廣東省廣州市2024-2025學年下學期第一次模擬測試九年級數(shù)學試題（解析版）

廣州市2024學年九年級下學期第一次模擬測試試題

【試卷說明】

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生應將答案全部填涂在答題卡

相應位置上，寫在本試卷上無效；

2.答題前考生務必將自己的姓名，準考證號填涂在答題卡上.

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.-2025的相反數(shù)是（）

11

A.-2025B.2025C.----------

20252025

【答案】B

【解析】

【詳解】本題考查了相反數(shù)的知識，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)相反數(shù)的定義即可解題.

【分析】解：-2025的相反數(shù)是2025,

故選：B.

2.下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看到的視圖是主視圖，從左邊看到的圖形是左視圖，根據(jù)看到的圖形進行比較即可解

答.

【詳解】解：A、主視圖看到的是2層，3列，最下1層是3個，上面一層是1個，第2列是2個；左視圖

是2層，上下各1個；

B.主視圖看到的是3層，最下1層是2個，上面2層在下面1層的中間，各1個，左視圖是3層，每層各

一個；

C.主視圖是2行2列，下面1層是2個，上面1層1個，左面1列是2個；左視圖是2層2列，下面1層

是2個，上面1層1個，左面1列是2個，故主視圖和左視圖相同；

D.主視圖是2層2列，下面1層2個，上面1層1個，右面1列2個，左視圖也是2層2列，下面1層2

個，上面1層1個，左面1列2個.

故選：c.

【點睛】此題考查了從不同方向觀察物體，重點是看清有幾層幾列，每層每列各有幾個.

3.“長征是宣言書，長征是宣傳隊，長征是播種機”，二萬五千里長征是中國歷史上的偉大壯舉，也是人

類史上的奇跡，將25000用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.25X106B.2.5X105C.2.5xlO4D.25xio3

【答案】C

【解析】

【分析】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

1<|?|<10,w為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點

移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，”是正整數(shù).

【詳解】解：將25000用科學記數(shù)法可表示為2.5x104,

故選：C.

4.不等式x+G2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

________I____________I___________11____11II>

A--1012B--I0I2c-

?i<1??!___________?______

-1012D--1012

【答案】A

【解析】

【詳解】解：??h+G2

：.x>l

故選A.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法

是解題的關鍵.

5.下列計算正確的是（）

A.a2,+a2-a5B.2tz2—a—aC.=a6D.—J（—5『=5

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的性質，合并同類項，幕的乘方與積的乘方，根據(jù)二次根式的性質，合并同

類項，幕的乘方與積的乘方法則進行解題即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、/與/不是同類項，不能進行合并，原選項不正確，不符合題意；

B、2a2與。不是同類項，不能進行合并，原選項不正確，不符合題意；

C、（-/）2=。6,原選項正確，符合題意；

D、_卜）2=_5,原選項不正確，不符合題意；

故選：C.

6.如圖，在口他。。中，對角線AC,6D相交于點。，點E為OC的中點，EF〃AB交BC于點F.若

AB=4,則所的長為（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識，利用平行四邊形的性質、線段中

點定義可得出證明郎S2\C4B,利用相似三角形的性質求解即可.

4

【詳解】解：?四邊形ABCD是平行四邊形，

OC=-AC,

2

..?點E為OC的中點，

/.C￡=-C>C=-AC,

24

EF//AB,

Z\CEF^Z\CAB,

EFCEEF1

.?=---,即nn=一,

ABAC44

■,.EF=1,

故選：B.

7.不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個，兩個小球除顏色外無其他差別.從中隨機摸出一個小球，放回并

搖勻，再從中隨機摸出一個小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（）

1113

A.-B.-C.-D.一

4324

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵.列表可得出所有等可

能的結果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

【詳解】解：列表如下：

紅黃

紅（紅，紅）（紅，黃）

黃（黃，紅）（黃，黃）

共有4種等可能的結果，其中兩次摸出的都是紅球的結果有1種，

...兩次摸出的都是紅球的概率為1.

