2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)難點與解題模型：與角平分線、中點有關(guān)問題（5大熱考題型）解析版

難點與解題模型n與角平分線'中點有關(guān)問題（5大熱考題型）

題型一：與角平分線有關(guān)問題

題型二：與中線有關(guān)問題

題型三：與中位線有關(guān)問題

題型四：與等腰三角形底邊中點有關(guān)問題

題型五：倍長中線模型

,精淮握分

題型一：與角平分線有關(guān)問題

：指?點?迷?津

?？寄Ｐ图安襟E

:第一步：依據(jù)特征找模型一一找是否存在角平分線

:第二步：抽離模型一一判斷角平分線上一點與角兩邊上點的連線與角平分線的位置關(guān)系

I

:第三步：利用性質(zhì)解題一一利用角平分線的性質(zhì)、全等三角形、等腰三角形“三線合一”及平行線的性質(zhì)

解題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1-1】（2023,湖南?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，

以小于AC長為半徑作弧，分別交AC,AB于點“，N；②分別以M,N為圓心，以大于的長為半

徑作弧，在—3AC內(nèi)兩弧交于點0；③作射線AO,交BC于點、D.若點。到的距離為1,則CD的長

【答案】1

【分析】根據(jù)作圖可得AD為-C4s的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點。作Z）E1AB于點E,依題意DE=1,

1

c

Z)

根據(jù)作圖可知AD為/CAB的角平分線,

^DCLAC,DELAB

^CD=DE=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【典例1-2］（2023?江蘇?中考真題）如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

⑴求證：AABC冬ADEF；

（2）點尸、Q分別是VABC、刀砂的內(nèi)心.

①用直尺和圓規(guī)作出點。（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

②連接PQ,則PQ與做的關(guān)系是.

【答案】⑴見解析

（2）①見解析②尸。BE,PQ=BE

【分析】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質(zhì)（連

接各組對應(yīng)點的線段平行或在同一條直線上）是解題的關(guān)鍵.

（1）可證得3。=跖，結(jié)合=AC=。尸即可證明結(jié)論.

（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點

即為所求.②因為△ABC絲所以D即可看作由VABC平移得到，點。，點尸為對應(yīng)點，點、B,

點E為對應(yīng)點，據(jù)此即可求得答案.

【詳解】（1）EI3E=CF,BC=BE+EC,EF=CF+EC,

SBC^EF.

在VABC和」）EF中

2

AB=DE

<AC=DF

BC=EF

0AABC^Ar）￡F.

（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的平分線的交點，作NDEF,ZDFE的角平分線，其交點即為點Q.

②因為△ABC/△DEF,所以乩）砂可看作由VA3C平移得到，點。，點P為對應(yīng)點，點8,點E為對應(yīng)

點，根據(jù)平移的性質(zhì)可知尸。BE,PQ=BE.

故答案為：PQBE,PQ=BE.

【典例1-3】（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9："平分一個已知角.”即：

作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在Q4和08上分別

取點C和。，使得OC=O￡）,連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,則OE就是NAO3的平分線.

請寫出OE平分-403的依據(jù)：；

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：，CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在/AO3的邊。4,08上分別取OM=QV,移動角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點加，N重合，則過角尺頂點C的射線0C是NAO3的平分線，請說明此做法

的理由；

拓展實踐：

3

(3)小明將研究應(yīng)用于實踐.如圖4,校園的兩條小路AB和AC,匯聚形成了一個岔路口A,現(xiàn)在學(xué)校要

在兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路(兩條小路一樣亮)，并且路燈￡到岔路口A的距

離和休息椅。到岔路口A的距離相等.試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)

的示意圖5中作出路燈E的位置.(保留作圖痕跡，不寫作法)

A

【答案】(1)SSS；(2)證明見解析；(3)作圖見解析；

【分析】⑴先證明,。CE-ODE(SSS),可得ZAOE=/BOE,從而可得答案；

(2)先證明，OCVfgQCV(SSS),可得NAOC=N3OC,可得0C是/AO3的角平分線;

(3)先作NA4c的角平分線，再在角平分線上截取鉆=AD即可.

【詳解】解：(1)SOC=OD,CE=DE,DE=DE,

ELOCE咨ODE(SSS),

SZAOE=ZBOE,

回OE是NAO3的角平分線；

故答案為：SSS

(2)=CM=CN,OC=OC,

團(tuán)OCM四二OCN(SSS),

E1ZAOC=ZBOC,

團(tuán)OC是ZAOB的角平分線；

(3)如圖，點E即為所求作的點；

4

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分

線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵.

