2025年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)《幾何最值問題》題型（含答案解析）

重難點(diǎn)幾何最值問題

命題趨勢

中考數(shù)學(xué)中《幾何最值問題》部分主要考向分為五類:

一、將軍飲馬類最值

二、動點(diǎn)輔助圓類最值

三、四點(diǎn)共圓類最值

四、瓜豆原理類最值

五、胡不歸類最值

幾何最值問題雖然在中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常考察的是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)?？疾?，但

是考到的時候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的

時候才能有捷徑應(yīng)對。

熱考題型解讀

考向一：將軍飲馬類最值

1.(2023?綏化)如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高20上的動點(diǎn).連接CE,將CE繞點(diǎn)C

順時針旋轉(zhuǎn)60°得到C四連接AREF,DF,則△CDP周長的最小值是3+3\/Q.

【分析】分析已知，可證明△BCE四△ACR得/。4歹=/。2￡=30°,可知點(diǎn)P在△ABC外，使NCAF

=30°的射線AF上，根據(jù)將軍飲馬型，求得。尸+CF的最小值便可求得本題結(jié)果.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=6Q°,

VZECF=60°,

ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

,:CE=CF,

...△3CE絲△ACP(SAS),

：.ZCAF=ZCBE,

?.?△ABC是等邊三角形，BD是高,

AZCBE=l.ZABC=30°,CD=_1AC=3,

22

過C點(diǎn)作CGLAF,交AF的延長線于點(diǎn)G,延長CG到H,使得GH=CG,連接AH,DH,DH與AG

交于點(diǎn)/,連接C/,FH,

則/ACG=60°,CG=GH=AAC=3,

2

：.CH=AC=6,

.?.△AS為等邊三角形，

：.DH=CD'tan60°=?近，

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3M，

CF+DF=HF+DF^DH,

當(dāng)F與/重合時，即D、F、H三點(diǎn)共線時，CF+。尸的值最小為：CF+DF=DH=3^

.,.△CDF的周長的最小值為3+3\/3.

故答案為：3+3，京

A

2.（2023?德州）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=3,BC=4,點(diǎn)E在A3上，且AE

=1.F,G為邊AD上的兩個動點(diǎn)，且PG=1.當(dāng)四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為_」至_.

【分析】先確定FG和EC的長為確定的值，得到四邊形CGFE的周長最小時，即為CG+EP最小時，平

移CG到CF作點(diǎn)E關(guān)于AD對稱點(diǎn)E,連接EC交AD于點(diǎn)G,得至UCG+EF最小時，點(diǎn)G與G重合，

再利用平行線分線段成比例求出CG長即可.

【解答】解：：/A=90°,AD//BC,

：.ZB=90°,

"：AB=3,BC=4,AE=1,

:.BE=AB-AE=3-1=2,

在RtAEBC中，

由勾股定理，得EC=dBE2+BC2r22+《2=

"：FG=\,

：.四邊形CGFE的周長=CG+FG+EE+EC=CG+EF+l+2\/^，

四邊形CGFE的周長最小時，只要CG+EF最小即可.

過點(diǎn)F作FC//GC交BC于點(diǎn)C,延長BA到E,使AE=AE=1,連接EF,EC,,EC交AD于點(diǎn)

可得AD垂直平分E'E,

：.EF=EF,

*：AD//BC,

：.CF=CG,CC=FG=\,

：.CG+EF=CF+EF2EC,

即CG+跖最小時，CG=CG,

9：EB=AB+AF=3+1=4,BC'=BC-CC=4-1=3,

由勾股定理，得EC===5,

*：AG//BC,

=，即=,

解得CG=,

即四邊形CG尸石的周長最小時，CG的長為.

故答案為：.

