Python實(shí)現(xiàn)8個(gè)概率分布公式的方法詳解

第Python實(shí)現(xiàn)8個(gè)概率分布公式的方法詳解目錄前言1.均勻分布2.高斯分布3.對(duì)數(shù)正態(tài)分布4.泊松分布5.指數(shù)分布6.二項(xiàng)分布7.學(xué)生t分布8.卡方分布

前言

在本文中，我們將介紹一些常見的分布并通過Python代碼進(jìn)行可視化以直觀地顯示它們。

概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)是數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)的核心；我們需要統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)來有效地收集、審查、分析數(shù)據(jù)。

現(xiàn)實(shí)世界中有幾個(gè)現(xiàn)象實(shí)例被認(rèn)為是統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的（即天氣數(shù)據(jù)、銷售數(shù)據(jù)、財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)等）。這意味著在某些情況下，我們已經(jīng)能夠開發(fā)出方法來幫助我們通過可以描述數(shù)據(jù)特征的數(shù)學(xué)函數(shù)來模擬自然。

概率分布是一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，它給出了實(shí)驗(yàn)中不同可能結(jié)果的發(fā)生概率。

了解數(shù)據(jù)的分布有助于更好地模擬我們周圍的世界。它可以幫助我們確定各種結(jié)果的可能性，或估計(jì)事件的可變性。所有這些都使得了解不同的概率分布在數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)中非常有價(jià)值。

1.均勻分布

最直接的分布是均勻分布。均勻分布是一種概率分布，其中所有結(jié)果的可能性均等。例如，如果我們擲一個(gè)公平的骰子，落在任何數(shù)字上的概率是1/6。這是一個(gè)離散的均勻分布。

但是并不是所有的均勻分布都是離散的它們也可以是連續(xù)的。它們可以在指定范圍內(nèi)取任何實(shí)際值。a和b之間連續(xù)均勻分布的概率密度函數(shù)(PDF)如下：

讓我們看看如何在Python中對(duì)它們進(jìn)行編碼：

import

numpy

as

np

import

matplotlib.pyplot

as

plt

from

scipy

import

stats

#

for

continuous

a

=

0

b

=

50

size

=

5000

X_continuous

=

np.linspace(a,

b,

size)

continuous_uniform

=

stats.uniform(loc=a,

scale=b)

continuous_uniform_pdf

=

continuous_uniform.pdf(X_continuous)

#

for

discrete

X_discrete

=

np.arange(1,

7)

discrete_uniform

=

stats.randint(1,

7)

discrete_uniform_pmf

=

discrete_uniform.pmf(X_discrete)

#

plot

both

tables

fig,

ax

=

plt.subplots(nrows=1,

ncols=2,

figsize=(15,5))

#

discrete

plot

ax[0].bar(X_discrete,

discrete_uniform_pmf)

ax[0].set_xlabel("X")

ax[0].set_ylabel("Probability")

ax[0].set_title("Discrete

Uniform

Distribution")

#

continuous

plot

ax[1].plot(X_continuous,

continuous_uniform_pdf)

ax[1].set_xlabel("X")

ax[1].set_ylabel("Probability")

ax[1].set_title("Continuous

Uniform

Distribution")

plt.show()

2.高斯分布

高斯分布可能是最常聽到也熟悉的分布。它有幾個(gè)名字：有人稱它為鐘形曲線，因?yàn)樗母怕蕡D看起來像一個(gè)鐘形，有人稱它為高斯分布，因?yàn)槭紫让枋鏊牡聡?guó)數(shù)學(xué)家卡爾高斯命名，還有一些人稱它為正態(tài)分布，因?yàn)樵缙诘慕y(tǒng)計(jì)學(xué)家注意到它一遍又一遍地再次發(fā)生。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下：

是標(biāo)準(zhǔn)偏差，是分布的平均值。要注意的是，在正態(tài)分布中，均值、眾數(shù)和中位數(shù)都是相等的。

當(dāng)我們繪制正態(tài)分布的隨機(jī)變量時(shí)，曲線圍繞均值對(duì)稱一半的值在中心的左側(cè)，一半在中心的右側(cè)。并且，曲線下的總面積為1。

mu

=

0

variance

=

1

sigma

=

np.sqrt(variance)

x

=

np.linspace(mu

-

3*sigma,

mu

+

3*sigma,

100)

plt.subplots(figsize=(8,

5))

plt.plot(x,

stats.norm.pdf(x,

mu,

sigma))

plt.title("Normal

Distribution")

plt.show()

對(duì)于正態(tài)分布來說。經(jīng)驗(yàn)規(guī)則告訴我們數(shù)據(jù)的百分比落在平均值的一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)。這些百分比是：

68%的數(shù)據(jù)落在平均值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。95%的數(shù)據(jù)落在平均值的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。99.7%的數(shù)據(jù)落在平均值的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。

3.對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布是對(duì)數(shù)呈正態(tài)分布的隨機(jī)變量的連續(xù)概率分布。因此，如果隨機(jī)變量X是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，則Y=ln(X)具有正態(tài)分布。

這是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的PDF：

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取正實(shí)數(shù)值。因此，對(duì)數(shù)正態(tài)分布會(huì)創(chuàng)建右偏曲線。

