第六章 平面向量及其應(yīng)用 章末綜合檢測(cè)-2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)

第六章平面向量及其應(yīng)用章末綜合檢測(cè)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有

一項(xiàng)符合題目要求）

1.（2025?漢中一模）已知向量m=（2,2）,〃=（2—九-4）,若加與〃共線且同向，則實(shí)

數(shù)/的值為（）

A.2B.4

C.-2D.-2或4

2.（2025?浙江模擬）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則就+2證+2?說(shuō)

=（）

A.屈B.Cb

C.2AhD.|cb

3.在△ABC中，已知a=l,c—y[3,2=不，則6等于（）

A.《B.2巾

C.3市D.7

4.（2025?龍崗區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)考）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)△A8C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（—1,

1）,8（2,3）,C（-6,5）,則短+緊=（）

A.(-3,2)B.(-1,3)

C.（-3,5）D.（-2,4）

5.如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔A2的高，先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底2的正東方向上,

測(cè)得點(diǎn)A的仰角60。，再由點(diǎn)C沿北偏東15。方向走10m到位置測(cè)得N3OC=45。，則塔

AB的高是（）

A.10m

C.10^3in

6.已知平面向量a,》的夾角為襲，且⑷=2,》=（-1,4），則a在方方向上的投影向

量為（）

孚1

瓦1

7

^

(-當(dāng)3

(--

D.2

7.（2025?青羊區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且△ABC

h

的面積SAABC=小，SAABC=4-（次+,一"），則就.發(fā)=（）

A.小B.一小

C.2D.-2

8.已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足舁=溫

+2（-+—）（2e（0,+oo））,則點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)△43。的（）

期||AC|

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分）

9.在菱形ABCO中，E是。C的中點(diǎn)，AC=2小,貝）

A.（A^+Ab）±Bb

B.Ab—Ak—^h

C.|射+油=2小

D.泰.加二9

10.（2025?碑林區(qū)校級(jí)期末）AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為AABC

的面積，且。=2,屈?證=2小S,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.A=]

B.若b=3,則△ABC有兩解

C.若△ABC為銳角三角形，則b取值范圍是（2小，4）

D.若。為8C邊上的中點(diǎn)，則的最大值為2+3

11.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜塞，并大斜幕，

減中斜塞，余半之，自乘,上：以小斜累乘大斜置,減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開(kāi)

平方得積可用公式S=\/%c2a2—（）+,-"）2]（其中如b、c、S為三角形的三邊和面積）

表示.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，若6=3,且1猶:丁=親,

則下列命題正確的是（）

A.△ABC面積的最大值是受

B.c—y[3a

C.b—^3c

D.△ABC面積的最大值是小

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上）

12.在直角梯形ABC。中，AB//CD,ADLAB,2=45。，AB=2CD=2,M為腰BC的

中點(diǎn)，則屈?砒=.

13.如圖，為測(cè)塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫槌鹩蒀向塔

前進(jìn)30米后到點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?a再由。向塔前進(jìn)1麗米后到點(diǎn)E,測(cè)得塔頂?shù)?/p>

仰角為4仇則。=,塔高為米.

A+C

14.已知△ABC為銳角三角形，〃，6,c是角A,B,。分別所對(duì)的邊，若“sin——=Z?sin

A,且。=2,則△A3C面積的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.（13分X2025?樟樹(shù)市）如圖，在△Q4B中，。是的中點(diǎn)，O是線段05上靠近點(diǎn)O

的三等分點(diǎn)，設(shè)況=mOh=b.

B

D

EC

0

A

⑴用向量。與占表示向量歷，cb-,

(2)若瓦=3比，求證：A,D,E三點(diǎn)共線.

16.(15分)如圖，已知。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),4(4,0),點(diǎn)B,C在第一象限，且滿足

求=3顯，次腦=就求=4.

⑴求B和C的坐標(biāo);

(2)若AC交OB于點(diǎn)D求cos/ODA.

17.(15分)(2025?銅川一模)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,a+b=

1且滿足.

⑴求角C；

(2)求邊c的最小值.

請(qǐng)從下列條件：①cos2c=l+3cos(A+2)；@S=(a2+&2—c2)；③小tanAtanB—tanA

—tan8=方中選一個(gè)條件補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問(wèn)題.

18.（17分）（2分5?沈陽(yáng)模擬）在△A5C中,角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c,且濟(jì)=

〃c+〃2.

⑴求證：B=2A；

（2）當(dāng)嗎乂取最小值時(shí)，求cosB的值.

19.（17分）某公園計(jì)劃在一塊四邊形區(qū)域ABCD鋪設(shè)草坪，其中AB=2百米，8c=1百米,

AD=CD,ADLCD,草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道。M,DN,EM,EN以及兩條排水溝AC,

BD,其中M,N,E分別為邊BC,AB,AC的中點(diǎn).

⑴若求排水溝BD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)/ABC變化時(shí)，求4條人行道總長(zhǎng)度的最大值.

第六章平面向量及其應(yīng)用章末綜合檢測(cè)參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有

一項(xiàng)符合題目要求）

2;

1.解析：C向量帆=（2,2）,n=（2~X,-4）,帆與〃共線且同向，且

2—40,解得實(shí)數(shù)%=一2,故選C.

