2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（重慶卷）全解全析

2025年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（重慶卷）

（考試時間120分鐘滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

參考公式：拋物線＞=a/+bx+c（aW0）的頂點坐標(biāo)為對稱軸為》=—q_.

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、

C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑.

2?

1.在下列四個數(shù)中：-〒56,0.101001中，屬于無理數(shù)的是（）

2?

A.-yB.y/9C.0.101001D.41

【答案】D

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③

含有萬的有些數(shù)，結(jié)合所給數(shù)據(jù)進行判斷即可，解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的幾種形式.

22

【詳解】A、-亍是有理數(shù)，不符合題意；

B、囪=3是有理數(shù)，不符合題意；

C、0.101001是有理數(shù)，不符合題意；

D、正是無理數(shù)，符合題意；

故選：D.

2.2024年巴黎奧運會項目圖標(biāo)設(shè)計，不僅注重刻畫運動員運動狀態(tài)，更注重項目本身的展示.下列項目圖

標(biāo)既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形.把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180。后，可以與原圖形重合,

這個圖形就是中心對稱圖形；把一個圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分可以完全重合，這個圖形就是軸

對稱圖形.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義進行判斷.

【詳解】解：A選項：是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故A選項不符合題意；

B選項：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故B選項符合題意；

C選項：既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形，故C選項不符合題意；

D選項：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意.

故選：B.

3.若a>6,則下列各式中一定成立的是（）

A.—2<—2B.—3a+1<—3b+1C.ac~>bc^D.a+5<6+5

【答案】B

【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項判斷即可.

【詳解】由。>6,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都減去2,得a-2>b-2,所以A不正確；

由a>6,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都乘以-3,得-30<-36,

再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加上1,得-3a+l<-3b+l,所以B正確；

由。>6,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2,兩邊都乘以c2（cw0）,得*2>加2,所以C不正確；

由。>b,

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上5,得。+5>6+5,所以D不正確.

故選：B.

4.若正比例函數(shù)y=G與反比例函數(shù)夕=勺的圖象交于/（3,"7）,8（”,-2）兩點，則反比例函數(shù)的解析式為

X

（）

3-36-6

A.y=-B.y=——C.y=—D.y=—

%XXX

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對稱性確定交點坐標(biāo)是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)題意得出/（3,2）,5（-3,-2）,再把/（3,2）代入>=：即可得到答案.

【詳解】解：???正比例函數(shù)了=幻與反比例函數(shù)>=：的圖象交于“（3,-2）兩點，

/（3,叫3（",-2）兩點關(guān)于原點對稱，

/（3,2）,鞏-3,-2）,

把/（3,2）代入y—得2=3

x3

:.k=6,

二反比例函數(shù)的解析式為y=9,故選：C.

X

5.對于命題“若/>/,則。>6"，下面四組關(guān)于。，6的值中，能說明這個命題是假命題的是（）

A.a=3,b=2B.a=—3,b=2C.a=3,b=—lD.a=—\,6=3

【答案】B

【分析】本題主要考查命題真假的判定，說明命題是假命題時，只要舉出反例即可：即符合命題的條件，

但不符合命題的結(jié)論；掌握舉反例的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，將各個選項驗證即可.

【詳解】解：A、a2=9,〃=4,且3>2,滿足“若/>/,則。>6"，故A選項不符合題意；

B、/=9,廿二人且_3<2,此時雖然滿足但不成立，故B選項符合題意；

C、1=9,〃=1,且3>-1,滿足“若/>〃，貝I]a>b"，故C選項不符合題意；

22

D、a=l,b=9,此時不滿足/>/,故D選項不符合題意.

故選：B.

6.若3-血的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為6,則代數(shù)式（2+缶,的值為（）

A.2B.72C.4D.4-272

【答案】A

【分析】本題主要考查了估算無理數(shù).解題關(guān)鍵是熟練掌握如何估算無理數(shù).

先估算正的大小，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷3-血的大小，從而求出6,最后代入所求式子，利用

平方差公式進行計算即可.

【詳解】解：1T〈血<2,

??-2<—A/2<-1，

?'-3-2<3-V2<3-l.BP1<3-A/2<2>

3-V2的整數(shù)部分為。=1，小數(shù)部分為6=3-夜-1=2-&，

（2+忘4）6

=(2+V^)(2—V2j

=22-(V2)2

=4—2=2,故選：A.

