2025中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：三角函數(shù)實(shí)際問題（含答案解析）

重難點(diǎn)05三角函數(shù)實(shí)際問題

明考情.知方向

此題型在2015年和2022年2023年作為解答題進(jìn)行考查，其余8年都作為選擇題進(jìn)行考查，主要考查解直角

三角形與實(shí)際情境相結(jié)合.作為解答題考查是其考查趨勢(shì).該題型結(jié)合實(shí)際情境通過計(jì)算物體的高度或者距

離，考查學(xué)生對(duì)于幾何圖形的實(shí)際應(yīng)用能力.熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用作輔助線的方法。

重難點(diǎn)題型解讀

題型1選擇時(shí)間短的路線

題型2選擇路程少的路線

三角函數(shù)實(shí)際問題

\題型3判斷是否及時(shí)到達(dá)

題型4求實(shí)際距離

【題型1選擇時(shí)間短的路線】

主要考查仰俯角、勾股定理與行程問題，三角函數(shù)的計(jì)算的綜合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的運(yùn)用，

三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.除了要比較的大小，還需注意速度對(duì)于時(shí)間的影響。

1.（第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)）2025年重慶"新年第一跑”活動(dòng)在渝北區(qū)中央公園中央廣

場(chǎng)舉辦，活動(dòng)方開辟出了兩條經(jīng)典路線.如圖是兩條跑步路線的平面示意圖，已知終點(diǎn)C在起點(diǎn)A的東北

方向.路線①從起點(diǎn)A出發(fā)向北偏東30。的方向先跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)8,再沿正東方向跑一段步道即

可到達(dá)終點(diǎn)C；路線②從起點(diǎn)A出發(fā)沿北偏東75。的方向跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)。，再沿正北方向的步

道跑1800米即可到達(dá)終點(diǎn)C.（參考數(shù)據(jù)：0=1.414，V3?1.732,76?2.449）

⑴求AC的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）

⑵某班有兩位同學(xué)小軒和小鵬參加了跑步活動(dòng)，小軒選擇路線①，他的平均速度為80米/分鐘，小鵬選擇

了路線②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)？（結(jié)果精確

至U0.1）

2.（南開中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)）除夕當(dāng)天，小南和小津相約同時(shí)從家出發(fā)前往外婆家吃年

夜飯.如圖，小南從家A處出發(fā)步行至小青家B處，再步行到達(dá)正東方向的朝旭百貨C處，最后步行到達(dá)

外婆家。處.小津從家F處出發(fā)步行至商店E處，再步行至外婆家.已知8在A的東北方向，且AB=2000米，

8C=200米，C在E的正北方向，且在。的北偏西60。方向，E既在產(chǎn)的南偏東53。方向，又在。的南偏西

30。方向，且DE=1500米，廠在A的正東方向.（參考數(shù)據(jù)：&句.41,6^1,73,sin53°?0.8,cos53°?0.6）

（1）求小津家尸處與商店E處的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

⑵小南步行的平均速度為90米/分，小津步行的平均速度為60米/分，請(qǐng)計(jì)算說明小南和小津誰先到達(dá)外

婆家.（結(jié)果精確到0.1）

3.（24-25九年級(jí)上?重慶江北?期末）北濱路延伸段建設(shè)是我區(qū)的重大民生項(xiàng)目，在建設(shè)過程中十分重視便

民利民.如圖，四邊形ABCD區(qū)域是規(guī)劃的休閑公園，其中四周是人行步道，對(duì)角線AC、BO為兩條自行

車道，點(diǎn)8為公園入口.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A在點(diǎn)2的正東方向，同時(shí)點(diǎn)A在點(diǎn)。的南偏東45。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)

D的南偏西60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏西75。方向，若AD=900匹米.（參考數(shù)據(jù)：72?1.414,021.732,

瓜~2.449）

北

⑴求自行車道AC的長(zhǎng).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

⑵測(cè)得“汨=15。，小明從A地以60米/分鐘的速度步行前往8地，小明出發(fā)2分鐘后，小剛以小明步行

速度的3倍騎自行車從。出發(fā)趕往8地給小明送東西，問他們誰先到達(dá)8地，通過計(jì)算說明先到達(dá)多長(zhǎng)時(shí)

間？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

4.（第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期入學(xué)考）寒假期間，小明和小紅在A處游玩，結(jié)束后相約去

學(xué)校自習(xí)室，學(xué)校在點(diǎn)C處，小明家在點(diǎn)。處，小紅家在點(diǎn)8處，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的

正北方向，點(diǎn)C在點(diǎn)8的北偏東60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)。的東北方向，且AB=200米，BC=8007|e.

