2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一元二次方程

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一元二次方程

選擇題（共10小題）

1.（2025?新鄉(xiāng)模擬）關(guān)于x的一元二次方程7-mx-2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

2.（2025?肇州縣模擬）新年將至，某商場(chǎng)對(duì)一款智能音箱進(jìn)行降價(jià)促銷，其零售價(jià)由最初的100元經(jīng)過(guò)

兩次降價(jià)后變?yōu)?1元，且兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為無(wú)，可列方程為（）

A.100（1-%2）=81B.100（1-%）2=81

C.81（1+無(wú)）2=100D.100（1-2%）=81

3.（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，

主干、支干和小分支的總數(shù)是133,求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則下面

所列方程正確的是（）

A.（1+x）2=133B.1+7=133

C.l+x+/=133D.l+2x=133

4.（2025?柳州一模）若關(guān)于x的一元二次方程？-2尤+左=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

5.（2025?方山縣一模）俗語(yǔ)有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼

看其意思是知識(shí)和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過(guò)的東西就會(huì)被遺忘.假設(shè)每天“遺

忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：V2x1.414）

（）

A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

6.（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）設(shè)方程2/+4彳+6=0的兩實(shí)數(shù)根為xu2,貝!1xi+x2+xix2的值為（）

A.1B.2C.-1D.5

7.（2025?長(zhǎng)安區(qū)一模）已知關(guān)于尤的一元二次方程/+（2-左）尤-1=0的兩根互為相反數(shù)，則上的值為

（）

A.-2B.2C.6D.-6

8.（2025?紅花崗區(qū)校級(jí)一模）商場(chǎng)某種商品平均每天可售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫(kù)存,

商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.若商場(chǎng)

銷售該商品日盈利要達(dá)到2100元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件商品降價(jià)尤元，依題意可列方程

（）

A.（50+無(wú)）（50-2%）=2100B.（50+無(wú)）（30+2x）=2100

C.（50-x）（30-2x）=2100D.（50-x）（30+2尤）=2100

9.（2025?石家莊一模）下列關(guān)于龍的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2+/nx=0B.x2-mx=GC.x2+/nx+3=0D.j^+mx-3=0

10.（2025?廣東模擬）若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程7-7x+10=0的兩根，則等腰三角形的周長(zhǎng)為

（）

A.9B.10C.12D.9或12

填空題（共5小題）

11.（2025?泗陽(yáng)縣一模）對(duì)于實(shí)數(shù)°,匕定義新運(yùn)算：aW=a/-b,若關(guān)于x的方程左※x=1有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是.

11

12.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）若m,n是一元二次方程?+3x-2=0的兩個(gè)根，則一+一的值

mn

是.

13.（2025?合肥一模）已知方程7-4x+%=0的一個(gè)根為5,則方程的另一個(gè)根為.

14.（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）某廠2021年生產(chǎn)A產(chǎn)品成本是5000元，隨著技術(shù)研發(fā)進(jìn)步，2023年生產(chǎn)A

產(chǎn)品成本是3000元.設(shè)這兩年A產(chǎn)品成本年平均下降率為x,可列方程為.

15.（2025?常州模擬）若關(guān)于x的方程f+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）某商店銷售一批商品，每件該商品的成本為100元，若按每件140元的售價(jià)

銷售，則每周可賣100件.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不虧本的前提下，每件該商品的售價(jià)每降低1元，每周

便能多賣10件.要使每周總利潤(rùn)為6000元，且盡可能給顧客優(yōu)惠，則該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)多少

元？（列方程解決問(wèn)題）

17.（2025?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）我校為了讓學(xué)生體驗(yàn)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的樂(lè)趣，決定從市場(chǎng)購(gòu)買氯化鈉溶液和硫酸

銅溶液供實(shí)驗(yàn)使用.已知每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)比氯化鈉溶液的售價(jià)多2.5元，花100元用于購(gòu)買的氯

化鈉溶液比花400元購(gòu)買硫酸銅溶液少40瓶.（1）求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價(jià)分別為多少

元？

（2）為了加大培養(yǎng)學(xué)生對(duì)化學(xué)的興趣，學(xué)校決定再次購(gòu)買這兩種溶液，調(diào)查發(fā)現(xiàn)每瓶硫酸銅溶液的成

本是。元，每瓶氯化鈉溶液的成本是0.5a元，已知第二次購(gòu)買硫酸銅的數(shù)量比第一次購(gòu)買的數(shù)量少5a

瓶，購(gòu)買的氯化鈉溶液的數(shù)量是第一次的2倍，商家獲利330元，求。的值.