4

故選：A.

8.拋物線y=g（x—ij+c經(jīng)過（一2,y）,（O,%］三點，則力%，%大小關系正確的是

（）

A.%〉為〉為B.%>%>%C.%>%〉為D.%〉%>%

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.根據(jù)二次函

數(shù)的圖象與性質可進行求解.

【詳解】解：由拋物線y=g（x—l『+c可知：開口向上，對稱軸為直線x=l,

該二次函數(shù)上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數(shù)值也就越小，

,；（—2,yj,（0,y2）?［萬,%］，

533

而1-（-2）=3,1—0=1,--1=-,1<|<3

A點（0,%）離對稱軸最近，點（一2,%）離對稱軸最遠，

?1?%〉％〉%;

故選：D.

9.如圖，已知VA3C,以為直徑的。。交3c于點。，與AC相切于點A,連接OD.若

ZAOD=SO°,則/C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出

ZB=-ZA（9D=40°,有圓的切線定理可得出44C=90°,由直角三角形兩銳角互余即可得出答案.

2

【詳解】解：,?,A￡）=A￡＞，

ZB=-ZAOD=40°.

2

V以AB為直徑的與AC相切于點A,

/.ZBAC=90°,

/.ZC=90°-40°=50°.

故選：D.

10.如圖VABC與VADE均為等腰直角三角形，AD=-AB=a,直線6D與直線CE交于點P,在

3

VA3C與VADE繞點A任意旋轉過程中，尸到直線3c的距離的最小值為（）

A.y/2aB.—V2tzC.一D.--41a

64

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先證△A3D四△ACE,進而易得出N3PC=N8AC=90°,則點P在以3C為直徑

的圓上運動，當5P與以A為圓心，。為半徑的圓相切時，點尸到3c的距離最小，再解直角三角形求解即

可得到答案.

【詳解】解：設5。與AC交于點如圖所示：

由題易知AB=AC,ABAC=ZDAE=90°,AD^AE,

：.ZBAD=ZCAE,

.-.△ABD^AACE(SAS),

:.ZABD=ZACE,

?：ZAFB=ACFP,

:.ZBPC=ZBAC=90°,

二點4B、a尸四點共圓，且5c為直徑，設圓心為0,

當3P與以A為圓心，。為半徑的圓相切時，點尸到3c的距離最小,

過點/作過點P作尸于點G,如圖所示：

3

/.AB=3a,

BC=四AB=3億,

?.?BP與0A切于點。，

.-.ZADB=90°,

/.BD=1AB?-AD?=l4la，

…八ADAF

二.tan-----------

BDAB

a_AF

2yla3a

：,AFA，

4

述、

CF=CA-CF=CA-AF=3-a,

（3歷3）

：.FH=CH=1F=a,

2I24J

,..ADAF1972

由sin^-A.BD—=---=—得zaBF=------a，

ABBF34

FH2_V2

...sinZFBH=——

BF3~~6~

cosNFBH=Vl-sin2ZFBH

36

;ZCPG=ZFBH=900-ZBPG,

.?.c°sNCPG=a='昱,

PC36

:.PG=PCcosZCPG,

?;PC=BCsin/FBH,

【點睛】本題主要考查動點最值-輔助圓問題，涉及旋轉的性質、全等三角形得判定和性質、圓的性質、等

腰直角三角形的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，熟練掌握相關知識處理輔助圓問題是解題的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.若二次根式J二，有意義，則尤的取值范圍是—.

【答案】x>2

【解析】

【詳解】解：根據(jù)題意，使二次根式J口有意義，即x-2K）,

解得：x>2.

故答案為：立2.

【點睛】本題主要考查使二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題關鍵.

12.因式分解4a3—4=.

【答案】a（2a+l）（2a-l）

【解析】

【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式.

【詳解】解：4?3-?=?（4A2-1）=a（2tz+1）（2tz-1）.

故答案為：a（2a+l）（2a-l）.

