山東省德州市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高三數(shù)學(xué)試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1—2頁(yè)，第II卷J

頁(yè)，共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測(cè)試卷上.

第I卷選擇題（共58分）

一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合要求的.）

1.已知集合〃={行+12叫仆={。,1,2,3,4},則知/=（）

A.{0,3}B,{1,2,3}

C.{0,1,2,3}D.{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)集合"，根據(jù)交集定義求結(jié)論.

【詳解】不等式必+%_12<0的解集為卜|-4<%<3},

所以M={x|-4W},

又白={0,1,2,3,4},

所以McN={0,1,2,3}.

故選：C.

2.己知直線(xiàn)/:丁=工+400:爐+丁=4,貝產(chǎn)網(wǎng)<2”是“直線(xiàn)/與。。相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用直線(xiàn)與圓相交求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由直線(xiàn)/：y=x+。與OO：V+y2=4相交，得察<2,解得|6|<20,

則問(wèn)＜2=屹|(zhì)＜2應(yīng),而|6＜20不能推出網(wǎng)＜2,

所以“網(wǎng)＜2”是“直線(xiàn)I與00相交”的充分不必要條件.

故選：A

22

3.若雙曲線(xiàn)工—2丁=1過(guò)點(diǎn)（4,3）,則其漸近線(xiàn)方程為（）

4m

32

A.y=±-xB.y=±—x

23

「bn_6

C.y—±-----xD.y—±----x

'3?2

【答案】D

【解析】

【分析】將（4,3）代入雙曲線(xiàn)方程，可求.2,再結(jié)合雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)求漸近線(xiàn)方程.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)工—3=1過(guò)點(diǎn)（4,3）,

4m

所以?1，

4m

所以根2=3，

22

所以雙曲線(xiàn)方程為土-匕=1,

43

所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=土與x.

故選：D.

4.已知向量々和B滿(mǎn)足上|=3,慟=2,卜+0=J7,則向量B在向量￡上的投影向量為（）

,1-1-

A.—ciB.-（2C.—ciD.a

33

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，求得〉B=-3,結(jié)合向量的投影向量的計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】由向量Z和區(qū)滿(mǎn)足,《=3,忖=2,卜+4=/7,

可得Q+同=（a+b）2=a+2a-b+b=13+2〃?「=7,解得=—3，

a-ba-3一

所以向量B在向量Q上的投影向量了行----a=——a

故選：A.

5.已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

A.-240D.-60

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得〃=6,結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式分析求解.

【詳解】由題意可知：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,

(-%y=(-l)r-26-r-q-口->=0,1,2,…,6,

其展開(kāi)式的通項(xiàng)為（+1=C6

3

令一r―3=0,解得r=2,

2

所以其展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)為（—l）2?24.C：=240.

故選：B.

6.某次考試后，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)討論其中一道考題，各自陳述如下，甲說(shuō)：我做錯(cuò)了；乙說(shuō)：甲做

對(duì)了；丙說(shuō)：我做錯(cuò)了；丁說(shuō)：我和乙中有人做對(duì).已知四人中只有一位同學(xué)的解答是正確的，且只有一位

同學(xué)的陳述是正確的，則解正確的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁做對(duì)，結(jié)合題意分析推理，利用矛盾律得出結(jié)論.

【詳解】若甲做對(duì)了，則甲說(shuō)錯(cuò)了，乙說(shuō)對(duì)，丙也說(shuō)對(duì)了，2人說(shuō)對(duì)了，不滿(mǎn)足條件；

若乙做對(duì)了，則甲說(shuō)對(duì)了，乙說(shuō)錯(cuò)誤，丙也說(shuō)對(duì)了，2人說(shuō)對(duì)了，不滿(mǎn)足條件；

若丙做對(duì)了，則甲說(shuō)對(duì)了，乙說(shuō)錯(cuò)了，丙也說(shuō)錯(cuò)了，其中只有甲1人說(shuō)對(duì)了，滿(mǎn)足條件；

若丁做對(duì)了，則丁、甲、丙都說(shuō)對(duì)了，不滿(mǎn)足條件；

故做對(duì)的是丙，說(shuō)對(duì)的是甲.