考向二：動點(diǎn)輔助圓類最值

滿分技巧

動點(diǎn)運(yùn)動軌跡為輔助圓的三種類型：

一.定義法一一若一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離恒等于固定長，則該點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑

的圓（或圓?。?/p>

二.定邊對直角

模型原理：直徑所對的圓周角是直角

思路構(gòu)造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點(diǎn)運(yùn)動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓

?。?/p>

三.定邊對定角

模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等

思路構(gòu)造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點(diǎn)運(yùn)動軌跡是以該定角為圓周角，該定

邊為弦的圓（或圓?。?/p>

1.（2023?徐州）如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,CA=CB=3,點(diǎn)D在邊BC上.將△ACD沿AD折疊,

【分析】由折疊性質(zhì)可知AC=AC=3,然后根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系可進(jìn)行求解.

【解答】解：VZC=90°,CA=CB=3,

AAB=VAC2+BC2=3V2,

由折疊的性質(zhì)可知AC=AC=3,

,JBC^AB-AC,

...當(dāng)A、c'、2三點(diǎn)在同一條直線時，2C取最小值，最小值即為BC，=AB-AC7二加-工

故答案為3衣-分

2.（2023?黑龍江）如圖，在RtZ\ACB中，ZBAC=30°,CB=2,點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把RtZkABC繞

點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，得RtAAFD,點(diǎn)C,點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)。，點(diǎn)、F,連接CREF,CE,在

旋轉(zhuǎn)的過程中，△<:所面積的最大值是4+',反.

【分析】線段CE為定值，點(diǎn)尸到CE距離最大時，△（?斯的面積最大，畫出圖形，即可求出答案.

【解答】解：.??線段CE為定值，

點(diǎn)F到CE的距離最大時，叢CEF的面積有最大值.

在Rt/XACB中，ZBAC=30°,E是AB的中點(diǎn)，

Z.AB=2BC=4,CE=AE=LB=2,AC^AB-COS300=2、/^,

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

過點(diǎn)A作AG±CE交CE的延長線于點(diǎn)G,

.?.AG=」AC=、/§,

2

?.,點(diǎn)尸在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，

AAF=AB=4,

???點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+\/3,

SACEF=|cE'(4W3)=4+71

故答案為：

3.（2023?大慶模擬）如圖，A5是。。的直徑，A5=4,C為AB的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)尸是。。上

)

D.舊+1

【分析】如圖，連接OC,首先證明點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡為以AO為直徑的。K,連接CK,當(dāng)點(diǎn)。在

CK的延長線上時，CO的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.

OC,

*：AD=DP,

C.ODLPA,

：.ZA￡>O=90°,

...點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡為以A。為直徑的OK,連接CK,AC,

當(dāng)點(diǎn)。在CK的延長線上時，CD的值最大，

為的三等分點(diǎn)，

/.ZAOC=60°,

.,*AAOC是等邊三角形，

：.CK±OA,

在RtZ\OCK中，9：ZCOA=60°,OC=2,OK=1,

???CK==,

■:DK=04=1,

:.CD=+1,

???CZ）的最大值為+1,

故選：D.

考向三：四點(diǎn)共圓類最值

滿分技巧

對角互補(bǔ)的四邊形必有四點(diǎn)共圓，即輔助圓產(chǎn)生

模型原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)

：.FD

在四邊形ACBF中，ZACB=ZAFB^90°,

，A、C、B、尸四點(diǎn)共圓，

AZACF=ZABF=45°,NCAB=/CFB,

■:ZPCD=45°

：.ZACP=ZFCD,

又,:LABEsAFBD,

：./BAE=/BFD,

:?/CAP=NCFD,

：.ACAP^ACFD,

在四邊形AC8尸中，由對角互補(bǔ)模型得AC+C8=

:.CF=

???AP=1,

：?PE=2,

故答案為：2

考向四：瓜豆原理類最值

滿分技巧

瓜豆原理的特征和結(jié)論：

：.AB=CD^6,/B=NBCD=90°,

'：ZBET=ZFEG=45°,

：.ZBEF=ZTEG,

"：EB=ET,EF=EG,

/.△EBF^AETG(SAS),

：./B=/ETG=90°,

.?.點(diǎn)G在射線TG上運(yùn)動，

當(dāng)CG,TG時，CG的值最小，

VBC=1^,BE=A,CD=6,

22

：.CE=CD=6,

：.ZCED=ZBET=45°,

：.ZTEJ=90a=/ETG=NJGT=90°,

四邊形ETGJ是矩形，

J.DE//GT,GJ=TE=BE=^-,

2

CJLDE,

:.JE=JD,

：.CJ=^DE=3j2,

2

ACG=CJ+GJ=^-+3\J~2,

2

；.CG的最小值為2+3"歷，

2

故答案為：S+3我.

