函數(shù)極值與最值-原卷版-2023屆二輪復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與解析幾何》必掌握問題

第2講函數(shù)極值與最值

典型例題

[例1]設(shè)函數(shù)/（尤）=[4尤2一（30+1）無(wú)+34+2]6\若/（%）在*=1處取得極

小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.已知函數(shù)/（x）=e，（加+x+l）,若函數(shù)〃力的極

大值大于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例2】已知函數(shù)/（尤）=寸（辦2+%+1）,若函數(shù)〃無(wú)）的極大值大于1,求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

［例3］已知函數(shù)/(x)=(2ox2+4x)lnx—ox2-4x(a￡R,且。。0),若函數(shù)

f(x)的極小值為，求實(shí)數(shù)。的值.

［例4］已矢口函數(shù)/(%)=%-sinxcosx.

⑴求證:當(dāng)xe0,f時(shí)，/(%)..0.

x

⑵設(shè)g(%)=xe0,勺，試判斷函數(shù)g(x)的極值情況.

tanx112JJ

【例5】已知函數(shù)7?(x)=hu，-1.

X

⑴求“X)的單調(diào)區(qū)間.

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=常，求證:當(dāng)-1<a<0時(shí)，g(%)在(1,+。)上存在極小

值.

【例6】已知函數(shù)/(九)=e"—九之一九.

⑴若g(x)=e*—2x—l,求函數(shù)g(x)的最小值.

⑵判斷函數(shù)〃尤)的極值個(gè)數(shù).

【例7】已知函數(shù)/(力=則-x,設(shè)b>l,求在區(qū)間:力上的最大值

Xu

和最小值.

【例8】已知函數(shù)/(x)=d-以+；,求函數(shù)〃x)在［0,1］上的最大值和最小

值.

【例9］已知函數(shù)人（耳=/1+2）-求函數(shù)從力在區(qū)間［-2,0］上的最大

值和最小值.

兀

【例10］已知函數(shù)〃x）=xsinx+2cosX+X,求導(dǎo)數(shù)/（九）在區(qū)間0,-上的

最大值和最小值.

【例11］已知函數(shù)/(x)=ax2+ax-xcc(a>1),求證：當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/(%)

存在唯一的極小值點(diǎn)/,且-g<x0<0.

【例12］已知函數(shù)〃x)=eX-alnMaeR),當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)“X)的極小

值.

【例13】已知函數(shù)7?(x)=gx3-3必+4國(guó)_1.求證：當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)既

有極大值又有極小值.

【例14］已知函數(shù)/(x)=gov3-g(a+l)x2+x+l(a..l),若/(無(wú))在R上無(wú)

極值點(diǎn)，求。的值.

3x2

【例15］設(shè)函數(shù)/(x)=jx~~+ax(aeR),/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)xt,x2,試

討論過兩點(diǎn)(%,/&)),(9,/(々))的直線能否過點(diǎn)(U)?若能，求。的值;若不能，

說(shuō)明理由.

【例16］已知函數(shù)/(%)=eX-a(lnr+l)(aeR),若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

上有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【例17】已知函數(shù)〃x)=(m+l)x+lnx(m￡R),若函數(shù)

g(x)=」x2+L-/(X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

2x

圍.

【例18］已知函數(shù)g(x)=；%2+mcosx,當(dāng)機(jī)＞1時(shí),求證：g(4)在(0,上存

在最小值.

【例19】對(duì)于函數(shù)〃%)，若存在實(shí)數(shù)x。滿足〃尤0)=%，則稱/為函數(shù)〃尤)

的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)/(同=大3+々^+陵+3,其中a/eR.若/(%)有兩個(gè)相

異的極值點(diǎn)玉,々，則是否存在。力，使得和々均為/(%)的不動(dòng)點(diǎn)？證明你的結(jié)

論.

【例20】已知函數(shù)〃x)=e，-；x2.設(shè)/為曲線廣〃可在點(diǎn)p(xo"(x。))處

的切線，其中

(1)求直線/的方程(用/表示).

(2)設(shè)。為原點(diǎn),直線%=1分別與直線/和不軸交于A,5兩點(diǎn),求△AOB的面

積的最小值.

【例21］設(shè)函數(shù)=一8%2+20x+c.若/(x)的兩個(gè)極值異號(hào),求證:

/(x)的兩個(gè)較小的零點(diǎn)七,%滿足4＜為+巧＜§.

【例22］已知函數(shù)/(x)=(x+a)lm:,當(dāng)a＞0時(shí),若〃無(wú))有極小值,求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

【例23】已知函數(shù)/(尤)=尤-1+工(aeR),當(dāng)a=1時(shí),若直線