多元最值問題（解析版）-2025年高考數學專項必刷題

底泮■

第27講多元最值問題1r

拿知識梳理

解決多元函數的最值問題不僅涉及到函數、導數、均值不等式等知識，還涉及到消元法、三角

代雌、齊次式等解題技能.

整必考題型全歸納

1題型一:消元法

I麗I(2024?全國?高三專題練習)已知正實數2，v滿足Ins=ye"+Iny,則y-e-x的最大值

為.

【答案】當AT?

e

In正

【解析】由Ina?=yex+Iny得In—=yex，所以—In—=xex，則xex=In—?ey,

yyyy

一，In絲T

因為力>0,e*>0,e">0,所以In包>0,

y

令/3)=/e，Q>0)5則f(力)=ex(x+1)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調遞增,

所以由/e°=111彳"e"，即/(力)=,得6=hr^，所以V=當，

匚、)c――①_xx—1

所2以1g—e=------1=一丁，

eee

令g(c)=，^(*>°)'則g'㈤=

令g'[x}>0,得0Va;V2;令g'[x}V0,得力>2,

所以g⑸在(0,2)上單調遞增，在(2,+8)上單調遞減，

所以g3)max=g(2)=3，即"一e一”的最大值為

ee

故答案為：

e

阿|(2024?廣東梅州?高三五華縣水寨中學?？茧A段練習)已知實數利,也滿足：m-em=(n-

l)ln(/i—l)=t(t>0),則的最大值為

m\n—1)

【答案力

e

【解析】由已知得，m>0,n—1>0,ln(n—1)>0,

令/(6)=%6%宓>。)，則/'(比)=Q+l)e”>0,

???/(/)在(0,+oo)上單調遞增，

又因為zn?曖=(?1—l)ln(n—1),

所以/(館)=/(ln(?i-l)),

/.m=ln(n—1),

m(n—1)=(n—1),ln(n—1)=t,

.Ini_In力

??m(n—1)t，

令g(t)=半G>o),

第664頁共3427頁

所以)⑴=,

則當力e(O,e)時，g'(t}>0,gU)單調遞增;當力€(e,+00)時,g，(t)<0,g(t)單調遞減;

所以g(t)max=g(e)=:.

故答案為：—.

e

1^1（2024?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習）對任給實數2>“>0,不等式2才4

cx（y—x）恒成立,則實數c的最大值為.

【答案】22-4

【解析】因為對任給實數力>g>0,不等式力2—2才—/）恒成立，

292（―T-2

所以c4一=二^，

xy—xxxY

~y~\y）

令二=力>1,則C&之二/=/（±），

yt-t2

_）一41+2_-2+（t—2—2）

八）一（t-t2）2-必海‘

當±>2+0時，1⑴>0,函數/U）單調遞增；當1〈t〈2+方時，r（t）<0,函數兒）

單調遞減，

所以當t=2+卷時，y（t）取得最小值,/（2+72）=272-4,

所以實數c的最大值為22-4

故答案為：22一4

2題型二:判別式法

IFtiTO（2024?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學?？计谥校┤袅ⅲR,4/+婿+=1,則當c=

時，2+V取得最大值,該最大值為.

【答案】喏/《回邛里展A

30301515

【解析】令力+夕=3則g=力-力，

貝I4/+y2-\-xy=4a?2+(t—xf+x(t—x)=4/—梃+r=1,

即4/一切+/—1=0,

由△=?一16（廿一1）>0,解得：一號畀《力《號畀,

故2+g4,

13

故懈得"甯7V15

y=^0~

所以當且僅當re=,y—7"^^時，等號成立,

故答案為：嚅,嚕

（2024?全國?高三競賽）在△ABC中，2cosA+3cosB=6cosC,則cosC的最大值為

第665頁共3427頁

［答案］上"二1

0

o

【解析】令cosA=x,cosB=y,cosC=z,則2N+3g=6z,即g=2z—^-x.

o

因為COS2A+COS2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

所以x2+（2z—■1~3）2+Z2=i—2/（2z—

整理得（普一（4?2zk+—1=0,

A=（4?--1-z）2-4（5Z2-1）（^―^）>0,

化簡得（Z+1）（Z—D（4Z2+與—5）>0,

于是4z?+當一號《0,得z4瑪二1,

所以cosC的最大值為嗎T.

