2025年中考數(shù)學幾何解題方法復(fù)習：圓的綜合探究

第13節(jié)圓的綜合探究

一、知識梳理

定邊對30。,45。,60。,120。定角類問題

①如圖13-1所示，若/P=30。以AB為邊,同側(cè)構(gòu)造等邊三角形AOB,點O即為△ABP的外接圓的圓心.

②如圖13-2所示，若NP=45。,以AB為斜邊，同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AOB,點O即為△ABP的外接圓的圓

心.

③如圖13-3所示，若/P=60。以AB為底，同側(cè)構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形AOB,點O即為△ABP的外接圓

的圓心.

④如圖34所示，若NP=120。，以AB為底，異側(cè)為邊構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形AOB，點O即為△AB

P的外接圓的圓心.

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可知，定邊所對的與30。角同側(cè)的軌跡是優(yōu)弧，則其所對的與150。角同側(cè)的軌跡是

劣??；定邊所對的與45。角同側(cè)的軌跡是優(yōu)弧，則其所對的與135。角同側(cè)的軌跡是劣?。欢ㄟ吽鶎Φ呐c60。角同側(cè)

的軌跡是優(yōu)弧，則其所對的與120。角同側(cè)的軌跡是劣弧.

【例】如圖13-5所示，在四邊形ABCD中,/ABC=60。,連接AC,BD相交于點E,EC=2AE=4.若BE=2ED則BD

的最大值為—.

解:如圖13-6所示，作△ABC的外接圓。O,連接OBQAQCQE,過點O作OH,AC于點H.

,/ZAOC=2ZABC,ZABC=60°,

ZAOC=120°.

：EC=2AE=4,

：.AE=2.

/.AC=AE+EC=6.

VOA=OC,OH±AC,

ZOAC=ZOCA=30°,AH=HC=3,EH=AH-AE=1.

OHAH-tan30°=V3.

OE=70H2+EH2=J(V3)2+l2=2,

OA=20H=2V3.

OB=0A=2V3.

BE<OB+OE,

BE42+2代，即BE的最大值為2+2遍.

VBE=2DE,

；?DE的最大值為1+V3.

BD的最大值為3+3V3.

二、分層練習

萬丈高樓平地起

1.如圖13-7所示，在半徑為6cm的。0中，點A是劣弧BC的中點，點D是優(yōu)弧BC上的一點,AO,BC相

交于點E,且/D=30。，下列四個結(jié)論中正確的是—（填寫序號）.

①OA_LBC;

@BC=6y/3cm;

③sin/AOB=y；

④四邊形ABOC是菱形.

圖13-7

2.如圖13-8所示,AB是。0的直徑,AM,BN是。0的兩條切線，點C,D分別在AM,BN上,DC與。。相切于點E,

連接OD,OC,BE,AE,BE與OC相交于點P,AE與OD相交于點Q,AD=4,BC=9.下列結(jié)論中正確的是（填寫序號）.

①。O的半徑為葭;

②OD〃BE;

③吁喑

④tan"EP=

圖13-8

3.如圖13-9所示，點C在以AB為直徑的半圓上,AB=8,/CBA=30。,點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于

AC對稱，DFXDE于點D,并交EC的延長線于點F,下列結(jié)論中正確的有（）.

①CE=CF;②線段EF的最小值為2百;③當AD=2時,EF與半圓相切;

④若點F恰好落在弧BC上，則4。=2V5.

A.①③

B.②③

C.①②③

D.①②③④

4.如圖13-10所示,正方形ABCD的邊長為1,以AB為直徑作半圓，點P是CD的中胃J如為半圓相交于點Q,

連接DQ,下列結(jié)論中正確的是—(填寫序號).

①DQ=1；

②券

③SAPDQ=g；

(4)cosz.ADQ=

圖13-10

5.如圖13-11所示，線段BC和動點A構(gòu)成△ABC,Z.BAC=1200,BC=3,則4ABC周長的最大值為.

6.⑴問題發(fā)現(xiàn):如圖13-I2(a)所示點A和點B均在。O上，且.N力OB=90。,點P和點Q均在射線AM上若

^APB=45。，，則點P與。O的位置關(guān)系是____;若UQB<45。，，則點Q與。O的位置關(guān)系是____.

⑵問題解決:如圖13-12(b)所示在四邊形ABCD中,ABSBC.AD^DC,Z.DAB=135。,且4B=1,AD=2Vx點P

是BC邊上的任意一盧當/4PD=45?？诖缜驲P的N

(a)(b)(備用圖)

7.如圖13-13圖13-12

⑴如圖13-13(a)所示點M是AD上的任意一點，則.ABMC的面積為;

(2攻口圖13-13(b)所示，點N是AD上的任意一點，則△BNC周長的最小值為;

(3)如圖13-13?所示.在人口上是否存在一點已使得(854「。的值最小?若存在，求出此時cos/BPC的值；若

不存在，請說明理由.