7.如圖，邊長為2的正方形/BCD面積記為岳，以4D為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的

一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2,…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則$2。25的值為（）

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理、規(guī)律型以及等腰直角三角形等知識，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形

的定義，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)題意求得前幾個正方形的面積，再求出第〃.個正方形的邊長為

2x耳，則，即可解決問題.

【詳解】解：由題意可知，第一個正方形的邊長為2,

是等腰直角三角形，

AD=41DE,

第二個正方形的邊長為DE=袋弓=6，

：.邑=(V2)2=2,

同理：第三個正方形的邊長為宗=1,

2

53=I=1,

1B

第四個正方形的邊長為玉嶗,

2

IJ2

5

(萬丫T

???第”個正方形的邊長為2X”,

2_

8.如圖，在平行四邊形48CD中，AD=-AB,ZBAD=45°,以點A為圓心、40為半徑畫弧交22于點

E,連接CE,若AB=6①，則圖中陰影部分的面積是（）

A.20-4兀B.20V2-4nC.4TID.2072-2TT

【答案】B

【分析】本題考查平行四邊形性質(zhì)、扇形面積公式、三角形面積公式、以及解直角三角形，過點。作。尸，N8

于點尸，根據(jù)解直角三角形求得。尸，從而求得E2,最后根據(jù)S陰影=S^B⑦-$扇?。E-S?C列式求解，即

可解題.

【詳解】解：過點。作。尸，AB于點F，

JZ)=-x6V2=45/2,

3

J7

二.。尸=AD-sin45°=4夜xJ=4,

2

???AE=AD=4V2，

:.EB=AB-AE=2^，

-S陰影=S=ABCD-S扇形”>E-S^EBC>

=6收x4-竺佇處空」x2VIx4,

3602

=200-4%,故選：B.

9.如圖，在菱形48cZ）中，對角線NC、2。交于點。，EF1BD,垂足為點〃，防分別交40、DC及

5c的延長線于點E、M、F,且瓦=則。〃30的值為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判斷，先由菱形的

性質(zhì)得到40〃BC,AC1BD,AD=BC,再證明/C||斯，進而證明四邊形ZMC是平行四邊形，得到

AE=CF,由￡|尸||/C,推出得到里=匹，由m：CF=1：2,推出皮）：40=1:3,即

DOAD

可解答.

【詳解】解：:四邊形是菱形，

AD//BC,AC1BD,AD=BC,

,：EFLBD,

：.AC\\EF,

四邊形/EFC是平行四邊形，

AE=CF,

?：EF^AC,

ADEHSADAO,

,PHDE

??而一茄’

,:ED：CF=1：2,

；?ED：AE=1:2,

：.ED：（DE+AE）=1:3,

ED:AD=1:3,

?：EF\\ACf

：.DH:DO=DE:AD=-,

3

故選：B.

10.定義：已知再,％2是關(guān)于X的一元二次方程。/+反+。=0值WO）的兩個實數(shù)根，若再<%2<0，且

3<土<4,則稱這個方程為“限根方程”.如：一元二次方程爐+13工+30=0的兩根為國=-10,芍=-3,且

X2

-in

3<—<4,所以一元二次方程/+13工+30=0為“限根方程”.關(guān)于x的一元二次方程/+（1-"以-,"=0,有

-3

下列兩個結(jié)論：①當(dāng)加=-三7時，該方程是“限根方程”；②若該方程是“限根方程”，則加有且只有一個整數(shù)

24

解.對于這兩個結(jié)論判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯誤C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②正確

【答案】C

【分析】本題主要考查了新定義——“限根方程”.熟練掌握新定義，解一元二次方程，一元二次方程根的判

別式，分類討論，是解題關(guān)鍵.

①當(dāng)加=-三時，該方程是x2+||x+三=0；得到方程的根為國=-1,X2=~,得到3<工<4,該方

24242424%

程是''限根方程"，①正確；②解該一元二次方程，得出國=-1,X2=m,或網(wǎng)=加，x2=-l.再根據(jù)此方

程為“限根方程”，即此方程有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出〃7N-1,當(dāng)

X11

為=-1,%=加時，根據(jù)3<,<4,得到(機<-：,整數(shù)加不存在；當(dāng)占=加，x?=-l時，得到

x234

-4<m<-3,整數(shù)加不存在.②錯誤.