【典例1-4】（2023?河南?中考真題）如圖，VABC中，點。在邊AC上，且

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出NA的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若（1）中所作的角平分線與邊交于點E,連接DE.求證：DE=BE.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）證明即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

^ZBAE^ZDAE,

[21AB-ADtAE=AE,

團(tuán)ABAE名ADAE(SAS),

?DE=BE.

5

【點睛】此題考查了角平分線的作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線的作圖和全等

三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（2024?貴州銅仁?一模）如圖，在VABC中，ZC=90°,以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別

交AC,A3于點M,N,再分別以M,N為圓心，大于!長為半徑畫弧，兩弧交于點。，作射線AO,

2

【答案】D

【分析】本題考查了作圖一基本作圖、角平分線的性質(zhì).根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可得AE平分作

ETA.AB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ET=EC=2,再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：過點E作鉆于丁，如圖所示：

C

EC±AC,ET1AB,

:.ET=EC=2,

S\AEB=萬,ET=-X6X2=6,

故選：D.

【變式1-2］（2024?山東濟(jì)寧?一模）如圖，在VABC中，ZC=90,AC=12.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊5c上求作一點使得點。到邊AB,AC的距離相等（保留作圖痕跡,

6

不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖形中，過點、D作DEJ.AB于點、E.

①求證：AE=AC；

②若CD=4,=30,求BE的長.

【答案】⑴作圖見解析；

（2）①證明見解析；②BE=3.

【分析】（1）利用基本作圖作-BAC的平分線即可；

（2）①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OC=DE,然后根據(jù)"HL"證明RtA4CC^RtA4ED,從而得到

AC=AE；

②由DE=DC=4,則利用三角形面積公式可求出AB=15,再利用①的結(jié)論得到AC=AE=12,然后計

算AB-AE即可；

本題主要考查了尺規(guī)作一個角是平分線，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，尺規(guī)作一個角的平分線.

【詳解】（1）如圖，作的平分線，則為所求，

（2）①證明：回AD平分，BAC,DC1AC,DEJ.AB,

團(tuán)DC=DE,

在RtAACD和RtAAED中,

jAD=AD

[DC=DE9

團(tuán)RtACD^RtA￡Z）（HL）,

^\AE=AC；

②團(tuán)。E=OC=4,

團(tuán)SABD=；AbxDE=30,

團(tuán)AB=15,

BE=AB-AE=15-12=3.

【變式1-3]（2024?河南周口?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中,ZC=90°.

7

B

C°---------------

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出-3的平分線.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵若（1）中所作的角平分線與邊AC交于點。，CD=3,AB=8,求的面積.

【答案】⑴見解析

（2）12

【分析】本題考查尺規(guī)作圖-作角的平分線、角平分線的性質(zhì)，正確作出角的平分線是解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)作角平分線的方法步驟畫圖即可；

（2）過。作于點根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=3,然后利用三角形的面積公式求解即

可.

【詳解】（1）解：如圖，BD即為所求.

（2）解：如圖，過D作于點H.

QBD平分/ABC,/。=90。即￡＞。_18(?,DH1AB,

:.CD=DH=3,

.■.SAABD=^ABDH=12.

【變式1-4］（2023?廣西桂林?模擬預(yù)測）在VABC中，3。是邊AC上的高.

（1）尺規(guī)作圖：作—C的平分線，交BD于E.

(2)若DE=4,BC=10,求，3CE的面積.

8

【答案】⑴詳見解析

(2)20

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于己知角；

作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線).也考查了角平分線的性質(zhì).

(1)利用基本作圖作CE平分NBCD；

(2)作EH工BC于H,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得團(tuán)=￡0=4,然后利用三角形面積公式計算即可.

【詳解】(1)如圖，CE為所作.

(2)作EHJ.BC于H,如圖，

CE平分/BCD,EDLCD,EHIBC,

:.EH=ED=4,

S??=—xBCxEH=—x4x10=20.

BrCE22

【變式1-5](2023?廣東惠州?二模)如圖，CB=CD,ZD+ZABC=180°,CE_LAD于E.

⑴求證：AC平分

(2)若AE=10,DE=4,求A8的長.

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角

形.

