2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：實踐與探究綜合（含動點平移旋轉(zhuǎn)等）難題 壓軸練習(xí)題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：實踐與探究綜合(含動點平移旋轉(zhuǎn)等)

難題壓軸練習(xí)題

1.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是對角線BD上的一個動點(0<DM<LBD),連接AM,

過點M作MNXAM交BC于點N

T____________DA______

(1)如圖①，求證：MA=MN；

(2)如圖②，連接AN,。為AN的中點，M0的延長線交邊AB于點P,當(dāng)S△刖W(wǎng)時,

^ABCDI*

求AN和PM的長；

(3)如圖③，過點N作NHLBD于H,當(dāng)AM=2旄時，求△HMN的面積.

2.如圖，直角邊長為6的等腰Rt^ABC中，點D、E分別在直角邊AC、BC上，DE〃AB,EC

(1)如圖1,將4DEC沿射線AC方向平移，得到△DEC,邊DE與BC的交點為M,連接

BE1,當(dāng)CCI多大時，△BMEi是等腰直角三角形？并說明理由.

(2)如圖2,將ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)/a(0°<a<360°),得到△口￡(：,連接ADi、BEi、

邊DR的中點為F.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，ADi和BE1有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②連接BF,當(dāng)BF最大時，求AD1的值.(結(jié)果保留根號)

D2?iCCj

(1)

3.如圖1,已知△ABC2△￡?￡>,NACB=ZEDB=90°,點D在AB上，連接并

延長交AE于點F.

第1頁共30頁

(1)猜想：線段AF與石尸的數(shù)量關(guān)系為；

(2)探究：若將圖1的△石3。繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NCBE小于180。時，得到圖2,

連接CD并延長交AE于點F,則(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，

請說明理由；

(3)拓展：圖1中，過點E作EGLCB,垂足為點G.當(dāng)NABC的大小發(fā)生變化，其它

條件不變時，若NEBG=NBAE,BC=6,直接寫出A5的長.

圖1圖2

4.實踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD

上的點A'處，得到折痕OE,然后把紙片展平.第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD

沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AO上的點C處，點B落在點&處，得到折痕政，

B'C'交AB于點M,CF交DE于點N,再把紙片展平.

問題解決:

(1)如圖1,填空：四邊形的形狀是.

(2)如圖2,線段MC'與旌是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由;

(3)如圖2,若AC'=2cm,DC'=4cm,求。V:石N的值.

5.問題背景：如圖(1),已知求證：ABD-ACE；

第2頁共30頁

嘗試應(yīng)用：如圖(2),在,.ABC和.ADE中，ZBAC=ZDAE=90°>

ZABC=ZADE=30°-AC與DE相交于點產(chǎn).點。在邊上，喘=&，求f的

值；

拓展創(chuàng)新:如圖（3）,D是ABC內(nèi)一點，ZBAD=Z.CBD=30°，ZBDC=90°-AB=4,

AC=2上,直接寫出AD的長.

6.在，ABC中，ABAC=9Q°,AB=AC.點D在邊上，且。石=ZM,

AE交邊于點F,連接CE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)AD=AF時，①求證：3Q=CF；②推斷：ZACE=.；

(2)探究證明：如圖2,當(dāng)A。/A尸時，請?zhí)骄縉ACE的度數(shù)是否為定值，并說明理由;

EF1

(3)拓展運用：如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)——=—時，過點D作AE的垂線，交AE于

AF3

點P,交AC于點K,若CK=3,求。歹的長.