7317

【詳解】解：①當(dāng)加二-77時，原方程為：/+%+o,

242424

7

解得石二-1，12=一五，

_-1_24

???工2_2_7,

24

。24

3<—<44,

7

???該方程是“限根方程”；

???①正確；

②*/x2+(1-rn)x-m=0,

(x+l)(x-m)=0,

.??x+l=0或x-冽=0,

??西——1,JC^~,或X]=m，X?=_1.

???此方程為“限根方程”，

?,?此方程有兩個不相等的實數(shù)根，

/.A=(1-加『+4m=(1+加『>0,

加w—1.

當(dāng)玉=-1,%=加時，

,/3<—<4,

x2

,-.3<—<4,

m

解得：-g<加<一;,

..?加只是一個整數(shù)，

??m值不存在；

YYl

當(dāng)再=加，X2=-1時，3<一<4,

—1

解得：-4<m<-3,

'?m值不存在.

綜上所述，加的值不存在.

②錯誤.

...①正確，②錯誤.

故選：C.

二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線

上.）

11.計算：（%-3.14）°+（-2025廠=.

【分析】本題考查了零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕.先根據(jù)零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運算法則計算，再根據(jù)

有理數(shù)的加法法則計算即可.

【詳解】解：（”3.14）°+（-2025尸=1+［我］=黑，故答案為：黑.

\乙U乙J/U乙J/U乙J

12.如圖，隨機閉合開關(guān)國上2,S?中的兩個，則能讓小燈泡L”L?同時發(fā)光的概率為.

【答案】|

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，找出隨機閉合開關(guān)S1,S2,S3中的兩個的情況數(shù)以及能讓兩盞燈泡

乙、乙同時發(fā)光的情況數(shù)，即可求出所求概率，弄清題中的電路圖是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：畫樹狀圖，如圖所示：

開始

S2S3S］S3SiS2

由圖知，隨機閉合開關(guān)*與2,S3中的兩個有六種情況，能讓兩盞燈泡4、右同時發(fā)光的有兩種情況：閉合

S2，S3,閉合S3,S2,

211

則夕（能讓兩盞燈泡4、右同時發(fā)光）故答案為：4

633

13.如圖，在RtZ\/8C中，ABAC=90°,40,3c于點。，E為4D上一點，連結(jié)8E并延長，交邊NC于

點尸，且E4=EB,過點C作CGLAP交陽的延長線于點G.若48=6,AC=8,則CG的長為

【答案】2.8

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先求出

4RxAC

SC=10,運用等面積法求出/D=二"=4.8,結(jié)合勾股定理得3。=3.6,ED=L05,然后在RMD5E

CB

中，cosZEBD=—=—=0.28,則在RdBCG中，cos/EAD=CC=0.28,即可作答.

BE3.75BC

【詳解】解：VABAC=90°,AB=6,AC=8f

BC=J64+36=10,

?.?4D12C于點。,

：

.-2CB->iAD=SAA.B?cL=2-ABxAC,

ABx4c

AD==4.8,

CB

在RtAZ>8/中，BA2=AD2+BD2^

貝1」36=4.82+3。2,解得BD=3.6,

依題意，設(shè)EA=EB=r,

DE=4.8-r,

在RMQBE中，BE2=ED2+BD1

r2=（4.8-r）2+3.62,解得r=3.75,

???EQ=4.8—3.75=1.05,

在RMQBE中，cos/EBD-......=------=0.28

BE3.75

CGLBF,5C=10,

則在RtABCG中，cosNEBD=——=0.28,

BC

，CG=2.8,故答案為:2.8.

14.若關(guān)于x的一元一次不等式組|："一1）：”+5有且僅有2個偶數(shù)解,且關(guān)于y的分式方程一一\亙=1

[5X—Q>3y-22-y

的解是正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是.