2

2.(2023?宿城區(qū)二模)如圖，矩形488中，4。=6,￡^=8,點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，尸，型=1

BF3

取于點(diǎn)G,連接CG,當(dāng)CG最小時，CE的長為_絲_.

【分析】過點(diǎn)B作BPLAC于點(diǎn)P,連接PG,則可得△PBG,進(jìn)而可知NBPG為定值，因此

CGLPG時，CG最小,通過設(shè)元利用三角函數(shù)和相似比可表示出PG、CP,即可求出結(jié)果.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)3作BPLAC于點(diǎn)P,連接尸G,

?7/—/*一?/—7

BFBC3

AABCsAEBF,

：.ZCAB=ZFEB,

VZAPB=ZEGB=9Q°,

AABPsAEBG,

AAB^EB=1”■上ZABP=ZEBG,

PBGBsin/BACBC3

ZABE=ZPBG,

:.AABEsAPBG,

：.ZBPG=ZBAE,

即在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，/BPG的大小不變且等于/BAC,

.?.當(dāng)CG_LPG時，CG最小，

設(shè)此時AE=x,

-?AE__AB_5；

,PG"PBI'

.\PG=2.,

5%V

?：CG±PG,

：.ZPCG=ZBPG=ABAC,

.?總工

'.市W

代入PG=』y,解得CP=x,

5x

CP=BC^smZCBP=BC-smZBAC=^,

5

?x=18

5

：.AE=^.

5

?-32

5

故答案為:

考向五：胡不歸類最值

滿分技巧

胡不歸模型解決步驟：

模型具體化：如圖，已知兩定點(diǎn)A、B,在定直線BC上找一點(diǎn)P,使

從B走道P,再從P走到A的總時間最小

解決步驟：

由系數(shù)k-PB確定分割線為PB

PA在分割線一側(cè)，在分割線PB另一側(cè)依定點(diǎn)B構(gòu)a角，使sina=k,

a角另一邊為BD

過點(diǎn)P作PQ^BD,轉(zhuǎn)化kPB=PQ

過定點(diǎn)A作AH±BD,轉(zhuǎn)化(PA+k?PB)min=AH,再依“勾股法”求AH的長即可。

VZABC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60°,

：AM平分NCAB,

ZCAF=ZBAF=1.ZCAB=3QO,

2

過點(diǎn)C作CNLAB于N,交A尸于P,

在RtZkAPN中，ZBAF=30°,

：.PN=—AP,

2

/.CP+AAP=CP+PN=CN,

2

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時CP+PN值最小

在RtZ\ACN中，NCAN=60°,AC=4,

..oCN

,,sinoAOn=—'

AU

：.CN=sin60°XAC=]

CP+-LAP=CP+PN=CN=9^3，

2

故答案為：273.

2.（2023?合肥三模）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點(diǎn)，則

2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【分析】過點(diǎn)C作射線CE,使/BCE=30°,再過動點(diǎn)。作OFLCE,垂足為點(diǎn)尸，連接AO,在Rt

△。尸c中，ZDCF=30°,D嗎DC,2AD+DC=2(AD,DC)=2(AD+DF蘆4D,尸在同一直線上，

即AFLCE時，AO+D尸的值最小，最小值等于垂線段AF的長.