（1）求小明家到學(xué)校的距離8的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）小明和小紅同時(shí)從A處出發(fā)，兩人先各自回家取書包，再去學(xué)校自習(xí)室，小明步行的速度為40米/分，

小紅步行的速度為45米/分，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰先到達(dá)學(xué)校自習(xí)室（兩人取書包的時(shí)間忽略不計(jì)）.（參考數(shù)

據(jù):抽=1.414,1.732,結(jié)果精確到十分位）

5.（榮昌初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）五邊形M3是圍繞河CE修建的步道，小依和爸爸

從A前往。處，有兩條線路，如圖：①A-E-O；②A-3-C-O.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)2在點(diǎn)A的正南方向，AB=150

米，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正東方向，30=300米，點(diǎn)。在點(diǎn)C的北偏東60。，點(diǎn)E在點(diǎn)A的東北方向，點(diǎn)E在點(diǎn)

C的正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)E的正東方向.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414，6R.732）

E

D

j45Z北

a西4*東

BC南

（1）求AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）；

（2）小依選擇線路①，爸爸選擇線路②，小依步行速度是80米/分鐘，爸爸步行速度是100米/分鐘，小依

和爸爸同時(shí)從A處出發(fā)且始終保持勻速前進(jìn)，請(qǐng)計(jì)算說明小依和爸爸誰先到達(dá)。處？

【題型2選擇路程少的路線】

此類題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。還需注意了解

直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)。

6.（24-25九年級(jí)上?重慶渝北?期末）如圖，一艘貨船從A港口出發(fā)，需要運(yùn)至其正北方向260海里處的港

口8,由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發(fā)，經(jīng)港口C,。休整，最后駛向

港口②由港口A出發(fā)，經(jīng)港口E休整，最后駛向港口B（休整時(shí)間忽略不計(jì)）.經(jīng)勘測(cè)，港口C在港口

A東北方向，港口。在港口C正北方向80海里處，港口。在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60。方

向,港口E在港口A北偏西30。方向.（V2?1.41,^?1.73）

（1）求港口A和港口E之間的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）

⑵考慮到航行時(shí)間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請(qǐng)通過計(jì)算說明是選擇路線①還是路線②.（結(jié)

果精確到個(gè)位）

7.（24-25九年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）某校開展了"尋根?行走的青春”研學(xué)活動(dòng).如圖所示，國(guó)防教育8在

勞動(dòng)教育A正北方向，AB=200米；科學(xué)研究C在國(guó)防教育2北偏東30。方向，3C=260米；素質(zhì)拓展。

在科學(xué)研究C東南方向；德育實(shí)踐E在素質(zhì)拓展D正南方向，且在勞動(dòng)教育A正東方向，AE=300米.（參

考數(shù)據(jù)：72?1.4，8R.7）

(1)求C,。兩處之間的距離(結(jié)果精確到個(gè)位)；

(2)小沙和小坪從勞動(dòng)教育A處出發(fā)，準(zhǔn)備一起前往素質(zhì)拓展。處，有兩條路可選擇：①Af

②ArErD,請(qǐng)通過計(jì)算說明選擇哪一條路較近.

8.(24-25九年級(jí)上?重慶南岸?期末)如圖，A,8兩地的直線距離為7km,但因湖水相隔，不能直接到達(dá).從

A到B有兩條路可走.線路1：仄A-C-B；線路2：從A-D-B.從地圖上可得到以下數(shù)據(jù)：點(diǎn)C位于A

的正北方向，且在8的北偏西63。的方向；點(diǎn)。在A的東南方向，且位于8的南偏西37。方向.(參考數(shù)據(jù)：

0al.4,A/5?2.24,sin63°?0.89,cos63°?0.45，tan63°?2,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75.)

D

(1)求AD的長(zhǎng)度；(保留1位小數(shù))

⑵通過計(jì)算說明，線路1和線路2,那條線路更短.

9.(鳳鳴山中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第三次月考)如圖，A,B,C,。分別是某公園四個(gè)景點(diǎn),

B在A的正東方向，。在A的正北方向，且在C的北偏西60。方向，C在A的北偏東30。方向，且在B的北

偏西15。方向，AB=2千米.(參考數(shù)據(jù)：0=1.41,石。1.73,46~2.45)

(1)求BC的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1千米)；

(2)甲、乙兩人從景點(diǎn)。出發(fā)去景點(diǎn)3,甲選擇的路線為：D-C-B,乙選擇的路線為：D-A-B.請(qǐng)計(jì)算

說明誰選擇的路線較近?

10.（南開中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月）如圖，A、B、C、。分別是鐵山坪森林公園的四個(gè)景點(diǎn)

且位于同一平面內(nèi)，B在A的正東方向，C在2的正北方向，。在A的北偏東30。方向且在C的北偏西45。方

向，OC=4近千米，3C=6千米.（參考數(shù)據(jù)：拒xl.41,73?1.73）

（1）求的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留很號(hào)）

（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)A出發(fā)去景點(diǎn)C,甲選擇的路線為A-O-C,乙選擇的路線為A-B-C.請(qǐng)計(jì)算說明

誰選擇的路線較近？（結(jié)果精確到01千米）

【題型3判斷是否及時(shí)到達(dá)】

000?