【點睛】本題主要考查了因式分解，解題關鍵是熟練掌握因式分解的方法，準確計算.

13.如圖，Nl=50°,Z2=130°,Z4=88°,那么N3=

【答案】92°##92度

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵；由N1與N2的

度數(shù)之和為180度，利用同旁內角互補兩直線平行，判斷出。與匕平行，再利用兩直線平行，同位角相等得

至|JN3=18O°—N4,即可求解.

【詳解】解：?.,/!=50。,Z2=130°,

.-.Zl+Z2=180o,

\a//b,

.\Z3=180°-Z4,

/.Z3=180o-88o=92°

故答案為：92°.

14.若加，7?是一元二次方程/一5%+2=0的兩個實數(shù)根，則加+（〃-2『的值為.

【答案】7

【解析】

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值.先利用已知條件求出

b

H2-577+2=0-rn+n=--=5,從而得到“2=5”—2，再將原式利用完全平方公式展開，利用

a

"2=5"-2替換”2項，整理后得到m+n+2,再將m+，z=5代入即可.

【詳解】解：??,加，〃是一元二次方程/一5%+2=0的兩個實數(shù)根，

,,b

—5“+2=0，m+n=—=5,

a

貝I」/?=5〃-2

771+(〃-2)2

=+"2—4〃+4

=加+5〃-2—4〃+4

=m+n+2

=5+2

=7

故答案為：7

15.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽.在一次綜合實踐活動中，某數(shù)學

小組用無人機測量黃鶴樓A3的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面102m的C

處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端B的俯角為63°,則測得黃鶴樓的高度是m.(參考

數(shù)據(jù)：tan63°M2)

【答案】51

【解析】

【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵.延長B4交距水平地面

102m的水平線于點根據(jù)tan63°a2,求出DC=AD。51m,即可求解.

【詳解】解：延長B4交距水平地面102m的水平線于點。，如圖，

設AD=x,

??ZDCA=45°

DC=AD=x

.iBD102

..ton63=----=-----~2

DCx

DC=AD?51m

AB=BD-AZ)=102-51?51m

故答案為：51.

16.如圖，現(xiàn)有正方形紙片A3CD,點E,尸分別在邊A5BC上，沿垂直于所的直線折疊得到折痕肱V,

點、B,C分別落在正方形所在平面內的點C處，然后還原.

（1）若點N在邊上，且N3￡b=<z,則NC'MW=（用含a的式子表示）;

（2）再沿垂直于腦V的直線折疊得到折痕G”,點G,X分別在邊CD,AD上，點。落在正方形所在平面

內的點DC處，然后還原.若點DC在線段3'。'上，且四邊形EEGH是正方形，AE=4,EB=8,MN與

GH的交點為P,則PH的長為.

【答案】①.90°-a##-a+90°②.3亞

【解析】

【分析】①連接CC',根據(jù)正方形的性質每個內角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的性質,

再結合平行線的性質即可求解；

②記用與NC交于點K,可證：A4冏7年ABFE%ADHG沿ACGF,則AE=CG=DH=4,

DG=BE=8,由勾股定理可求HG=4^,由折疊的性質得到：ZNC'B'=ZNCB=90°,

N8=N9,ZD=NGD'H=90。,NC=NC,GD=GD'=8,則楊=旌，KC'=GC=4,由

NC//GD',得△HC'Ks△?。綠，繼而可證明HK=KG,由等腰三角形的性質得到PK=PG,故

PH=-HG=3y/5.

