2025年中考數(shù)學二輪復習：命題與證明 突破練習

2025年中考數(shù)學二輪復習難題突破練習

命題與證明

1.把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式，并判斷該命題的真假.

⑴負數(shù)與負數(shù)的和是負數(shù)；

(2)直角三角形的兩個銳角互余.

2.如圖，點B,C,D在同一條直線上，有下面三個選項，①CE〃的；②ZA=NB；③CE平分ZACD.

(1)從①②③中選出兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有真命題;

(2)選擇(1)中的一個真命題加以證明.

3.黑板上寫有3個命題：

①若貝！J。'/；

②若a,&是有理數(shù),則心+4=|4+網；

③若NA與NB都是銳角，則這兩個角的和是鈍角.

(1)上述命題是真命題的是(填序號)，該命題的條件是，結論是

(2)對于上述命題中的假命題，請各寫出一個反例.

4.如圖，平面上有六條兩兩不平行的直線.試證明：在所有的交角中，至少有一個角小于31。.

5.已知命題“對頂角相等”.

(1)此命題是真命題還是假命題？如果是真命題.請給予說明；如果是假命題，請舉出反例.

(2)寫出此命題的逆命題，并判斷逆命題的真假.如果是真命題，請給予說明；如果是假命題，請舉出反例.

6.如圖，點B、E、C在同一條直線上，請你從下面三個條件中，選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推

出一個真命題.①AB//CD；②Z1=N2,/3=/4；③AE_LE￡>.

(1)上述問題有哪幾個真命題？

(2)選擇(1)中的一個真命題加以證明.

7.如圖aWF和ABCE中，=點D,E,F,C在同一直線上，有如下三個關系式：?BE\\AF；?DE=CF：?AD=BC.

(1)請用其中兩個關系式作為條件，另一個作為結論，寫出所有正確的命題(用序號寫出命題書寫形式，即寫

成如果....那么……形式.)；

答案第2頁，共15頁

⑵選取(1)中一個正確的命題進行證明.

8.寫出下列命題的逆命題，并判斷真假.

(1)在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行;

(2)末位數(shù)是0或5的整數(shù)能被5整除.

9.如圖，有三個論斷:

①Z1=N2;

②ZB=ZC；

③AB//CD.

(1)請你從中任選兩個作為題設，另一個作為結論，寫出所有的命題，并指出這些命題是真命題還是假命題;

(2)選擇(1)中的一個真命題加以證明.

10.對一個正整數(shù)〃，我們進行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1；若是偶數(shù)，則除以2.

(1)對于"="、37,進行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù).

(2)求證對任意正整數(shù)%進行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù).

11.如圖，在A45C和A9中，給出下列三個論斷：①AO=BC；②NC=ZD；③Z1=N2.請選擇其中兩個論斷作

為條件，另一個論斷作為結論構成一個命題.

(1)寫出所有的真命題：

(2)請選擇一個真命題加以證明.

(命題寫成“一=”的形式，用序號表示)

12.探究：如圖①，②，NABC與ZEDF,BC與ED交于點這兩個角的兩邊分別平行，即AB〃OE.BC〃DF.

(1)分別猜想圖①，圖②中NABC與ZEDF的大小關系，并給予證明;

(2)一般地，本題“探究”的命題是真命題，請把這個命題寫成“如果……，那么……”的形式.

13.如圖，已知的_LBC,Zl+Z2=90°.現(xiàn)有3個條件：①/2=/3；②N2+N3=90。；③BE〃DF.

(1)請在上述3個條件中選擇其中一個作為已知條件，另一個作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是一，結

論是二(填序號)

(2)證明上述真命題，并寫出完整的證明過程和證明依據(jù).

答案第4頁，共15頁

14.如圖，有下列三個條件：①Zl+N2=180。，②Z3=ZA,③ZB=NC.

(1)從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成命題，請寫出所有可以組成的命題;

(2)從(1)中選擇一個真命題，并證明.

15.如圖，①AB//CD,②BE平分NABD,③Zl+N2=90。，④DE平分NBDC.

(1)若以②③④為條件，①為結論組成一個命題，則這個命題是(“真”或“假”)命題;

(2)證明(1)中的結論.

