北京市某中學(xué)2025屆高三年級(jí)下冊(cè)3月測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京35中2025屆測(cè)試試卷

數(shù)學(xué)

2025.3

本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)

效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合4={引-5（無(wú)3＜5},5={-3,-1,0,2,3},則小B=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3-1,0}D.{-1,0,2）

【答案】A

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因A={x[—正＜x＜迅},§={—3,—1,0,2,3},且注意到1＜為＜2，

從而A5={-1,0}.

故選：A.

2.|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.舊D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由題意首先化簡(jiǎn)2+i?+2i3,然后計(jì)算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i2+2『=2—1—2i=l—2i，

則|2+i2+2i3|=|l—==6

故選：C.

3.在13x2-的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（）

【答案】A

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)并整理，令6-3r=0,求出廠回代到展開通項(xiàng)即可求解.

【詳解】13x2—的展開式通項(xiàng)為=C；（3/廣:一：］=C遙尤63,（O<r<3,reN*）;

由題意令6—3廠=0,解得r=2,從而常數(shù)項(xiàng)是4=C；33-2、gj=g

故選：A

4.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDE廠內(nèi)的一點(diǎn)，則APAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是

（-13）,利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

可以得到AP在厄方向上的投影的取值范圍是（T，3），

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式,

可知AP-AB等于AB的模與A戶在方向上的投影的乘積,

所以AP-AB的取值范圍是（一2,6）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的

定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.

5.己知圓。：（%+1）2+/=2點(diǎn)尸在直線/：%-丁-3=0上運(yùn)動(dòng)，直線B4,尸8與圓C相切，切點(diǎn)為4

B,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.的最小值為2B.最小時(shí)，弦AB所在直線的斜率為—1

C.歸山最小時(shí)，弦AB長(zhǎng)為&D.四邊形B4cB面積的最小值為73

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)和切線的條件，結(jié)合點(diǎn)到直線距離得出切線長(zhǎng)最小值判斷A,根據(jù)四邊形面積

計(jì)算判斷D,C,再根據(jù)直線垂直計(jì)算得出斜率判斷B.

【詳解】圓心為（-1,0）,半徑為0.點(diǎn)P（%,y）滿足x—y—3=0,即y=x—3.

設(shè)切線方程為PAPB，由圓的切線性質(zhì)可知，|PA|=的最小值，出現(xiàn)在歸。最小時(shí).

.?|—1—0—31/—

此時(shí)圓心到直線距離為：I尸J+（]）2=2'2,

代入得|R4Ln=后三=&，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XAC

四邊形B4cB面積的最小值為（義41mhiIIx2=V6xV2=2V3,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

四邊形B4cB面積的最小值為:義|4國(guó)義盧。舄=2百，所以|4同=#，C選項(xiàng)正確；

當(dāng)|巳4|最小時(shí)，PC±l,直線/：%—y—3=0的斜率為1,

因?yàn)榇藭r(shí)|/訓(xùn)=|?同,|，=|。4，所以AB,PC,弦AB所在直線的斜率為1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

6.定義在。上的函數(shù)/（%）,若滿足：存在常數(shù)〃>0,對(duì)任意XG。，都有『⑴仁"成立，則稱/（%）

是。上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）

A.y=tan[x+m]

B.y=2"

X

D.y=x-［x］（［x］表示不大于x的最大整數(shù)）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)及指數(shù)函數(shù)等函數(shù)的值域計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)即可求解.

【詳解】>=tan［x+1］無(wú)界，因?yàn)閠anx函數(shù)在［［二巳］內(nèi).+<?,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

y=2工無(wú)界，指數(shù)函數(shù)在xf+oo,y-”，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

丁=王里無(wú)界，函數(shù)在（0,+8）內(nèi)，xf0,yf+8,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

X

y=x—國(guó)有界，因?yàn)閤—舊?0,1）,對(duì)任意XGZ）,都有N41成立，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【答案】D

【解析】

【分析】觀察圖象平移伸縮變換規(guī)律，結(jié)合選項(xiàng)判斷.

【詳解】圖②相對(duì)于圖①進(jìn)行了向右平移1個(gè)單位，再橫向縮短為原來(lái)的;，圖②對(duì)應(yīng)函數(shù)為：y=/（2%-l）

故選：D.