4

【詳解】解：①連接CC,由題意得NC7W=N4,MN1.CC,

■:MNLEF,

/.CC//FE,

???Nl=N2,

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZB=ZBCD=90°,

N3+N4=N3+N2=90°,Zi+ZBEF=90°,

，/2=/4,zi=90°-?,

：.Z4=900-a

：.ZC'NM=90°-a,

故答案為：90°—。；

②記序與NC交于點K,如圖：

:四邊形ABCD是正方形，四邊形EEGH是正方形，

：.ZA=ZB=ZC=ZD=90°,HE=FE,ZHEF=90°,

ZAEH+ZAHE=ZAEH+/BEF=90°,

AZAHE=ZBEF，

/.AAEH^ABFE，

同理可證：AAEH學ABFE沼ADHG也△CG尸，

:.AE=CG=DH=4,DG=BE=8,

在RtAHDG中，由勾股定理得HG=^DH2+DG1=46，

由題意得：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=NGDH=90。,NC=NC,

GD=GD'=8,

：.NC//GD',

...ZNKG=Z9,

：.Z8=ZNKG,

...NG=NK,

：.NC—NG=NC'—NK,

即KC'=GC=4,

?ZNC//GD',

：.AHCK^ZXHD'G，

.HK_C'K_1

：.HK=-HG,

2

/.HK=KG,

由題意得MNLHG,而NG=NK,

；?PK=PG,

：.PH=-HG=345,

4

故答案為：3亞.

【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質,

勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.解方程組：乜:.

2x—3y=3

x=3

【答案】1

b=l

【解析】

【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解.根據(jù)加減消元法解二元一次

方程組即可.

2x+y=7①

【詳解】解:

'2x-3y=3?

①―②得，4y=4,解得，y=l.

將y=i代入①得x=3.

尤=3

，方程組的解是《?

y=i

18.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點尸在邊3c上，且=求證：AF=DE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質.根據(jù)矩形的性質得到AB=CD,ZB=ZC=90°,

再推出BF=CE,利用SAS證明△ABFgZXDCE,即可得到Ab=。石.

【詳解】證明：：四邊形ABCD是矩形，

：.AB=DC,ZB=ZC=90°,

,：BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

：.AABF^ADCE（SAS）,

/.AF=DE.

19.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關

系，它的圖象如圖所示.

（1）求這個反比例函數(shù)解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）.

（2）當電阻R為3Q時，求此時的電流/.

【答案】（1）/=￥

（2）12A

【解析】

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應用：

（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求求出當R=3。時/的值即可得到答案.

【小問1詳解】

解：設這個反比例函數(shù)的解析式為/=彳（。/0）,

把（9,4）代入/=g（UwO）中得：4=.（。#0）,

解得。=36,

這個反比例函數(shù)的解析式為/=*；

R

【小問2詳解】

解：在/=型中，當R=3O時，/=^=12A,

R3

...此時的電流/為12A.

20.某中學為了解七年級女同學定點投籃水平，從中隨機抽取20名女同學進行測試，每人定點投籃5次,

進球數(shù)統(tǒng)計如下表：

進球數(shù)012345

人數(shù)186311

(1)求被抽取的20名女同學進球數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；

(2)若進球數(shù)為3以上(含3)為“優(yōu)秀”，七年級共有200名女同學，請估計七年級女同學中定點投籃

水平為“優(yōu)秀”的人數(shù).

【答案】(1)眾數(shù)為1、中位數(shù)為2、平均數(shù)為1.9

(2)估計為“優(yōu)秀”等級的女生約為50人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義求解即可；

(2)算出樣本的優(yōu)秀率，再估計總體的優(yōu)秀人數(shù).

【小問1詳解】

解：女生進球數(shù)的平均數(shù)為￡x(0xl+lx8+2x6+3x3+4xl+5xl)=L9(個)，

2+2

女生進球數(shù)的中位數(shù)是第10個和第11個成績的平均數(shù)，即——=2(個)，

2

女生進球個數(shù)為1個的人最多，故眾數(shù)是1個；

【小問2詳解】

解：200x3+1+1=50(人)，

20

答：估計為“優(yōu)秀”等級的女生約為50人.

【點睛】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，用樣本件估計總體，掌握中位數(shù)，平均數(shù)、眾數(shù)的定義以及

優(yōu)秀率的求法是解題的關鍵.