3

7.問題提出

如圖(1),在△ABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,EC=DC,點E在△ABC內(nèi)部，BF,

CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究

第3頁共30頁

(1)先將問題特殊化如圖(2),當(dāng)點D,F重合時，表示AF,BF；

(2)再探究一般情形如圖(1),當(dāng)點D,F不重合時(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

如圖(3),在AABC和ADEC中，/ACB=/DCE=90°,EC=kDC(k是常數(shù))，點E在4ABC

內(nèi)部，表示線段AF,BF

8.在一平面內(nèi)，線段AB=20,線段BC=CD=DA=10,將這四條線段順次首尾相接.把AB

固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角a(a>0°)到某一位置時，BC,CD將會跟隨

出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)AD〃BC時，設(shè)AB與CD交于點0,求證：A0=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時，NADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CD的中點M,當(dāng)點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點D與B的距離為d,若NBCD的平分線所在直線交AB于點P,直接寫

出BP的長(用含d的式子表示)；

②當(dāng)點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出a的余弦值.

第4頁共30頁

2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：實踐與探究綜合(含動點平移旋轉(zhuǎn)等)

難題壓軸練習(xí)題?解析版

1.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是對角線BD上的一個動點(0<DM<LBD),連接AM,

過點M作MNXAM交BC于點N.

(1)如圖①，求證：MA=MN；

(2)如圖②，連接AN,0為AN的中點，M0的延長線交邊AB于點P,當(dāng)也迪=11時,

^ABCDI*

求AN和PM的長；

(3)如圖③，過點N作NHLBD于H,當(dāng)AM=2立時，求△HMN的面積.

【答案】見解析

【解析】(1)證明：過點M作MFLAB于F,作MGLBC于G,如圖①所示:

ZNGM=90°，

:四邊形ABCD是正方形，

.?.ZABC=ZDAB=90°，AD=AB,ZABD=ZDBC=45°,

VMF±AB,MG±BC,

；.MF=MG,

VZABC=90°,

，四邊形FBGM是正方形,

.,.ZFMG=90°,

第5頁共30頁

.,.ZFMN+ZNMG=90°,

VMN1AM,

.,.ZAMF+ZFMN=90°,

/.ZAMF=ZNMG,

,ZAFM=ZNGM

在AAMF和中，MF=MG，

ZAMF=ZNMG

/.△AMF^ANMG（ASA）,

；.MA=MN；

（2）解：在RtZiAMN中，由（1）知：MA=MN,

ZMAN=45°,

；/DBC=45°,

.,.ZMAN=ZDBC,

ARtAAMN^RtABCD,

S

.AAMN=（AN）2,

^ABCDBD

在RtAABD中，AB=AD=6,

；.BD=6&,

.AN2_13

"（W2）2正，

解得：AN=2萬，

?..在RSABN中，BN=7^G=向喬彳=4,

?.?在RtZXAMN中，MA=MN,0是AN的中點，

.\OM=OA=ON=-1.AN=V13>OM±AN,

.?.ZA0P=90°,

：.NAOP=NABN,

；NPAO=NNAB,

/.△PAO^ANAB,

.OP=OA即.OP_V13

"BN而''Tk，

第6頁共30頁

解得：op=2運，

3_

APM-OM+OP=阮+率=源

33

(3)解：過點A作AF_LBD于F,如圖③所示:

.\ZFAM+ZAMF=90o,

VMN±AM,

；.NAMN=90°,

.,.ZAMF+ZHMN=90°,

NFAM=NHMN,

VNH±BD,

.".ZAFM=ZMHN=90°,

'NFAM=NHMN

在AAFM和△MHN中，，ZAFH=ZMHN>

AMN

.,.△AFM^AMHN（AAS）,

；.AF=MH,

在等腰直角AABD中，VAF±BD,

.?.AF=A-BD=1-X672=372-

，MH=3證,

；AM=2遙，

，MN=2逐，

,HN=VMN2-MH2=d（2泥）2-（版）2=瓜

SAHMN=—MH*HN=-X3J^=3,

/.△HMN的面積為3?

第7頁共30頁

2.如圖，直角邊長為6的等腰RtZkABC中，點D、E分別在直角邊AC、BC±,DE〃AB,EC

=4.

(1)如圖1,將ADEC沿射線AC方向平移，得到△口&&,邊DE與BC的交點為M,連接

BEH當(dāng)CQ多大時，ABMEi是等腰直角三角形？并說明理由.

