河北省保定市某中學(xué)2025屆高三年級(jí)下冊(cè)質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

河北省保定市定州中學(xué)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)檢

數(shù)皿「學(xué)，、憶試\_rx卷、/▲

一、單選題：本大題共8小題，共40分。

1.設(shè)集合4={123,4,6,8},B={x\2xeA},則Q(4nB)=()

A.{6}B.{6,8}C.{4,6,8}D.{3,4,6,8}

2.若z=2+i,則^^=()

z

A.-4+2iB.1C.4+2iD.4-2i

4.在正四棱臺(tái)力BCD-A/iGDi中，已知AB=該正四棱臺(tái)的體積為168,貝！=（）

A.3B.4C.5D.6

2

5.設(shè)函數(shù)f（久）=log3Cx-ax+3）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝b的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

6.現(xiàn)安排甲、乙、丙三位同學(xué)在星期一到星期六值日，每人兩天，且都不連續(xù)值日的不同方法種數(shù)為（）

A.6B.15C.20D.30

7.已知雙曲線C：盤—。=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為F，其中一條漸近線上存在一點(diǎn)P,使得另一條漸近

線垂直平分線段PF,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.<2C.0D.4

8.若函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在%,久2（久1不上），使得八a?⑶）=1成立,則稱〃久）為“完整函數(shù)”,已知

/（久）=圣皿（3￡一勺一如5（3久+知（3>0）是摟期上的“完整函數(shù)”,則3的取值范圍為（）

A.售可喑,4)B.降山降+8)

D.仁,3]U[4,+8)

二、多選題：本大題共3小題，共18分。

9.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個(gè)工業(yè)園區(qū)內(nèi)的小型民營企業(yè)年收入情況，并將所得數(shù)據(jù)按［200,300),［300,400),“

［700,800］分成六組，畫出了樣本頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是()

A.該工業(yè)園區(qū)內(nèi)年收入落在區(qū)間［400,700)內(nèi)的小型民營企業(yè)的頻率為0.55

B.樣本中年收入不低于500萬元的小型民營企業(yè)的個(gè)數(shù)比年收入低于500萬元的個(gè)數(shù)少

C.規(guī)定年收入在400萬元以內(nèi)(不含400萬元)的民營企業(yè)才能享受減免稅政策，則該工業(yè)園區(qū)有70%的小型

民營企業(yè)能享受到減免稅政策

D.估計(jì)樣本中小型民營企業(yè)年收入的中位數(shù)等于平均數(shù)

10.已知函數(shù)/(久)=(x—a)2(久一2),且x=1是/(久)的一個(gè)極值點(diǎn)，下列說法正確的是()

A.實(shí)數(shù)a的值為1或-1

B.f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

C.若x=1是/(%)的一個(gè)極小值點(diǎn)，則當(dāng)x>1時(shí)，/(2x+1)>/(%+2)

D.若久=1是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則當(dāng)0<x<l時(shí)，/(2x-1)>f(%2-1)

11.如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個(gè)全等且平行的

正六邊形ABCDEF,它們的中心分別為仇，0,側(cè)面由12個(gè)全等的以正六邊形的邊為底的

等腰三角形組成.若該“正六角反棱柱”的各棱長都為2,則下列命題正確的是()

B

A.異面直線014與。4所成的角為￡

B.A1B1上平面。1。4

C.該多面體外接球的表面積為（4質(zhì)+12）兀

D.直線ZB1與下底面所成角的正弦值為J6-1

三、填空題：本大題共3小題，共15分。

12.已知向量可方滿足同=2,|a+2b|=\a-b\,則|方+同=.

13.已知拋物線C：*=4%的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)F的直線咬拋物線C于4B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)P,PB=

2BF,則直線/的斜率為,\FP\=.

14.在13ABe中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知b+c=tan?（6tan8+ctanC）,b—y/~3,A=

4C,則&=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.已知函數(shù)/（久）=（%—a）2ex.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求“切的圖象在點(diǎn)（14（1））處的切線方程；

（2）討論/（久）的單調(diào)性，并求當(dāng)八久）的極大值等于4時(shí)，實(shí)數(shù)a的值.

16.一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下表格：

傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車合計(jì)

女性居民150250400

男性居民350250600

合計(jì)5005001000

（1）依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異；

（2）從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再從中抽取4人進(jìn)行座談，求

在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率；

（3）從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，再從中

隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式：f-（a+b）（L）（j）（b+d），其中幾-a+6+c+d

參考數(shù)據(jù)：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

17.如圖，在四棱錐P-48CD中，底面4BCD是平行四邊形，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上.

(1)證明：PB〃平面ACE.