21.歐拉是歷史上享譽全球的最偉大的數(shù)學家之一，他不僅在高等數(shù)學各個領域作出杰出貢獻，也在初等

anhn

數(shù)學中留下了不凡的足跡.設。乃,。為兩兩不同的數(shù)，稱￡=:————-+-——―-+

(a-b)(a-c)(Jb-c)(b-a)

——-~-(n=0,1,2,3)為歐拉分式.

(C-4Z)(C-Z?)

(1)寫出外對應的表達式；

(2)化簡耳對應的表達式.

?111

【答案】(1)0—(a_b)(a_c)+s_c)(b—a)+(c—c)(c—b)

(2)0

【解析】

【分析】本題考查了分式的加減法，熟練掌握分式的加減運算法則是解答本題的關鍵.

(1)把〃=0代入匕表達式即可求出《對應的表達式；

(2)把"=1代入匕表達式，然后通分并化簡即可求出《對應的表達式.

【小問1詳解】

?111

解：”=------------1------------1-----------.

(a-t))(a-c)(t>-c)(t>-a)(c-a)(c-b)

【小問2詳解】

?abc

解：----：-------1------------1-----------,

(tz-Z?)(?-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)

_a(b-c)-b(a—c)+c(a-b)

((7-￡?)(/?-C)((7-C)

_ab-ac-ab+be+ac-be

(a-b)(b-c)(a-c)，

=0.

22.為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新

換代.

(1)為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策.根據(jù)相關政策，更新1條甲類生

產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生

產線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？

(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200

萬元購買更新甲類生產線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲

得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？

【答案】(1)該企業(yè)甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

(2)需要更新設備費用為1330萬元

【解析】

【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵.

(1)設該企業(yè)甲類生產線有x條，則乙類生產線各有(30-力條，再利用更新完這30條生產線的設備，該

企業(yè)可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；

(2)設購買更新1條甲類生產線的設備為加萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為(加-5)萬元，利

用用200萬元購買更新甲類生產線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數(shù)量相同，再建立

分式方程，進一步求解.

【小問1詳解】

解：設該企業(yè)甲類生產線有x條，則乙類生產線各有（30-X）條，則

3x+2（3O-x）=7O,

解得：%=10,

則30—%=20；

答：該企業(yè)甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；

【小問2詳解】

解：設購買更新1條甲類生產線的設備為機萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為（加-5）萬元，則

200_180

mm-5

解得：m=50,

經(jīng)檢驗：加=50是原方程的根，且符合題意；

則m—5=45，

則還需要更新設備費用為10x50+20x45—70=1330（萬元）；

23.如圖，是VA3C的外接圓，點。在上，4c的角平分線交于點。，連接2，CD,

過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.

（1）求證：尸。是。。切線；

（2）求證：AABDs^DCP；

（3）若AB=6,AC=8,求點。到的距離.

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）點。到的距離為，2

2

【解析】

【分析】（1）連接0。，證明OD±BC,則即可得證;

(2)由5C〃r>P,?ACB?ADB,可得ZP=ZADS，根據(jù)四邊形ABDC為圓內接四邊形，又

ZDCP+ZACD=180°,可得NABD=NDCP,即可證明△AB￡>s；

(3)過點。作OELAO于點E,由△ABDSADCP,根據(jù)相似三角形的性質可求得CR,證明

ABAD^^DAP,繼而求得AD,ED,在RtVOED中，利用勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接。，

：4。平分/54。，

：.BAD=ZDAC,

：.BD=DC.

又YBC為直徑，

為3C中點，

ODLBC.

VBC//DP,

：.ODLDP.

又為半徑，

???P。是的切線；

【小問2詳解】

證明：

ZACB=NP.

；?ACB?ADB,

/.ZP=ZADB.

,/四邊形ABAC為圓內接四邊形，

：.ZABD+ZACD=180°.

又ZDCP+ZACD=180°,

ZABD=ZDCP,

AAB￡>sAr)CP.

【小問3詳解】

過點。作OELAO于點E,

為直徑,

440=90°.

?：AB=6,AC=8,

BC=^AB1+AC1=10-

又：BD=DC,

BDr+DC2=2BD2=BC2，

BD=DC=5A/2.