【解答】解：過點(diǎn)C作射線CE,使/BCE=30°,再過動點(diǎn)。作。F，CE,垂足為點(diǎn)F連接AD,如

圖所示：

A

在RtZXOFC中，Z￡)CF=30°,

?'-DF-yDC-

V2AD+DC=2(AD-^DC)

=2(AD+DF),

...當(dāng)A,D,尸在同一直線上，即APJ_CE時，AD+OE的值最小，最小值等于垂線段AF的長，

此時，ZB=ZADB^60°,

...△ABD是等邊三角形，

：.AD^BD^AB=4,

在RtzXABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

：.BC=S,

：.DC=BC-BD=4,

：.2AD+DC=2X4+4=U,

...2AO+DC的最小值為12,

故選：D.

?G難通關(guān)練(建議用時：20分鐘)

1.(2023?瀘州)如圖，E,尸是正方形ABCO的邊A8的三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動點(diǎn)，當(dāng)PE+PF

【分析】找出點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E,連接與AC的交點(diǎn)P即為PE+尸尸取得最小值時，點(diǎn)尸的位

置，再設(shè)法求出空二的值即可.

P'C

【解答】解：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E,連接FE交AC于點(diǎn)P,連接尸E,

PE+PF=PE+PF^EF,

故當(dāng)PE+PF取得最小值時，點(diǎn)P位于點(diǎn)P處，

.?.當(dāng)PE+尸尸取得最小值時，求處的值，只要求出延一的值即可.

PCP'C

正方形ABCD是關(guān)于AC所在直線軸對稱，

點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線對稱的對稱點(diǎn)E在AO上，且AE=AE,

過點(diǎn)F作FG±AB交AC于點(diǎn)G,

則/G項(xiàng)=90°,

?..四邊形ABCO是正方形，

AZDAB=ZB=90o,ZCAB=ZACB=45°,

C.FG//BC//AD,ZAGF=ZACB=45°,

GF=AF,

,/E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn),

.rr=1"AE'_AE1

3GFAF2

.-MG=2AC,AP，3'J,

3P'GGF2

:.AP'=.IAG=1,2AC=^AC,

3339

：.P'C=AC-AP'=AC-^AC=ZAC,

99

2AC

.AP'_9AL2

p'a7

故答案為：2.

7

2.（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，。4=。2=3/§，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動點(diǎn)，BC=I

2

連接AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM：MA=1：2.當(dāng)線段取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是

A.（得當(dāng)）B."1^5^

C.（1,卷）D.（1V5-爭/5）

【分析】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，上為半徑的OB上，在X軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。（-3匹，0）,

22

連接BD,分別過。和〃作CPLOA,ME±OA,垂足為尸、E,先證△OAMS^/MC,得變=空=2,

CDAD3

從而當(dāng)CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)8在線段0c上

時，C。取得最大值，然后分別證△BDOS^CD凡AAEM^^AFC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：：點(diǎn)C為平面內(nèi)一動點(diǎn)，BD=3,

2

...點(diǎn)C在以點(diǎn)8為圓心，W為半徑的。8上，

2

在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)￡>（返，0）,

2

連接分別過C、M作CF_LOA,MELOA,垂足為RE,

?.Q=0B=3泥，

：.AD^OD+OA=^!^-,

2

?.?0A_2-,

AD3

,rCM：MA=］：2,

?.?0A=2=CM

AD3AC

'：ZOAM=ADAC,

：.AOAM^/\DAC,

???0M_0A_2,

CDAD3

.?.當(dāng)CO取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)DB,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)8在線段OC上時,

CD取得最大值，

，：0A=0B=3?0D=^^,

2

BD=22

VOBOD=導(dǎo)

1.CD=BC+BD=9,

..0M=2

,CDW，

：.OM=6,

軸_Lx軸，CF±OA,

：.ZDOB=ZDFC=90°,

:ZBDO=ZCDF,

：.△BDOS/\CDF,

15

.?巫=里即亞=z,

CFCDCF9

解得仃=-18函,

5

同理可得，△AEMs/vy?c,

.MEAM2nnME2

CFAC31W53

5

解得其￡=衛(wèi)返，

5

??,OE=\IUM2』E2=^~,

b

二當(dāng)線段OM取最大值時，點(diǎn)M的坐標(biāo)是3，

3.（2023?臺州）如圖，。0的圓心。與正方形的中心重合，已知。。的半徑和正方形的邊長都為4,則圓

上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（）

C.4+蓊D.4-272

【分析】如圖，由三角形三邊關(guān)系分析可得當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一

點(diǎn)距離有最小值，最小值為OB-04以此即可求解.