此類題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方位角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.還需了解平行線分線段成比例，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理以及

相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（巴蜀中學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中）去年，第9號(hào)臺(tái)風(fēng)"蘇拉"登陸我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)、

影響范圍廣，有極強(qiáng)的破壞力.如圖，臺(tái)風(fēng)中心從A地由南向北移動(dòng)，1小時(shí)后到達(dá)B地.已知點(diǎn)C為一

海港，在C港測(cè)得：A地在C地南偏東37。方向、距離為300千米處；2地在C地東南方向上.（參考數(shù)據(jù)：

34I-

sin37°,cos37°?-,72-1.41，V6?2,45）

⑴當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)8地時(shí)距海港C還有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)8地后方向立即發(fā)生了改變，沿北偏西15。方向快速移動(dòng)，風(fēng)速比之前增強(qiáng)了50%,影響

范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，周圍150加千米以內(nèi)為受影響區(qū)域，此時(shí)C港接到緊急通知：要求

所有人員在30分鐘內(nèi)撤離海港.請(qǐng)通過計(jì)算說明C港人員能否在受臺(tái)風(fēng)影響前及時(shí)撤離？

12.（2024年重慶大渡口區(qū)九年級(jí)中考一診）某送貨司機(jī)在各站點(diǎn)間上門送貨的平面路線如圖所示：

A-B-C-D.已知點(diǎn)8在點(diǎn)A的北偏東45。方向3.6km處，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正東方2.4km處，點(diǎn)。在點(diǎn)C的

南偏東30。方向，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方.（參考數(shù)據(jù)：逝R.414，V3?1.732,?=2.449）

（1）求線段的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到OQlkm）

（2）已知送貨司機(jī)在送貨過程中全程保持Wm/s的速度勻速行駛，若現(xiàn)在有急件需要在16分鐘內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)送

到。點(diǎn)，則送貨司機(jī)按既定路線A-3-C-O進(jìn)行運(yùn)送能否按時(shí)送達(dá)？（送貨司機(jī)在各站點(diǎn)停留的時(shí)間忽略

不計(jì)）

13.（22-23九年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）如圖，小南家A位于一條東西走向的筆直馬路上，超市B在A地的

正東方.午休時(shí)間，小南從家A出發(fā)沿北偏東60。方向步行600m至菜鳥驛站C取快遞.下午第一節(jié)網(wǎng)課是

美術(shù)課，此時(shí)距離上課時(shí)間只有7min,他決定先沿西南方向步行至超市B購買素描畫紙，再沿正西方向回

⑴求菜鳥驛站C與超市B的距離（保留整數(shù)）；

（2）若小南的步行速度為80m/min,那么他上美術(shù)網(wǎng)課會(huì)遲到嗎？請(qǐng)說明理由.（忽略買素描畫紙的時(shí)間）

14.（潼南區(qū)九年級(jí)下學(xué)期二模）某校進(jìn)行應(yīng)急演練，事發(fā)地點(diǎn)C處發(fā)生了一起事故，有傷員需要救援.為

了提高營(yíng)救效率，接到報(bào)告后，位于8點(diǎn)處的演練應(yīng)急處理隊(duì)員立即報(bào)告120（專為演練準(zhǔn)備的），并組織

位于B點(diǎn)處的救護(hù)人員立即出發(fā)，A處的120救護(hù)車接到通知后也立刻同時(shí)出發(fā)前往事發(fā)地點(diǎn)C處.計(jì)劃

由B處的救護(hù)人員趕到事發(fā)地點(diǎn)C處一邊應(yīng)急處理一邊護(hù)送該傷員沿C4方向行進(jìn)，與救護(hù)車相遇后將該傷

員轉(zhuǎn)移到救護(hù)車上接受救治.已知C在A的北偏東30。方向500米上，B在A的東北方向上，且在C的正南

方向上.

彳

（1）求3c兩點(diǎn)的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：君名1.732）；

（2）黃金救援時(shí)間是6分鐘（本次演練設(shè)定為3分鐘），救護(hù)人員的平均速度為90米/分，救護(hù)車的平均速度

為230米/分，請(qǐng)判斷該傷員是否能在黃金救援時(shí)間內(nèi)接受救治？請(qǐng)說明理由.（事發(fā)與接到通知之間的時(shí)間，

接送傷員上下車的時(shí)間均忽略不計(jì)）

15.（育才中學(xué)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期9月）如圖，四邊形ABCD是休閑公園的人行步道.AC,

8D是兩條自行車道且相交于點(diǎn)。，點(diǎn)B是休閑公園入口.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A在點(diǎn)。的西偏南45。方向，點(diǎn)C在

點(diǎn)。的東偏南30。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東75。方向，AD=400"米.

⑴求自行車道AC的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位數(shù)）；

（2）測(cè)得ZAO5=45。，小剛從A點(diǎn)出發(fā)步行沿步道去B處取快餐，小剛步行的速度為60米每分鐘，送餐

員等待的時(shí)間不超過5分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明小剛能否在送餐員規(guī)定的時(shí)間內(nèi)取到快餐嗎？（參考數(shù)據(jù)：

應(yīng)它1.414，6a1.732,后a2.449）

【題型4求實(shí)際距離】

此類題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理以及相似三

角形的判定和性質(zhì).通過仰角俯角問題測(cè)量物體高度，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

16.（高新區(qū)中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）為了方便市民出行，建委決定對(duì)某街道一條斜坡

進(jìn)行改造，計(jì)劃將原斜坡坡角為45。的3c改造為坡角為30。的AC,已知BC=20匹米，點(diǎn)A,B,C,D,

（1）求的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

⑵一輛貨車沿斜坡從C處行駛到廠處，貨車的高斯為6米，EF1AC,若B=32米，求此時(shí)貨車頂端E

到水平線C。的距離（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：應(yīng)21.41,#1al.73）

17.（巴蜀中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末）"1"腔熱血護(hù)家園，"1"呼百應(yīng)齊參與，"9"久守護(hù)永不