(2)如圖2,將ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)Na(0°<a<360°),得到△口￡(；,連接AD】、BEi>

邊DE的中點為F.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，AD1和BE】有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②連接BF,當(dāng)BF最大時，求AD的值.(結(jié)果保留根號)

(1)⑵

【答案】見解析

【解析】(1)如圖1中，連接EE”當(dāng)CG=2時，△BMEi是等腰直角三角形.利用平移不變

性解決問題即可.

(2)①ADi和BEi相等.證明△BED知△ADC即可解決問題.

②當(dāng)點F在BC的延長線上時，BF最大.

【解答】(1)如圖1中，連接EE1，當(dāng)CG=2時，△BMEi是等腰直角三角形.

(1)

理由：沿射線AC方向平移，得到△口￡?,

.?.EE1/7AC,EEi±BC,

.?.EEi=CCi=2,ZEEiM=ZMD>C,

:DE〃AB,

/.△ABC^ADCE,

第8頁共30頁

,.里=奧，NEEM=NMDIC=45°,

CACB

??AC=BC=6,

??CD=CE=4,

??BE=EEi=2,

\ZBEiE=45°,

ZBEiM=90°,

'.NBEiE=NMEiE=45°,

；NBEEi=NMEEi=90°,EE】=EEi,

'.△BEiE^AMEjE(ASA),

\BEi=MEi,

??△BME］是等腰直角三角形.

(2)①AD1和BE1相等

⑵

VZABC=ZDiCEi=90°,

???ZBCEi=ZACDi,

又?.,AC=BC,CEi=CDu

AABEiC^AADiC(SAS),

，ADi=BEi.

②當(dāng)點F在BC的延長線上時，BF最大.

在RtZ\DCEi中,E￡=DiC=4

DiEi—4A/2?

??,F是中點，

,?.CF=*DiEi=2&,

???BF=6+2&.

第9頁共30頁

3.如圖1,已知△ABC且△￡?￡>,NACB=ZEDB=90°,點D在AB上，連接CD并

延長交AE于點F.

(1)猜想：線段AF與E尸的數(shù)量關(guān)系為；

(2)探究：若將圖1的△石即繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NCBE小于180。時，得到圖2,

連接CD并延長交AE于點F,則(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，

請說明理由；

(3)拓展：圖1中，過點E作EGLCB,垂足為點G.當(dāng)NABC的大小發(fā)生變化，其它

條件不變時，若NEBG=NBAE,BC=6,直接寫出A5的長.

【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12

【解析】(1)延長DF到G點，并使FG二DC,連接GE,證明4ACF之AEDG,進(jìn)而得到4GEF

為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；

⑵證明原理同⑴，延長DF到G點，并使FG=DC,連接GE,證明4ACF之AEDG,進(jìn)而得到

△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；

(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC矩形，進(jìn)而得到NABC=/ABE=NEBG=60°即可求解.

解：(1)延長DF到G點，并使FG=DC,連接GE,如下圖所示

△AB84EBD,

/.DE=AC,BD=BC,

NCDB=/DCB,且NCDB=NADF,

ZADF=ZDCB,

VZACB=90°,

第10頁共30頁

.,.ZACD+ZDCB=90°,

VZEDB=90°,

.?.ZADF+ZFDE=90°,

/.ZACD=ZFDE,

又延長DF使得FG=DC,

；.FG+DF=DC+DF,

/.DG=CF,

在AACF和AEDG中，

AC=ED

<ZACF=NEDG,

CF=DG

.?.△AC厘△EDG(SAS),

.,.GE=AF,ZG=ZAFC,

又NAFC=NGFE,

/.ZG=ZGFE

/.GE=EF

；.AF=EF,

故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.