【解答】解：如圖，點(diǎn)8為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。為正方形上一點(diǎn)，連接BO,OC,OA,AB,

由三角形三邊關(guān)系可得，OB-0DVBD,

是圓的半徑，為定值，當(dāng)點(diǎn)D在A時，取得最大值，

...當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離有最小值，最小值為08-04,

由題意可得，AC=4,03=4,

???點(diǎn)。為正方形的中心,

J.OALOC,OA=OC,

???AAOC為等腰直角三角形,

.?.0A=*二=4”.眄,

V2\12

圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為OB-04=4-1&

故選：D.

4.（2022?靖江市二模）如圖，AB1BC,48=5,點(diǎn)E、尸分別是線段AB、射線BC上的動點(diǎn)，以所為斜

邊向上作等腰RdOERZEDF=90°,連接AD,則的最小值為一旦

—2―

AFB

【分析】連接3。并延長，利用四點(diǎn)共圓的判定定理得到8,E,D,P四點(diǎn)共圓，再利用等腰直角三角

形的性質(zhì)和圓周角定理得到ND3尸=/。所=45°,得到點(diǎn)D的軌跡，最后利用垂線段最短和等腰直角

三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接8。并延長，如圖，

AZABC=90°,NEDF=90°,

/.ZABC+ZEDF=]80°,

：.B,E,D,尸四點(diǎn)共圓，

ADEF為等腰直角三角形，

/.ZDEF=ZDFE=45°,

/.ZDBF=ZDEF=45°,

：.ZDBF=ZDBE=45°,

/.點(diǎn)D的軌跡為/ABC的平分線上，

???垂線段最短，

.?.當(dāng)時，AD取最小值，

：.AD的最小值為退_AB=M2,

22

故答案為：皿2.

2

c優(yōu)爭分練（建議用時：20分鐘）

1.（2023?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD中，42=4,動點(diǎn)￡從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，同時動點(diǎn)廠從點(diǎn)

D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E、尸運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AR

BE相交于點(diǎn)P,M是線段BC上任意一點(diǎn)，則MD+MP的最小值為

【分析】首先作出點(diǎn)。關(guān)于BC的對稱點(diǎn)從而可知當(dāng)點(diǎn)P、M.D'在一條直線上時，路徑最短，當(dāng)

點(diǎn)￡與點(diǎn)D重合，點(diǎn)廠與點(diǎn)C重合時，PG和G。'均最短，即PD'最短，然后由正方形的性質(zhì)和軸對

稱圖形的性質(zhì)可知：PG=2,GD'=6,最后由勾股定理即可求得尸。'的長，從而可求得尸的最

小值.

【解答】解：如圖作點(diǎn)。關(guān)于BC的對稱點(diǎn)。'，連接尸。'，

由軸對稱的性質(zhì)可知：MD=D'M,CD=CD'=4,

：.PM+DM=PM+MD'=PD'

過點(diǎn)P作PE垂直。C,垂足為G,

易證AfUBE,故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧上，點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，連

接?！蛨A心G4B的中點(diǎn)）與圓的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，點(diǎn)廠與點(diǎn)C重合時，PG和GD,均最短,

,此時，PD'最短.

?..四邊形ABCD為正方形,

?■-PG=yAD=2GC=yDC=2-

：.GDr=6.

在RtzxpG。'中，由勾股定理得：PD'=JPG2+GD，~

故答案為：2口.