【答案】-2

【分析】此題考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式組的整數(shù)解，不等式組整理后，根據(jù)恰

有2個偶數(shù)解，確定出。的范圍，再由分式方程的解為正數(shù)，確定出滿足題意的整數(shù)。的值，求出這些整數(shù)

。的和即可.熟練掌握各自的解法是解、題的關(guān)鍵.

x<4

【詳解】解：不等式組整理得0+3,解得：*<xV4,

x>------5

I5

???不等式組恰有2個偶數(shù)解，

,-.0<^<2,解得：-3<a<7,

:關(guān)于y的分式方程——L=i的解是正數(shù)，

y-22-y

3—a3—a

：.y=—>0Ay=~^2,解得：。<3且g-1,

—3<。<3且aH-1,

???滿足條件的整數(shù)。的值有-3,-2,0,1,2,

；.-3-2+0+1+2=-2,

???所有滿足條件的整數(shù)。的值之和是-2.故答案為：-2.

15.如圖，在RS/CB中，ZACB=90°,48=30°,點。為邊上一點且08=8,點。為BC邊上的動

點，過點。作。O的兩條切線，切點分別為瓦尸，若。。的半徑為2,則四邊形DEO尸面積的最小值是

D

【答案】4人

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得AODE均尸（SZS）,邑噸=邑加=；。尸。尸，則有S四邊形w=2S0F=2。尸,

當(dāng)。尸的值最小時，四邊形尸面積有最小值，由勾股定理可得。尸2=002-0尸=82-4,則有最

小時，。產(chǎn)的值最小，根據(jù)OD_L3c時，0。的值最小，由含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接

A

Ea

——.......de

D

尸是。。的切線，

：./OED=/OFD=90°,DE=DF,OE=OF,

：sODEAODF（SAS）,

??S.ODE=S.ODF--DFOF,

???。。的半徑為2,

S&ODF=5*2xDF=DF,

?S四邊形0EOF=S鏘ODE+S^ODF，

=

S四邊形DEOF2SQODF=2DF,

/.當(dāng)DF的值最小時，四邊形。EOF面積有最小值，

在R/AODb中，OD2=OF2+DF2,

：.DF2=OD2-OF2=OD2-4,

：.OD最小時，DF的值最小，

當(dāng)QD18C時，OD的值最小，

OB=8,ZB=30°,ODIBC,

：.OD=-OB=4,

2

.?.D92=42—4=12，

/.DF=273（負(fù)值舍去），

,,S四邊形DEOF=2DF=2x2A/3=4A/3,

故答案為：4Vs.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等

知識的綜合，掌握切線的性質(zhì)得到AODE絲A。留（S/S）,當(dāng)。尸的值最小時，四邊形?！?。尸面積有最小值,

OD最小時，。尸的值最小是解題的關(guān)鍵.

16.若一個五位數(shù)"=嬴^的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0,且滿足e=2a,3（a-b）=c-d,則稱該五

位數(shù)為“差倍數(shù)”.規(guī)定：F（M）=^c+bd,G（M）=%-應(yīng).例如:42152,滿足1*0,2*0,且

3x（2-l）=5-2,所以42152是“差倍數(shù)”，戶（42152）=25+12=37,G（42152）=25-12=13.若N是一個“差

倍數(shù)”，G（N）=26,則N的最大值為；若“差倍數(shù)"S=21000x+10y+z+98（l<x<4,

0<y<9,2<z<ll,x,九z均為整數(shù)），且”（S）+3G⑸能被11整除，則滿足條件的S的值的和為

【答案】8429363285

【分析】本題考查了整式的加減計算，解不定方程，數(shù)的整除，難度較大，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

①由G（N）=%-而=10a+c-（10b+d）=10（a-6）+c-d=26,結(jié)合條件得到13（。-9=26,繼而得到

a-b=2,c-d=6,繼而可求解；

②先將S表示為S=（2x）xl（9+y+l-10）（8+z-10）=（2x）xly（z-2）,由新定義得滿足3（a-6）=c-c/,則

z=y-3無+5,表示出尸（S）=7x+2y+13,G（S）=13x-13,貝I）

2/（S）+3G（S）=ll（5x+y+l）-（2x+7y+24）,問題化為2x+7y+24需要被“整除即可，再分類討論枚舉

即可.