18.(2025?長(zhǎng)沙模擬)技術(shù)創(chuàng)新引領(lǐng)發(fā)展，隨著電池技術(shù)和智駕技術(shù)的進(jìn)步，在長(zhǎng)沙建廠的某品牌新能源

車企實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)銷逆勢(shì)增長(zhǎng).據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，該車企2024年8月份新能源汽車的銷量約為40萬(wàn)輛，同年

10月份的銷量達(dá)到約50萬(wàn)輛.

(1)求該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率；(參考數(shù)據(jù)：4=2.24)

(2)該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%,同年12月份新能源車銷量比10

月份增加約3%,求該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為多少萬(wàn)輛？

19.(2025?西青區(qū)校級(jí)一模)已知關(guān)于x的一元二次方程/-3X+7〃=O.

(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)數(shù)根為尤1,X2,且滿足3x1+3尤2-2x1,無(wú)2=5,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

20.(2025?常州模擬)解下列方程：

(1)x2-4x-3=0；

(2)(x-2)2=(2x+3)2.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一元二次方程

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案ABCACABDDC

選擇題（共10小題）

1.（2025?新鄉(xiāng)模擬）關(guān)于X的一元二次方程/-mx-2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【考點(diǎn)】根的判別式.

【答案】A

【分析】計(jì)算一元二次方程（aWO）根的判別式△=/-4ac,當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

【解答】解：；△=（-相）2_4X1X（-2）=川+8>0,

.?.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根據(jù)■元二次方程的根的判別式判斷■元二次方程的根的情況，解題的關(guān)鍵是掌握

一元二次方程的判別式.

2.（2025?肇州縣模擬）新年將至，某商場(chǎng)對(duì)一款智能音箱進(jìn)行降價(jià)促銷，其零售價(jià)由最初的100元經(jīng)過(guò)

兩次降價(jià)后變?yōu)?1元，且兩次降價(jià)的百分率相同，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為無(wú)，可列方程為（）

A.100（14）=81B.100（1-%）2=81

C.81（1+無(wú)）2=100D.100（1-2%）=81

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】B

【分析】利用經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格=原價(jià)X（1-平均每次降價(jià)的百分率）2,即可列出關(guān)于尤的一元

二次方程，此題得解.

【解答】解：根據(jù)題意得：100（1-X）2=81.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

3.（2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，

主干、支干和小分支的總數(shù)是133,求每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則下面

所列方程正確的是（）

A.（1+x）2=133B.1+/=133

C.l+x+/=133D.l+2x=133

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支”可知：支干的數(shù)量為尤個(gè)，小分支的數(shù)量為

x2個(gè)，然后根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是133就可以列出方程.

【解答】解：依題意得支干的數(shù)量為x個(gè)，

小分支的數(shù)量為X'X=J?個(gè)，

那么根據(jù)題意可列出方程為：l+x+/=133.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查從實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2025?柳州一模）若關(guān)于尤的一元二次方程/-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>0,可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的

取值范圍，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【解答】解：:?關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+%=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A=（-2）2-4X1義左=4-4上>0,

解得：故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是牢記“當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”.

5.（2025?方山縣一模）俗語(yǔ)有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼

看.”其意思是知識(shí)和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過(guò)的東西就會(huì)被遺忘.假設(shè)每天“遺

忘”的百分比是一樣的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數(shù)據(jù)：&=1.414）

（）

A.20.3%B.25.2%C.29.3%D.50%

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】設(shè)每天“遺忘”的百分比為x,根據(jù)兩天不練丟一半列方程解答即可.

【解答】解：設(shè)每天“遺忘”的百分比為尤，

（1-X）2=

解得Xl=，區(qū),X2=亨（不合題意，舍去），

2-V2

,/-------=0.293,

2

；.每天“遺忘”的百分比約為29.3%.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵根據(jù)題意正確確定等量關(guān)系.