故選：C.

7.函數(shù)/（x）=si《2°x—/10〉0）在上單調(diào)遞增，且在［0,可上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則0的取值范

圍為()

757

B.D.

6,46,4

【答案】D

【解析】

【分析】求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間及零點(diǎn)，由條件列不等式可求結(jié)論.

Ji,JiJI

【詳解】由2ATE—<—?2左兀H—,keZ,。>0,

232

一/口ku兀/，依5兀

可得---------<%<—+----,

a)\2coG)12co

Ijr\KTTTTKTT)7T

所以函數(shù)/(x)=sin|-；〉0)的單調(diào)遞增區(qū)間為—z—,----—,keZ,

\3Jco12?co12(?

sin(20x_]J在

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=上單調(diào)遞增,

所以嗚卜71571

所以F5兀所以0$

12^

由2(vx—=ku,keZ,0>0,

3

一,口kl1711r

可何尤=----1-------,keZ,

1CD6G

所以函數(shù)/(x)=sin12tyx—1)(0〉O)的零點(diǎn)的集合為卜|%=昱+卷，左ez1,kwZ,

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=5由［2公?］］在［0,兀］上恰有三個(gè)零點(diǎn),

”…兀兀,3兀71

所以一+——<71,——十——>兀，

co6a)Ico6co

710

所以一Vg<—,

66

75

所以一V①V一,

64

一一'75"

所以。的取值范圍為?

64

故選：D.

8.已知半球。的底面與圓臺(tái)OO'的下底面完全重合，圓臺(tái)上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1,則圓

臺(tái)側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）

1R不「262

A.-D.------------D.-

3333

【答案】C

【解析】

【分析】作出圓臺(tái)及半球的軸截面，借助幾何圖形用圓臺(tái)上底面圓半徑廠(chǎng)表示出母線(xiàn)求解.

【詳解】半球0的底面與圓臺(tái)OO'的軸截面，如圖，

設(shè)圓臺(tái)上底面圓半徑為r,則00=Ji—戶(hù),母線(xiàn)/=BC=J（1-r）2+OO"=J2-2廠(chǎng)，

2

圓臺(tái)側(cè)面積S=兀（1+r）l=717（1+r）（2-2r）<］（巨'十二十=浮￡,

當(dāng)且僅當(dāng)1+廠(chǎng)=2-2廠(chǎng)，即廠(chǎng)=工時(shí)取等號(hào)，此時(shí)/=口8,

33

所以圓臺(tái)側(cè)面積取最大值時(shí)，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為第.

3

故選：C

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從1500名學(xué)生（該校男女生人

數(shù)之比為3：2）中抽取了一個(gè)容量為100的樣本.其中，男生平均身高為170,方差為12,女生平均身高為

160,方差為38.則下列說(shuō)法正確的是（）

（注：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：々，只記總的樣本

平均數(shù)為近，樣本方差為則/J———L―2L2―

A.抽取的樣本里男生有60人

B.每一位學(xué)生被抽中的可能性為工

15

C.估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為165

D.估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為46.4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的意義，結(jié)合平均數(shù)、方差的計(jì)算公式逐項(xiàng)求解判斷.

3

【詳解】對(duì)于A,抽取的樣本里男生有——xl00=60人，A正確；

3+2

對(duì)于B,每一位學(xué)生被抽中的可能性為用=」，B正確；

150015

對(duì)于C,該學(xué)校學(xué)生身高的平均值的=3*170；2x160=］66,c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,該學(xué)校學(xué)生身高的方差S2=《［12+(170—166)2］+不38+(160-166溝=46.4,口正確.

故選：ABD

22

10.已知橢圓c：L+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，工，尸是C上任意一點(diǎn)，則()

1612

A.橢圓C的離心率為且B.4月的周長(zhǎng)為12

2一

C.歸用的最小值為3D.|P周忖閭的最大值為16

【答案】BD

【解析】

【分析】由橢圓方程求得a、b、c值，可得橢圓離心率判斷A；由橢圓定義結(jié)合焦半徑范圍判斷B與C；

由基本不等式求得歸制.|9|的最大值判斷D.