圖13-13

8.一山莊的平面圖為如圖13-14所示的五邊形ABCDE,山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝

置，監(jiān)視邊AB.現(xiàn)只要使UMB為60。，，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳.已知/乙4=NE="=90°,AB=

270m,AE=400m,ED=285m,CD=340TH,,問在線段CD上是否存在點M，使乙4MB=60。?若存在，請求出符

合條件的DM的長；若不存在，請說明理由.

圖13-14

第13節(jié)圓的綜合探究

1.①②③④.

2.解如圖108所示作DKXBC于點K,連接OE.

：AD,BC是。O的切線，

/.ZDAB=ZABK=ZDKB=90°.

四邊形ABKD是矩形.

圖108

；.DK=AB,BK=AD=4.

：DC與。O相切于點E,

；.DA=DE=4,CE=BC=9.

「在RSDKC中,DC=DE+CE=13,CK=BC-BK=5,

DK=y/DC2-CK2-12.

/.AB=DK=12.

???OO的半徑為6,故①錯誤.

,-,DA=DE,OA=OE,

OD垂直平分AE.

點Q為AE的中點.

同理可得，OC垂直平分BE.

VAO=BO,

.??點。為AB的中點.

；.OD〃:BE,故②正確.

：BN是。O的切線QC,BE,

ZBPC=ZOBC=90°.

又：/c=/c,

ABPC^AOBC.

.PB_BC

"BO-OC

；在4OBC中,OC=y/OB2+BC2=V62+92=3g,

PB=嚶=疑=等，故③正確?

OC3V1313

VCE=CB,

ZCEB=ZCBE.

???tanzCEP=tanzCBP=tanzCOB=~=^=|,故④錯誤.

故答案為②③正確.

F

3.解:如圖109所示，連接DC,CO.

?，點E與點D關(guān)于AC對稱，

CE=CD.

：.ZE=ZCDE.

??,DF^DE,ADOB

：.ZEDF=90°.圖109

JZE+ZF=90°.

???ZCDE+ZCDF=90°,

ZF=ZCDF.

：.CD=CF.

；.CE=CD=CF,故①正確.

：CE=CD=CF,

.\EF=2CD.

二當CD最小時,EF最小.

.?.當CDLAB時CD最小.

VAB是半。。的直徑，

ZACB=90°.

VAB=8,ZCBA=30°,

AC==4,ACAB=90°-ACBA=60°.

;在RtAADC中，CD=AC-sin60°=4Xy=2V3,

???EF=2CD=4V3.

..?線段EF的最小值為4百,故②不正確.

VOA=OC,ZA=60°,

...△AOC是等邊三角形.

???N4C。=60°.

??,AD=2,0A=4,

：.OD=OA-AD=4-2=2.

AAD=OD.

.-./.ACD=-/.ACO=30°.

2

:點E與點D關(guān)于AC對稱，

ZECA=ZACD=30°.

ZOCE=ZECA+ZACO=90°.

VOC是半。。的半徑，

EF與半0O相切，故③正確.

如圖110所示，當點F恰好落在弧BC上時，連接AF,BF,且AC,ED相交于點G.

點E與點D關(guān)于AC對稱，

AC^\DE.

???乙4G。=90°.

???乙ACB=90°,

???Z.ACB=Z.AGD.

??.DE\\BC.

???CF=CE,

???FH=DH.

NEDF=9(T,BC〃DE,

???ZBHD=ZEDF=90°.

???BC是DF的垂直平分線.

JBF=BD.

JZFBA=2ZCBA=60°.

VAB是半。。的直徑，

ZAFB=90°.

???FB—AB?cos60°=8x-=4.

2

???BD=BF=4.

JAD=AB-BD=8-4=4,故④不正確.

故選A.

4.連接OQQD,如圖111所示.

??.四邊形ABCD為正方形，

ADC//AB.

??,點P是CD的中點，AB為半圓的直徑，點O為半圓的圓心,

???DP=OB.

???四邊形DPBO為平行四邊形.

ADO/7BP.

ZAOD=ZOBQ,ZQOD=ZOQB.

VOQ=OB,

???ZAOD=ZQOD.

又???AO=QO,DO=DO,

J△AOD之△QOD(SAS).

??.DQ=DA=1,故①正確.

連接AQ,如圖112所示.