0

故答案為：瑪二1.

O

@1（2024?高一課時練習）設非零實數a,b滿足a2+/=4,若函數9=學普存在最大值

M和最小值in,則M—m=.

【答案】2

【解析】化簡得到y(tǒng)x2—ax-1-y—b=0,根據△>0和Q?+/=4得到卜/,

解得答案.y—咒十）,則yx2—a6+g—b=0,則△=a2—4g（g—b）>0,

x+1

即4g2—4yb—a240,Q?+b?=4,故4/—4gb+/-4&°,

［29一（6+2）］［29—（6—2）］W0,即W三，即m=T，M=于，

M—m=2.

故答案為：2.

I旃I（2024?江蘇?高三專題練習）若正實數①V滿足（2xy-1）2=（5沙+2）（y—2）,則立+專

的最大值為.

【答案】竽—1

【解析】令/+表=t,（t>0）,則（2曲一=（2yt—2）2=（5y+2）（y—2）,即（4/—5）y2

+（8—8垃y+8=0,因此

△=（8—8力2-32⑷2-5）20n2廿+4t-740,解得:0<t<-1+,當t=-1+

竽時，

_4右-46A/2—8、八35—24V2、八陽山】弘乒4-/古名3V2

"一存有=E^>°"=京口因此/+藥的麻大值為M―11

故答案為：當2—1

1701（2024?全國高三專題練習）設a,bCR">0,若&?+彩2=4,且a+b的最大值是店,

貝UA-.

【答案】4

第666頁共3427頁

【解析】令a+b=d，由k，消去a得：（d—b）2+4/=4,即（4+1涉一2而+d2

la+/io=4

—4=0,

而bCR">0,則△=(2d)2—4(/l+l)(d2—4)>0,心Q4僅［1)

依題意2d'1，解得4=4.

故答案為：4

3題型三:基本不等式法

y

設立、沙、z是不全是0的實數.則三元函數/（0,g,z）=：+嚴2的最大值是

IFWx+y+2

【答案】夸

【解析】引入正參數1、//.

22

因為Ax+才>2Axy，〃為2+22>211yz，所以，

XyyZ

&"+擊才'&^Z?.

兩式相加得xy+yz<-^-x2+(白+5)才+

4-—=—+—=—，得1=彼，〃=-J—

22A22〃'"v'〃V2

iiixy+yz^-^-(T2+?/2+^2).

因此，/(c,y,z)=ft"亍的最大值為察.

X+。+z/

10501（2024?天津和平?高三耀華中學?？茧A段練習）若實數外沙滿足2/+2沙—才=1,則

x-2y

的最大值為

562—2xy+2y2

【答案】乎

【解析】由2/2+磔/—才=L得(2%—g)(e+y)=L

設2/一g=±,/+g=十，其中力W0.

貝Ux=■力+y--^7—1■力，從而x—2y=t—°5/—2xy+2寸=t2+A

OOlzOLOLt

“x1前缶-2y

記U=t—,^'J3----------7=F-u--,

t5/2—2/g+2gu2+2

不妨設u>0,則一<—,1=乎，

u+i2"

當且僅當u=2,即u=V2時取等號，即最大值為

u4

故答案為：

11051（2024?全國?高三專題練習）已知正數a,b,c,則譚筮7的最大值為

第667頁共3427頁

【答案】T

?2a2+b2+c23+我)+爭+c2)，與6+2居兒2密

彳(當且僅當V2a=^-b,乎b=c時取等號)，

???■小普2的最大值為平.

2a2+b2+c24

故答案為：?.

4題型四:輔助角公式法

1麗1(2024?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學考試)設角*萬均為銳角，則sina+sin0+cos(a+6)的

范圍是.