6.（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）設(shè)方程2苫2+4尤+6=0的兩實(shí)數(shù)根為xix2,貝!Jxi+x2+xix2的值為（）

A.1B.2C.-1D.5

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出X1+尤2=-2、X1X2=3,將其代入尤1+X2+X1無(wú)2中即可求出結(jié)論.

【解答】解：?.?尤1、X2是一元二次方程2f+4x+6=0的兩實(shí)數(shù)根，

??—2,X1X2=3,

XI+X2+X1X2--2+3=1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于兩根之積等于￡是解題的關(guān)鍵.

aa

7.(2025?長(zhǎng)安區(qū)一模)已知關(guān)于尤的一元二次方程/+(2-左)%-1=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為

()

A.-2B.2C.6D.-6

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題.

【解答】解：由題知，

關(guān)于x的一元二次方程/+(27)尤-1=0的兩根之和為左-2,

因?yàn)榇朔匠痰膬筛橄喾磾?shù)，

所以k-2=0,

解得k—2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.(2025?紅花崗區(qū)校級(jí)一模)商場(chǎng)某種商品平均每天可售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫(kù)存，

商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.若商場(chǎng)

銷售該商品日盈利要達(dá)到2100元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件商品降價(jià)尤元，依題意可列方程

()

A.(50+x)(50-2%)=2100B.(50+尤)(30+2x)=2100

C.(50-x)(30-2x)=2100D.(50-%)(30+2尤)=2100

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

【答案】D

【分析】設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件的銷售利潤(rùn)為(50-%)元，平均每天的銷售量為(30+2無(wú))件,

利用銷售該商品獲得的利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)X每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.

【解答】解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件的銷售利潤(rùn)為(50-%)元，平均每天的銷售量為(30+2x)

件，

依題意得：(50-尤)(30+2%)=2100.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

9.(2025?石家莊一模)下列關(guān)于x的一元二次方程中，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是()

A.x2+mx=0B.x2-mx=QC./+機(jī)x+3=0D.j^+inx-3=0

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則需A=b2-4?c>0,據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

【解答］解：VA=m2,

.?.當(dāng)△=加2=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；

B、A=nT,

...當(dāng)△=??=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)不符合題意；

C、?/A=m2-12,

.?.當(dāng)八=%2一12<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、,/A=m2+12>0,

方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.

10.(2025?廣東模擬)若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程/-7x+10=0的兩根，則等腰三角形的周長(zhǎng)為

()

A.9B.10C.12D.9或12

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】先利用因式分解法解方程得到xi=5,超=2,再利用三角形三邊的關(guān)系確定等腰三角形的三邊

分別為5、5、2,然后計(jì)算它的周長(zhǎng).

【解答】解：？-7x+10=0,

(x-5)(x-2)=0,

x-5=0或x-2=0,

解得=5,X2=2,

因?yàn)?+2=4<5,

所以等腰三角形的三邊分別為5、5、2,

所以等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+2=12.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角形三邊的關(guān)系.

填空題（共5小題）

11.（2025?泗陽(yáng)縣一模）對(duì)于實(shí)數(shù)a,。定義新運(yùn)算：a?b=aa-b,若關(guān)于x的方程左※x=1有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是左>一二且y0.

【考點(diǎn)】根的判別式；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

1

【答案】人〉一才且上W0.

【分析】根據(jù)新定義把已知化為一元二次方程，再由A>0,上W0可得答案.

【解答】解：；冰尤=1,

.,.kx2-x—1,即小-工-1=0,

???關(guān)于尤的方程上※尤=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A1-4JtX（-1）>0且上W0,

解得上〉一5且上wo,

1

故答案為：上》—《且％W0,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的判別式，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握△>0時(shí)，一元二次方程

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

113

12.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）若加，"是一元二次方程x?+3x-2=0的兩個(gè)根，則一+一的值是：.

mn-2一

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

3

【答案】

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得〃z+w=-3,7博=-2,然后把所給代數(shù)式通分后代入求解即可.

【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，

m+n=-3,mn=-2,

11TH+TI—33

,+rimn-22'

3

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記：一元二次方程〃/+云+c=o(〃

WO)的兩個(gè)根為XI,XI,則Xl+X2=-￡,X1*X2=

13.(2025?合肥一模)已知方程/-公+仁。的一個(gè)根為5,則方程的另一個(gè)根為-1.