變，在“全國(guó)消防日”之際，學(xué)校組織學(xué)生到消防隊(duì)參觀消防救援車實(shí)施救援演練的過程，圖1是高空救援消

防車實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，操作面OD與水平地面用平行，操作面離地面的距離0"=1米，伸縮

臂C。可繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A在OZ）上，為云梯的液壓桿，其中43可伸縮，已知套管03=3米，且套

管OB的長(zhǎng)度不變.消防員為大家介紹：此時(shí)，ZAOB=30°,ZBAD^6Q°,CELHG于點(diǎn)、E,交OD于點(diǎn)、尸,

云梯末端工作臺(tái)C上升到了離地面CE=5.5米的高處.（參考數(shù)據(jù)：sin53OyQ8,cos53°~0.6,結(jié)果精確到

0.1）

⑴求此時(shí)液壓桿的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）

⑵通過消防員的操作，云梯伸縮臂C。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)23。并伸長(zhǎng)至OC,云梯末端工作臺(tái)。的鉛錘高度

上升了4米至C',請(qǐng)問伸縮臂OC比伸縮臂OC伸長(zhǎng)了多少米？

18.（育才中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次自主作業(yè)）重慶有六座矗立百年的文峰塔，其中位于

江北區(qū)塔子山的文峰塔被稱為是重慶的“航標(biāo)".小宇與小航準(zhǔn)備測(cè)量塔子山文峰塔的高度，如圖，小宇在點(diǎn)

A處觀測(cè)到文峰塔最高點(diǎn)P的仰角為45。，再沿正對(duì)文峰塔的方向前進(jìn)10m至8處測(cè)得最高點(diǎn)P的仰角為

60。，小航先在點(diǎn)C處豎立長(zhǎng)為2.6m標(biāo)桿尸C,再后退至其眼睛所在位置點(diǎn)。、標(biāo)桿頂尸、最高點(diǎn)尸在一條

直線上，此時(shí)測(cè)得最高點(diǎn)尸的仰角為30。，已知兩人身高均為L(zhǎng)6m（頭頂?shù)窖劬Φ木嚯x忽略不計(jì)）.

p

⑴求文峰塔尸。的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）;

（2）測(cè)量結(jié)束時(shí)小宇站在點(diǎn)E處（點(diǎn)E在點(diǎn)8的正下方），小航站在點(diǎn)C處，兩人相約在塔底見面，小宇的速

度為L(zhǎng)5m/s,小航速度是其2倍，誰先到達(dá)塔底？請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

19.（第八中學(xué)2023-2024學(xué)年下期九年級(jí)開學(xué)）拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1,水平操作臺(tái)為/,

底座固定，ABLI,且?!B=50cm,連桿BC長(zhǎng)度為70cm,機(jī)械臂CD長(zhǎng)度為60cm.點(diǎn)B,C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn),

且與始終在同一平面內(nèi).

圖I

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,機(jī)械臂CD,使NABC=150。，CD//1,如圖2,求機(jī)械臂端點(diǎn)。離操作臺(tái)/的高度OE的

長(zhǎng)（精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：A/3?1.73）.

⑵物品在操作臺(tái)/上，距離底座A端125cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,機(jī)械臂CD,機(jī)械臂端點(diǎn)。能否碰

到點(diǎn)M?請(qǐng)說明理由.

20.（第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考）如圖，在建筑物OF的左邊有一個(gè)小山坡，坡底

B、C同建筑底端廠在同一水平線上，斜坡AB的坡比為i=5:12,小李從斜坡底端8沿斜坡走了26米到達(dá)

坡頂A處,在坡頂A處看建筑物的頂端。的仰角a為35。，然后小李沿斜坡AC走了21米到達(dá)底部C點(diǎn),

已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看建筑物E點(diǎn)的仰角夕為18。，（點(diǎn)A、B、C、D、E、廠在同一平面內(nèi)）建

4791

筑物頂端。到E的距離OE長(zhǎng)度為28.8米.（參考數(shù)據(jù)：cos35。夕二，tan35°?—,cosl8°?—,tanl8°?-）

D

⑴求小李從斜坡B走到A處高度上升了多少米.

（2）求建筑物。尸的高度.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：30分鐘）

1.重慶市位于我國(guó)西南部、四川盆地東部，地處我國(guó)中西結(jié)合部，是承東啟西、左右傳遞的樞紐，在我國(guó)

經(jīng)濟(jì)發(fā)展總格局和西部大開發(fā)中，具有重要的戰(zhàn)略地位和作用；重慶主城為三面環(huán)水的半島，位于長(zhǎng)江與

嘉陵江匯合處，是由大江托起的中國(guó)最著名的山城.如圖，為了測(cè)量斜坡2C上的建筑物的高度，一個(gè)

數(shù)學(xué)興趣小組，站在山腳C點(diǎn)處測(cè)得建筑物底部3點(diǎn)的仰角為45。，然后沿水平方向走了12米到達(dá)點(diǎn)。，再

沿坡度為1：2.4的斜坡。E走了52米到達(dá)點(diǎn)E,繼續(xù)向前走了50米到達(dá)了一個(gè)比較好的測(cè)量點(diǎn)尸，在尸點(diǎn)

測(cè)得建筑物底部B的仰角為25。，建筑物頂部A的仰角為30°（測(cè)量員身高與測(cè)角儀高度均忽略不計(jì)，且A、

B、C、D、E、尸在同一平面內(nèi)）.