8.已知AB是平面。上的點(diǎn)，4,凡是平面夕上的點(diǎn)，且44〃64，則“A4,=3月”是“a〃6”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】在前提條件下，設(shè)p：a//〃，q:AAl=BBl,然后Pnq和qn。是否成立即可.

【詳解】若A3是平面1上的點(diǎn)，A，片是平面夕上的點(diǎn)，且相〃8月，設(shè)p:。///7,

q:=BB],

必要性：pnq,若a〃刀，且有AAZ/BBj,

則44,5耳四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平面4413用，且面A41551c面￡=48,面川內(nèi)用c面，=人用，

所以A3//A3],所以四邊形為平行四邊形，

所以抽=3百，故必要性成立；

充分性：qnp,若A4,=明，且有^〃^與，則四邊形A443為平行四邊形，

所以A3//A3],

因?yàn)锳3是平面a上的點(diǎn)，4,凡是平面夕上的點(diǎn)，

所以ABua，AB]U，，只有兩直線平行無(wú)法得出e〃尸，

所以充分性不成立.

所以“胡是“a〃月”的必要不充分條件.

故選：B.

9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過(guò)1%.已知在過(guò)濾過(guò)程中的

kt

污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過(guò)濾時(shí)間f（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：P=P0-e-（k

為正常數(shù)，月為原污染物數(shù)量）.若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了90%,那么要能夠按規(guī)定排放

廢氣，至少還需要過(guò)濾（）

A.4小時(shí)B.3小時(shí)C.5小時(shí)D.&小時(shí)

2Q。

【答案】c

【解析】

【分析】先利用函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合前5個(gè)小時(shí)消除了90%的污染物，求出常數(shù)人的值，然后根據(jù)污染物的殘

留含量不得超過(guò)1%,列出方程1%好=此6",即可求出結(jié)論.

【詳解】由題意，前5個(gè)小時(shí)消除了90%的污染物，

???「=4/,

/.(1—90%)片=4"5、

???0.1

即一5左=In0.1,

k——In0.1,

5

則由1%外=穌""'，

即ln0.01=：xln0.1,

.?1=10,即總共需要過(guò)濾io小時(shí)，污染物的殘留含量才不超過(guò)1%,

又：前面已經(jīng)過(guò)濾了5小時(shí)，所以還需過(guò)濾5小時(shí).

故本題選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域，考查函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出表

達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.

10.如圖，三棱錐P48C的體積為V,E,尸分別是棱尸8,PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，G是棱上靠近

點(diǎn)2的三等分點(diǎn)，X是棱AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則多面體5CEEGH的體積為()

1”4”5”3”

A.-VB.-VC.-VD.-V

2995

【答案】B

【解析】

【分析】多面體5CFEGH體積為三棱錐E-EHC與四棱錐E-HG8C體積之和，再利用體積之比與高之

比底面積之比的關(guān)系解題即可.

詳解】連接EC,EH,

,SFHC=§X§SPAC

?121212

?*-VE-FHC=~X~VE-APC=WWX=方，

DDDDD乙/

225

SflGBA=SABC_§X§SABC=§SABC，

4

???多面體5CFEG"體積為：VLE->_1F1H2VC-+VE_1H1GBC=-V.

故選：B.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線V=2px（。＞0）上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則。=

【答案】2

【解析】

【詳解】因?yàn)閽佄锞€上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，因此拋物線上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為頂

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即^=l,p=2.

12.已知雙曲線陽(yáng)2+儼=i的一條漸近線的斜率為2,則m=

【答案】」

4

【解析】

【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出。力的值，從而求出漸近線的方程得到斜率，再解關(guān)于加的方

程即可求解.

【詳解】因?yàn)榍€如2+丁=1為雙曲線，所以加〈0,

.人=11

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為丁1一,所以〃=i,人一^,

---y/-m

m

b1

所以雙曲線的漸近線方程為y=土一九=±^=x,

a7—m

11

又因?yàn)殡p曲線一條漸近線的斜率為2,所以^==2,解得m=——.

yj-m4

故答案為：-;

13.已知函數(shù)/(x)=sinox+coso>x3>0)滿足f上恰好有一個(gè)

最小值和一個(gè)最大值.則①=；若?|/(^1)-/(x2)*|=272,則歸一日的值可以為.