故答案為：AF=EF；

(2)仍舊成立，理由如下：

延長DF到G點，并使FG=DC,連接GE,如下圖所示

設(shè)BD延長線DM交AE于M點，

■:△AB8AEBD,

.\DE=AC,BD=BC,

第11頁共30頁

.,.ZCDB=ZDCB,>ZCDB=ZMDF,

NMDF=NDCB,

VZACB=90°,

.\ZACD+ZDCB=90°,

VZEDB=90°,

/.ZMDF+ZFDE=90°,

???NACD=NFDE,

又延長DF使得FG=DC,

/.FG+DF=DC+DF,

.\DG=CF,

在AACF和AEDG中，

AC=ED

<ZACF=Z.EDG,

CF=DG

：.AACF^AEDG(SAS),

.\GE=AF,NG=NAFC,

又NAFONGFE,

NG=NGFE

AGE=EF,

.'.AF=EF,

故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.

故答案為：AF=EF；

(3)如下圖所示：

TBA=BE,

NBAE=NBEA,

第12頁共30頁

VZBAE=ZEBG,

.,.ZBEA=ZEBG,

/.AE//CG,

AZAEG+ZG=180°,

AZAEG=90°,

AZACG=ZG=ZAEG=90°,

四邊形AEGC為矩形，

.\AC=EG,且AB=BE,

RtAACB/RtAEGB(HL),

；.BG=BC=6,ZABC=ZEBG,

又：ED=AC=EG,且EB=EB,

RtAEDB之RtAEGB(HL),

；.DB=GB=6,ZEBG=ZABE,

ZABC=ZABE=ZEBG=60°,

/.ZBAC=30°,

...在Rt^ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：

AB=2BC=n.

故答案為：12.

【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定,

本題的關(guān)鍵是延長DF到G點并使FG=DC,進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的

輔助線.

4.實踐操作：第一步：如圖1,將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD

上的點A'處，得到折痕OE,然后把紙片展平.第二步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD

沿過點E的直線折疊，點C恰好落在AD上的點C處，點B落在點9處，得到折痕石尸，

B'C'交AB于點M,CF交OE于點N,再把紙片展平.

第13頁共30頁

問題解決:

（1）如圖1,填空：四邊形的形狀是.

（2）如圖2,線段MC'與〃石是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由;

（3）如圖2,若AC'=2cm,DC'=4cm,求。V:石N的值.

2

【答案】（1）正方形；（2）MC'=ME,見解析；（3）j

【解析】（1）有一組鄰邊相等且一個角為直角的平行四邊形是正方形；

（2）連接EC',由（1）問的結(jié)論可知，AD=BC,ZEAC=ZB=90°,又因為矩形紙

片ABCD沿過點E的直線折疊，可知折疊前后對應(yīng)角以及對應(yīng)邊相等，有NB，=NB,

B'C'=BC,AE=B'C',NE4C'=NB'=90°,可以證明HECA和W—C'￡B'全等，

得到ZCEA=ZECB',從而有MC=ME；

（3）由Rt_ECeRt_C'EB「石AC=B'E；由折疊知，AC=BE,可以計算出

AB=8（cm）；用勾股定理計算出DF的長度，再證明.DAES-ENG得出等量關(guān)系，從而

得到。V:石N的值.

【詳解】（1）解：：ABCD是平行四邊形，

???AD//BC//EA，AE//DA

???四邊形AEAD是平行四邊形

???矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處

'AED^AED

AE=AE

第14頁共30頁

?/ZA=90

，四邊形AEAD的形狀是正方形

故最后答案為：四邊形的形狀是正方形；

(2)MC'=ME

理由如下：如圖，連接EC',由(1)知：AD=AE

..?四邊形A3CD是矩形，

:.AD=BC,Z￡AC,=ZB=90°

由折疊知：B'C=BC,ZB'=AB

C.AE^B'C,ZEAC'=ZB'^90°

又EC'=C'E,

：.RtEC'A^RtCEB'

ZCEA=ZEC'B'