【答案】(1用

【解析】因為角a、B均為銳角，所以sina,cosa,sin6，cos￡的范圍均為(0,1),

所以sin(a+6)=sinacos^+costzsin^<sin(2+sin0,

所以sina+sinB+cos(a+6)>sin(a+6)+cos(a+6)=，5sin(a+6+g~)

因為OVaV與0V6V專受Va+6+.V竽,

所以，^sin(a+6+孑)>A/2X=1，

sina+sin^+cos(a+6)=sina+sin^+cosacos^—sinasin0

二(1—sin6)sina+cosacos0+sin^<J(1—sin.丫+cos%+sin/?

=^/2(1—sin^)+sin§,

當且僅當(1—sin￡)cosa=sinacos6時取等，

令Jl—sin￡=t>t￡(0,1),sin^二1一廿，

所以=J2(l—sin6)+siriyS=V2t+1—t2=—(t—54

則sina+sin#+cos(a+0)的范圍是：

故答案為：(1用

y=cos(a+6)+cosa—cos§—1的取值范圍是.

【答案】[一4,即

【角星析】y—cosacosB—sinasinB+cosa—cos0—1

=(cos/?+l)cosdf—(sin6)sina—(cos0+1)

=[(cos'+1)2+sin/sin(a+p)—(cos0+1)

=j2+2cos0sin(a+p)—(cos0+1)

因為sin(df+(p)E[—1,1],

所以—〃2+2cos6—(cos6+1)&g&J2+2cos0—(cos0+1),

令力=Jl+cos0，貝he[0,V2],

則一y/21—產&y&t一右,2

第668頁共3427頁

所以?/>—A/2^—F=—卜+^^~)+-i->—4,(當且僅當t=V2即cosjfi=1時取等)；

且公歷一/=一卜一（當且僅當土=￥

即COS0=—時取等）.

故g的取值范圍為[—4,^-].

5題型五:柯西不等式法

IMI（2024?廣西欽州?高二統(tǒng)考期末）已知實數出，dGR,（i=1,2…，口），且滿足瑞+Q；+…

+漏=1,憂+1■熱=1,則電仇+電戾H1~。九勾最大值為（）

A.1B.2D.2Vn

【答案】A

【解析】根據柯西不等式，（Q：+Q；H---Ha，）（b；+b：H---Fb，）>（。也+。2b2T---HQ/J,故

。1仇+a/zH---FanbnW1,又當Q1二仇=。2=匕2=…=Q九=匕九二—1時等號成立，故電瓦

Vn

+Q2b2H--FQ/九最大值為1

故選：A

,1055（2024?陜西渭南?高二?？茧A段練習）已知立，夕，z是正實數，且立+9+z=5,則/+2才

+z2的最小值為.

【答案】10

【解析】由柯西不等式可得（/+2才+z2）[12+（T02+[2]>Q+y+z）2,

所以￡（d+2y2+z2）>25,即/+2/+Z2>10,

當且僅當,==半即a;=2y=z也即x=2,y=l,z=2時取得等號,

7T

故答案為：10

（2024?江蘇淮安?高二校聯考期中）己知"+才+z2=1,&+3b+0c=16,則（①一a）?

+（y—6）2+（z—c）2的最小值為.

【答案】9

［解析］???a+3b+=16WVl2+32+(V6)2Va2+b2+c2=Wa2+52+c2

/.Va2+b2+c2>4,當且僅當;=b_c時等號成立，即a=l,b=3,c=V6,

3V6

V(re—a)2+(7/—b)2+(z—c)2=1—2(力a+bg+cz)+a2+52+c2

222222

>l-27^+7WV?+bW+a+b+c=l-2V?+W7+a+b+C

=(Va2+fe2+c2—l)2>9,當且僅當—=—=—時等號成立，可取力=},g=［~,

力yz~L~L

故答案為：9

(2024?全國?高三競賽)已知x、y、zeR+，且s=Vx+2+Jg+5+Vz+10,t—+l

+y/y+1+Vz+1，則s?—廿的最小值為.