2.（2023?營口一模）如圖，等邊三角形A3c和等邊三角形AOE,點(diǎn)N,點(diǎn)M分別為3C,OE的中點(diǎn)，AB

=6,AO=4,△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為4

BNC

【分析】分析題意可知，點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動，連接AN,AM,以AM為半

徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長⑷V與圓交于點(diǎn),以此得到M、A、N三點(diǎn)共線時，的值最大,

再根據(jù)勾股定理分別算出AM、AN的值，則MN的最大值N=AN+AM'^AN+AM.

【解答】解：連接AN,AM,以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心作圓，反向延長AN與圓交于點(diǎn)M',如圖，

M'

:△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，

.?.點(diǎn)M是在以AM為半徑，點(diǎn)A為圓心的圓上運(yùn)動，

\'AM+AN^MN,

當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到“，即M、A、N三點(diǎn)共線時，的值最大，最大為“N,

AABC和△ADE都是等邊三角形，

點(diǎn)N,點(diǎn)M分別為BC,DE的中點(diǎn)，AB=6,AD=4,

：.AN±BC,AMIDE,BN=3,DM=2,

在Rt/XABN中，由勾股定理得視=〃B2_BN2=3g，

在RtAADM中,由勾股定理得與={AD?-DM2=2百，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM'=AM=2\/3;

：.M'N=AN+AM'=5近，即MN的最大值為

故答案為：573.

3.（2023?宿城區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=1x24^x與x軸的正半軸交于點(diǎn)4B

點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，C點(diǎn)為該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，則3BC+5AC的最小值為（）

【分析】連接。8,過C點(diǎn)作于M點(diǎn)，過A點(diǎn)作AN,08于N點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交

于點(diǎn)D,先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得出2。、0A,0D,再證明/\OBD

s^OAN,進(jìn)而可得32C+5AC=5MC+5AC=5（AC+CM）,當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂直08

時，AC+CM最小，根據(jù)型L型求出AN,AC+CM最小值即為AN,則問題得解.

OA0B

【解答】解：連接08,過C點(diǎn)作于M點(diǎn)，過A點(diǎn)作ANL08于N點(diǎn)，拋物線的對稱軸與尤

軸交于點(diǎn)。，如圖，

?'?A點(diǎn)坐標(biāo)為（6,0）,即。4=6,

將y=qX2號*配成頂點(diǎn)式得:AO

y=-r(x-3)+4

y

點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4）,

???B0=4,00=3,

9：CMLOB,ANLOB,

:?NBMC=NANO=90°,

根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)可知BDLOA,

：.ZBDO=90°,

在RtZXB。。中，

利用勾股定理得0B=VH居赤=732+42=5，

,：/0BD=/CBM,/BDO=/BMC=90°,

:AOBDs^CBM,

同理可證得△O2DS/\0AN,

.匹型，-二BD,

"K'=0D，OA^OB)

ABC_=BU_^5)gp3BC=5MC,

MCOD3

3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM),

?當(dāng)A、C、M三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線垂直。8時，AC+CM最小，

.,.AC+CM最小值為AN,如圖所示，

.?.-A-N-=-B--D，

OA0B

二棚嗡■X0A.X6嚕，

；.AC+CM最小值強(qiáng)，

5

.?.即3BC+5AC=5(AC+CM)=24.

故選：A.

4.(2023?天心區(qū)校級三模)如圖1：在。。中，4B為直徑，C是。0上一點(diǎn)，AC=3,BC=4.過。分別

作。于點(diǎn)，，OOLAC于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別在線段BC、AC上運(yùn)動(不含端點(diǎn))，且保持/E0尸

=90°.

(1)OC=2.5；四邊形COO"是矩形(填矩形/菱形/正方形)；S喇SOH=3；

(2)當(dāng)尸和。不重合時，求證：△OFDs^OEH；

(3)①在圖1中，OP是△CEO的外接圓，設(shè)。尸面積為S,求S的最小值，并說明理由；

②如圖2：若。是線段AB上一動點(diǎn)，且