【詳解】解：①G（N）=ac-bd=10a+c-（10b+d）=10（a-6）+c-d=26,

3（a-b）=c-d,

二13（j）=26,

??a—b=2,

??c-d=6,

???若一個五位數(shù)屈=嬴質(zhì)的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0,且滿足e=2a,

工。最大為4,則e最大為8,

???b=4—2=2,

■:c-d=6,

???。最大為9,則d=3,

???N的最大值為84293；

②?.?S=21000x+10y+z+98,

：.S=20000%+1000x+（90+10歹）+z+8,

S=（2x）xl（9+y+l-10）（8+z-10）=（2x）xlj（z-2）,

??,五位數(shù)屈=嬴五的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0,滿足3（〃-b）=c-d,

3（x-l）=y-z+2,

z=y-3x+5,

.?.F（S）=H+1（"2）

=10x+y+10+2—2

=lOx+y+2+8

—1Ox+y+y—3x+5+8

=7x+2y+13,

G(5)=^-l(z-2)

=lOx+y-(10+2-2)

—lOx+y-(10+y-3x+5-2)

=10x+y-10-y+3x-3

=13x-13,

2尸⑸+3G(S)=2(7x+2y+13)+3(1313)

=53x+4y-13

二55x—2x+ll〉—7y+ll—24

=1l(5x+y+l)-(2x+7>+24),

??.2x+7y+24需要被11整除，

1<x<4,0<j^<9,

.?.26<2x+7y+24<95,

.?.2x+7y+24可取33,44,55,66,77,88,

當(dāng)2x+7y+24=33,則2x+7y=9,

x=1/=1,貝！Jz=3

??.S=21111；

當(dāng)2x+7y+24=44,貝|2x+7y=20,

x=3,y=2,貝!Jz=-2(舍)；

當(dāng)2x+7y+24=55,則2x+7y=31(舍)；

當(dāng)2x+7y+24=66,貝U2x+7y=42(舍)；

當(dāng)2x+7>+24=77,則|2x+7y=53,

x=2,y=7,則z=6,

.\S=42174,

當(dāng)2x+7y+24=88,則2x+7y=64(舍)，

???滿足條件的S的值的和為211H+42174=63285,

故答案為：84293,63285.

三、解答題：(本大題共8個小題，第17題16分，其余每題10分，共86分)解答時每小題必須給出必

要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請將答題過程書寫在答題卡中對應(yīng)位置上.

17.(1)先化簡，再求值：[(%+?)(%-p)+(%+J7)?-(212一4y2)]+2>,其中x=7,y=-2,

【答案】x+2yf3

【分析】本題主要考查了整式的混合運算-化簡求值，平方差公式，完全平方公式等知識點，先利用平方差

公式，完全平方公式計算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答，

準(zhǔn)確熟練地進行計算是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：［(x+y)(x7)+(x+?-(2/一4力卜2九

二任-y2+x2+2xy+y2-2x2+4y2)+2y

=(2xy+4y2)+2y=x+2y,

當(dāng)x=7/=—2時，原式=7+2x(—2)=7—4=3.

(f+4X+4)丫+2

(2)先化簡，一「一-x-2卜一然后從0<x<3范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值.

Ix-4jx-2

【答案】一1+3,2

【分析】本題考查分式的化簡求值，先把分子分母因式分解和除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，再約分，接著根

據(jù)乘法的分配律計算得到原式=-x+3,然后根據(jù)分式有意義的條件，把x=l代入計算即可，解題時可根據(jù)

題目的具體條件選擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各

分式都有意義，且除數(shù)不能為0.

*+4%+4x+2(x+2)x+2

【詳解】解:

2-X-

X-4yX_J_~(x+2)(x-2)"x-2

x—2

x-2x+2

=l-(x-2)

——x+3,

%—2w0

；「.％w±2,.,.當(dāng)％=1時，原式=2.

x+2

18“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣，”某校響應(yīng)號

召，鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀，該校文學(xué)社為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了20名學(xué)生每天用

于課外閱讀的時間，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)和不完整的統(tǒng)計圖表：閱讀時間在40?x<60范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)：40,50,

45,50,40,55,45,40不完整的統(tǒng)計圖表:

課外閱讀時間X(min)等級人數(shù)

0<x<20D3

20<x<40Ca

40<x<60B8

x>60A4

結(jié)合以上信息回答下列問題：

(1)統(tǒng)計表中的。=;統(tǒng)計圖中2組對應(yīng)扇形的圓心角為度；

(2)閱讀時間在40Vx<60范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計全校600名同學(xué)

課外閱讀時間不少于40min的人數(shù)有人；

(3)A等級學(xué)生中有兩名男生和兩名女生，從/等級學(xué)生中選兩名學(xué)生對全校學(xué)生作讀書的收獲和體會的報

告，用列舉法或樹狀圖法求恰好選擇一名男生和一名女生的概率.