讓我們?cè)赑ython中繪制它：

X

=

np.linspace(0,

6,

500)

std

=

1

mean

=

0

lognorm_distribution

=

stats.lognorm([std],

loc=mean)

lognorm_distribution_pdf

=

lognorm_distribution.pdf(X)

fig,

ax

=

plt.subplots(figsize=(8,

5))

plt.plot(X,

lognorm_distribution_pdf,

label="μ=0,

σ=1")

ax.set_xticks(np.arange(min(X),

max(X)))

std

=

0.5

mean

=

0

lognorm_distribution

=

stats.lognorm([std],

loc=mean)

lognorm_distribution_pdf

=

lognorm_distribution.pdf(X)

plt.plot(X,

lognorm_distribution_pdf,

label="μ=0,

σ=0.5")

std

=

1.5

mean

=

1

lognorm_distribution

=

stats.lognorm([std],

loc=mean)

lognorm_distribution_pdf

=

lognorm_distribution.pdf(X)

plt.plot(X,

lognorm_distribution_pdf,

label="μ=1,

σ=1.5")

plt.title("Lognormal

Distribution")

plt.legend()

plt.show()

4.泊松分布

泊松分布以法國(guó)數(shù)學(xué)家西蒙丹尼斯泊松的名字命名。這是一個(gè)離散的概率分布，這意味著它計(jì)算具有有限結(jié)果的事件換句話說，它是一個(gè)計(jì)數(shù)分布。因此，泊松分布用于顯示事件在指定時(shí)期內(nèi)可能發(fā)生的次數(shù)。

如果一個(gè)事件在時(shí)間上以固定的速率發(fā)生，那么及時(shí)觀察到事件的數(shù)量（n）的概率可以用泊松分布來描述。例如，顧客可能以每分鐘3次的平均速度到達(dá)咖啡館。我們可以使用泊松分布來計(jì)算9個(gè)客戶在2分鐘內(nèi)到達(dá)的概率。

下面是概率質(zhì)量函數(shù)公式：

是一個(gè)時(shí)間單位的事件率在我們的例子中，它是3。k是出現(xiàn)的次數(shù)在我們的例子中，它是9。這里可以使用Scipy來完成概率的計(jì)算。

from

scipy

import

stats

print(stats.poisson.pmf(k=9,

mu=3))

輸出：

0.002700503931560479

泊松分布的曲線類似于正態(tài)分布，表示峰值。

X

=

stats.poisson.rvs(mu=3,

size=500)

plt.subplots(figsize=(8,

5))

plt.hist(X,

density=True,

edgecolor="black")

plt.title("Poisson

Distribution")

plt.show()

5.指數(shù)分布

指數(shù)分布是泊松點(diǎn)過程中事件之間時(shí)間的概率分布。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下：

是速率參數(shù)，x是隨機(jī)變量。

X

=

np.linspace(0,

5,

5000)

exponetial_distribtuion

=

stats.expon.pdf(X,

loc=0,

scale=1)

plt.subplots(figsize=(8,5))

plt.plot(X,

exponetial_distribtuion)

plt.title("Exponential

Distribution")

plt.show()

6.二項(xiàng)分布

可以將二項(xiàng)分布視為實(shí)驗(yàn)中成功或失敗的概率。有些人也可能將其描述為拋硬幣概率。

參數(shù)為n和p的二項(xiàng)式分布是在n個(gè)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列中成功次數(shù)的離散概率分布，每個(gè)實(shí)驗(yàn)都問一個(gè)是-否問題，每個(gè)實(shí)驗(yàn)都有自己的布爾值結(jié)果：成功或失敗。

本質(zhì)上，二項(xiàng)分布測(cè)量?jī)蓚€(gè)事件的概率。一個(gè)事件發(fā)生的概率為p，另一事件發(fā)生的概率為1-p。

這是二項(xiàng)分布的公式：

P=二項(xiàng)分布概率=組合數(shù)x=n次試驗(yàn)中特定結(jié)果的次數(shù)p=單次實(shí)驗(yàn)中，成功的概率q=單次實(shí)驗(yàn)中，失敗的概率n=實(shí)驗(yàn)的次數(shù)

可視化代碼如下：

X

=

np.random.binomial(n=1,

p=0.5,

size=1000)

plt.subplots(figsize=(8,

5))

plt.hist(X)

plt.title("Binomial

Distribution")

plt.show()

7.學(xué)生t分布

學(xué)生t分布（或簡(jiǎn)稱t分布）是在樣本量較小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下估計(jì)正態(tài)分布總體的均值時(shí)出現(xiàn)的連續(xù)概率分布族的任何成員。它是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家威廉西利戈塞特（WilliamSealyGosset）以筆名student開發(fā)的。

PDF如下：

n是稱為自由度的參數(shù)，有時(shí)可以看到它被稱為d.o.f.對(duì)于較高的n值，t分布更接近正態(tài)分布。

import

seaborn

as

sns

from

scipy

import

stats

X1

=

stats.t.rvs(df=1,

size=4)

X2

=

stats.t.rvs(df=3,

size=4)

X3

=

stats.t.rvs(df=9,

size=4)

plt.subplots(figsize=(8,5))

sns.kdeplot(X1,

label

=

"1

d.o.f")

sns.kdeplot(X2,

label

=

"3

d.o.f")

sns.kdeplot(X3,

label

=

"6

d.o.f")

plt.title("Student's

t

distribution")

plt.legend()

plt.show()

8.卡方分布

卡方分布是伽馬分布的一個(gè)特例；對(duì)于k個(gè)自由度，卡方分布是一些獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的k的平方和。

PDF如下：

這是一種流行的概率分布，常用于假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的構(gòu)建。

在Python中繪制一些示例圖：

X

=

np.arange(0,

6,

0.25)

plt.subplots(figsize=(8,

5))

plt.plot(X,

stats.chi2.pdf(X,

df=1),

label="1

d.o.f")

plt.plot(X,

stats