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】-1.

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問(wèn)題.

【解答】解：由題知，

方程7-4x+左=0的兩根之和為4,

因?yàn)榇朔匠痰囊粋€(gè)根為5,

所以方程的另一個(gè)根為-L

故答案為：-L

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

14.(2025?西青區(qū)校級(jí)一模)某廠2021年生產(chǎn)4產(chǎn)品成本是5000元，隨著技術(shù)研發(fā)進(jìn)步，2023年生產(chǎn)A

產(chǎn)品成本是3000元.設(shè)這兩年A產(chǎn)品成本年平均下降率為無(wú)，可列方程為5000(1-x)2=3000.

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】5000(1-尤)2=3000.

【分析】設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品成本的年平均下降率為x,則2022年生成A產(chǎn)品的成本為5000(1-尤)元，2023

年在5000(1-%)元的基礎(chǔ)之又下降x,變?yōu)?000(1-x)(1-x)即5000(1-x)?元，進(jìn)而可列出

方程.

【解答】解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品成本的年平均下降率為尤，則2023年生產(chǎn)A產(chǎn)品的成本為5000(1-尤)2

萬(wàn)元，

根據(jù)題意得，5000(1-x)2=3000.

故答案為：5000(1-x)2=3000.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出

合適的等量關(guān)系，列出方程.

15.（2025?常州模擬）若關(guān)于x的方程/+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為1.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】1.

【分析】方程無(wú)2+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知A=22-4C=0,然后即可計(jì)算出c的值.

【解答】解：:?方程/+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=22-4c=0,

解得c=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，A=0.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）某商店銷售一批商品，每件該商品的成本為100元，若按每件140元的售價(jià)

銷售，則每周可賣100件.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不虧本的前提下，每件該商品的售價(jià)每降低1元，每周

便能多賣10件.要使每周總利潤(rùn)為6000元，且盡可能給顧客優(yōu)惠，則該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)多少

元？（列方程解決問(wèn)題）

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)20元.

【分析】設(shè)該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)尤元，根據(jù)要使每周總利潤(rùn)為6000元，列出一元二次方程，解

之取符合題意的值即可.

【解答】解：設(shè)該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)尤元，

根據(jù)題意得：（140-100-尤）（100+10%）=6000,

整理得：7-30x+200=0,

解得：xi=20,尤2=10（不符合題意，舍去），

答：該商店應(yīng)將每件該商品降價(jià)20元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）我校為了讓學(xué)生體驗(yàn)化學(xué)實(shí)驗(yàn)的樂(lè)趣，決定從市場(chǎng)購(gòu)買氯化鈉溶液和硫酸

銅溶液供實(shí)驗(yàn)使用.己知每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)比氯化鈉溶液的售價(jià)多2.5元，花100元用于購(gòu)買的氯

化鈉溶液比花400元購(gòu)買硫酸銅溶液少40瓶.（1）求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價(jià)分別為多少

元？

（2）為了加大培養(yǎng)學(xué)生對(duì)化學(xué)的興趣，學(xué)校決定再次購(gòu)買這兩種溶液，調(diào)查發(fā)現(xiàn)每瓶硫酸銅溶液的成

本是。元，每瓶氯化鈉溶液的成本是0.5°元，已知第二次購(gòu)買硫酸銅的數(shù)量比第一次購(gòu)買的數(shù)量少5a

瓶，購(gòu)買的氯化鈉溶液的數(shù)量是第一次的2倍，商家獲利330元，求。的值.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）每瓶氯化鈉溶液的售價(jià)為2.5元，每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)為5元;

(2)a=2.

【分析】（1）設(shè)每瓶氯化鈉溶液的售價(jià)為x元，每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)為y元，根據(jù)花100元用于購(gòu)買

的氯化鈉溶液比花400元購(gòu)買硫酸銅溶液少40瓶，列出分式方程，解方程即可;

（2）利用總利潤(rùn)=每瓶的銷售利潤(rùn)X銷售數(shù)量，可列出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其符合題意的

值即可.