JT

【答案】①.4②.一

4

【解析】

【分析】先將f(x)=sinox+cosox化簡(jiǎn)為/(x)=0sin+根據(jù)三］,結(jié)合

正弦函數(shù)周期性得出0=4,當(dāng)/(石)-/(%)|=20時(shí)，對(duì)應(yīng)正弦函數(shù)的最大值與最小值，進(jìn)而求

【詳解】由題意，/(%)=sina>x+cos?x,將其化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式：/(x)=+

根據(jù)條件/用=/庠］，且因?yàn)椤癤)在［，篇上恰好有一個(gè)最小值和一個(gè)最大值，

_,5兀7171271~….

則---------T--,所以g=4；

882CD

當(dāng)/(七)—/(々)|=2后時(shí)，說(shuō)明/(%)和/(%)分別是函數(shù)的最大值和最小值(或反之).

由于/(x)=V2sin［^4x+^,其最大值為&,最小值為—

因此，滿足|/(^)-/(X2)|=2A/2的條件是：/(%1)=A/2,/(%2)=-V2.

JIJIJIjJi

對(duì)應(yīng)于正弦函數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：4x+—=—+Irrm.meZ,4x+—=一+2^71,MGZ.

42242

兀mi

兩者的差為：I再-引=一+一

162

m-rieZ，可得：|玉一/I=一+—，/￡N.當(dāng)加一〃二0，可得:

JT

故答案為：4；-(答案不唯一).

14.生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來(lái)健身，推出打卡送積分活動(dòng)(積分可兌換禮品)，第一天打卡得

1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2積分.若某天未打卡，則當(dāng)天沒(méi)有積分，且第

二天打卡需從1積分重新開始.某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，若連續(xù)打卡5天，則共獲得積分為；若該會(huì)員

從3月1日開始到3月20日，他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天可以是3月

日.

【答案】0.25②.8或13

【解析】

【分析】對(duì)于①，連續(xù)打卡5天的積分：直接使用等差數(shù)列求和公式計(jì)算；對(duì)于②，未打卡日期的確定：假

設(shè)他連續(xù)打卡〃天，第”+1天中斷了，通過(guò)求和公式計(jì)算確定〃=7或12即得.

【詳解】對(duì)于空①，連續(xù)打卡5天的總積分

連續(xù)打卡的積分規(guī)律為：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此類推.

這實(shí)際上是一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列.

前5天的總積分為：$5=1+3+5+7+9=25.

對(duì)于空②，確定未打卡的日期

若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，

且首項(xiàng)為1,公差為2,第〃天所得積分為2〃-1.

假設(shè)他連續(xù)打卡〃天，第”+1天中斷了，則他所得積分之和為：

(l+3+---+2n-l)+[l+3+--?+2(20-1-71)-1]

“(1+2a1)?(19〃)[1+2(19—九)一1]

=193,化簡(jiǎn)得“2—19〃+84=0,

解得〃=7或12,所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日.

故答案為：25；8或13

15.太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰

陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積

同時(shí)等分成兩個(gè)部分，則稱該函數(shù)為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”.

給出下列4個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)丁=/+x可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)

②正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”

③存在不為常數(shù)函數(shù)的偶函數(shù)，使其為圓。的“太極函數(shù)”

④函數(shù)y=/（九）是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=/（%）的圖象是中心對(duì)稱圖形

其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)為

【答案】①②③

【解析】

【分析】應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性及“太極函數(shù)”的定義，通過(guò)逐一分析每個(gè)選項(xiàng)的性質(zhì)，判斷其是否符合“太極函

數(shù)”的定義.

【詳解】①函數(shù)y=是對(duì)稱函數(shù)，其圖象的中心對(duì)稱是（0,0）.因此，它可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)

等分，故①正確;

②正弦函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，且可以通過(guò)適當(dāng)選擇圓心位置和半徑，使得正弦函數(shù)的圖象將圓的

周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分.

因此，正弦函數(shù)可以是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故②正確；

③如圖，函數(shù)y=g（x）是偶函數(shù)，

A（0,l）,D^|,0^|,C（2,0）,A5LBC,AD=CD^,BD=CDcosNODC=:,

于是因此函數(shù)g（x）也是圓好+了2=4的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；

④由選項(xiàng)③知，圓的太極函數(shù)可以是偶函數(shù)，它的圖象不一定關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.在△ABC中，2=典，cosA=巫.

a510

（1）求證：△ABC為等腰三角形；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使△ABC存在且唯一，求6的值.