(2)若P2，平面ABC。，PA=AB=3,BC=5,AC=4,平面B4D與平面P4C夾角的余弦值為膏，求保

的值.

18.已知橢圓C：盤+，=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,焦距為2C,圓(x+c>+/=叱與

橢圓C相交于4，B兩點(diǎn)，乙4&B=120。，AaFiB的面積為YW.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)的動(dòng)直線]與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,以線段PQ為直徑作圓。，點(diǎn)MQo,O)始終在圓。內(nèi)(包括

圓周)，求%0的取值范圍.

19.若｛5｝是遞增數(shù)列，數(shù)列｛即｝滿足對(duì)任意的neN*,存在mez*,使得2一％w0,則稱｛%J是｛%｝的

am-cn+l

“分割數(shù)列”.

(1)設(shè)5=4九一1,an=2n-l,證明：數(shù)列｛an｝是數(shù)列｛%｝的“分割數(shù)列”.

(2)設(shè)”=幾—2,S"是數(shù)列｛4｝的前兀項(xiàng)和,dn=c2n_r,判斷數(shù)列｛S“｝是否是數(shù)列｛%｝的“分割數(shù)列”，

并說明理由.

(3)設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為a,公比為q的遞增等比數(shù)列，7；是｛%｝的前幾項(xiàng)和，若數(shù)歹(]｛〃｝是｛4｝的“分割數(shù)列”，

求實(shí)數(shù)a與q的取值范圍.

參考答案

1.B

2.0

3.2

4.C

5.C

6.D

7.4

8.F

9.BD

10.ACD

U.BCD

12.2

13.+V-3；4

14.3

15.(1)因?yàn)閍=0,所以/(久)=久2〃，f'(x)=(2x+x2)ex,

所以尸(l)=3e,又f(l)=e,

所以所求切線的方程為y-e=3e(x-1),即3ex-y-2e=0.

(2)/(x)的定義域?yàn)镽,

f'(x)—[2(x—a)+(x—a)2]ex=(x—a)(x—a+2)ex,

當(dāng)/''(x)=0時(shí)，x=a-2或久=a.

由((久)>0,得x<a—2或x>a,由/(久)<0,得a—2<x<a,

則/(久)在(-co,a-2)和(a,+8)上單調(diào)遞增，在(a-2,a)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=a-2時(shí)，/(%)取得極大值.

由/'(a-2)=4ea-2=4,解得a=2.

16.(1)零假設(shè)為/：對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向不存在性別差異;

1000(150x250-350x250)2

易知/2=x41.667>10.828=%,

400x600x500x5000001

所以依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷假設(shè)不成立,

即認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001；

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人中3人為女性，7人為男性;

再從中抽取4人進(jìn)行座談，共有Cf°種，

其中有女性居民參加座談的情況共有Cf°-第種；

恰有2名男性居民參加座談的情況共有廢廢種；

因此在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率為

c海

P=do_C港=63=9

一￡1OZ￡7_10-6_175_25'

c10

(3)從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，

采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，可知抽取結(jié)果如下表：

傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車

男性居民75

再從中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為X,

X的所有可能取值為0,1,2,3；

所以P(X=O)=,=看,P(X=1)=管=能

P(X=2)=P(X=3)=昌

X的分布列如下:

X0123

72171

P

44442222

數(shù)學(xué)期望E(X)=ox/+l+2x6+3

17.(1)法一：如圖，連接BD,設(shè)BDnaC=G,連接GE.

P

BC

因?yàn)樗倪呅?8CD是平行四邊形,所以G為BD的中點(diǎn),

因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以由中位線定理得GE〃P8,

因?yàn)镚Eu平面ACE,PB，平面2CE,

所以P8〃平面ACE.

法二：因?yàn)锳B=3,BC=5,AC=4,^^AB2+AC2=BC2,

購481AC.又24_L平面48m所以4B,AC,AP兩兩垂直.

以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,9的方向分別為久，y,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由P4=AB=3,BC=5,AC=4,可知4(0,0,0),C(0,4,0),

8(3,0,0),P(0,0,3),D(-3,4,0),￡(-|,2,|),

貝U前=(0,4,0),荏=(—1,2,|),而=(3,0,—3).

設(shè)N=(Xi，yi，z1)是平面ACE的法向量，

則仁”一U,得3

(a-AE0,(一2久1+2%+產(chǎn)1=0,

取/=1,可得五=(1,0,1).因?yàn)槲?而=3—3=0,

所以N_L而，貝l|PB〃平面4CE.

(2)因?yàn)锳B=3,BC=5,AC=4,

+AC2=BC2,貝IMBIAC.

又PA_L平面ABC。，所以48,AC,2P兩兩垂直.