16.如圖，AD與BC相交于點O,點E、尸分別為。8、。。的中點，連接AB、CD、EF,給出以下三個等量關系:

①AB=CD,②NOEF=NOFE,③ZA=NC.請你以其中兩個為條件，另一個為結論，組成一個真命題，并證明.

(1)條件：,結論：；(填序號)

(2)寫出你的證明過程.

《2025年中考數(shù)學二輪復習難題突破練習一一命題與證明》參考答案

1.(1)如果一個數(shù)是兩個負數(shù)的和，那么這個數(shù)是負數(shù)，該命題是真命題

(2)如果兩個角是直角三角形的兩個銳角，那么這兩個角互余，該命題是真命題

【分析】本題考查了命題的改寫，以及真假命題的判斷，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質

定理及判定定理.

(1)先改寫成“如果……，那么……”的形式，再根據(jù)加法法則判斷真假即可；

(2)先改寫成“如果……，那么……”的形式，再根據(jù)直角三角形的性質判斷真假即可；

【詳解】(1)解：如果有兩個數(shù)是負數(shù)，那么它們的和是負數(shù)，該命題是真命題；

(2)解：如果兩個角是直角三角形的兩個銳角，那么這兩個角互余，該命題是真命題.

2.(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，結合平行線的性質和角平分線的性質，選擇兩個條件做題設，一個條件做結論，得

到正確的命題.

(2)任選一個命題，根據(jù)平行線的性質，角平分線的性質和三角形內角和定理即可證明.

本題考查寫出一個命題并求證，正確利用平行線的性質和角平分線的性質寫出命題并求證是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：可寫出三個正確命題，分別是：

命題1:如果CE〃AB,ZA=ZB,那么CE平分ZACD.

命題2:如果CE平分ZACD,那么41=ZB.

命題3:如果ZA=ZB,CE平分ZACD,那么CE〃4?.

(2)命題1:已知：CE〃AB,ZA=ZB.求證：CE平分ZACD.

證明：CE\\AB,：.ZACE=ZA,ZDCE=ZB.-：ZA=ZB,;.ZACE=NDCE.:.CE平分ZACD.

命題2:已知：CE〃AB,CE平分ZACD.求證：ZA=ZB.

證明：CE||AB,：.ZACE=ZA,ZDCE=ZB.CE^-^ZACD,ZACE=ZDCE.:.ZA=ZB.

命題3:已知：ZA=ZB,CE平分ZACD.求證：CE/7AB.

證明：：CE平分ZACD,

:.ZACE=ZDCE.

ZACB=180°-(ZACE+ZDCE)=180°-2ZAC￡.

■.■ZA=ZB,

ZACB=180--(ZA+ZB)=180。-2ZA

:.ZACE=ZA.

CE〃AB

3.⑴①，a=b,a2=b2

(2)②當a=l*=T時，|?+*|=|-l+l|=0,|o|+|^=|l|+|-l|=2

③當ZA=30。，4=40。時，/A與NB都是銳角，ZA+ZB=70°

答案第6頁，共15頁

【分析】本題主要考查了命題的判定，掌握相關知識的運算，命題真假的判定是關鍵.

（1）根據(jù)平方，絕對值的性質，銳角、鈍角的數(shù)量關系判定即可；

（2）根據(jù)命題的特點分別舉出反例即可.

【詳解】（1）解：若。=方，則＜?=/,是真命題，命題的條件是：a=b,結論是：/=/;

若是有理數(shù)，貝！1,+耳=同+同不一定成立，是假命題；

若4與々都是銳角，則這兩個角的和不一定是鈍角，是假命題；

故答案為：①，a=b,a—

（2）解：反例:

②當a=l,方=-1時，|a+/?|=|-1+1|=0,|a|+|fe|=|l|+|-l|=2；

③當ZA=30。，NB=40。時，/A與NB都是銳角，ZA+ZB=70°.

4.見解析

【分析】該題主要考查了平面內的相交線，反證法，解題的關鍵是用反證法證明.

把平面上的直線平行移動，則移動后的直線所成的角與移動前的直線所成的角是相等的，這樣，我們就可將

所有的直線移動，使它們相交于同一點，此時，情況就相對簡單得多.