??,正方形ABCD的邊長為1,點P是CD的中點,

IV5

■■-CP=-.BP=

2?

ZABQ+ZQAB=90°,ZPBC+ZABP=90°,

???ZPBC=ZQAB.

RtAAQB^RtABCP.圖112

嚏若，艮解得收若竽=毒

2

V5Vs375

PQ=----------=—.

y2510

.?考=方故②正確.

BQZ

③過點Q作QH±DC于點H,如圖113所示.

QH±DC,ZC=90°,

APHQ^APCB.

?嚶嚕i誓富解得"建

2

SADPQ=|OP-QH=|X|X|=）故③錯誤.

④過點Q作QNXAD于點N,如圖114所示.

四邊形ABCD為正方形.QN_1AD,

；.DP〃NQ〃AB.

.DN_PQ_3

"AN~BQ~2

VAD=1,

...*=三,解得。7=三.

l-DN25

VDQ=1,

cosZ-ADQ=瑞=I，故④正確.

圖114

綜上所述，正確的結(jié)論是①②④.

☆欲窮千里目，更上一層樓

5.解:如圖115所示，延長BA到點D,使AD=AC,連接BCD的外接圓。O,設(shè)。O的半徑為r,連接OB,O

C,過點O作OELBC于點E.

,/AD=AC,

△ABC的周長=AB+BC+AC=AB+BC+AD=BD+BC.

VBC=3,

當BD的長度最大時，△ABC周長最大.

當點A與點O重合,BD為。O的直徑時,BD最大.

,?ZBAC=120°,

3=60°,AB0E=-^BOC=60°.

2

VBC=3,OE±BC,

??.BE=

2

3—

器=sin60°,艮解得2=V3.

?e?BD的最大值為2T=2衣，圖115

/.AABC周長的最大值為3+2A/3.

6.解:(1)v4APB=45°=^AOB,

...點P在。。上.

"?ZAQB<45°,

.?.點Q在。。外.

(2)如圖116所示，構(gòu)造等腰直角三角形△AOD,以點O為圓心，OA為半徑作OO交BC于點P,P；延長DO

交BC于點H,連接DP,DP,OP,OP,AP,AP.

/DAB=135°,NDAO=45°,

ZOAB=ZB=90°.

；.OA〃BC.

ZOHB=ZDOA=90°.

四邊形ABHO是矩形.

,>.OH=AB=1,OA=BH.

vAD=2V2,

.*.OA=OD=OP=OP'=2.

.?.在RSOPH和RtAOP'H中,HP=HP'=V22-l2=V3.

；BH=OA=2,

BP=2+VI

7.解:⑴如圖117所示過點A作AE±BC于點E.

TAD〃BC,CD_LBC,AE_LBC,

四邊形AECD是矩形.

/.EC=AD=8,BE=BC-EC=12-8=4.

圖117

?.?在R3ABE中,/ABE=60°,BE=4,

AE=BE-tan60°=4V3.

SABMC=3BC-AE=24V3.

(2)如圖118所示，過點A作AELBC,作點C關(guān)于直線AD的對稱點(L,連接CB交AD于點N：連接CN,CN,C

D,貝!],BN+NC=BN+NC>BC.

ABNC周長的最小值=△BN'C的周長:=BN'+CN'+BC=BC+BC.

VAD/7BC,AE±BC,ZABC=60°,

/.CE=AD=8.

BE=4,4E=BE?tan60。=4百.

CC=2CD=2AE=8V3.

VBC=12,

BC=VBC2+CC'2=4Vn.

ABNC周長的最小值為4V21+12.

圖118

⑶如圖119所示,存在點P,使得（COSNBPC的值最小，作BC的中垂線PQ交BC于點Q,交AD于點P,連接BP,

CP作△BPC的外接圓。O,OO與直線PQ相交于點N,貝！JPB=PC,圓心O在PN上，在AD上任取一點.P1連接

P'B,P'C,P'B交。0于點M,連接MC.

VAD/7BC,OOBABPC的外接圓，

。0與AD相切于點P.

ZQPD=90°.

???AD\\BC,CD^BC

：.ZADC=ZBCD=90°.

四邊形PQCD是矩形.圖119

???PQ=CD=4V3>6,

PQ>BQ.

NBPC<90。,圓心O在弦BC的上方.

ZBPC=ZBMC>ZBP'C.

NBPC最大,cos/BPC的值最小.

連接OB,貝!!/BON=2/BPN=/BPC.

???OB=OP=4V3-OQ,

在RtABOQ中，根據(jù)勾股定理得0Q2+62=(4V3-0Q『,解得0Q=今

0B=

2

cosNBPC=cosZ-BOQ=—=