微專題4　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值 高三數(shù)學(xué)

板塊一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、

極值、最值高考定位利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是重點(diǎn)考查內(nèi)容，多以選擇、填空題壓軸考查，或以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題.【

真題體驗(yàn)

】1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為 A.e2

B.e C.e－1

D.e－2√√√√√f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0，2π]，則f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0，2π].4.(多選)(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2·(x－4)，則A.x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(x2)C.當(dāng)1<x<2時(shí)，－4<f(2x－1)<0 D.當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(2－x)>f(x)√因?yàn)閒(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)1<x<3時(shí)，f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)，故x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以A正確；

√√當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以f(x2)<f(x)，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)1<x<2時(shí)，1<2x－1<3，函數(shù)f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減，所以－4＝f(3)<f(2x－1)<f(1)＝0，所以C正確；當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3>0，所以f(2－x)>f(x)，所以D正確.精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域.(2)單調(diào)區(qū)間的劃分要注意對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的確認(rèn).(3)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，要注意導(dǎo)數(shù)等于零的情況.例1考向1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2√考向2單調(diào)性的應(yīng)用√當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)＝ex＋cosx，因?yàn)閑x≥1，cosx∈[－1，1]，所以f′(x)＝ex＋cosx≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，

1.討論函數(shù)的單調(diào)性一般可以歸結(jié)為參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.2.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.3.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗(yàn)證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)).4.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.規(guī)律方法訓(xùn)練1√√因?yàn)閒(－x)＝e|－x|－(－x)2＝e|x|－x2＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，則f(x)＝ex－x2，可得f′(x)＝ex－2x，構(gòu)建φ(x)＝f′(x)，則φ′(x)＝ex－2，令φ′(x)<0，解得0≤x<ln2；令φ′(x)>0，解得x>ln2，所以φ(x)在[0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，可得φ(x)≥φ(ln2)＝2(1－ln2)>0，即f′(x)>0在[0，＋∞)上恒成立，故f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，(－10，－3)熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值由導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn).(2)由y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的函數(shù)值的正負(fù)，從而可得到函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn).易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝ex－a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，得x>lna，由f′(x)<0，得x<lna，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(lna)＝a－alna－a3.由題意知a－alna－a3<0(a>0)，等價(jià)于1－lna－a2<0(a>0).(2024·新高考Ⅱ卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.例31.不能忽略函數(shù)的定義域.2.f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，即f′(x)的變號(hào)零點(diǎn)才是f(x)的極值點(diǎn)，所以判斷f(x)的極值點(diǎn)時(shí)，除了找f′(x)＝0的實(shí)數(shù)根x0外，還需判斷f(x)在x0左側(cè)和右側(cè)的單調(diào)性.3.函數(shù)的極小值不一定比極大值小.易錯(cuò)提醒訓(xùn)練2√√(2)(2024·成都診斷)若函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，則實(shí)數(shù)a的值為A.1 B.－1或－3 C.－1 D.－3因?yàn)閒(x)＝x(x＋a)2，所以f′(x)＝(x＋a)(3x＋a)，由函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0，解得a＝－1或a＝－3.當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，

在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝1處有極小值，不符合題意.當(dāng)a＝－3時(shí)，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝1處有極大值，符合題意.綜上可得，a＝－3.熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.(2024·武漢測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b，x∈[1，4]，f(x)的最大值為3，最小值為－6，則a＋b的值是_______________.例4由題意可得f′(x)＝4ax2(x－3)，1≤x≤4，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝b，顯然不合題意，舍去；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，得3<x≤4，令f′(x)<0，得1≤x<3，故f(x)在[1，3)上單調(diào)遞減，在(3，4]上單調(diào)遞增，且f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，即f(1)<f(4)，1.求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值就是最值，要通過(guò)比較大小才能下結(jié)論.2.當(dāng)已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論求解.易錯(cuò)提醒(1)(2024·南寧適應(yīng)測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值為－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)______________.訓(xùn)練3[0，＋∞)因?yàn)閒(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，①若a≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝－1.②若a<0，則當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，不符合題意.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞).(－6，－2)(2)(2024·河南名校大聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(a，a＋4)上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.由f(x)＝x3－12x，得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)>0，得x<－2或x>2，令f′(x)<0，得－2<x<2，則f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，所以f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√√√3.(2024·無(wú)錫質(zhì)檢)當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3＋bx2－12x取得極值，則f(x)在區(qū)間[－4，4]上的最大值為 A.8 B.12 C.16