JT

條件①：ZB=-

6;

條件②：△ABC的面積為一；

2

條件③：A3邊上的高為3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）把2=亞轉(zhuǎn)化為邊心b之間的倍數(shù)關(guān)系，把cosA=典轉(zhuǎn)化為三邊。、6、c之間的關(guān)

a510

系，綜合可得證；

（2）條件①，與已知cosA矛盾，三角形無(wú)解，不可選；

10

條件②，通過(guò)三角形面積公式解得。，可使△ABC存在且唯一;

條件③，通過(guò)轉(zhuǎn)化條件，可使△ABC存在且唯一.

【小問(wèn)1詳解】

在△ABC中，由2=巫，可得/,=巫。

a55

貝由cosA=—，可得=(-----)-+c-2x-------x-----

105510

即(a-c)(3a+5c)=0,故有c=a

故4ABC為等腰三角形.

【小問(wèn)2詳解】

jr57r

選擇條件①：46=2時(shí)，由(1)知c=a,則有NA=NC='"

612

吐葉45萬(wàn)7171V6-A/2V10

此時(shí)"cosA=cos——=cost——I——)=----------豐-------，

1264410

與已知矛盾，三角形無(wú)解.不能選；

選擇條件②：△ABC的面積為"時(shí)，

2

由cosA=得,sin3=sin(〃-2A)=2sinAcosA-2x-—

1010x105

]315

故有]><,/=萬(wàn)，解得a=5,c=5,b=V10.

三角形存在且唯一，可選.

選擇條件③：邊上的高為3.

由cosA=得,sin3=sin(〃-2A)=2sinAcosA-2x-—

1010x105

=3=3

可得sin63,則有C=5,Z?=45.

5

三角形存在且唯一，可選.

綜上可知:選擇條件②時(shí)，三角形存在且唯一，6=廂.

選擇條件③時(shí)，三角形存在且唯一，b=M.

17.如圖，在四棱錐P—ABC力中，底面4BCD為正方形，AB=1.PB=PD=4i，PC=6.

(1)求證：上4,平面ABC。；

(2)M為線段CD的中點(diǎn)，求二面角P——A的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再利用空間位置

關(guān)系的向量證明推理得證.

（2）利用（1）中坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解.

【小問(wèn)1詳解】

在四棱錐P-A3CD中，四邊形ABCD為正方形,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線A5Ao分別為羽y軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0),3(1,0,0),。(1,1,0),。(0,1,0),/(；,1,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)(z>0),

(x-1)23+y2+z2=2

由PB=PD=?PC=g,得</+(y—l)?+z2=2,解得尤=y=0,z=l,

(x-l)2+(y-l)2+z2=3

P(0,0,l),AP=(0,0,l),A5=(1,0,0),AD=(0,1,0),

APAB^0,APAD^0,則以，而ABAD=A,AB,ADu平面ABC。,

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，平面的法向量為AP=(0,0,l),BP=(-l,0,l),BM=(-1-,1,0),

n-BP=—〃+c=0

設(shè)平面PBM的法向量為"=（。也c）,貝卜1，取〃=2,得幾=(2,1,2),

n-BM=—a+b=0

2

由圖知二面角尸-BN-A的平面角是銳角，設(shè)為

\AP-n\22

因此cos0=|cos〈AP,"〉|=

\AP\\n\~lx3~3

2

所以二面角P——A的余弦值為一.

3

18.為豐富校園文化生活，學(xué)校舉辦了乒乓球比賽.決賽采用三局二勝制的比賽規(guī)則（先贏得2局的隊(duì)伍獲

勝并結(jié)束比賽）.已知甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽，且根據(jù)以往比賽統(tǒng)計(jì)得知，在每局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為

P（O<P<1）,乙隊(duì)獲勝的概率為1—0,每局比賽的結(jié)果互不影響.

（1）若p=2,求乙隊(duì)以2：0獲勝的概率；

3

（2）若p=2,比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)記為X,求X的期望；

3

（3）若比賽打滿3局的概率記為/（夕），請(qǐng)直接寫出了（夕）的最大值及此時(shí)"的值，并解釋此時(shí)的實(shí)際意

義.