（1）求點(diǎn)F到山腳C的水平距離；

（2）求建筑物的的高度.（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin25°?0.38,cos25°?0.93,tan25。=0.40,0=1.40，

#1aL70）

2.外賣，作為現(xiàn)代化快節(jié)奏生活中的一種餐飲服務(wù)形式，近年來在全球范圍內(nèi)迅速發(fā)展并廣受歡迎.小西

在位于點(diǎn)A處的家中購買了位于點(diǎn)。處"稻香園"的外賣食品，外賣騎手收到商家派單后立即趕往點(diǎn)。處取餐,

然后進(jìn)行配送.根據(jù)導(dǎo)航顯示，點(diǎn)A位于點(diǎn)。的西北方向600匹米處，點(diǎn)B位于點(diǎn)A南偏東75。方向且在點(diǎn)

。的北偏東60。方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)A的南偏東30。方向，又在點(diǎn)0的正西方向.（參考數(shù)據(jù)：

A/6?2.449,V3?1.732,72?1.414）

南

⑴求的長(zhǎng)（保留根號(hào)）；

（2）騎手在“稻香園”取餐后開始配送，由于道路AO施工，騎手有兩條送餐路線可以選擇，路線①OfCfA,

速度為每分鐘120米，路線②OfBfA,速度為每分鐘240米，請(qǐng)通過計(jì)算說明，騎手選擇哪條路線才

能更快的將外賣送到小西家?

3.寒假期間，小明和小紅在A處游玩，結(jié)束后相約去學(xué)校自習(xí)室，學(xué)校在點(diǎn)C處，小明家在點(diǎn)。處，小紅

家在點(diǎn)B處,點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)。

的東北方向,且AB=200米，3c=800米.

C

⑴求小明家到學(xué)校的距離CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）;

（2）小明和小紅同時(shí)從A處出發(fā)，兩人先各自回家取書包，再去學(xué)校自習(xí)室，小明步行的速度為40米/分,

小紅步行的速度為45米/分，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰先到達(dá)學(xué)校自習(xí)室（兩人取書包的時(shí)間忽略不計(jì)）.（參考

數(shù)據(jù)：V2?1,414,A/3?1.732,結(jié)果精確到十分位）

重難點(diǎn)05三角函數(shù)實(shí)際問題

明考情.知方向

此題型在2015年和2022年2023年作為解答題進(jìn)行考查，其余8年都作為選擇題進(jìn)行考查，主要考查解直角

三角形與實(shí)際情境相結(jié)合.作為解答題考查是其考查趨勢(shì).該題型結(jié)合實(shí)際情境通過計(jì)算物體的高度或者距

離，考查學(xué)生對(duì)于幾何圖形的實(shí)際應(yīng)用能力.熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用作輔助線的方法。

重難點(diǎn)題型解讀

題型1選擇時(shí)間短的路線

題型2選擇路程少的路線

三角函數(shù)實(shí)際問題

\題型3判斷是否及時(shí)到達(dá)

題型4求實(shí)際距離

【題型1選擇時(shí)間短的路線】

主要考查仰俯角、勾股定理與行程問題，三角函數(shù)的計(jì)算的綜合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的運(yùn)用，

三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.除了要比較的大小，還需注意速度對(duì)于時(shí)間的影響。

1.（第八中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)）2025年重慶"新年第一跑”活動(dòng)在渝北區(qū)中央公園中央廣

場(chǎng)舉辦，活動(dòng)方開辟出了兩條經(jīng)典路線.如圖是兩條跑步路線的平面示意圖，已知終點(diǎn)C在起點(diǎn)A的東北

方向.路線①從起點(diǎn)A出發(fā)向北偏東30。的方向先跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)8,再沿正東方向跑一段步道即

可到達(dá)終點(diǎn)C；路線②從起點(diǎn)A出發(fā)沿北偏東75。的方向跑過一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)。，再沿正北方向的步

道跑1800米即可到達(dá)終點(diǎn)C.（參考數(shù)據(jù)：0=1.414，V3?1.732,76?2.449）

⑴求AC的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）

⑵某班有兩位同學(xué)小軒和小鵬參加了跑步活動(dòng)，小軒選擇路線①，他的平均速度為80米/分鐘，小鵬選擇

了路線②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)？（結(jié)果精確

到0.1）

【答案】⑴AC的長(zhǎng)度約為3477米

⑵小鵬會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)

【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)。作DE人4c于點(diǎn)E,

由題意，得"CE=45。，/ZME=75°—45°=30°,CD=1800米

在RtZkCDE中，CE=DE=CD—=1800x—=90072?1272.6（米）.

22

DE90072/T1

在RtADE中，tanADAE乖：（米）

T

:.AC=AE+CE=1272.6+2204.1?3477（米）.