A.3V5B.4V10C.36D.45

【答案】C

【解析】由s+力=(Va；+2+Va^+1)+(，.+5+Jy+1)+(，z+10+〃z+1),

第669頁共3427頁

S-t=——7^=^='—|---—|-^^--------.

，/+1+，6+2Jg+1+Jg+5=，=z+1+，z+10

知s2—力2=(s+1)(s—t)>(1+2+3)2=36.

當A/N+1+，/+2=J(Jg+1+Jg+5)=-i-(Vz-\~\+，z+10)時,取得最小值36.

4O

故答案為C

E劉1(2024?全國?高三競賽)設a、b、c、d為實數，且a2+b?+c2—d?+4=。則3a+2b+c-

4同的最大值等于.

A.B.0C.-,\/2^D.—2A/2^

【答案】D

2222222222

【解析】由題意得口2+/+°2+22=],所以4d=(o+b+c+2)[3+2+1+(V2)]

>(3a+2b+c+22)2(利用柯西不等式).

從而，4|d|>|3a+2b+c+22|>3a+26+c+2^/2.

故3a+1b+c—41dlW—2-\/2.

當且僅當a—3V2,b—2A/2,c—V2,d=±4A/2時，等號成立.

6題型六:權方和不等式法

I嗝I(2024?甘肅?高三校聯考)已知，＞0,y＞0,且=1,則①+2y的最小值

為.

【答案】V3+

【解析】設6+2g=4(2%+g)+-+1)+力，

可解得4=■，力――1~，

從而①+2y=y(2T+g)+.(g+1)一

二房(2/+0)+告3+1)](與％+冊)一管＞6+總

當且僅當，=4+空,沙=尊時取等號.

/DO

故答案為：V3+

已知實數劣,g滿足力＞沙＞0且力+g=1,則會—■I—的最小值是______

x十Iy

3+22

【答案】

2

2]>(2+iy=3+20

【解析】

力+3gx—yi2x-\-2y2

當*_=」

時,x=V2—A/2取等號.

x-\-3yx—y

已知a＞l，91,貝iR+S的最小值是一

【答案】8

Q262、(a+4(t+2)24

【解析】a+b—2=1>0,+t+—+4>8.

b-1d—1Q+6—2t

第670頁共3427頁

(a+b—2=2

當\a_b時，即a=2,b=2,兩個等號同時成立.

Ib—1~a—1

則已知，，沙＞0,工+3②=1,則J否彳的最小值是______

6y

【答案］3四

3.2等、(1+2/

P

【解析】］=：+等=

-T+J_11

2(y2y(i+疔

1_2

即當＜時，即/=3,9=3，^,有y/x2+y2的最小值為3V3.

112A/2

加十y=1

7題型七:拉格朗日乘數法

1063力>0,0>o,g/+/+。=17,求力+20+3的最小值.

【解析】令F(n,gH)=力+2g+3—A(xy17)

F7=l—/lg—4=0,Fy=2—/kc—/t=0,F/=—(xy+T+?/)+17=0,

聯立解得力=5,g=2,/l=~1?，故力+2g+3最小為12.

o

設力，"為實數，若462+才+奴=1,則2/+g的最大值是

【答案】2^^

口5

【解析】令L=26+g+1(4/+#+陰一°,

(~L=2-\-8Ax—3Ay=Q

由卜x=1+2向-3&=0，解得(錯，

22

\LA=4x-\-y-\-xy-l=0b/=±-

所以22+g的最大值是2?+=邛0?