【解答】解：（1）設(shè)每瓶氯化鈉溶液的售價(jià)為x元，則每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)為（龍+2.5）元,

100400

根據(jù)題意得：V=一40,

解得：x=2.5,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=2.5是原方程的解，且符合題意,

.,.尤+2.5=5,

答：每瓶氯化鈉溶液的售價(jià)為2.5元，每瓶硫酸銅溶液的售價(jià)為5元;

(2)根據(jù)題意得：(2.5-0.5a)X40X2+(5-a)X(80-5a)=330,

整理得：a2-29o+54=0,

解得：ai=2,42=27（不符合題意，舍去）.

答：。的值為2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

18.（2025?長(zhǎng)沙模擬）技術(shù)創(chuàng)新引領(lǐng)發(fā)展，隨著電池技術(shù)和智駕技術(shù)的進(jìn)步，在長(zhǎng)沙建廠的某品牌新能源

車企實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)銷逆勢(shì)增長(zhǎng).據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，該車企2024年8月份新能源汽車的銷量約為40萬(wàn)輛，同年

10月份的銷量達(dá)到約50萬(wàn)輛.

（1）求該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率；（參考數(shù)據(jù)：逐=2.24）

（2）該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%,同年12月份新能源車銷量比10

月份增加約3%,求該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為多少萬(wàn)輛？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；有理數(shù)的混合運(yùn)算.

【專題】實(shí)數(shù)；一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】(1)該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率約為12%；

(2)該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為152.2萬(wàn)輛.

【分析】(1)設(shè)該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率為無(wú)，根據(jù)該車企2024

年8月份新能源汽車的銷量約為40萬(wàn)輛，同年10月份的銷量達(dá)到約50萬(wàn)輛，列出一元二次方程，解

之取符合題意的值即可；

(2)根據(jù)該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%,同年12月份新能源車銷量比

10月份增加約3%,列式計(jì)算即可.

【解答】解：(1)設(shè)該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率為尤，

由題意得：40(1+x)2=50,

解得：xi?0.12=12%,-2.12(不符合題意，舍去)；

答：該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長(zhǎng)率約為12%；

(2)50+50X(1+1.4%)+50X(1+3%)

=50+50.7+51.5

=152.2(萬(wàn)輛)，

答：該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為152.2萬(wàn)輛.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?西青區(qū)校級(jí)一模)已知關(guān)于x的一元二次方程/-3x+m=0.

(1)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)數(shù)根為xi,xi,且滿足3XI+3X2-2xi，X2=5,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】⑴m<-

(2)m=2.

【分析】(1)直接根據(jù)判別式直接進(jìn)行求解即可；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系代入數(shù)式即可求解.

【解答】解：(1)??,關(guān)于X的一元二次方程--3%+根=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

，A>0,

.*.9-4m>0,

.J

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系：XI+%2=3,xi*x2=m,

3xi+3x2-2xiX2=9-2m—5,

:?m=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟知XI,茶是一元二次方程水2+bx+c

=0(a=0)的兩根時(shí)，x\+xi=xix2=搟是解題的關(guān)鍵.

20.(2025?常州模擬)解下列方程：

(1)x2-4x-3=0；

(2)(x-2)2=(2x+3)2.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】(1)=2+V7,x2-2-V7;

(2)%i=一乂2=-5.

【分析】(1)利用配方法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

(2)利用因式分解法對(duì)所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)?-4x-3=0,

x2-4x+4=3+4,

(x-2)2=7,

則x-2=±V7,

所以/=2+V7，%2=2—V7.

(2)(尤-2)2=(2x+3)2,

(尤-2)2-⑵+3)2=0,

(%-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,

(3x+l)(-x-5)=0,

則3x+l=0或-x-5=0,

以XI——g,%2=—5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元二次方程-配方法及解一元二次方程-因式分解法，熟知配方法及因式

分解法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.有理數(shù)的混合運(yùn)算

(1)有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)

算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.

(2)進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化

為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算.

2.湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積

為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算.

4.巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡(jiǎn)便.

2.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，

又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

(2)在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、塞的運(yùn)算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)

算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

3.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這尤1,尤2是一元二次方程ci^+bx+cuO(a#0)

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

axi2+Z?xi+c=0(aWO),ax22+bx2+c=O(aWO).

4.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(尤+優(yōu))2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為小+61+。=0(aWO)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無(wú)實(shí)數(shù)解.

5.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

6.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廿-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程a^+b