【詳解】已知橢圓。：三+乙=1,則a=4,Z?=2百，c=da?-以=2，

1612

c1

對(duì)于A,e=—=—f故A錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于B,耳耳的周長(zhǎng)為歸耳|+歸局+⑶司=2a+2c=12,故B正確；

對(duì)于C,|尸用的最小值為。―。=4一2=2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,「耳卜怛工區(qū)■周；＞閭=［弓］=16,當(dāng)且僅當(dāng)|正片|=|。閶=4時(shí)等號(hào)成立，故D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)y(x),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)r(x),g'(x)的定義域都為R,若〃x+2)-g(i)=2,

/'(x)=g'(x+l),且g(x+l)為奇函數(shù)，則()

A.g⑴=0B."4)=0

20252025

c.Xg(Z)=°D.Z/(Qg(Q=0

k=lk=l

【答案】ACD

【解析】

【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可得g(—x+l)+g(x+l)=0,取x=0求g(l)判斷A,由

/'(x)=g'(x+l)，可得/(x)—g(x+l)=機(jī)(m為常數(shù))，結(jié)合條件/(x+2)—g(l—x)=2證明

2025

g(x+2)=—g(x),由此證明g(x)為周期函數(shù)，求、＞(依判斷C,再證明/(%)為周期函數(shù)，并求

k=\

2025

/(1),/(2),/(3),/(4),判斷C,再結(jié)合周期性求￡/(4)g(Q,判斷D.

k=\

【詳解】因?yàn)間(x+l)為奇函數(shù)，

所以g(—x+l)+g(x+l)=。，

取x=0可得，g(l)+g(l)=o,

所以g(l)=0,A正確；

由/'(x)=g'(x+l)，可得[/(x)—g(x+l)]=0,

所以/(x)—g(x+l)=m(機(jī)為常數(shù))，

又〃x+2)—g(l—x)=2,所以/(￡)—g(3—￡)=2,

所以g(x+l)-g(3-x)=2—加，

取x=l可得，2-加=0,故%=2,

所以g(x+l)=g(3_%),又g(-x+l)+g(x+l)=0,

所以一g(—x+l)=g(3—x)，即g(3+x)=-g(x+l),

所以g(x+2)=—g(x),

所以g(x+4)=—g(x+2)=g(x),

所以函數(shù)g（x）為周期為4的周期函數(shù)，

因?yàn)間（x+2）=—g（x）,所以g（3）=—g（l）,g（4）=-g（2）,

所以g⑴+g（3）=0,g（2）+g（4）=0,

所以g（l）+g（2）+g（3）+g（4）=0,

所以g（4〃+l）+g（4〃+2）+g（4”+3）+g（4〃+4）=0,〃eZ,

2025

又￡g（Q=[g⑴+g⑵+g⑶+g（4）]+…+[g（2021）+g（2022）+g（2023）+g（2024）]+g（2025）,

k=l

2025

所以?（左）=g（2025）,又g（2025）=g（4x506+1）=g⑴=0,

k=T

2025

所以Xg（Z）=。，C正確；

k=l

因?yàn)?（x+2）-g（l—x）=2,g（-x+l）+g（x+l）=0,

所以/（x+2）=2-g（x+l）,/（x+6）=2-g（%+5）

所以〃x+6）=/（x+2）,所以函數(shù)的周期為4,

所以/（x+4）g（x+4）=/（x）g（x）,

所以函數(shù)/（x）g（龍）為周期為4函數(shù)，

又/（1）=2—g（0）,“2）=2-g⑴=2,

"3）=2—g（2）=2+g（0），/（4）=2—g（3）=2,B錯(cuò)誤;

所以/（l）g（l）+/（2）g（2）+/（3）g（3）+/（4）g（4）=0+2g（2）+2g（4）=0,

2025

所以E/（Qg（Q=506[/⑴g（1）+〃2）g（2）+〃3）g⑶+〃4）g⑷]+/（2025）g（2025）=0,

k=l

D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于由條件/'（￡）=g'（x+l）推出/（x）—g（x+l）=m,結(jié)合條

件/（x+2）—g（l—x）=2消去/,可得g（x+l）—g（3—x）=0,由此證明g（x）為周期函數(shù)，再利用周

期性求解結(jié)論.