.LUOO

8題型八:三角換元法

1065(2024.山西晉中?高三祁縣中學?？茧A段練習)已知函數f(x)=—3d—3,+3一。—3。+3,

若/(3a2)+/(/—1)=6,則aVTW的最大值是

【答案】空

【解析】設g(力)=/(6)—3,所以g㈤=。-3力3—36+3一”一3二

所以g(—/)=—3(—x)3+3x+3”—3一“，，g(一,)+g(力)=0,

所以g(—/)=—g(力)，所以函數g(/)是奇函數,

由題得g\x)=-9/-3-3fhi3-3"ln3<0,

所以函數g(x)是減函數，

因為/(3a2)+/(&2—1)=6,

所以f(3d2)-3+/(/—1)—3=0,

所以g(3a?)+g(b?-1)=0,

所以gGa2)=g(l—b2),所以3a2=1—b2,3a?+/=],設0=^^-cos3,b=sin/

o

不妨設cos3>0,

第671頁共3427頁

【答案］—41+9

【解析】根據條件等式可設,=為祟，沙=siW-整，代人所求式子,利用二倍角公式

V7V7

和輔助角公式化簡，根據三角函數的性質可求出最值.：2/+g/+/=1,則弓_++

/g+，=1,即+(尹辦=1,

、幾41x/)x..mJ2cos夕.Z)cosJ

15L——=cos”,-77-vy—sintn/,貝」x——y—suit/------y=-

22V7V7

，吻+靖=(智丫+誓?

2+2(sin”+2(sin。一

4cos%2sin8cos夕

+2sin20

7

4/1+cos2夕—嚼^+1—cos26

7V2

14Q

sin2。—^-cos20+7

=@gsin(2J+p)+■，其中p是輔助角，且tan0=1^

當sin(26)+p)=—1時，原式取得最小值為一4申+9.

故答案為：—4q+9.

9題型九:構造齊次式

2工yxy

S.1067(2024?江蘇?高一專題練習)已知/>0,g>0,則~\—；的最大值是

x2+8y2"2/

【答案】日

O

3("

xy3dg+12g/3

【解析】由題意,H—:

x2+8y2x21+2才―/+10/2/+16"^-)2+16(^-)2+10

3(9+?)3隹+?)

\yx/\yx/

打和+2+學)+型:&

y十工

設±=匹+&,則t=二+&>2.正?3=4,當且僅當工=電■，即c=2“取等號,

yxyxy①y

第672頁共3427頁

又由。=力+子在[4,+oo)上單調遞增，

所以沙=力+~|~的最小值為-1-,,

+為32

所以------------------，

隹+&)+-^4-tA+fr=43

\yx)x.^yz

—I---

yX

2①yxy

所以-\—；的最大值是京

/+4娟x'"2娟o

故答案為：卷

o

1聽1（2024?河南?高三信陽高中校聯考階段練習）已知實數a,b>0,若a+2b=1,則與+

-ab的最小值為

A.12B.2V3C.6V3D.8

【答案】A

【解析】由華1H—,a+2b=l,a,b>0,

bab

2

■所■3a,13a.(a+2b)

以-----------------

babbab

-a2+4a6+4b2

36a+

-ab

36a+i+4+v

-4a+他+4>2、半書+4=8+4=12,

fea

叫

當4a=亞=。=6=2時，取等號,

~b~a3

所以半+1r的最小值為：12,

故選：A.

則|（2024?天津南開?高三統(tǒng)考期中）已知正實數a,6,c滿足—2帥+9/—c=0,則空的

最大值為___.

【答案】1/0.25

【解析】由"—2ab+9b2—c=0,得c—o?—2ab+9b2,

正實數Q,b,c

ab_ab]

ca?—2ab+9b?a.9b

則M+隨>2J登?史=6,

bavoa

當且僅當￡=—，且Q,b>0,即a=3b時,等號成立

ba

-^+―-2>4>0

ba

則——華+能k—_24

ba

第673頁共3427頁

所以，4立的最大值為q.

c4

故答案為：］.

1O題型十:數形結合法

（2024?全國?高三專題練習）函數/⑺=W+Q/+”（Q,bER）在區(qū)間［0,c］（c>0）上的

最大值為M,則當M取最小值2時，a+b+c=

【答案】2

【解析】解法一：因為函數沙=/+。/+》是二次函數，

所以/（%）=|/+a=+”（Q,bGR）在區(qū)間［0,c］（c>0）上的最大值是在［0,c］的端點取

到或者在x=—y處取得.