答：AC的長(zhǎng)度約為3477米；

（2）如圖，過點(diǎn)A作A尸交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

由題意，知/&LF=30°,ZC4F=45°

(1)知AC=(9000+900A同米，

在RtZXACF中，AF=CF=AC—=(900應(yīng)+900")x1=(900+9004)米

在RtAB/中，BF=AF-tanZBAE=(900+90073)xtan30°=(900+30073),

AB=23尸=(1800+600A)米

:.BC=CF-BF=600y/3(米)

在RtADE中，AD=2DE=1800A/2(米)，

AB+BC

...小軒走路線①需要的時(shí)間為：=1800+120073485(分鐘).

8080

小鵬走路線②需要的時(shí)間為：—+?=1800+1800、"8.3(分鐘).

9090

48.5>48.3,小鵬會(huì)先到達(dá)終點(diǎn).

2.（南開中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)）除夕當(dāng)天，小南和小津相約同時(shí)從家出發(fā)前往外婆家吃年

夜飯.如圖，小南從家A處出發(fā)步行至小青家B處，再步行到達(dá)正東方向的朝旭百貨C處，最后步行到達(dá)

外婆家。處.小津從家F處出發(fā)步行至商店E處，再步行至外婆家.已知8在A的東北方向,且鉆=2000米，

8C=200米，C在E的正北方向，且在。的北偏西60。方向，E既在尸的南偏東53。方向，又在。的南偏西

30。方向，且DE=1500米,f在A的正東方向.（參考數(shù)據(jù)：9al.41,石。1.73,sin53°?0.8,cos53°?0.6）

⑴求小津家產(chǎn)處與商店E處的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）小南步行的平均速度為90米/分，小津步行的平均速度為60米/分，請(qǐng)計(jì)算說明小南和小津誰先到達(dá)外

婆家.（結(jié)果精確到0.1）

［答案］（1）___口__掌米

3

⑵小津先到達(dá)外婆家；計(jì)算見解析

【詳解】（1）解：連接CE,延長(zhǎng)AF交CE于點(diǎn)G,過點(diǎn)8作于點(diǎn)”，如圖所示：

回C在E的正北方向，f在A的正東方向，

SBH±AG,C在3的正東方向，

回四邊形3CG8為矩形，

回GA=3。=200米，CG=BH,

回3在A的東北方向，

SZBAH=45°,

SBH=ABxsin45°=2000Y.—=IOOOA/2（米），

2

5

AH=ABxcos45°=2000x—=10005/2（米），

2

回CG=BH=1000匹米，

回C在。的北偏西60。方向，E在。的南偏西30。方向,

0ACDE=180°-30°-60°=90°,NCED=30°,

CE=DE=^2=IOOOA/3

0cos30°V3（米）,

2

CD=DExtan30°=1500x=500A/3（米），

SEG=CE-CG=IOOOA/3-100072=1000（g-0）（米）,

回石在產(chǎn)的南偏東53。方向，

團(tuán)NG￡F=53。,

肥尸;GE1。。。（石一@5000（石一0）（米），

cos53°0.63

答：小津家行處與商店E處的距離」°0°（6一萬）米;

3

（2）解：根據(jù)解析（1）可知：C0=5006米，斯=5°網(wǎng)―一碼米,

3

團(tuán)小南需要的時(shí)間為：

小津需要的時(shí)間為:

5000

+1500（分鐘）,

--------?33.9

60

E34.1>33.9,

回小津先到達(dá)外婆家.

3.（24-25九年級(jí)上?重慶江北?期末）北濱路延伸段建設(shè)是我區(qū)的重大民生項(xiàng)目，在建設(shè)過程中十分重視便

民利民.如圖，四邊形ABC。區(qū)域是規(guī)劃的休閑公園，其中四周是人行步道，對(duì)角線AC、為兩條自行

車道，點(diǎn)8為公園入口.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A在點(diǎn)8的正東方向，同時(shí)點(diǎn)A在點(diǎn)。的南偏東45。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)

D的南偏西60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏西75。方向，若AD=9OO0米.（參考數(shù)據(jù)：血。1.414,1.732,

A/6?2.449）

（1）求自行車道AC的長(zhǎng).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

⑵測(cè)得NAD3=15。，小明從A地以60米/分鐘的速度步行前往8地，小明出發(fā)2分鐘后，小剛以小明步行

速度的3倍騎自行車從。出發(fā)趕往8地給小明送東西，問他們誰先到達(dá)8地，通過計(jì)算說明先到達(dá)多長(zhǎng)時(shí)

間？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

【答案】（1）1738.4米

(2)小明先到達(dá)，先到達(dá)L43分鐘.

【詳解】(1)解：由題意可得：NFDA=/ZMF=45o,/r)E4=90。，/C4G=75。，即/E4c=15。，

如圖：過。作DE2AC,

EZC4D=ZE4D-ZE4C=45o-15o=30°,

0DE=1AD=450A/2,AE=cosACAD-AD=cos3Q0-AD=—x9000=45076米，

22

ZAr>E=90°-ZC4D=60°,

0ZEDF=/EDA-ZFDA=15°,

0/EDC=ZCDF-NFDE=45°

^\DE±AC,

0ZEDC=ZECD=45°,

回CE=Z)E=450匹，

回AC=CE+EA=45O0+45O"al738.4米

(2)解：由題意可得：ZFDA=ZDAF=45°,ZDFA=90°,

BDF=AF,

回AD=9000米，

0FD=AF=sinZFAD-AD=sin45°-AD=—x90072=900米，

2

0ZADB=15°,

EZFDB=ZFDA-ZADB=30°,

0FB=tanZDFB-FD=—x900=300^3,BD=^-FB=600函,

32

0BA=900-30073,

團(tuán)小明從A地以60米/分鐘的速度步行前往2地，小明出發(fā)2分鐘后，小剛以小明騎自行車以180米/分鐘

從D出發(fā)趕往8地，

回小明用時(shí)：(9。。一3004)+60=15-56分鐘；小剛共用時(shí)：6004+180+2=+2分鐘，

畔/+2-（15一5@=粵^+2-15+5石=粵^一13"43>0,

國(guó)小明先到達(dá)，先到達(dá)L43分鐘.