【詳解】解：如圖，在平面上任取一點O,過點。分別作這6條直線的平行線/鴻則由平行線的特性，

知直線4,4,4,4,44之間互成的角與原來的6條直線32,44,44之間互成的角相等.

現(xiàn)在我們考慮直線4,4,…4的情況，觀察直線4與4,4與4,…，々與與4所成的角，由圖不難發(fā)現(xiàn)這6個角合成

一個平角，即這6個角的和為180。.

假設這6個角沒有一個小于31。，則這6個角都大于或等于31。，從而這6個角的和至少為31以6=186。，這是不

可能的，所以這6個角中至少有一個角小于31。.

不妨設4與4所成的角小于31。，

則原來的直線4與4所成的角也必小于31。.

5.（1）真命題，證明見解析

（2）相等的角是對頂角，假命題，舉例見解析

【分析】本題考查了命題的真假，熟練掌握判斷命題的方法是本題的關鍵.分析是否為真命題，需要分別分

析各題設是否能推出結論，從而得出答案.

【詳解】（1）解：此命題是真命題.

說明：如圖，直線AB,8相交于點。.

AZ)

ZAOC+ZAOD=ZBOD+ZAOD=

O180°,180°,

CB

/.NAOC=/BOD.

(2)“對頂角相等”的逆命題是湘等的角是對頂角”，逆命題是假命題.

反例：如圖，在VABC中，ZB=/C,但N3與/C不是對頂角.

6.(1)命題1:①②"③命題2:②③"①

⑵選擇命題1：①②今③，證明見解析；選擇命題2：②③處證明見解析

【分析】本題考查平行線的性質與判定，三角形的內角和定理，掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵.

(1)根據(jù)三個條件寫出真命題即可；

(2)選?、佗谌缓蟾鶕?jù)平行線的性質和三角形的內角和定理得到4=4+N2,即可得到4+N2+N3+N4=180。,

進而求出N2+N3=90。即可解題.選取命題2:②③=(以先根據(jù)垂直和平角的定義得到N2+N3=90。，進而得到

4+N2+N3+N4=180°,然后根據(jù)三角形的內角和定理得到ZB+NC=180。即可證明結論.

【詳解】(1)解：上述問題有兩個真命題，分別是：

命題1:①②"③命題2:②③今①.

(2)選擇命題1:①②今③.

證明：?：CD//AB,

ZB+ZC=180°,

ZB+Zl+Z2=180°,

，ZC=Z1+Z2,

，Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

VZ1=Z2,/3=/4,

Z2+Z3=90°,

ZAED=90°,

AE±ED.

選取命題2：②③=①.

證明：:AE1DE,

ZAE￡)=90°,

Z2+Z3=90°,

又?.?N1=N2,/3=/4,

Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

又?:ZB=18O°-Z1-Z2,ZC=1800-Z3-Z4,

答案第8頁，共15頁

...ZB+ZC=180°-Zl-Z2+180o-Z3-Z4=360°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=180,

.?.AB\\CD,

7.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了命題，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，正確掌握相關性質內容是解題的

關鍵.

(1)根據(jù)命題書寫形式，分別寫出所有的正確命題，即可作答.

(2)先由平行線的性質得=再證明入皿R8?！?。5),然后根據(jù)全等三角形的性質，即可證明.

【詳解】(1)解：依題意，正確的命題：如果①，②，那么③；如果①，③，那么②，

(2)解：選擇，如果①，③,那么②，(答案不唯一)

如圖zxw和ABCE中，ZA=NB,點D,E,F,C在同一直線上，BE\\AF,AD=BC.

求證：DE=CF.

證明如下：TBE||AF，

ZAFD=ZBEC,

VAD=BC,ZA=ZB,

AADFTS^CECAAS),

DF=CE,

DF-EF=CE-EF,

即。E=C尸.

8.(1)逆命題：在同一平面內，如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線是真命題.

(2)逆命題：能被5整除的整數(shù)，其末位數(shù)是。或5是真命題

【分析】本題考查了真假命題及互逆命題的定義，解題的關鍵是理解命題、逆命題、否命題和逆否命題的定

義及其性質；

把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題.判斷事物的語句叫命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的

命題稱為假命題；先寫個逆命題然后判斷它的真假.