第n卷非選擇題(共92分)

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.己知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(l+i)=l+5i,則忖=.

【答案】V13

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求z的代數(shù)形式，再根據(jù)模的計(jì)算公式求結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閦(l+i)=l+5i,

l+5i(l+5i)(l-i)6+4i

所以z==3+2i,

1+i-(l+i)(l-i)-2

所以目=J32+22=屈，

故答案為：y/13■

13.若直線(xiàn)y=Ax(左為常數(shù))與曲線(xiàn)/(X)=1TLX,曲線(xiàn)g(x)=ae”均相切，則。=.

【答案】-4

e

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線(xiàn)方程，根據(jù)兩直線(xiàn)相等，列方程可得石=g左=」，進(jìn)而代

e

入(Xo，ae*。)在直線(xiàn)y上，求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=hw,xe(O,+8),所以_f(x)=L

X

設(shè)直線(xiàn)y=依與/(x)=lnx的切點(diǎn)為(用/時(shí))，則切線(xiàn)方程為yT叫='(x-七)，即

y」x+lnjq_l,

%]

1

,一=k,11

又因?yàn)閥=所以〈X]解得%=於左=—,所以切線(xiàn)方程為丁=-x,

e0

1%—1=0,

因?yàn)間(x)=ae\所以g,x)=(ae*)=ae*,

設(shè)直線(xiàn)y=工x與g(x)=ae*的切點(diǎn)為(%,ae'°),所以g'(玉))=ae%=，①,

ee

又因?yàn)榍悬c(diǎn)(％o，ae而)在直線(xiàn)y=，x上，所以ae*=-x0@,

由①和②可得毛=1,所以ae=L解得a=《.

ee

故答案為：-r

e-

14.VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c?=2〃—2/^,則A—3的最大值為一

【答案】y

【解析】

【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到tanA=3tan5,再利用基本不等式即可得解.

【詳解】由余弦定理得/=〃+/-2Z?ccosA.b2=a2+c2-2tzccosB,

兩式相減得2(。2-b2^=2c(acosB-bcosA),

因?yàn)?=24-2Z?2,所以。=2(acosB-Z?cosA),

由正弦定理得sinC=2(sinAcosB-sinBcosA),

即sin(A+B)=2(sinAcosB-sin5cosA),

所以sinAcosB+sin3cosA=2(sinAcosB-sinBcosA),

貝ijsinAcosB=3cosAsin5,

因?yàn)樵赩ABC中，cosA,cosB不同時(shí)為0,sinA>0,sinB>0,故cosAw0,cos5wO,

所以tanA=3tan5,

7T

又，=34—3廿>0,所以則A>6,故0<5<一,則tan5>0,

2

/.小tanA-tanB2tan32

.tanA-B=-----------------=----------==------------------

所以1+tanAtan5l+3tan2B1.

-------1-a3tanBD

tan3

￡一L2一6

o「~R3，

2J------x3tanB

VtanB

當(dāng)且僅當(dāng)^^=3tan8,即tan3=無(wú)時(shí)，等號(hào)成立，

tan33

7Tjr

又OvA—6〈兀，所以A—5W—,即A—5的最大值為一.

66

TT

故答案為：一.

6

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正一各項(xiàng)均

為正；二定——積或和為定值；三相等一等號(hào)能否取得“，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）

15.已知函數(shù)=lnx+3（。為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)/（力的單調(diào)性；

（2）不等式/（力〉1在xe1,3上恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大整數(shù)值.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）2

【解析】

【分析】（1）求函數(shù)/（x）定義域和導(dǎo)函數(shù)，分aWO,。>0結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及取值的正負(fù)區(qū)間研究

函數(shù)的單調(diào)性，

（2）變量分離可得g,3,令g（x）=x-xlnx,xeg,3,利用導(dǎo)數(shù)求其最值可得結(jié)

論.