若在，=0取得，則6=±2;若在片―受取得，則6-彳=2;

若在X=C取得，則匕UQC+U=2；

進一步，若b=2,則頂點處的函數值不為2,應為0,符合題意；

若b=一2,則頂點處的函數值的絕對值大于2,不合題意；

由此推斷b=*，即有b=2,a+c=0,

于是有a+b+c=2.

解法二:設g（c）=x2,———ax—b,則f（6）=|g（力）—h{x）\.

首先作出g（/）=/在力G［0,c］時的圖象，顯然經過（0,0）和（c,c?）的直線為九I（N）=

cc,該曲線在［0,c］上單調遞增；

其次在g{x）=/圖象上找出一條和無式力）=ex平行的切線，

不妨設切點為（g,屆），于是求導得到數量關系2g=c.

2

結合點斜式知該切線方程為九2（力）—CX—

因此Mmin=K°—（―?））=2,即得c=4.此時h（x）—ex—導，

即h{x）=4/—2,那么a=—4,b=2.從而有a+b+c=2.

同^11（2024?江蘇揚州?高三階段練習）已知函數f（劣）=《'，若gW/2且/（劣1）=

（26+4e,力40

/（g），則E—溝的最大值為（）

A.2e——B.2e+1C.y/5eD.

e2

【答案】D

【解析】當名>0時，/（力）=cln力，

求導r（力）=hi?+1,令r（/）=o,得力=：

當,e（o,：）時，尸⑸<0,于⑸單調遞減；當①e［!,+8）時，r⑺>0,于⑶單調遞

增；

作分段函數圖象如下所示：

第674頁共3427頁

設點A的橫坐標為g,過點A作g軸的垂線交函數g=/（力）于另一點B,設點B的橫坐

標為x2，并過點B作直線g=20+4e的平行線I,設點A到直線2的距離為d,同一啊|二

逅d

由圖形可知，當直線Z與曲線g=/In力相切時，d取最大值，

令/（力）=In%+1=2,得力=e，切點坐標為（e,e）,

.17|2e—e+4e|r—

止匕時，d=------f=----=V5e,

V5

|a：i-a：2|max=^y-xV5e=ye,

故選：D

（2024?全國?高三專題練習）已知函數/（力）=＜'/c，若劣1且/（的）=/（力2），

I6+1,力a0

則|g—列的最大值為（）

A.2V2B.2C.V2D.1

【答案】B

【解析】設點A的橫坐標為力1，過點A作g軸的垂線交函數/（力）于另一點B,設點B

的橫坐標為力2,并過點B作直線沙=6+1的平行線/，設點A到直線/的距離為d,計算出

直線/的傾斜角為￡■，可得出|g—gl=，^d,于是當直線Z與曲線"=/lnN相切時，d取

最大值，從而同一力21取到最大值.當力＞0時，/（力）=xlnx,

求導/'（力）=ln/+L令/（力）=0,得啰=，

當°C（0，5）時，r（；c）＜0,/（；z;）單調遞減；當a;C[5,+8）時，/（"）＞。，/（田）單調遞

增；

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設點A的橫坐標為g,過點A作g軸的垂線交函數g=/Q）于另一點B,設點B的橫坐

標為g,并過點B作直線y=x-\-l的平行線2,設點A到直線I的距離為d,同一的|=

V2d,

由圖形可知，當直線2與曲線g=xlnx相切時，d取最大值，

令/'（力）=ln/+1=1,得/=L切點坐標為（1,0）,

此時，d——―7=~^~—V2,/.\x1—x2\max=V2xV2=2,

V2

故選：B.