9

(1)過。點作CAB,交AB的延長線于點尸.由AAS證明△CDE名△CB"AAS),可得CE=CF,結(jié)論得

證；

(2)證明RtACE^RtACF(HL),可得AE=AF,可求出A5.

【詳解】(1)證明：過。點作C廠，交A5的延長線于點尸.

.\ZDEC=ZCFB=90°,

ZD+ZABC=1SO°,ZCBF+Z/4BC=180°,

:.ZD=ZCBF,

在<CDE與YCBF中,

/D=/CBF

</DEC=NCFB,

CD=CB

：.ACBF(AAS),

:.CE=CF,

又團(tuán)ND￡C=NCFB=90。

??AC平分/DAB；

(2)解：由(1)可得BF=DE=4,

在Rt.ACE和RtAACF中,

[CE=CF

[AC=AC9

團(tuán)RtACE^RtACF(HL),

：.AE=AF=10,

:.AB=AF-BF=6.

題型二：與中線有關(guān)問題

I指I點I迷I津

10

?與中線有關(guān)的解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵是利用中線的性質(zhì)，如圖，在中,是的中線則

I4ABCAD4ABCBD=CD,

BDC.

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1］（2024?山東德州?中考真題）如圖，在VA3C中，AD是高，AE是中線，AD=4,S^ABC=12,

則BE的長為（）

BEDC

A.1.5B.3

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)S^BC=12和AO=4求出BC=6,根據(jù)AE是中線即

可求解.

【詳解】解：吠“凈CX312,34,

EIBC=6

EIAE是中線，

0B￡=-BC=3

故選：B

【典例2-2】（2023?浙江?中考真題）如圖，點P是VABC的重心，點。是邊AC的中點，PE〃AC交BC于

點、E,DF〃BC交EP于點F,若四邊形CDFE的面積為6,則VABC的面積為（）

BE

11

A.15B.18C.24D.36

【答案】B

【分析】連接5。根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上,由三角形中線平分三角形的面積可知：

S.ABC=2SBDC，證明一%P..BEP和2EP△BCD,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答.

【詳解】解：如圖，連接5。，

點尸是VABC的重心，點。是邊AC的中點，尸在上,

…0ABC-乙。BDC，

BP:PD=2:1,

DF//BC,

」)FP-BEP

S1

.2.DFP_

S-4，

.BEP

QEF〃AC,

「?ABEP￡\BCD,

"S.BCD\BD)bJ9

設(shè)的面積為切，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9優(yōu),

,四邊形CDEE的面積為6,

二.0+9/-4/二6,

..A72—1,

△BCD的面積為9,

ABC的面積是18.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

12

4

【典例2-3】（2024?福建福州,模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)＞=-（彳＞。）的圖象分別

x

與等腰Rt_AO3的直角邊和斜邊08交于點C,。，點A在無軸正半軸上，連接4）,CD,若ADLQB,

則八BCD的面積為.

【分析】連接OC,作軸于E,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出00=08=308,由反比例函數(shù)上的

幾何意義得出SQE=SMA=；X|4|=2,證明ODES,OBA,得出S=4S=8,求出

SOBC=S0BA-SOCA=6,再由三角形中線的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。C,作軸于E,

團(tuán)VA0B為等腰直角三角形，ADLOB,

國點。為08的中點，

SOD=OB=-OB,

2

4

團(tuán)點C、。是反比例函數(shù)＞=［（%＞0）上的點,

回SODE=S0CA=5X網(wǎng)=2,

aDELOA,ABLOA,

^DE//AB,

團(tuán)ODE^.OBA,

22

BSODE:SOBA=OD:OB=VAf

13

13soBA=4,ODE=8,

回SOBC=SOBA-S.OCA=8-2=6，

^OD=BD,

團(tuán)SBCD=3SOBC=5*6=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)上的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)、與三角

形中線有關(guān)的面積的計算等知識點，熟練掌握知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【典例2-4】（2024,河北?中考真題）如圖，VABC的面積為2,AZ）為BC邊上的中線，點A,G，G，C3是

線段CC4的五等分點，點A,2，2是線段。4的四等分點，點A是線段8月的中點.

（1）△AG2的面積為；

（2）△與。4。3的面積為.

