT,取,AB的中點C,D,E,連接。C,OZ）,OE,通過點差法/*=-勺，

a

片及

%1%AT=五，k2kBT=29進而可求解.

aa

【詳解】分別取AT,的中點。,。,石，連接。。,。。。石，

則點尸,。水分別在直線。。,。2?！晟?設(shè)A（&yJ,網(wǎng)心為），

22

[〃片+〃2犬=ab

兩式相減得人2（%—%2）（^+%2）+。2（乂一%）（乂+%）=。，

[b2x^+a2y1=a2b2'

直線A3斜率KB=&5&=T，直線OR斜率%=左。E=&^，

則k.kAB=-勺，設(shè)直線AT,BT的斜率分別為kAT,kBT，

a

h2〃

問理Z/.=----29^2^BT=--29又女AT%8T=-1，

aa

因止匕一與=kIkAT-k2kBT-=kxk2k3=,得[二：，

IaJ27a3

所以橢圓廠的離心率

故答案為：當(dāng)

題型三雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1.（2025嚀夏陜西?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：與f=l（a>0力>0）的焦距為4石，左、右焦點分別為2,

過點鳥作斜率不為0的直線/與雙曲線C的左、右支分別交于A8兩點.若443鳥的內(nèi)切圓與直線/相切于

點、H,且|A"|=8,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.x±4y=0B.4x±y=0

C.2x±y=0D.x±2y=0

【答案】D

【分析】設(shè)AAB8的內(nèi)切圓分別切A月,于點"，N,然后結(jié)合三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線的定義可

求得a=4,再結(jié)合c=2右可求出b,從而可求出雙曲線的漸近線方程.

【詳解】設(shè)居的內(nèi)切圓分別切48,5月于點”,"，

則|AH|=|AW|=8,\BH\^\BN\,\MF2\^\NF2\,

因為怛耳|-|叫|=2a,

所以（|班|+（|峭|+忸N|）=2a,得圈-|帽=2%

所以（|河|+|前|）—|陛|=2匹即8+|筋|-|叫|=24,①

因為|饃|-|純|=2即所以+4TMi=2a,

即8+|蛆-囪=2。，②，

所以①+②，得16=4a,得a=4,

因為2c=4有，所以C=25

所以。=-\/c2—a2=—4。=2>

所以雙曲線C：3f-/v?=1（4>0,6>0）的漸近線方程為了=±：h%=±］1犬，

即x±2y=0.

故選：D

2.（2025?安徽蚌埠?二模）已知雙曲線C:\-方=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為片,耳，過點F?且斜率

為近的直線與C的右支交于A,3兩點，且|%|=3H工|,則色的值為（）

1213

BCD

A.3--3-4--4-

【答案】B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得儂/4B耳儂/加；￡,再根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)|然卜加，則忸閶=3加,

2

結(jié)合余弦定理計算可得-4〃+12am=3"〃c與-46?+4am=7^mc，進而可得。=",根，從而得到

BF,

【詳解】如圖，因為直線AB的斜率為近，所以tan—A月片=6,

所以cos/A月片=，cos^BF2Fl=~~~■

設(shè)1M|=7〃，則幽=3%又怛耳巡|=2a,|M|—|隹|=2a,

所以忸娟=2〃+3mjAFj|=2〃+根，在△明山中,

由余弦定理得忸娟2=忸閭2+閨閭2一2忸閭.閨到cosN典月,

即(2a+3m)2=(3m)2+(2c)2-2-3m-2cx，整理得-4b2+12am=341nle-

在44月工中，由余弦定理得|A團2=恒耳2十|耳聞2一國.閨囚cosNAK不

即(2a+m)2=m24-(2c)2—2-m-2cx，整理得—4b2+4am=-垃me，

4

2

22aH—ac

所以Sam=，即c=41a，所以力=。,機=1Q,所以對L二____3_2

BF12a+2a3

故選：B.