4.（第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期入學(xué)考）寒假期間，小明和小紅在A處游玩，結(jié)束后相約去

學(xué)校自習(xí)室，學(xué)校在點(diǎn)C處，小明家在點(diǎn)。處，小紅家在點(diǎn)8處，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的

正北方向，點(diǎn)C在點(diǎn)8的北偏東60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)。的東北方向，且AB=200米，BC=800米.

（1）求小明家到學(xué)校的距離CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

⑵小明和小紅同時(shí)從A處出發(fā)，兩人先各自回家取書包，再去學(xué)校自習(xí)室，小明步行的速度為40米/分，

小紅步行的速度為45米/分，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰先到達(dá)學(xué)校自習(xí)室（兩人取書包的時(shí)間忽略不計(jì)）.（參考數(shù)

據(jù)：72?1.414,百a1.732,結(jié)果精確到十分位）

【答案】（1）6000米

⑵小紅先到達(dá)學(xué)校自習(xí)室

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作于點(diǎn)/，

依題意，ADJ.AB

回四邊形E4FC是矩形，

又團(tuán)/EBC=60°,3c=800米,

0BE=BC-cos60°=800x—=400BC=800米,

2

團(tuán)CF==AB+3石=200+400=600米,

0ZCDF=45°,

CF

BDF=——=600米，

tan45°

CD=-^=軍=600近

0sin450米

~T

（2）解：在RtEBC中,￡C=BC-sin60°=—x800=400y/3

2

SAD=AF-DF=EC-DF=40073-600,

^AD+CD=400百-600+6000

小明步行的速度為40米/分，

回小明到達(dá)學(xué)校自習(xí)室需要40°6+6°°應(yīng)-6°°a23$分鐘

40

AB+=200+800=1000米，小紅步行的速度為45米/分

所用時(shí)間為：絲工22.2分鐘，

45

22.2<23.5

團(tuán)小紅先到達(dá)學(xué)校自習(xí)室.

5.（榮昌初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中）五邊形ABCDE是圍繞河CE修建的步道，小依和爸爸

從A前往。處，有兩條線路，如圖：①A-E-D；②A-3-C-O.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正南方向，AB=150

米，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正東方向，3。=300米，點(diǎn)。在點(diǎn)C的北偏東60。，點(diǎn)E在點(diǎn)4的東北方向，點(diǎn)E在點(diǎn)

C的正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)E的正東方向.（參考數(shù)據(jù)：1.414，A/3?1.732）

（1）求AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）；

⑵小依選擇線路①，爸爸選擇線路②，小依步行速度是80米/分鐘，爸爸步行速度是100米/分鐘，小依

和爸爸同時(shí)從A處出發(fā)且始終保持勻速前進(jìn)，請(qǐng)計(jì)算說明小依和爸爸誰先到達(dá)。處？

【答案】⑴424米

（2）爸爸

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AfiLLCE于點(diǎn)X；則NAHC=NAHE=90。；

E

D

：45Z

BC

由題意知，NB=NBCH=90°,ZB=ZBCH=ZAHC=90°,

回四邊形ABC"是矩形，

.L=BC=300米，ZBA/f=90°；

:.ZEAH=ZAEH=45°,即是等腰直角三角形，

EH=AH=300^,

由勾股定理得：AE=yjAH2+EH2=300A/2?424（米）。

（2）解：由（1）知，四邊形是矩形，

：.CH=AB=15O^i,

:.CE=CH+HE=450米;

丁點(diǎn)E在點(diǎn)C的正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)E的正東方向，

.-.ZDEC=90°；

在Rt^ECD中，ZECD=60°,ZD=30。，

.?.OC=2CE=900米，DE=6CE=450/米;

E?AE+DE=424+450x1.732?1203（米），

（2）AB+BC+DC=150+300+900=1350（米），

回小依到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為：1203^80~15.0（分），小依爸爸到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為：1350+100=13.5（分）；

綜上，小依爸爸先到達(dá)。處.