D.32f′(x)＝3x2＋2bx－12，∵f(x)在x＝2處取得極值，∴f′(2)＝12＋4b－12＝0，∴b＝0，則f(x)＝x3－12x，由f′(x)＝0，得x＝±2，f(x)在[－4，－2]上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增，又f(－2)＝－8＋24＝16，f(4)＝64－48＝16，∴f(x)max＝16，選C.√4.(2024·西安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝3x4－8x3＋6x2，則f(x)A.有2個(gè)極大值點(diǎn)

B.有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)C.有2個(gè)極小值點(diǎn)

D.有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)由題知f′(x)＝12x3－24x2＋12x＝12x(x2－2x＋1)＝12x(x－1)2，因?yàn)?x－1)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，則當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，所以函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為0，沒(méi)有極大值點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有且僅有1個(gè)極值點(diǎn).√√√所以f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，則t的最大值為3.8.(2024·新高考Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3ax2＋1，則A.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)a<0時(shí)，x＝0是f(x)的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得x＝b為曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)(1，f(1))為曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心√√由題可知，f′(x)＝6x(x－a).對(duì)于A，當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x)<0得0<x<a，由f′(x)>0得x<0或x>a，則f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，故f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A正確；

對(duì)于B，當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)<0得a<x<0，則f′(x)>0得x>0或x<a，則f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞增，在(a，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故x＝0是f(x)的極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，故曲線y＝f(x)必不存在對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；√√√令h(b)＝eb＋e－b－b2－2，則h′(b)＝eb－e－b－2b，令u(b)＝h′(b)，則u′(b)＝eb＋e－b－2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)eb＝e－b，即b＝0時(shí)，等號(hào)成立，所以u(píng)(b)在R上單調(diào)遞增，而h′(0)＝u(0)＝0，故h(b)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(b)≥h(0)＝0，所以f(b)＋f(－b)≥0，即f(a)＋f(b)≥f(a)－f(－b)>0，故A正確；若f(a)＋f(b)<0，則f(a)<－f(b)≤f(－b)，所以a<－b，即a＋b<0，故D正確；設(shè)f(c)＝－f(b)，若c<a<－b，則f(c)＝－f(b)<f(a)滿足f(a)＋f(b)>0，但a＋b<0，故C錯(cuò)誤.10.(2024·泰安質(zhì)檢)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則a的取值范圍是____________.(－∞，－1)∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.由題意知ex＋a＝0有大于0的實(shí)根，由ex＝－a，得a＝－ex，∵x>0，∴ex>1，∴a<－1.11.(2024·開(kāi)封二模)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝3x，且f(m)＝g(n)，則n－m的最

小值為_(kāi)_____________.由f(m)＝g(n)，得em＋m＝3n，化簡(jiǎn)整理得3n－3m＝em－2m.令h(m)＝em－2m(m∈R)，則h′(m)＝em－2,令em－2＝0，解得m＝ln2.當(dāng)m∈(－∞，ln2)時(shí)，h′(m)<0，即h(m)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減；當(dāng)m∈(ln2，＋∞)時(shí)，h′(m)>0，即h(m)在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增.即h(m)min＝h(ln2)＝2－2ln2，12.已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋mex有兩個(gè)極值點(diǎn)，則m的取值范圍是____________.由題意，令f′(x)＝1＋lnx＋mex＝0，當(dāng)x∈(0，1]時(shí)h(x)≥0，g′(x)≥0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)h(x)<0，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增；在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，13.已知函數(shù)f(x)＝x3－3