2.解析：A:四邊形ABC。為平行四邊形，是AC,8D的中點(diǎn)，

.?.欣+跋=0,瀛+砒=0,B.,.屈+2遜+2證+說(shuō)=證+

誦=會(huì)+口勵(lì)制（6+所）=入正+成+函=*（屈+力t）=屈=虎.故選A.

乙乙乙乙乙

3.解析：A*/a=l,c=小,，，由余弦定理可得：62=/+，-2accos2=1+

3—2xlx/x(一9)=7,；.6=巾.故選A.

4.解析：B?.?平面直角坐標(biāo)系內(nèi)△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(—1,1),2(2,3),

C(—6,5),.*就+軀=%(3,2)+(-5,4)]=1(-2,6)=(—1,3).故選B.

5.解析：D在△BCD中，CD=10m,NBOC=45°,NBCZ)=15°+90°=105°,ZDBC

30。，由正弦定理，得sinNBDC=sin/DBC故爪=sin30。?=l()V2(m).在RtAABC中,

tan60°=前，故A8=8Cxtan60°=10V^(m).

6.解析：D因?yàn)?=（—1,?。?，所以向=#（-1）2+（?。=2,又向量a,b的

夾角為襲，且⑷=2,所以a力=|"Hb|cos襲=2x2x坐=24，所以a在?方向上的投影向量為等8

=冷￡（—1,?。?（一坐，|）,故選D.

22

7.解析：D〈△ABC的面積SAABC=小=]〃csin5,；?acsinB=25,SAABC=^~（O+C—

廬)，則坐(層+，一廬)=J〃csinB,tan8=和號(hào)=事,兀)，sin5=

~r，COSD3L

=4顯就=accos（?！狟）=—2.故選D.

8.解析：B譽(yù)■為油方向上的單位向量，會(huì)為府方向上的單位向量，則笠+會(huì)的方向

\AB\\AC\\AB\\AC\

為N8AC的平分線初的方向.又4G（0,+ao）,所以2（"+受）的方向與"+若的方向

\AB\\AC\\AB\\AC\

相同.而9=。4+〃一■+—），所以點(diǎn)P在初上移動(dòng)，所以點(diǎn)尸的軌跡一定通過(guò)△ABC

電||祀|

的內(nèi)心.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.解析：ABD對(duì)于A,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACJ_8D,防+?=加，所

以瀛+在)_L訪，所以A正確.對(duì)于B,因?yàn)镋是。C的中點(diǎn)，所以前=；反)=—3初，

所以?=衣+度)=屈一抽，所以B正確.對(duì)于C,因?yàn)橥?比=挺+3協(xié)斗2屣

+戲)，所以2盤(pán)'+屈=2麻，因?yàn)锳C=2小，所以|2輪+屈|=2|晶|=4小，所以C錯(cuò)誤.對(duì)

于D,如圖，過(guò)E作EF_LAC于R因?yàn)锳CJ_8。，所以E尸〃8。，因?yàn)镋是。C的中點(diǎn)，

所以尸為AC的四等分點(diǎn)，所以想正=|盤(pán)H花.cos/EAC=|凝H疝西=%花2=取12=9,

由

所以D正確.故選ABD.

10.解析：BCD因?yàn)榉?祀=2小S,所以6ccosA=2/s=2/x^bcsinA,tanA=^,

jrjr

又A￡(0,7i),所以A=x，A錯(cuò)誤；若b=3,且人=不，則加inAVaV/?,三角形有兩解，B

正確；若△ABC為銳角三角形，則A+B=T+B>^所以gvbV冬坐VsinBVl,

2o2522

?下=清不6=：：：/=4sinBGQ小,4),C正確；若￡>為8C邊上的中點(diǎn)，則?=口(屈+

SillDSill/ISill/I乙

At),xt)2=-^(Ah+At)2=~^c2+2/?ccosA+b2)=~^b2+c2+yf3bc),又a2=b2+c2—2/?ccosA=

222222

b+c—y[3bc=4,b+c=4+y[3bcf.\4=b+c—y[3bc>2bc—yl3bc=(2—yl3)bcf小

=4(2+4),當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，所以用三%(4+3兒)+小姐=1+坐腔7+4巾，

所以國(guó))區(qū)2+小，當(dāng)且僅當(dāng)人=c時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選BCD.

13coscosll

11.解析：AB由題意由.—~—c得sinC-小cosBsinC=d§sinBcosC,即

sinC=y/3(sinBcosC+cosBsinC)=y/3sin(B+C)f即sinC=y[3sinA,

2

結(jié)合正弦定理得：c=y[3af故B正確；由—(。+；——)],得S=；

/~?3〃2+〃2-91/~~4〃2-91I---------m----1

\3a4—(------5----)2=5\3a4—(-5—)2=Tv—4^4+72tz2—81=5

(〃—9)2+竽,當(dāng)/=9,即。=3時(shí)，△ABC面積取到最大值是3\厚=乎，故

A正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C,假設(shè)Z?=45c,由于。=3,c=y[3a,所以c=小,a=l,貝!Jc2/

，+〃2—/3+1—913、、一—zmv=如

-(——2——)=3x1—(--9-產(chǎn)=一不〈。，區(qū)與二角形面積s=

2a2—+彳—")2]有意義不相符,故C錯(cuò)誤.故選AB.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上)

12.解析：以A為原點(diǎn)，A8所在直線為無(wú)軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系(圖略)，則由題意得A(0,0),￡)(0,1),Af(1,y).所以屆=(一,,—M&=(—^),

所以扁碗=>；=2.