【詳解】(1)逆命題：在同一平面內，如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線，

判斷：根據(jù)平行線的性質，如果兩條直線在同一平面內平行，那么它們與第三條直線的夾角是相等的.若這

兩條平行線都與第三條直線垂直，則它們與第三條直線的夾角都是90。，滿足條件.因此，逆命題是真命題.

(2)逆命題：能被5整除的整數(shù)，其末位數(shù)是。或5,

判斷：根據(jù)整數(shù)的性質，一個整數(shù)如果能被5整除，那么它的末位數(shù)只能是0或5,因此逆命題是真命題.

9.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，平行線的性質與判定：

(1)任選兩個條件作為題設，另外一個條件作為結論寫出對應的明天，再判斷真假即可；

(2)根據(jù)(1)所求結合平行線的性質與判定條件證明即可.

【詳解】(1)解：選擇①②為題設，③為結論，命題為：若4=N2,ZB=NC，則該命題是真命題;

選擇①③為題設，②為結論，命題為：若Z1=N2,AB//CD,貝=該命題是真命題；

選擇②③為題設，①為結論，命題為：若4=NC,AB//CD,則4=N2,該命題是真命題；

(2)證明：選擇①②為題設，③為結論，

VZ1=Z2,Z1=ZCGZ),

Z2=ZCGZ),

CE//BF,

ZC=ZBFDf

;ZB=NC,

ZB=ZBFD,

：.AB//CD；

選擇①③為題設，②為結論，

VZ1=Z2,Z1=ZCGZ),

Z2=ZCGZ),

CE//BF,

NC=ZBFD,

丁AB//CD,

ZB=ZBFD,

ZB=NC；

選擇②③為題設，①為結論

〈AB//CD,

ZB=ZBFD,

ZB=/C,

NC=ZBFD,

CE//BF,

I.Z2=ZCGD,

又;Z1=ZCGD,

Z1=Z2.

10.(1)，，=17和”=37,進行一次上述操作后，都有一數(shù)是4的倍數(shù)；

(2)證明見解析

【分析】本題主要考查了反證法和有理數(shù)的四則運算：

答案第10頁，共15頁

（1）根據(jù)定義進行判斷即可；

（2）奇數(shù)經過一次操作后一定會變?yōu)榕紨?shù)，因此只需要證明偶數(shù)經過操作后有一數(shù)是4的倍數(shù)即可；若偶數(shù)

為4的倍數(shù)，則問題得證，若偶數(shù)不是4的倍數(shù)時，則該偶數(shù)可以表示為4,“+2（機為整數(shù)），當1n=2k（k為整

數(shù)），則4"+2=跟+2,4,”+2經過操作后可變?yōu)?（3及+1）,問題得證；當根=24+1（%為整數(shù)），則4,”+2經過操作后

可得儂+16,對于儂+16,要使儂+16不是4的倍數(shù)，那么人一定要是奇數(shù)，則可推出＞"=2左+l=4p+3…要一直成

立，即*對于任意的左的結果都是整數(shù)，顯然這是不可能的，據(jù)此問題得證.

【詳解】（1）解：；17x3+1=52,且52是4的倍數(shù)，

”=17進行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；

V37x3+1=112,且112是4的倍數(shù)，

A"=37進行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；

（2）解：?.?奇數(shù)乘以3再加1后一定會變?yōu)榕紨?shù)，而偶數(shù)除以一定數(shù)量的2之后一定會變?yōu)槠鏀?shù)，

???經過有限步后奇數(shù)一定會變?yōu)榕紨?shù)，

若偶數(shù)為4的倍數(shù)，則問題得證，

若偶數(shù)不是4的倍數(shù)時，則該偶數(shù)可以表示為4,"+2（”為整數(shù)），

當m=2k（改為整數(shù)），則4"+2=84+2,

（8k+2）+2=4K+l,3（4（t+l）+l=12fc+4=4（3A:+l）,

；.3（狄+1）+1一定是4的倍數(shù)，故當機為偶數(shù)時，滿足題意；

當帆=24+1為整數(shù)），則4"+2=8尢+6,

（8及+6）+2=4左+3,3（4尢+3）+1=12左+10,（12左+10）+2=6左+5,

3（6/+5）+1=18左+16,（18*+16）=%+8,

對于儂+16,要使儂+16不是4的倍數(shù)，那么上一定要是奇數(shù)，

設左=2p+l（p為整數(shù)），則儂+16=36p+34,

（36p+34）4-2=18p+17,（18p+17）x3+l=54p+52,（54p+52）+2=27p+26,

同理要使27p+26不是4的倍數(shù)，則p一定是奇數(shù)，

如此反復，在此過程中，若有一個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)了偶數(shù)，那么環(huán)節(jié)中必有4的倍數(shù)，