【答案】（1）1

⑵-

3

（3）最大值為此時(shí)〃=意義見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三局二勝制規(guī)則，乙隊(duì)以2:0獲勝意味著乙隊(duì)在前兩局中均獲勝，因此概率為（I-。）2代

2_

入p=—即可.

3

（2）X的期望通過(guò)加權(quán)平均的方式計(jì)算，需分別計(jì)算P（X=0）、P（X=1）和P（X=2）的概率，并

結(jié)合X的取值進(jìn)行加權(quán)求和.

（3）打滿3局的概率f（p）=2p（l-p）是一個(gè)關(guān)于P的二次函數(shù)，其最大值出現(xiàn)在對(duì)稱軸p=g處，

最大值為，這表明當(dāng)兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)時(shí)，比賽最有可能打滿3局.

【小問(wèn)1詳解】

乙隊(duì)以2:0獲勝意味著乙隊(duì)在前兩局中均獲勝.乙隊(duì)每局獲勝的概率為1-〃，因此乙隊(duì)以2:0獲勝的概率

為：

尸（乙隊(duì)2:0獲勝）=（1-pH

代入p=2,得：

3

P（乙隊(duì)2:0獲勝）=11-1J

【小問(wèn)2詳解】

比賽結(jié)束時(shí)甲隊(duì)獲勝的局?jǐn)?shù)X的可能取值為0、1或2.計(jì)算各情況的概率如下：

X=O；甲隊(duì)一局未勝，即乙隊(duì)以2:0獲勝，概率為尸（X=0）=（1—0）2.

X=l：甲隊(duì)僅勝1局，乙隊(duì)勝2局，可能的情況有兩種（甲勝第1局或第2局），概率為:

2

P（X=1）=2X1-JP）.

X=2：甲隊(duì)勝2局，可能的情況有兩種（甲勝前2局或后2局），概率為：

222

P（X=2）=jp+jp（l-jp）=jp（2-jp）.

因此，X的期望為：

E（X）=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）,

代入p=2,得：

3

E（X）=Oxl+lx2x|x（lJ+2x（|Jx（2-0

4

化簡(jiǎn)后得￡（X）=-.

【小問(wèn)3詳解】

比賽打滿3局的概率f（p）表示比賽進(jìn)行到第3局才分出勝負(fù).

這種情況發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)前兩局雙方各勝1局，因此：f⑺=2p（l-p）.

將f（p）視為關(guān)于P的函數(shù)，其最大值出現(xiàn)在°處，最大值為：

實(shí)際意義是當(dāng)甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)時(shí)，比賽打滿3局的概率最大.

22

19.己知橢圓氏二+2=1（?！?〉0）的左右焦點(diǎn)分別為可，工，以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四

ab

邊形是邊長(zhǎng)為近的正方形.A為圓。：/+丁2=。2上一點(diǎn)（不在X軸上），2為橢圓￡上一點(diǎn)，且滿足

A5軸，直線/與圓。切于點(diǎn)人過(guò)《作/的垂線，垂足為

（1）求橢圓E的方程及圓。的方程；

（2）求證：忸刈+忸閭為定值.

【答案】（1）--+y2=l,f+/=2

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知得出c=＞，且°2+/=2進(jìn)而求得a,",c,即可求得橢圓和圓的方程；

（2）首先由橢圓方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A的坐標(biāo)為（西，兄），8的坐標(biāo)為（看,%），不妨取玉＞0,根據(jù)點(diǎn)

到直線距離公式求得閨閭，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得忸閭，即可證明|耳閭+忸閭=2及為定值.

【小問(wèn)1詳解】

已知以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為行的正方形，設(shè)橢圓的焦距為2c,

則：c=b,且°2+方2=2，

所以c=沙=1,標(biāo)=°2=2,則橢圓E的方程為：±-+y2=1,

圓。的方程為：X2+y2=2.