13.解析：由題意，得NCPD=NEDP—/DCP=2e—8=e,：.PD=CD^30,又/DPE

=/AEP—/EDP=40—20=20,：.PE=DE=10^3,在△POE中由余弦定理的推論得，

PD2~j~DE?—PE2302+(］即)2—(1即)2小7171

COS20=7,40=

29=_2PDDE-=2X30X1附=2，012

71

y

*.*sin4。=&，.\PA=PEsm40=10>/§乂坐=15.

A+CA~\-C

14.解析：由題設(shè)及正弦定理得sinAsin-—=sinBsinA,VsinA^O,.".sin——=sinB,

X*?*A+B+C=7i,sin-2-=$111(5-5)=855,.*.cos2'=sinB=2sin^cos2,,又?「cos/0,

siny=^,,又與￡(0,5),又c=2,；./XABC的面積S=)〃csin5=半〃，又由正弦

乙乙乙乙j乙乙

._—ac2sin(3。)小cosC+sinCA/3,A?_

定理,可信sinA=sinC**a=sinC=sinC-tanC^~f?△ABC為銳角

三角形，則ovj—C<3,則?！険襞c，?,.tanC￡（W，+00）,則父「￡（0,3）,故〃￡（1,

jzozJidnL

4）,坐正再,2小），因此△ABC面積的取值范圍為（坐，25）.故答案為（坐，2?。?

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

15.解：（l）AABC中，C是A8的中點(diǎn)，O\=a,O^=b,所以虎=；（次+曲=；（“+

b）,又因?yàn)?。?5上靠近點(diǎn)O的三等分點(diǎn)，所以仍=況）一OC=p—1S+a）=一呼一律.

（2）證明：因?yàn)樵?加一/=g》一a,Ak=ok—ok=^x^（a+b）—a=—^a+^b=^（—a

+$>）=1/彷，所以屈與勸共線，又因?yàn)橐膳c而有公共點(diǎn)A,所以A,D,E三點(diǎn)共線.

16.解:⑴設(shè)B(mb),則就=3—4,b),虎=3屈=(3a—12,3b),即C(3a~12,3b),

次=(4,0),次?協(xié)=4°-16+0乃=4,解得a=5,故2(5,b),C(3,3b),則協(xié)=(1,

b),就=(—2,2b),屈?病=-2+2/=4,由b>0,解得b=小,可得8(5,小)，C(3,3小).

(2)由虎=3施，AB//OC,黑=：，易知△ABOs^c。。，可得郎=照=黑=；,

則用=|彷，由3(5,小),可得￡)(竽，^4^)>仍=(一學(xué)，—^^)，速=(：，—^^)，

f-15,271231225,276A/73A/7/1,272^75

虎同1

cosNODA.—=不

\Db\-\Dk\

17.解：(1)選①，由cos2c=l+3cos(A+8)得2cos2C+3cosc—2=0,解得cosC=〃或

jr

cosc=-2(舍去)，因?yàn)閏e(o,兀)，所以C=M

選②，由余弦定理得2abeosC=a2+b2—c2,則S=^2abcosC=~^-abcosC,所以坐"cos

C=^/?sinC,所以tanC=45,因?yàn)??！?0,兀)，所以C=?

選③，由StanAtanB—tanA-tanB=小得木(tanAtanB—l)=tanA+tanB,

所以tan(A+8)=一4，所以tanC=，§,因?yàn)?。?0,聯(lián)所以C=?

(2)由余弦定理得c2=a2+b2—2abcosC=a2+b2—ab=(a+b)2—3ab=l—3ab,

又1=〃+厄^/茄冬=1一3〃尾;，所以是%號(hào)，所以c的最小值為今

18.解：(1)證明：由余弦定理知b2=a2+c2—2accosB,因?yàn)閎2=a2+ac,所以c^+ac

=a2+c2—2ac-cosB,化簡(jiǎn)得a=c-2acosB,所以sinA=sinC—2sinAcosB,因?yàn)锳+B+C

=兀，所以sinA=sin(A+B)—2sinAcosB,所以sinA=sinAcosB+cosAsinB—2sinAcosB=

cosAsinB—sinAcosB,所以sinA=sin(5—A),因?yàn)锳￡(0,兀)，5—4￡(一兀，聯(lián)所以A=

5—A或A+(5—A)=7i(舍)，所以B=2A.

___^口=八3c+7a3ac+la23(〃一次)+7次/4a八/44小、“口『，

(2)由題知，~^=~^=-----荻-------=?7+3^2\3=3>當(dāng)且僅當(dāng)b=

^^4時(shí)取