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,正的方向分別為％,y,z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

Zi

由PA=48=3,BC=5,AC=4,

可知4(0,0,0),5(3,0,0),P(0,0,3),￡>(-3,4,0).

設(shè)兩=4而(0<2<1),

則刀=AP+PF=(3尢0,3-34),AD=(-3,4,0).

設(shè)元=(x,y,z)是平面R4D的法向量，

由廣?AD=0,得廠3x+4y=0,

\ji-AF=0,132%+(3-3A)z=0,

取K=4,可得元=(4,3,昌).

取平面P4C的一個(gè)法向量為訪=(1,0,0).

設(shè)平面凡4D與平面P4C的夾角為氏

\n-m\44/29

則COS。=

同地Ijl6+9+(若『29

解得"以所以修=J.

51D乙

18.(1)方法一：因?yàn)橐?68=120°,所以4力&/2=60°,

i4廠廠14c2+4c2—(2a—2c)2c2—a2+2ac

則mtCOS"*?=2=—K—=2c2,

解得Q=2c.

因?yàn)锳AFiB的面積為^X4c2x?=，Z,所以c=l,a=2,b

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為q+*=1;

方法二：因?yàn)閨&川=I&F2I=2c,N/I&F2=詈=60°,

所以回40尸2是正三角形，l^il=\AF2\,

所以點(diǎn)4在線段6尸2的中垂線上，則48是橢圓c的短軸端點(diǎn).

因?yàn)锳AFiB的面積為^X4c2x^=，百，所以c=l,

在RtEIAOFi中，易知a=2c=2,b=

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為半+,=1；

（2）方法一：設(shè)點(diǎn)P（%i，yi）,<2（如、2）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，1的方程為％=1,代入橢圓方程得曠=±|，

15

求

易<<

-2---2-

y=k(x—1)

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y=々(％-1),則%2y2_

(了+可=1

消去y得(3+4k2)/—8k2x+4fc2-12=0,4>0,

因?yàn)辄c(diǎn)M在圓。內(nèi)(包括圓周)，所以而?雨40,

所以(%0-%l)(%o-%2)+y，2工0,

所以(%0-%1)(%0-％2)+所(%\-1)(%2-1)<0,

22

所以(k2+l)x1x2—(%0+fc)(x1+x2)+XQ+k<0,

222

所以(必+l)(4fc—12)—8fc(x0+fc)+(%o+1)(3+4k2)<0,

BP(4%o—8%Q—5)1+3XQ—1240怛成立,

所以像UW解得十…

綜上，X。的取值范圍為昌,2〕.

方法二：

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，圓D以橢圓C的長軸為直徑，所以-2<%0<2.

當(dāng)直線1的斜率不存在，或斜率不為0時(shí)，設(shè)1的方程為久=my+1,

且P（%i，yi）,Q（x2,y2）-

x=my+1

聯(lián)立%2y2消去工得（3血2+4）y2+6my-9=0,

------=1

（43

所以%+%=一缶器’yiy2=一洋?

因?yàn)辄c(diǎn)”（久0,0）在圓。內(nèi)（包括圓周），所以而?破W0,

所以（久1-x0）（x2-%0）+y，2wo,

所以（myi+1-x0Xmy2+1-x0）+YiV?W。，

2

所以（巾2+I）yiy2+m（l-X0）（為+y2）+（1-XO）<0,

12）m2+4%o—8%Q—5

所以?<0,

37n2+4

2

即（3詔—12）m+4XQ—8x0—5<0恒成立,

所以[:可—解得一

[4%Q-8比0-5<02

19.(1)證明：因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，｛即｝滿足對(duì)任意的neN*,

存在meN*,使得“二一Swo,所以CnWam<%+「

am-cn+l

又c九=4n-1,an=2n—1,所以4九—1<2m—1<4n+3,

解得2幾<m<2n+2,取m=2n+1,滿足“分割數(shù)列”的定義，

所以｛&J是｛%｝的“分割數(shù)列”.

(2)因?yàn)?=九一2,所以%=",=c2n-i=2n-3.

假設(shè)｛SJ是｛勰｝的“分割數(shù)列"，則暇<Sm<dn+1,

即2幾一3<3)<2n一1,整理得4TI—6<m(m-3)<4n—2.

當(dāng)?i=3時(shí)，6<m(m-3)<10,

所以—3)>0,則m>3,易知/(zn)=m(m—3)在(3,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(4)=4,f(5)=10,所以滿足條件64血(根—3)<10的血不存在,

故｛SJ不是｛勰｝的“分割數(shù)列”.

(3)因?yàn)椋?aqnr單調(diào)遞增，所以於