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/（力=111%+0的定義域?yàn)椋?,+8）,導(dǎo)函數(shù)7=L—■g=±9,xe（O,+8）

XXX

當(dāng)aWO時(shí)，因?yàn)?'（尤）>0,所以“X）在（0,+"）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，令/'（X）=0,解得x=a

若x>。，則/'（力〉0,所以/（%）在（a,+“）上單調(diào)遞增，

若0<x<a,則/'（尤）<0,所以〃龍）在（0,a）上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，”可在（0,+“）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，/（%）（a,+"）上單調(diào)遞增，在（0,。）上單調(diào)遞減.

【小問(wèn)2詳解】

在2，3上恒成立等價(jià)于In%+0>1在］￡2,3上恒成立,

2x2

即1%—xlnx,XG—,3

2

令g(x)=x—xhix,x￡—,3,貝！Jg［x)=—lnx,

當(dāng)xe(』］時(shí)，g'(x)>O,g(x)在g,1］上單調(diào)遞增,

當(dāng)x?1,3］時(shí)，g［x)W0,g(%)在［1,3］上單調(diào)遞減，

因?yàn)間(x)max=g(x)極大值;且⑴與，所以。>1

故實(shí)數(shù)。的最大整數(shù)值是2.

16.如圖，四棱錐尸—ABCD的底面是矩形，43=2,3。=2夜心尸3。是等邊三角形，平面平

面ABCD,O,F分別是BC,PC的中點(diǎn)，AC與BD交于前E.

(1)求證：平面PAO；

(2)平面0跖與直線(xiàn)尸。交于點(diǎn)。，求直線(xiàn)。。與平面PCD所成角。的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)9=45°.

【解析】

(分析】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理證明PO，平面ABCD,可得POYBD,再利用向量法證明AOLBD,

然后由線(xiàn)面垂直判定定理可證；

(2)以。為原點(diǎn)，。石,。。,。？所在直線(xiàn)分別為蒼％2軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椤魇瑸檎切?，。?c中點(diǎn)，所以PO工BC,

又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面Pec。平面=POu平面P6C,

所以P0,平面ABCD,

又5Du平面ABC。，所以POLBD,

?.-5D-AO=（BC+5A）QBC-5A^=1BC2-5A2=4-4=0,

.-.BD1AO'：.AO±BD.

又尸O,A。在平面PQ4內(nèi)且相交，故/平面PAO

【小問(wèn)2詳解】

???E,O分別為BD,BC的中點(diǎn)，EOHDC,

又平面PDC過(guò)。C且不過(guò)E0,，石。//平面PDC,.

又平面OEQF交平面PZJC于QR,故EO//QR,進(jìn)而。尸//。。,

因?yàn)楫a(chǎn)是PC中點(diǎn)，所以。是PZ)的中點(diǎn).

以。為原點(diǎn)，。及OC。尸所在直線(xiàn)分別為羽Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,痛）,0（0,后,0）,0（2,點(diǎn),0）,011,旁,乎

\<22）

CD=（2,0,0）,PC=（0,V2,-A/6）,OQ=1與件

設(shè)平面PCD法向量為h=(%,y,z),

CDn=0[2x=0

取得為(逐/卜

則口y/2y-y[6z=0y=&,=0,

PCh=O

I-,I\n-Od76y/2

則sm6=kos況。Q|='?_}|=-R=—,

11|n|-|oe|2A/32

JTjr

因?yàn)?，e0,-,所以6=7.

17.已知拋物線(xiàn)E:/=2x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，且ABC為E上不重合的三點(diǎn).

（1）若麗+麗+定=0,求|西|+|而|+|京|的值;

（2）過(guò)A,3兩點(diǎn)分別作石的切線(xiàn)人/2,/1與6相交于點(diǎn)。，若|AB|=4,求△A3。面積的最大值.

【答案】（1）3（2）8

【解析】

【分析】（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(xiàn)，利用給定的向量等式，結(jié)合拋物線(xiàn)定義求解.