【答案】17

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得以.=%皿=1，證明均ACD（SAS）,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）證明11A4A空ABD（SAS）,得S^ABR=S4ABD~1,推出G、2、4三點共線，得

二=2,繼而得出S△陰=4s△ABC=8,SAABiD^=3s△MA=3,證明△C3AD3CAD,

4

得S^G9=9s入。=9,推出S-CMS=S*=12,最后代入S：=AC4D3+SZ\A8]￡>3-S/IAB1c4即可.

【詳解】解：（i）連接用2、BR、4c,、2￡、C3D3,

團(tuán)VA3C的面積為2,4。為BC邊上的中線，

團(tuán)S4ABD=S4ACD=5S^ABC~^，

團(tuán)點A,G，C2,C3是線段CC4的五等分點,

14

cc

團(tuán)AC=AC】=i2=C2c3=C3C4=1CC4,

團(tuán)點A,D1,。2是線段。。3的四等分點,

團(tuán)AD=AD}=D]D2=D2D3=!DD3,

回點A是線段8月的中點，

回AB=AB[=—BB',

在△AG2和ACD中，

AG=AC

<"皿=ZCAD,

A￡)i=AD

團(tuán)AQD^.ACD(SAS),

團(tuán)SAACR=S^ACD=1，NCQiA=Z.CDA,

團(tuán)△AG2的面積為1,

故答案為：1；

(2)在和△A5O中，

ABX=AB

</B、AD\=ABAD,

AD{=AD

團(tuán)ABQ&ABQ(SAS),

0S/XAfijA=S^ABD=1,/BRA=/BDA,

團(tuán)NBZM+NaM=180。，

O

0ZB1Z)1A+ZCI￡>1A=18O,

團(tuán)G、2、耳三點共線，

回S/XABIG二S4ABM+S4Aqq=1+1=2,

團(tuán)AC1=℃=C2c3=C3C4，

團(tuán)SAAB1c4=4S△期G=4?28,

15

團(tuán)AD|=D1D2=D2D3,S&AB、D、=1,

0S&A呢3=3s△物4=3X1=3,

在△AC?。,和.ACO中，

AD

團(tuán)土=3=±±,ZC3AD.=ZCAD,

ACAD

團(tuán)△C3AD3s△CW,

回江出=產(chǎn)1=32=9,

SCAD\AC)

回,△GA.=9s△CAD=9x1=9,

團(tuán)ACl=℃2=C2c3=C3C4,

44

=

團(tuán)^AAC4D3§^△C3A￡>3=-X9=12,

團(tuán),△片。4。3=^AAC4D3+^AAB{D3~'△ABQ4

團(tuán)△旦C43的面積為7,

故答案為：7.

【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意

義，三角形的面積.掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【典例2-5】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9x9網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點

A,B,C三點是格點，/點是5c與網(wǎng)格線的交點.，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

16

圖1圖2圖3

⑴在圖1中，取A3的中點￡),AC的中點E,連接￡D,再作平行四邊形BDEK；

(2)在圖2中，在上畫出一點G,使ZACG=SAACF；

(3)在圖3中，點T在格點上，連接87,CT,在CT上畫點使AM平分四邊形ABTC的面積.

【答案】⑴圖見解析

(2)圖見解析

⑶圖見解析

【分析】本題考查三角形的中線，相似三角線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)：

(1)作AB,BC,AC的中點，連接￡(￡叢，則平行四邊形3DEK即為所求；

(2)找到格點S,。，使得&4=3,3。=4,連接S。交A3于點G,則點G即為所求；

(3)連接AT,取BC的中點K,過點K作DE〃AT,交CT于點〃即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，作AB,BC,AC的中點，連接DE,EK,則平行四邊形BDEK即為所求,

(2)如圖所示，找到格點S,Q,使得&1=3,80=4,連接S。交A3于點G,則點G即為所求,

S1SA//BQ,

17

團(tuán)SAG^.QBG,

AGAS3

團(tuán)------------——

BGBQ4

CF3

ZB=ZB，

BF4

團(tuán)BFS.BCA,

BZBGF=ZBACf

^FG//AC,

團(tuán)S^ACG='△ACF；

（3）如圖：點M即為所求;

四邊形

asACK+SjcK=](2ABC+STBC)=587a,

0SAMK=STMK（平行線間的距離處處相等）,

四邊形

asACM=SAMK+SAKC+S.MKC=TMK+2AKC+SMKC=TKC+^AKC=/S5Toi.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2-1］（2024?云南昆明?二模）如圖，AD,CE是VABC的兩條中線，連接￡0.若與.。=16,則陰

C.6D.8

18

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計算即可.