假設不存在4的倍數(shù)，那么加=2左+l=4p+3…要一直成立，即竽對于任意的人的結果都是整數(shù)，顯然這是不

可能的，

假設不成立，

工原結論正確.

11.（D@p?J}XD

（2）選擇命題，［今②B寸，證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質及命題判斷，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

(1)根據(jù)題意及全等三角形的判定進行命題判斷即可；

(2)根據(jù)(1)中結果，進行證明即可.

【詳解】⑴解：黑處=XD

(2)證明如下：②

在△ABC和△BAD中，

BC=AD

<Z1=Z2,

AB=BC

...A/lBC^Aa4D(SAS),

ZC=ZD.(答案不唯一).

12.(1)圖①：ZB=ZDf圖②：4+ZD=180。，見解析

(2)如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補

【分析】本題主要考查平行線的性質、命題與證明，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

(1)如圖①根據(jù)平行線的性質得出4=4,4=/號可得4=";如圖②根據(jù)平行線的性質得出

4+4=180。，N1=NE,可得N3+ZD=180。；

(2)根據(jù)(1)可推出，如果兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補.

【詳解】(1)關系是：圖①：4圖②：4+。=180。，

如圖①:AB//DE,

I.ZB=ZEHC

?:BC//DF,

，ZD=ZEHC

ZB=ZD

如圖②?.?AB//DE,

，NB=NDHC

BC//DFf

，ZD+ZDHC=180°

4+ZD=180°.

(2)命題：如果一個角的兩邊分別平行另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補.

13.⑴①，③(或③，①)

(2)見解析

【分析】本題考查平行線的判定及性質.

(1)根據(jù)題意即可解答；

(2)根據(jù)垂直的定義與平行線的判定及性質即可解答.

答案第12頁，共15頁

【詳解】（1）解：選擇的條件是①，結論是③；

或：選擇的條件是③，結論是①.

故答案為：①，③（或③，①）

（2）解：選擇的條件是①，結論是③，則證明如下：

證明：-.AB1BC（已知），

.-.ZABC=90°（垂直的定義），

.-.Z3+Z4=90°（余角的定義）.

?.■Zl+Z2=90°,且22=Z3（已知），

.■.Zl+Z3=90o（等量代換）.

:.Z1=N4（等角的余角相等），

.-.BE//DF（同位角相等，兩直線平行）.

選擇的條件是③，結論是①，則證明如下：

證明：VBE//DF（已知），

4=4（兩直線平行，同位角相等）

--AB1BC（已知），

.-.ZABC=90°（垂直的定義），

.-.Z3+Z4=90°（余角的定義）.

?.-Zl+Z2=90°（已知），

：.N2=N3（等角的余角性質）.

14.⑴可以組成三個命題，①如果Zl+N2=180。，Z3="那么ZB=NC；②如果Zl+N2=180。，ZB=ZC,那么Z3=ZA；

③如果NB=NC,Z3=4l,那么Zl+N2=180。.

（2）見解析

【分析】（1）依據(jù)題意，一共能組成3個命題；

（2）選擇命題①如果Zl+N2=180。，Z3=ZA,那么ZB=NC；可根據(jù)“同旁內角互補，兩直線平行”，“內錯角相等,

兩直線平行''來寫出證明過程即可.

【詳解】（1）解：可以組成三個命題，

①如果Nl+N2=180。，Z3=ZA,那么NB=NC；

②如果Nl+N2=180。，NB=NC,那么Z3=ZA；

③如果NB=NC,A=3那么Zl+N2=180。；

（2）選擇命題①如果Nl+