（2）設(shè)出直線(xiàn)/的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線(xiàn)/卜4方程及交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出三

角形面積的函數(shù)并求出最大值.

【小問(wèn)1詳解】

拋物線(xiàn)E:/=2x的焦點(diǎn)砥1,0）,準(zhǔn)線(xiàn)x=設(shè)4（和％）,3（々,％），0（%,為），

7

由FA+FB+7c=0,得（為—3）+（工2-3）+（X3-；）=。，即％+々+犬3=5,

―.―.—.111

所以1網(wǎng)|+1所1+1b。=（西+5）+（尤2+耳）+（$+5）=3.

【小問(wèn)2詳解】

顯然直線(xiàn)AB的斜率不為0,設(shè)直線(xiàn)AB的方程為X=my+n,A(x3,y3\B(x4,”)，

(y2=2x

由〈得：y2-2my-2n=0,A=4m2+8n>0-%+為=2私y(tǒng)3y4=-2〃，

x=my+n

由y2=2x,得>=±0^,求導(dǎo)得>'=±/—=一，

yJ2xy

11V,1y

則切線(xiàn)4的方程為y=—（z%—$）+%，即丁=一%+：,同理，切線(xiàn)/，的方程為〉=一》+蕓A,

%%2-”2

y二x+—X=H=f

%22

由《解得，即D(-n,m),

1%+>4

x---y=-----二m

y二「2

%2

則點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為d=,——,

yjl+m2

由|AB|=Jl+?J(%+))2—4y3y4=Jl+14m2+8〃=4，化簡(jiǎn)得：m2+2n=-,

v1+m

°1.?21m2+2zz|8/o

因此=-\A4B\d=IJ=---------,<8,當(dāng)且僅當(dāng)m=o時(shí)取等號(hào)，

2y/l+m-(l+m2)y/l+m2

所以△ABD面積的最大值為8.

18.向“新”而行，向“新”而進(jìn)，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展.以人工智能的應(yīng)用為例，人工

智能中的文生視頻模型Sora(以下簡(jiǎn)稱(chēng)Sora),能夠根據(jù)用戶(hù)的文本提示創(chuàng)建最長(zhǎng)60秒的逼真視頻.為調(diào)

查Sora的應(yīng)用是否會(huì)對(duì)視頻從業(yè)人員的數(shù)量產(chǎn)生影響，某學(xué)校研究小組隨機(jī)抽取了150名視頻從業(yè)人員

進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示.

視頻從業(yè)人員

Sora的應(yīng)用情況合計(jì)

減少未減少

應(yīng)用5472

沒(méi)有應(yīng)用42

合計(jì)90150

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成題中表格，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有

關(guān)？

(2)某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開(kāi)展Sora培訓(xùn)，分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)

211

達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為一,一,一，每輪相互獨(dú)立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應(yīng)用Sora.

323

(i)求員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)能應(yīng)用Sora的概率；

(ii)已知開(kāi)展Sora培訓(xùn)前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)6萬(wàn)元；開(kāi)展Sora培訓(xùn)后，能應(yīng)用Sora

的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元；Sora培訓(xùn)平均每人每年成本為1萬(wàn)元.根據(jù)公司發(fā)展需要，

計(jì)劃先將視頻部的部分員工隨機(jī)調(diào)至其他部門(mén)，然后對(duì)剩余員工開(kāi)展Sora培訓(xùn)，現(xiàn)要求培訓(xùn)后視頻部的

年利潤(rùn)不低于員工調(diào)整前的年利潤(rùn)，則視頻部最多可以調(diào)多少人到其他部門(mén)？

附，*(a+/)(c+d)(a+c)(〃+d)'

6Z=P(72>^)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān)

(2)(i)y;(ii)14人

【解析】

【分析】(1)分析數(shù)據(jù)關(guān)系，完善列聯(lián)表，提出零假設(shè)，計(jì)算％2,比較其與臨界值大小，判斷結(jié)論；

(2)(i)設(shè)4="員工第/輪獲得優(yōu)秀”[=1,2,3),B=”員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)能應(yīng)用Sora”，則