【詳解】解：AD是VA3C的中線，SVABC=16,

,S.ABO=35ABC=耳*16=8,

E是A3的中點，

-q—J.q-A

??0,BED-2。~'

故選：B

【變式2-2］（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，AO是VABC的中線，點E是AZ）的中點，連接CE并延長,

交A3于點凡若A3=6.則AF的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的

關(guān)鍵.過點A作BC平行線交Cb延長線于點G,可得AAG尸sAcBF,4AGEsACDE,通過比例式即可

求出A最F=1即可解決問題.

FB2

【詳解】解：過點A作2c平行線交CP延長線于點G,

0AAGF^ABCF,ADCE,

AFAGAGAE

FB~BC"CD~ED'

團(tuán)點E是A。的中點，

19

AGAE

團(tuán)---=---=1,

CDED

EIAG=8,

團(tuán)40是丫4%的中線,

0BD=CD,

?AG=CD=BD,

AFAG1

團(tuán)==一

FBBC2

團(tuán)AF=—AB=2,

3

故選：B.

【變式2-3］（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）如圖，D,E,尸分別為VABC三邊上一點，且An,BE,C5

父于點G,若SBOG=6,5CDG=4,SAEG=15,貝|JSABC=（）

D.63

【答案】c

【分析】本題主要考查等積法及一元二次方程的解法，熟練掌握等積法是解題的關(guān)鍵；設(shè)SMG=%，sCGE=y,

X3X15

由題意易得一］=不，==—，然后可建立方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：設(shè)SABG=X,SCGE=V，由等積法可知：4=5

J.ACGJ

x3

0—77=o>即2x=3y+15①，

y+152

qq

「uABG_uAGE

一一飛一,

°CBG。CGE

X15八

團(tuán)彳裳=7，即沖=150②，

z-xx-xf2x=3y+45

聯(lián)立①②可得：:，

［xy=150

解得：y=5（負(fù)根舍去），

團(tuán)兀=30,

20

團(tuán)5ABe=SABG+￡CBG+ACG=30+10+15+5=60；

故選C.

【變式2-4］（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，在RtABC中，NS4c=90。，AB=5,AC=10,。為8C的中點,

E為AC中點，連接BE交AD于點尸，則ABF的面積為.

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，連接。E,可得

1npnpi

￡>E為VABC的中位線，進(jìn)而得DE=-AB,即得DEF^^ABF,得到——=—=一，再根

2AFAB2

，

據(jù)已知可得S.MC=!ABAC=25,進(jìn)而由中線性質(zhì)得到5AB?=1SMC=M再由?g=1即可得到

222Ar2

與，由DEFS,AM得到卓是解題的關(guān)鍵?

3JArADZ

【詳解】解：連接DE,

團(tuán)。為BC的中點，E為AC中點，

EIDE1為VABC的中位線，

^DE//AB,DE=-AB,

2

國DEFs,ABF,

DFDE1

團(tuán)--=----=一,

AFAB2

回，ABAC=90°,AB=5,AC=10,

團(tuán)S人記=-ABAC=-x5xl0=25

ABC22f

回點。為5C的中點，

_j__25

團(tuán)3鉆。=53ABC=耳，

21

c2c22525

團(tuán)SABD=-X"=—

故答案為：g.

【變式2-5］（2024?遼寧■模擬預(yù)測）如圖，將VABC沿直線AC翻折得到AWC,BD交AC于點E,F為CD

的中點，連接AF并延長，交8C的延長線于點G,連接呼，若AB=10,AE=6,△AD尸的面積為18,

則.QEF的面積為.

【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形的面積的計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC工BD，BE=DE,

根據(jù)勾股定理得到BE=DE=JAB?-A￡2=Ju_6?=8，根據(jù)三角形的面積公式得到AC=9,求得

CE=AC-AE=3,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】0VABC沿直線AC翻折得到AADC,

SACJ.BD,BE=DE,

0ZAEB=ZAED=90,

在Rt&WE■中，AB=10,AE=6,

aBE=DE=\lAB2-AE2=V102-62=8，

團(tuán)的面積為18,尸為CD中點，

國S,AC?=25Aop=2x18=36，

EI-AC-D￡=36,

2

EIAC=9,

0CE=AC-AE=9-6=3,

22

0S=—CE-DE=—x3x8=12,

■rCnDFE22

回S朝=］SCDE=/*12=6,

故答案為：6.