2

【答案】(1)5；144；(2)40；360；(3)§

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖等知識，樹狀圖法可以不重不漏的列

舉出所有可能發(fā)生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回

試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

(1)由調(diào)查的學(xué)生的總?cè)藬?shù)減去其他組的人數(shù)得出。的值，再由360。乘以8組所占的比例即可；

(2)由眾數(shù)的定義得出眾數(shù)，再用樣本估計總體列式計算即可；

(3)畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中恰好選擇一名男生和一名女生的情況有8種，再由概率公

式求解即可.

【詳解】(1)解：統(tǒng)計表中的。=20-(3+8+4)=5,

O

統(tǒng)計圖中8組對應(yīng)扇形的圓心角為：—X360°=144°,

故答案為：5,144；

(2)解：閱讀時間在40Vx<60范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是40,

8+4

估計全校600名同學(xué)課外閱讀時間不少于40min的人數(shù)為：600x^=360(人)，

故答案為：40,360；

(3)解：畫樹狀圖如下：

開始

男男女女

/N/T\小/N

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的情況，其中恰好選擇一名男生和一名女生的情況有8種,

恰好選擇一名男生和一名女生的概率為2=：.

19.【探究與證明】

⑴【教材再探】下面是某教材的一道問題：“如圖1,在正方形/BCD中，CE1DF,求證：CE=DF”.請

完成解答過程：

圖1

證明：設(shè)CE與。尸交于點P,

?.?四邊形是正方形，

ZB=ZDCF=90°,BC=,

:.NBCE+NDCE=90°,

???CE1DF,

NCPD=°,

:.NCDF+NDCE=90。,

'：ZCDF=ZBCE

:.ACBEaDCF()填判定依據(jù)，用字母表示

:.CE=DF

(2)【類比探究】如圖2,在矩形N8CD中，/8=3,/。=5,點E,尸分別在邊42,2。上，且CE_L。尸，請

問(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

(3)【拓展探究】如圖3,在RtZX/BC中，乙42。=90。,/2=3,8。=4,點￡為42的三等分點，過點8作

BD工CE交AC于D,請直接寫出8。的長.

圖2

【答案】(1)8,90,ASA；(2)不成立，理由見解析；(3)AD=U叵或應(yīng)?

1911

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)，證明A8CE絲尸(AAS)即可.

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明ABCESACD尸即可.

(3)利用三角形相似的性質(zhì)計算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)CE與。尸交于點尸

???四邊形Z5CQ是正方形，

/./B=ZDCF=90°,BC=CD,

/.NBCE+/DCE=90。,

CE1DFf

/./CPD=90°,

ZCDF+ZDCE=90°,

?IZCDF=ZBCE,

「.△CBE絲△ZXF(ASA),

:.CE=DF.

故答案為：CD,90,ASA.

(2)解：不成立，理由如下：設(shè)CE與。尸交于點P,

證明：???四邊形力5c。是矩形，

ZB=/BCD=90。。=AB=3,

CE1DF,

ZDPE=/PCD+ZPDC=90°,

???/PCD+NPCF=90。,

ZPCF=/PDC,

???AB=/BCD,ZPCF=ZPDC,

:ABCES^CDF,

BC_CE_5

,~CD~^F~31

3

DF=-CE.

5

(3)補齊矩形/BC。，由于線段45的三等分點有兩個，故分類解答:

如圖3-1,BE=2AE=2.

同(2)得AABPsABCE,且相似比為3:4,

△BCE中，BE=2,CE=^BE2+BC2=275,

圖3?1圖3?2

\'AQ//BC,

:SAPDSKBD,

.AP_PD_3

??疏一訪—W'

:.BD=0BP=^^~;

1111

如圖3-2,同理可得8。=均也7.

19

綜上所述應(yīng)!或應(yīng)立.

1119

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形

的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.某蔬菜基地有甲、乙兩個用于灌溉的水池,它們的最大容量均為3000m3,原有水量分別為1200m3,300m3,

現(xiàn)向甲、乙同時注水，直至兩個水池均注滿為止.已知每分鐘向甲、乙的注水量之和恒定為100m，若其中

某一水池注滿，則停止向該水池注水，改為向另一水池單獨注水.