B=AAA+4AA+AAA+AAA-結(jié)合互斥事件概率加法公式，獨(dú)立事件概率乘法公式求結(jié)論；

(ii)設(shè)視頻部調(diào)x人至其他部門(mén)，X為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用Sora的人數(shù)，則X?由條

件列不等式可求結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，2x2列聯(lián)表如下：

視頻從業(yè)人員

Sora的應(yīng)用情況合計(jì)

減少未減少

應(yīng)用541872

沒(méi)有應(yīng)用364278

合計(jì)9060150

零假設(shè)H。為：Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少獨(dú)立，Sora的應(yīng)用前后視頻從業(yè)人員無(wú)差異,

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，/=150x(54x42-18x36)2=675^12.981〉10.828.

72x78x90x6052

2

根據(jù)小概率值a=0.001的z的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷HQ不成立，

所以有99.9%的把握認(rèn)為Sora的應(yīng)用與視頻從業(yè)人員的減少有關(guān);

【小問(wèn)2詳解】

（i）設(shè)4="員工第，輪獲得優(yōu)秀”[=1,2,3）,且4相互獨(dú)立.

設(shè)3=“員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)能應(yīng)用Sora”，則

2111112112121

二—x—x—+—x—x—+—x—x—+—x—x—=一,

3233233233232

故員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)能應(yīng)用Sora的概率是g.

（ii）設(shè)視頻部調(diào)x人至其他部門(mén)，xeN,X為培訓(xùn)后視頻部能應(yīng)用Sora的人數(shù),

則X?4100—因此E（X）J°；-x,

調(diào)整后視頻部的年利潤(rùn)為

裳Exl0+[l—；）100—x）x6—（100—x）=（700—7x）（萬(wàn)元），

令700—7x2100x6,解得xV吧=14.3,又xeN,所以加八=14.

7IlldA

因此，視頻部最多可以調(diào)14人到其他部門(mén).

CC1

19.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,V”eN*滿(mǎn)足3—-^=-,且4=1,數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足

1/1I1

bQ2b3…b〃=2s,1｛n￡N）

（1）求數(shù)列也｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

'2、

（2）求數(shù)列3的前〃項(xiàng)和M”；

[bn\

（3）若將數(shù)列｛4｝中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列｛0｝中，組成一個(gè)新的數(shù)列｛cj：

4，6,/?2，。2，。3也，。4，。5，。6，。7，“，?一，在%與“：+1之間插入項(xiàng)｛4｝中的項(xiàng)，｛，"｝中2旬之前（不包

a2（2”T

括2M）所有項(xiàng)的和記為北.若4=⑦——+2.求使得[4]+[4]+[4]T-----卜[4]—2025成立的

4+1U+27

最大整數(shù)〃的值.（其中[可表示不超過(guò)X的最大整數(shù)）

n

【答案】（1）an=n.bn=2

n2+4〃+6

(2)M=6-

n2"

(3)45

【解析】

【分析】（1）由條件結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列1的通項(xiàng)公式，再由S,與a”關(guān)系求,由

n

岫2b3…b"=2、"取n=1求A,當(dāng)〃N2時(shí)，用“一1替換〃，兩式相除可得結(jié)論;

[2,2R221

（2）由（1）可得M=—+0+=+…+人，等式兩邊同乘一，兩式相減可得

"2122232"2

-Mn=工+2+?+…+女匚-』二，再利用錯(cuò)位相減法求結(jié)論;

2222232"2"i

（3）由（1）結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式求北，再求乙，結(jié)合等差數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)不等式求結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

qqi工

因?yàn)椤埂繪—_^=_,所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

n+1n2n

2

所以?〃一i）=＞；,s“=n1nn

—+—n--------F—.

2222

當(dāng)〃N2時(shí)，4=S“-S“T=〃

又q=1滿(mǎn)足關(guān)系an=n,

故an=n.

數(shù)列{%},當(dāng)〃=1時(shí)，偽=2,

當(dāng)〃22時(shí)，b=她…"==2%=2"

他…%2%

n

所以，an=n,bn=2；

【小問(wèn)2詳解】

22

由題可