【變式2-6］（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測）如圖，將VABC沿3C邊上的中線平移至『AaC'的位置，已知

VA3C的面積為25cm2,陰影部分三角形的面積為，若A4'=lcm,則AD的值為cm.

【分析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識點.先證明再利用相似三角形的性質(zhì)求得AD便可.

【詳解】解:如圖,

A

//j\\SABC=25、S^EF=9,且AD為BC邊的中線，

JX。

BZ---------------------

..SADE=5SA'EF=4.5,SABD=］SABC=12.5,

.將VABC沿5c邊上的中線AD平移得到..A?C,

:.A!E//BC,

DAEsDAB,

則即［上丫=9，

VAD）Sadb（AD+U12.5

3

解得A'O=1.5或4。=-?（舍），

o

故答案為：1.5.

【變式2-7］（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中,兩條對角線相交于點0,AC=4,B￡>=2,

過點C作CE1AB,交A3的延長線于點E,連接OE,則.COE的面積是___________

23

E

B.

D

【答案】|

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到04=2,08=1,利用勾股定理求出=證明..AC^SqAEC,得到

受嘿嘿邛‘求出庭=竽,A八券求出SACL*再根據(jù)點。是AC中點，即可求解.

【詳解】解：菱形A5C。中，兩條對角線相交于點。，AC=4,BD=2,

OA=2,OB=1,

??AB=NO#+OB2=5

CE.LAB,AC.LBD,

ZAEC=ZAOB=90°.

ZA=ZA.，

AOB^^AEC,

,ABOB_OA_^5

,AC-CE-AE-V

.G4行_8行

??CE=-----,AE=------,

55

.0_15”」4687516

,,S——CE?A.E——x------x--------——

AcrF22555

.?點。是AC中點,

-C___C—

,?0,COE_2口ACE_5'

故答案為：g.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-8］（2024?上海浦東新?一模）如圖，在VABC中，AB=4,AC=6,石為3c中點，AD為VABC的

角平分線，VABC的面積記為跖，VADE的面積記為Sz，貝U邑:岳=

24

A

【答案】1:10

【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出面積關(guān)系解答.根

據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過點。作。

AD為VABC的角平分線，

DM=DN,

EM3=4,AC=6,E為BC中點,

團(tuán)S'ABE=SvAEC=3$VABC，

q-ABDM

4_2

SvADC-ACDN6-3

2

設(shè)S'ABD~2羽SVAOC-3x,貝!JSvABC=5x,SvABE=^NAEC=5"

則52=3無一|工

S5x

x10

故答案為：1:10.

4

【變式2-9］（2024?廣東廣州?二模）如圖，已知中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BE

為4）邊上的中線.

⑴求AC的長;

25

⑵求.BED的面積.

【答案】(1)AC=6

⑵18

【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)-ABC的余弦求出48的長，再利用勾股定理即可解決問題.

(2)根據(jù)3E為AD邊上的中線可知，的面積是△回〃面積的一半，據(jù)此可解決問題.

【詳解】(1)AC±BD,

..ZACB=ZACD=90°.

在RtZXABC中，

cosZABC=,

AB

o

:.AB=—=10

4,

5

AC=A/102-82=6-

(2)迎為AD邊上的中線，

一,0SBED~=2-SABD?

又?,sABD=g-2?AC=；xl2x6=36,

??^,BED=_x36=18?

題型三：與中位線有關(guān)問題

?ii^iw...............................

與中位線有關(guān)的解題關(guān)鍵

利用中位線的性質(zhì)解題，如圖，在△ABC中，D,E分別為AB,AC的中點，則DE//BC,

\11

DE=—BC,SAADE=—SAABC

4

i

i

A

24

iBC

【中考母題學(xué)方法】

26

【典例3-1】（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）【定義】我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為"中垂三角形

【示例】如圖，AF,BE是VA3c的中線，MAF^BE,垂足為P,像VABC這樣的三角形稱作"中垂三角

形".設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.數(shù)學(xué)興趣小組想研究“中垂三角形”的三邊是否存在某種關(guān)系，進(jìn)行了如

下探究過程：

⑴【特例探究】如圖2,VABC為“中垂三角形"，當(dāng)NABE=30。，c=4時，求。，b的值；

解：I3VA3C為"中垂三角形"，即

又EIZABE=30°,AB=c=4,

0AP=2,BP=@,

BE分別是中線，連接族，

EI￡F是VABC的中位線，

0EF//AB,EF=-AE,

2

團(tuán)NABP=NFEB,ZBAP=ZEFP,

QAABPsBEP,

^\FP=-AP=1,

2

...（此處省略部分步驟）

0BC=a=?,AC=b=@.