22

3.（2025?湖北?二模）（多選）雙曲線*-'=1伍>0）的左右焦點分別為",",0為坐標(biāo)原點，點「在雙曲

線上，且,的內(nèi)切圓圓心為8（1,1）,則（）

A.點”在直線1=〃上

71

B.NPMN>—

4

25

C.PAW外接圓的面積為不兀

D.連結(jié)PH交x軸于點。，則1PM=2|H0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖像，利用雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓的特征，可求出4=1,得到雙曲線方程及

焦點坐標(biāo)，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可推理出是直角三角形，并求得點尸坐標(biāo)為（2,3）,再根據(jù)選項要求分

別判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)尸AW的內(nèi)切圓半徑為r，則廠=1,設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點為A,

則有4（1,0）,結(jié)合雙曲線定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)可得2a=歸叫-|尸叫=||八例-|加［=2,即0=1.

2

所以雙曲線的方程為無=焦點M（-2,0）,N（2,0）.

對于A,點"（1,1）在直線x=a=l上，故A正確;

由題意，點尸在第一象限，設(shè)內(nèi)切圓與邊PN的切點為8,連接HN,

易知HA=AN=HB=BN=\且HA工AN,HB工BN,

則四邊形R4NB是正方形，即有PNLMN,易得點尸坐標(biāo)為（2,3）.

對于B,在RtPMN中,MV=4,PN=3,根據(jù)勾股定理，PM=5,ccsNPMN=+>^，所以/PMN<*,

524

故B錯誤；

25

對于C,由已知條件可知，三角形外接圓半徑R=15所以圓面積為三兀，故C正確；

224

PHPB2.,,,

對于D,在VPQV中，因為HB/IQN,所以y=~^7=T，貝"?！?2"。，故D正確.

HQBN11111

故答案為：ACD.

22

4.（2025?河南?三模）（多選）如圖，已知雙曲線*-方=l（a>0,b>0）的焦距為8,點P為雙曲線右支上一

點（位于第一象限），且尸片，尸B，。為/耳尸耳的平分線上一點，滿足。。〃尸乙，|。。=2,貝U（）

B.\PF2\=2yf2-2

D.百尸鳥的面積為12

【答案】ACD

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算。町=4判斷A；延長。。交尸《于點”，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，根

據(jù)正弦定理及兩角差的正余弦公式求解進一步求解|P耳|,歸耳|,判斷B,利用雙曲線定義求出

a=2,進而求出離心率判斷C,利用直角三角形面積求解面積判斷D.

【詳解】對于A,因為尸片，尸工，。為百鳥中點，所以|OP|=g山閭.

Q

已知雙曲線焦距為8,即閨引=8,所以。尸|=3=4,A正確.

TT

對于B,因為。。〃尸乙，。為/月尸工的平分線上一點，所以NOQP=NQPB=W，

＜小兀㈣一區(qū)

記/。尸。=。,0€0,丁，則NOP￡=：-e,在一OQP中，由正弦定理得sin。一.兀，

V4J4sm—

所以sind=Yl,從而cosO=可，延長。。交尸與于點”，

44

OH

則OHLPT"且H為線段尸月的中點，在RtOHP中,=sin>,

~OP

所以|O//|=|OPkin《_d

所以|「閶=2|。M=26一2,B錯誤.

對于C,由B可得，回尸卜|°耳851_修=485;-。）=近+：1,

所以|「￡|=2|心|=26+2,所以2a=|a;|—歸局=4,所以。=2,

所以離心率e=￡=2,C正確.

a

對于D,耳尸乙的面積S=*婿.|*=9（2/+2卜（277-2）=12,D正確.

故選：ACD

22

5.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知雙曲線石:1-斗=1（。＞0*＞0）的左、右焦點分別為月,工，過門的直

ab

線/與E交于AB兩點，直線AF?交石于點C,AB=2BF-AC=4AF,,且箭?/=（）,則雙曲線E的離

心率為（）

A.?B.典C.y/2D.3

32

【答案】B

【分析】設(shè)怛耳|=x,|轉(zhuǎn)卜V，根據(jù)雙曲線的定義得依耳|=3尹24,1MHM|=3x-y=2a,在Rt然8

中，有|AK「+|AE「=|EE「，在Rt^A4C中，有|A司2+|AC[=^C『，聯(lián)立方程組即可求解.

【詳解】連接[C,如圖.

設(shè)忸周=x,\AF2\=y,則㈤=2x,|ACj=4y,\CF2\=3y.

根據(jù)雙曲線的定義有|C4|=3y+2a,3x-y=2a@.

由裕.明=0知鳥.在Rt，M耳中，有|明