由(2)知

.AB_BD

，,~DC~7jp，

「八BDDC5025

Cr=----------=—=—,

AB63

2549

/.AP=AC+CP=8+—=—.

33

又：ZADB=NACB=NP,ZBAD=ZDAP，

ABADS&DAP,

.ABAD

'*AD-AP'

???AD2=ABAP=98>

???AD=70.

OE±AD,

：.ED=-AD=^^.

22

在RtVOED中，OEZOD?—ED?=小25號=冬

.?.點。到A。的距離為也.

2

【點睛】本題考查了切線的性質與判定，圓內接四邊形對角互補，相似三角形的性質與判定，勾股定理,

掌握以上知識是解題的關鍵.

24.問題情境：

如圖1,四邊形ABCD是菱形，過點A作于點E，過點C作CE，AO于點E.

（1）判斷四邊形AECE的形狀，并說明理由；

深入探究：

（2）將圖1中的AAB石繞點A逆時針旋轉，得到△AHG,點E，8的對應點分別為點G,H.如圖2,

當線段AH經(jīng)過點C時，GH所在直線分別與線段AD,CD交于點〃，N.猜想線段與的數(shù)

量關系，并說明理由.

【答案】（1）四邊形AECF為矩形；理由見解析

（2）CH=MD；理由見解析

【解析】

【分析】（1）由AEL3C,CF1AD,得NAEC=90。，ZAFC=9Q°,再根據(jù)菱形的性質

AD//BC,則NAFC+NECF=180。，ZECF=180°-ZAFC=90°,從而證明

ZAEC=NECF=ZAFC=90°即可；

（2）由四邊形ABCD為菱形，則A3=A￡>,ZB二ZD，再由旋轉性質可知AB=AH,

/B=/H，證明△"4"gAZMC（ASA）,最后根據(jù)全等三角形的性質和線段和差即可求解.

【詳解】解：（1）四邊形AEC/為矩形，理由如下：

VAE±BC,CF±AD,

：.ZAEC=9Q°,ZAFC=90°,

?.?四邊形ABCD為菱形，

：.AD//BC,

：.ZAFC+ZECF=180°,ZECF=180?！猌AFC=90°,

ZAEC=ZECF=ZAFC=90°,

...四邊形AECE為矩形;

(2)CH=MD,理由如下:

:四邊形A3CD為菱形，

AAB=AD,ZB=ZD，

,/AABE旋轉得到&M1G,

；?AB=AH，NB=NH，

AH=AD，ZH=AD,

在△"4"和△ZMC中，

ZHAM=ZDAC

AH=AD,

NH=ND

：.AHAM^DAC(ASA),

AM=AC,

：.AH-AC=AD-AM,

:.CH=MD.

【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，旋轉的性質，等三角形的判定與性質，熟練掌握知識點的

應用是解題的關鍵.

25.已知拋物線y=2x+c與x軸交于4-1,0),3(仇0)兩點，且A在B的左邊，與y軸交于點C.

(1)求c的值；

(2)若點尸在拋物線上，且NP54=NACO,求點P的坐標；

(3)拋物線的對稱軸與無軸交于。點，點。為x軸下方的拋物線上任意一點，直線AQ,8。與拋物線的

對稱軸分別交于E,F兩點，求,+工的取值范圍.

DEDF

【答案】⑴c=-3

2

(2)點p的坐標為或

3

111

(3)----1----2-

DEDF2

【解析】

【分析】(1)將點4T,0)代入翌=r_2?中，即可求解;

(2)根據(jù)(1)可得拋物線解析式為丁=公-2x-3,求出3(3,0),分為①當尸在》軸上方拋物線上時，如

圖1,證明VAOCAGOB(ASA),即可求出點G的坐標為(0,1).

在求出BG的解析式，聯(lián)立即可得出點尸的坐標；②如圖2,當尸在x軸下方拋物線上時，根據(jù)對稱性得出

BG的解所式為y=1,聯(lián)立即可求出點P