⑴若每分鐘向甲注水40m3,則哪個水池先注滿水？為什么？

⑵若每分鐘向甲注水10m',注水多少分鐘時，兩個水池里的水量成2倍關(guān)系？

(3)若每分鐘向甲注水a(chǎn)n?,則甲比乙提前9min注滿，直接寫出a的值.

【答案】(1)兩個水池同時注滿水，見解析

(2)注水與分鐘或30分鐘，兩個水池里的水量成2倍關(guān)系

(3)a的值為40

【分析】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題，能根據(jù)兩水池注水速度之間的關(guān)系，分別表示出兩水池中的水

量是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，分別求出注滿甲、乙水池所需的時間即可解決問題.

(2)根據(jù)題意建立方程，結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題.

(3)根據(jù)題意得出當(dāng)甲注滿時，乙池的水量為2100m3,據(jù)此建立分式方程即可解決問題.

【詳解】(1)解：同時注滿，理由如下：

因為每分鐘向甲注水40m3,

所以每分鐘向乙注水60m3.

n,,3000-1200/u/八小、3000-300江

則一--=45(分鐘)，一--=45.

40oO

因為45=45,

所以兩個水池同時注滿水.

(2)解：因為每分鐘向甲注水lOnr3,

所以每分鐘向乙注水90n?.

設(shè)注水x分鐘時，兩個水池里的水量成2倍關(guān)系,

當(dāng)甲是乙的兩倍時，

1200+10x=2(300+90x),解得x喈

當(dāng)乙是甲的兩倍時,

300+90x=2(1200+10x),解得x=30,

此時乙注滿，甲正好是一半.

綜上所述，注水寫分鐘或30分鐘，兩個水池里的水量成2倍關(guān)系.

(3)解：因為甲比乙提前4min注滿,

所以當(dāng)甲注滿水時，乙中的水量為2100H?.

根據(jù)題意得,

3000-12002100-300

，解得a=40,

100-a

經(jīng)檢驗，a=40是原方程的解且符合題意，所以a的值為40.

21.【閱讀材料】:

解方程：(x+l)]

-2時，先兩邊同乘以x,得(x+l)(x-2)=-2x,解之得再=-2,x2=l,經(jīng)檢驗無

增根，所以原方程的解為國=-2,x2=l.

【模仿練習(xí)】

(1)解方程(3-x)(3+g]=6；

【拓展應(yīng)用】

(2)如圖1，等腰直角“屈的直角頂點A的坐標(biāo)為(3,。)，B,C兩點在反比例函數(shù)丁[的圖象上’點8

求”的值;

kri租

(3)如圖2在雙曲線了=一(左＞0)有M(加,a),N(%6)兩點，如果肱V=OAf,NOMN=90°,那么一+一是

Xmn

否為定值，若存在請求出，不存在請說明理由.

nvyi

【答案】(1)±=-3,X=2(2)2；(3)是定值，-+-=3

2;mn

【分析】本題考查閱讀理解，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些

性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)閱讀材料，進行計算，即可；

(2)過點3作軸于點N,過點C作CMlx軸于點則/瓦以=乙1加。=90。，根據(jù)A4BC是等腰

直角三角形，則=ABAC=90°；根據(jù)/A?/+/M4B=90。，ZCAM+ZNAB=9Q°,等量代換，全

等三角形的判定和性質(zhì)，則△N8N之AM=BN=~,AN=CM=3-n,最后根據(jù)反比例函數(shù)的圖

n

象和性質(zhì)，即可；

(3)過點〃r作x軸的平行線交了軸于點尸，作NQ_Lx軸交直線于點。，同理證明之AMVQ,得

\b=n-2m

OP=MQ=a,MP=NQ=m；求得,根據(jù)點在函數(shù)圖象上，則?.?屈(加M),"(〃1)在反比例函

［a=n-m

數(shù)圖象上，nb=ma,推出〃(〃一2加)=加(〃一加)，解得加？+〃2=3加〃，即可.