【題型2選擇路程少的路線】

此類題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。還需注意了解

直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)。

6.（24-25九年級(jí)上?重慶渝北?期末）如圖，一艘貨船從A港口出發(fā)，需要運(yùn)至其正北方向260海里處的港

口8,由于航道條件限制，貨船有兩種可能的航行路線：①由港口A出發(fā)，經(jīng)港口C,。休整，最后駛向

港口3；②由港口A出發(fā)，經(jīng)港口E休整，最后駛向港口B（休整時(shí)間忽略不計(jì)）.經(jīng)勘測(cè)，港口C在港口

A東北方向，港口。在港口C正北方向80海里處，港口。在港口B東南方向，港口E在港口B南偏西60。方

向，港口E在港口A北偏西30。方向.（0=1.41,6^1.73）

（1）求港口A和港口E之間的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）考慮到航行時(shí)間和成本，貨船需要選擇路程更短的路線，請(qǐng)通過計(jì)算說明是選擇路線①還是路線②.（結(jié)

果精確到個(gè)位）

【答案】⑴1304海里

⑵路線①

【詳解】（1）解：由題意得，ZABE=60°,ZBAE=30°,AB=260海里，

^\ZAEB=90°,

0A￡=AB-sin60°=260x#=130百海里，

回港口A和港口E之間的距離為1300海里；

B

A

(2)解：如圖，分別過點(diǎn)C作CF、OG垂直A3,垂足分別為點(diǎn)/、G,則

ZAFC=Z.CFG=Z.DGF=NDGB=90°,

由題意得，ZFAC=45°,NFCD=90。,/GBD=45。,CD=80海里，

回四邊形CDGF是矩形，

回/G=CD=80海里，CF=DG,

0ZFAC=ZGBD=45°,ZAFC=ZDGB=90°,

回△AC5和，BDG是等腰直角三角形，

0AF=CF,BG=DG,

BAF=BG=260~80=90

2

回AC=BD=90近海里，

又回BE=AB-sin30°=260x工=130海里，

2

回路線①的路程為AC+CD+D2=90母+80+90V2合334海里，

路線②的路程為AE+E8=130g+130。355海里，

0334<355,

回應(yīng)選擇路線①.

7.（24-25九年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）某校開展了“尋根?行走的青春”研學(xué)活動(dòng).如圖所示，國(guó)防教育8在

勞動(dòng)教育A正北方向，AB=200米；科學(xué)研究C在國(guó)防教育2北偏東30。方向，3C=260米；素質(zhì)拓展。

在科學(xué)研究C東南方向；德育實(shí)踐E在素質(zhì)拓展D正南方向，且在勞動(dòng)教育A正東方向，AE=300米.（參

考數(shù)據(jù)：V2?1.4,6、1.7）

（1）求C,。兩處之間的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；

（2）小沙和小坪從勞動(dòng)教育A處出發(fā)，準(zhǔn)備一起前往素質(zhì)拓展。處，有兩條路可選擇：①AfCfO；

②AFETD,請(qǐng)通過計(jì)算說明選擇哪一條路較近.

【答案】⑴C，D兩處之間的距離約為238米

⑵選擇線路②較近，說明見解析

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作C尸_LAB于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)尸C交即延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

由題意可知，AB±AE,DE±AE,ZDCG=45°,ZCBF=30°,

國(guó)四邊形AEGb是矩形，

回NG=90°,FG=AE=300米，

在Rt3cp中，/C=；8C=130米，

回CG=BG—PC=170米,

在RtACDG中，CD=———=170=17072?238（米），

cosZDCGcos45°

答：CD兩處之間的距離約為238米.

（2）解：由（1）可知，四邊形A￡G/是矩形，CG=170米，。=170血米，

回NG=90°,/G=AE=300米，EG=AF,

在Rt中，BF=BC-cosZCBF=260x=13073（米），

2

E1AB=2OO米，

回EG=A尸=42+2/=（200+130⑹米，

在RtACDG中，DG=CG-tanNOCG=170米，

回DE=EG-￡>G=（30+1304）米，

團(tuán)線路①C->D的長(zhǎng)為AB+BC+Cr>=200+260+1700B698（米），

線路②Af的長(zhǎng)為AE+DE=300+30+130ga551（米），

因?yàn)?98>551,

所以選擇線路②較近.

8.（24-25九年級(jí)上?重慶南岸?期末）如圖，A,8兩地的直線距離為7km,但因湖水相隔，不能直接到達(dá).從

A到8有兩條路可走.線路1：AA-C-B；線路2：仄A-D-B.從地圖上可得到以下數(shù)據(jù)：點(diǎn)C位于A

的正北方向，且在8的北偏西63。的方向；點(diǎn)。在A的東南方向，且位于B的南偏西37。方向.（參考數(shù)據(jù)：

5/2?1.4?V5?2.24，sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63O?2,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75.）

D

（1）求AD的長(zhǎng)度；（保留1位小數(shù)）

（2）通過計(jì)算說明，線路1和線路2,那條線路更短.

【答案】⑴5.7km

⑵線路2比線路1短，見解析

【詳解】（1）解：過點(diǎn)。作DESAB，垂足為E.

0ZA￡D=9O°.

0ZE4D=45°,NEDB=37。,

SAE^DE,BE=DEgan37°=0.75AE.

團(tuán)AB=AE*+5E=7km,

團(tuán)A￡+0.75AE=7.

團(tuán)AE=4.

^\AE=DE=4km,BE=3km.

0AD=V2AE=4V2?5.7km.

故A。的長(zhǎng)為5.7km.

(2)解：由(1)可得，在Rt△班史中,

BE

即&)=—=5km.

sin37°0.60

40

在RL^ACB中,tanZC=tan63°=——

AC

AB

即AC=?=3.5km.

tan6302

AB

sin63°=

BC

AB

即BC=?-----?7.865km

sin63°0.89

線路