【小問(wèn)2詳解】

證明：由橢圓方程得片（—1,0）,鳥（1,0）,

因?yàn)锳BJ,尤軸，所以設(shè)A的坐標(biāo)為（毛，yj,8的坐標(biāo)為（看,%），不妨取凡＞。，

因?yàn)橹本€/與圓。切于點(diǎn)A,切線/的方程為：x/+xy=2,

因?yàn)榭梢?LI,所以優(yōu)閭=I2，!=、*=坐為+血，

Jx：+才V22

由3（%,%），耳（L0）得，忸研=&-爐+犬,

又放+貨=1，所以忸閭2=（中球+]_5_=2^+2=—2）,

乙ZZZ

因?yàn)闉椋?,所以忸引=2卷=拒—孝王，

所以由M+忸用=￥xi+J^+—日西=2后.

20.設(shè)函數(shù)〃x)=ln(l+x)+奴億WO),直線/是曲線y=/(x)在點(diǎn)?,/(。)(/>—1且"0)處的切線.

(1)當(dāng)上=—1時(shí)，求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)；

⑶當(dāng)左=—1時(shí)，設(shè)點(diǎn)1且山0),。(0"⑺)。(0,0),8為/與y軸的交點(diǎn)，S.AC。

與sAB0分別表示.ACO與的面積，是否存在點(diǎn)A使得sAC。=2SAB0成立？若存在，這樣的

點(diǎn)A有幾個(gè)？

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)

(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，一個(gè)

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究求得單調(diào)區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進(jìn)而證明；

(3)利用切線方程，求得各相關(guān)三角形的面積表達(dá)式，根據(jù)題意列出方程并利用導(dǎo)數(shù)研究求解.

【小問(wèn)1詳解】

1_

解：當(dāng)左=一1時(shí)，函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,(x>-l),/'(x)=------1=——T.

令/,(%)=0,解得X=Q.

當(dāng)%e(-l,0)時(shí)，r(%)>0,故/(%)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(0,+co)時(shí)，故/(%)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞減.

因此，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+“).

【小問(wèn)2詳解】

證明：直線/是曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線，其斜率為/'(?).

因此，切線方程為：=

將原點(diǎn)(0,0)代入該方程，得到:O-/(r)=r(x)(O-r),即：f(t)=tf'(x).

由題意/(x)=ln(l+x)+Ax,則:=ln(l+/)+H,=---\-k.

代入上式：In(1+/)+Az=~

化簡(jiǎn)后得到：ln(l+"=/?占

兩邊同乘以1+t(注意t>-l且rwO),

得：=

設(shè)g(，)=(l+/)ln(l+/)T,

則g")=0是上述等式的必要條件.

又因?yàn)間'(/)=ln(l+f),

在區(qū)間(―1,0)內(nèi)g'?)<0,g")單調(diào)遞減；在區(qū)間(0,+“)內(nèi)g'?)>0,g(。單調(diào)遞增;

所以g⑺皿=g(°)=。，

所以g”)=0僅在7=0時(shí)成立，

而題目要求因此，

所以直線/不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0).

【小問(wèn)3詳解】

解:當(dāng)左=一1時(shí)，函數(shù)為：/(x)=ln(l+x)-x.

導(dǎo)數(shù)：r(x)=J--1,

在點(diǎn)A”,/處的切線方程為：

即：f----])(x—1)+ln(l+1)—/,

切線與y軸的交點(diǎn)B是％=o時(shí)的〉值:

A(療⑺)，C(0,/(?)),0(0,0),

A(?,/(?)),&(O,yB),0(0,0),

x

SABO=-lln(l+/)-.

由SAC0=2SABO得力|ln(l+/)—/|=2x—|t\In(1+?)--~,

化簡(jiǎn)得Iln(l+?)-z|=2ln(l+?)-j-^-*.

因?yàn)?>T且/WO,可以去掉絕對(duì)值符號(hào)(注意符號(hào)分析)：

由(1)得/")=ln(l+?！?，的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+“).

/心八°)=°，

所以ln(l+f)—fWO對(duì)于.>—1恒成立.

所以lnx?x-l對(duì)于x>0恒成立,

所以—1對(duì)于％>0恒成立,

XX

即InxNl—工，對(duì)于x>0恒成立，

X

所以ln(l+f)21——二=一一對(duì)于/>—1恒成立.

''1+t1+t

即ln(l+“—±20.

2t

所以(*)式即為/—ln(l+/)=21n(l+/)—幣,

t+3t

化簡(jiǎn)得31n(l+?！?0(**)

1+t

3⑵+3)(1+。-/-31一『+方

則/⑺=1丁

("(1+/)2

在(―1,0)上力(，)