完成上述解題過程中的填空；

①:,②：,③:；

（2）【歸納證明】請你觀察（1）中的解題思路及計算結(jié)果，猜想b2,°?三者之間的關(guān)系，用等式表示

出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

（3）【拓展應(yīng)用】利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：如圖4,在邊長為8的菱形ABCD中，。為對角線AC,

3D的交點，E,尸分別為線段。4,OD的中點，連接BE,CF并延長交于點M,BM,CN分別交AD于

點G,H,直接寫出政不+必尸的值.

27

【答案】(1)2A/3,2岳,2-；

⑵4+〃=5/,見解析；

,320

3—.

9

【分析】(1)判斷一AB尸為等腰直角三角形，計算即可；

(2)設(shè)AP=m，BP=n,表示線段PE,PF,最后利用勾股定理即可；

111

(3)證出MH=-MC,MG?+MH?=.(MB?+MC?)即可求解；

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的性質(zhì)，30。角所對直角邊是斜邊的一半，熟練掌握知識點

的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖，連接砂，

省略步驟為：PE=也PF=g,

國AE=JAP。+PE。=小2?+（小j=r,BP=dAB?-AP2=,4?=2百,

0BF=y]PF2+BP2=J12+（2A/3）2=屈,

?BC=a=2BF=2屈,AC=b=2AE=2幣,

故答案為：2拒,2岳,2A/7；

（2）解：a2+Z?2=5c2,理由如下：

連接取，

28

c

設(shè)AP=m,BP=n,

貝！Jc2=AB2=/+/

^EF//AB,EF=-AB,

2

團(tuán)PABs_PFE，

APBP絲=2

0——二

PFPEPE

SPE=-BP^-nPF^-AP^-m,

2222

^AE2=AP2+PE2=rrr+-n2BF2=PF2+BP2=-m2+n2,

44

HZ?2=AC2=4AE2=4m2+n2,a1=BC2=4BF2=4n2+m2，

國儲+〃=5(川+〃2)=5。2；

(3)解：連接￡尸，

團(tuán)四邊形A5CD為菱形，

⑦AO=CO,AD//BC,AD=BCf

團(tuán)E,尸分別為線段Q4,OO的中點,

11

團(tuán)AE=OE——EC,AG//BC,EF=—AD,EF//AD,

32

團(tuán)△AGESMBE,EF//BC,

AGAE1

團(tuán)---=---

BCEC3

29

^AG=-BC=-AD,

33

^EF=-AD^-BC,

22

同理=

BGH=-AD=-BC,

33

⑦GH〃BC,

^NMGH^NMBC,

MGMHGH_1

團(tuán)——=

MBMCBC-3

11

^\MG=-MB,MH=-MC,

33

^\MG2+MH2=1(MB2+MC2)^^,

故MG'+MH?的值為3罟20.

【典例3-2】(2024?重慶九龍坡?三模)小明想利用三角形全等的知識，再探三角形中位線定理，他的探究思

路如下：如圖，在VABC中，點D、E分別為43、AC的中點，連接DE,過點C在AC的右邊作/ACT,

使得NACF=N1MC,延長?！杲?口于點尸，然后通過證明一ADE二一CFE和平行四邊形8CFD來證明三角

形中位線定理，請完成下面的作圖和填空.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：以點C為頂點，在AC的右側(cè)作N4CF=N54C,延長DE,交C尸于點尸；(保

留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論)

(2)求證：BC=2DE,BC//DE.

證明：回點E為AC的中點，

0AE—CE,

J^ZACF=ZBAC,

回①______________________

在VADE和△CFE中,

30

/DAE二ZFCE

<AE=CE,

、②

團(tuán)^ADE^CFE,

回③，DE=FE,

回點。為A5的中點，

團(tuán)AD=BD,

回④,

團(tuán)四邊形OBCF是平行四邊形，

^DF=BC,DF//BC,

國DE=FE,

回⑤，

SBC=2DE,BC//DE.

【答案】⑴畫圖見解析

(2)①ABCF-@ZAED=ZCEF；?AD