酶|（2024?江蘇?高三專題練習）已知函數/―若存在實數如g滿足0

《61〈/242,且/（61）=/（力2），則62—劣1的最大值為（）

A.B.—1C.1—ln2D.2-ln4

【答案】B

【解析"）黑2的圖象如下

存在實數力1，x2滿足0〈電W2,且/(0)=/(62)，即/1=ln(262)

N2E(l，/］，貝U/2一%1=/2-1口(2/2)

令g(力)=x—ln(2a;),x￡(1,同,則g\x)=力J

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90）在（1，受］上單調遞增，故。（［max=。（'）=￡—1

故選：B

11題型十一:向量法

HI（2024?江蘇南通?高一海安高級中學?？茧A段練習）17世紀法國數學家費馬在給朋友的

一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題:在三角形所在平面內，求一點，使它到三角

形每個頂點的距離之和最小，現已證明:在AABC中,若三個內角均小于120°,則當點P

滿足ZAPB=ZAPC=ZBPC=120°時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P

被人們稱為費馬點.根據以上知識，己知日為平面內任意一個向量，才和不是平面內兩個

互相垂直的向量，且⑻=2,同=3,則他一幣+怎+而+原一哥的最小值是.

【答案】3+2V3

【解析】以b為力軸，A為g軸，建立直角坐標系如下圖，設日=（力,沙），

則b=(2,0),c=(0,3),|a—c|=V^2+(?/-3)2,\a-=J(%—24+靖,|[+引=

J(%+2)2+娟,

A|a-c|+|a-6|+|a+b|即為平面內一點(>,g)至)J(0,3),(2,0),(—2,0)三點的距離之

和，

由費馬點知：當點PO，g)與三頂點A(0,3),B(—2,0),C(2,0)構成的三角形ABC為費馬

點時|a—c|+|a—+|a+fe|最小，

將三角形ABC放在坐標系中如下圖：

現在先證明△ABC的三個內角均小于120°:

|AB|=|BC|=V22+32=A/i3,|BC|=4,cos/BAC=川；霜:,BC『=昔〉0,

|AB『+|BC|2—|AC『=1

cosZABC=cosZACB

2|AB|-|BC|-V13

.'.△ABC為銳角三角形，滿足產生費馬點的條件,又因為AABC是等腰三角形,

點P必定在底邊BC的對稱軸上，即y軸上，ZBPC=120°,/.ZPCB=30",

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|PO|=|OC|-tanZPCB=2x/=,即P（0,

oo\

現在驗證/BPA=120°:

舊P1=MW=*/AP|=3T，

cos/BPA=L匕*匚產=_1，,/6E4=120°,同理可證得/。？4=：120",

即此時點P（0,2紈）是費馬點，到三個頂點A,B,C的距離之和為|BP|+|CP|+|AP|

=2x*+3-=3+2V3,即+|"同+\a+b\的最小值為3+2V3;

故答案為：3+2

1標I（2024?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）已知平面向量落b,3滿足同=1,網=2,國2=4?比c

4）=0,則花—喬+尼—喬的最小值為.

【答案】[—述

【解析】令GX=落=求示=*OB中點為D,OD中點為F,E為AB的中點，

由|a|=1,\b\=2,\a\2=4?隹得1=1x2Xcos<a,b>,

貝IcosV匕1>=J,<由1>=60°即ZAOB=60°,所以AB=

VOA2+OB2-2OA-OBcosZAOB=a+廿—2x2x]x*=6所以AO2+AB2=

OB2,即ZOAB=90°,ZABO=30°,所以EF=VBF2+BE2-2BF-BEcosZABO=

2+22

7（T）（4）-XTX4X4二彳,因為才."導二°，所以云.

（比一言的）：。，即反?（53—5B）=o,所以氏?氏=0,

所以點C的軌跡為以OD為直徑的圓，

???2（|c-同2+尼―郡）=2（|CA|2+|CB|2）

=4|CE|2+|AB|2=4|CE|2+（V3）2

=4|CE|2+3^4（|EF|-y）2+3=7-2V3,

當且僅當C、E、F共線且C在線段EF之間時取等號.

|c-a\2+\c-b\2的最小值為.—V3.

故答案為：—V3^.

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B

甌|(2024?湖北武漢?高一湖北省武昌實驗中學校聯考期末)己知向量落葉滿足(a+6)-6=

o,=4,則忖+同+%的最大值為.

［答案］主尊

【解析】取平行四