【詳解】(1)(3r)(3+，］=6

解：先兩邊同乘以X,得(3-x)(3x+6)=6x,

解得：石=-3,%=2,經(jīng)檢驗無增根，

???原方程的解為石=-3,%2=2；

(2)過點8作BN_Lx軸于點N,過點。作CMlx軸于點M,

/.ZBNA=ZAMC=90°,

VAABC是等腰直角三角形，

AAB=AC,ABAC=90°；

VZNBA+ZNAB=90°,ZCAM+ZNAB=90°,

：.ZNBA=ZCAM,

：.AABN”/XCAM,

B點坐標(biāo)是(凡一］，

：.BN=~,AN=3-n,

n

?.?Z\ABN^/\CAM,

AM=BN=-,AN=CM=3-n,

n

C13H—,3—,

???c點在反比例函數(shù)圖像上，

[3H—](3-幾)=6,

由(1)可知々=一3,%=2,

,.?〃>0,

n=2.

(3)是定值，理由如下：

過點〃作x軸的平行線交V軸于點P,作N0，x軸交直線M尸于點。,

ZMPO=ZMQN=90°

?.,/OMN=90。

：./OMP+/PMO=90。

?.?ZPMO+ZNMQ=90°

??.ZOMP=ZNMQ

?：OM=MN

：.^OMP^MNQ

：.OP=MQ=a,MP=NQ=m,

m-\-a=n,a-m=b,

伍=n-2m

[a=n-m'

?.?,N(%6)在反比例函數(shù)圖象上，

nb=ma,

：.n(n-2m)=m(n-m),^.^m2+n2=3mn,

22.某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗，如圖，兩臺測角儀分別放在/、8位置，且離

地面高均為1米（即40=8石=1米），兩臺測角儀相距60米（即48=60米），在某一時刻無人機位于點C

（點C與點/、8在同一平面內(nèi)），/處測得其仰角為30。，2處測得其仰角為45。.

【參考數(shù)據(jù)：V2?1.41，1.73,sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84]

（1）求該時刻無人機的離地高度；（單位：米，結(jié)果保留整數(shù)）

（2）無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達(dá)點尸（點尸與點/、B、C在同一平面內(nèi)），此時/處測得無人機

的仰角為40。，求無人機水平飛行的平均速度.（單位：米/秒，結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】（1）23米；（2）6米/秒

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，

（1）連接48,過點C作CG1/2,垂足為G,根據(jù)題意可得：AB//DE,設(shè)3G=x米，則/G=（60-x）

米，然后分別在RtZk8GC和RM4CG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG的長，從而列出關(guān)于x的方程,

進行計算即可解答；

（2）過點尸作由，,垂足為H,根據(jù)題意可得：FH=CG=卜0石-30）米，CF=HG,然后在RtAAFH

中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再利用（1）的結(jié)論求出4G的長，從而利用線段的和差關(guān)系

求出CF=〃G=12米，最后進行計算即可解答.

【詳解】（1）解：連接N8,過點C作垂足為G,

由題意得：AB//DE,

設(shè)2G=x米，

,/A8=60米，

/G=/8-BG=（60-x）米，

在RtABGC中，ZCBG=45°,

/.CG=BGtan45°=x（米），

在RM/CG中，ZCAG=30°,

x=-y-（60-x）,解得：X=30A/3-30,

CG=8G=（30月-30）米，

?；AD=BE=l^z,

：.CG+AD=30^-30+1-23（米），

...該時刻無人機的離地高度約為23米；

（2）過點尸作依，/5,垂足為〃，

由題意得：FH=CG=（300一30）米，CF=HG,

在RtZk/尸“中，ZFAH=40°,

.FH3073-30co,小、

??AATTH=----b--------------?26.1（木）,

tan40°0.84

?；43=60米，8G=（306-30）米，

二/G=-8G=60-（30。-30）=（9073-30）米，

/?CF=HG=AG-AH=90-3Qy/3-26A-n（米），

.?.12+2=6（米/秒），

...無人機水平飛行的平均速度為6米/秒.

23.如圖，拋物線廣加+加+c經(jīng)過N（_l,0）,5（4,0）,C（0,-2）三點，連接力C,BC.

（1）求拋物線的解析式:

（2）作直線/〃3C,/交拋物線于E、尸兩點（點￡在點尸的左側(cè)），已知M=

①求直線/的解析式；

②點P是拋物線上的動點，作尸K，/,垂足為點K,是否存在點尸,使得以P、E、K為頂點的三角形與

相似？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴丁-Ix-Z；（2）①y=：x-：；②點P的坐標(biāo)為（2,