MC'=ME

(3)VRtEC'A^Rt.CEB',：.AC=B'E

由折疊知：PE=BE，：,AC'=BE

?：AC'=2(cm),DC'=4(cm)

/.AB=CD=2+4+2=8(cm)

設(shè)DF=xcm,則FC=FC=(8-x)cm

在RLDCR中，由勾股定理得：42+x2=(8-x)2

解得：尤=3,即=3(cm)

第15頁共30頁

如圖，延長B4,EC'交于點G,則NAC'G=NTCT

tanZAC'G=tanZDC'F=絲=—=-

ACDC4

3

AG=—(cm)

315

/.EG=1+6=y(cm)

■:DFIIEG，：.一DNFS-ENG

152

:.DN:EN=DF:EG=3:—=—

25

【點睛】(1)本問主要考查了正方形的定義，即有一組鄰邊相等且一個角為直角的平行四邊

形是正方形，其中明確折疊前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵；

(2)本問利用了正方形的性質(zhì)以及折疊前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等來證明三角形全等，再根

據(jù)角相等則邊相等即可做題，其中知道角相等則邊相等的思想是解題的關(guān)鍵；

(3)本問考查了全等三角形、相似三角形的性質(zhì)、角相等則正切值相等以及勾股定理的應(yīng)

用，其中知道三角形相似則對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

5.問題背景：如圖(1),已知,求證：..ABDs—ACE；

嘗試應(yīng)用：如圖(2),在4ABe和，AD石中，ZBAC=ZDAE=90°^

ZABC=ZADE=30°?AC與DE相交于點F.點。在邊上，器=也，求f的

值；

拓展創(chuàng)新:如圖(3),D是ABC內(nèi)一點，ZBAD=ZCBD=30°，ZBDC=90°.AB=4,

AC=20，直接寫出AD的長.

【答案】問題背景：見詳解；嘗試應(yīng)用：3；拓展創(chuàng)新：AD=E

第16頁共30頁

ADArAfiAr

【解析】問題背景：通過得到一二一,一二一,再找到相等的角,

ADAEADAE

從而可證」AB。一一ACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,通過，BAC”ZME可以證得，ABD，ACE,得到處=任，然

CEAE

后去證AAFEs^DFC,AADF^AECF,通過對應(yīng)邊成比例即可得到答案；

拓展創(chuàng)新:在AD的右側(cè)作NDAE=/BAC,AE交BD延長線于E,連接CE,通過,BAC“DAE,

BAD-CAE,然后利用對應(yīng)邊成比例即可得到答案.

【詳解】問題背景：?.,△ABCS/VIZJE,

ABAC

/.ZBAC=ZDAE

AD~AE

：.ZBAD+ZDAC=CAE+ZDAC,

.?.NBAD=NCAE,

**?.ABD—ACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,

ZBAC=ZDAE=9(fZABC=ZADE=3(f,

.BAC~.DAE,

.ABAD

,*AC-AE'

NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

NBAD=NCAE,

二ABD?-ACE,

.BDAD

**CE-AE?

由于NAD￡=30°，ZDAE=90°

AE百

??tan3Q==——>

AD3

第17頁共30頁

即變=四=技

CEAE

,:也=6,

BD

???旦3,

CE

?/ABAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30，

NC=NE=60，

又：ZAFE=ZDFC,

Z\AFE^>Z\DFC,

AFEFAFDF

..---=----,即an----=----

DFCFEFCF

又：ZAFD^ZEFC

/.AADF^AECF,

DFADc

■.----------3；

CFCE

拓展創(chuàng)新：AD<

如圖，在AD的右側(cè)作NDAE=NBAC,AE交BD延長線于E,連接CE,

ZADE=ZBAD+ZABD,ZABC=ZABD+ZCBD,/BAD=ZCBD=30°，

.,.ZADE=ZABC,

X'."ZDAE=ZBAC,

BAC-DAE,

.ABACBC

"AD~AE~DE'

又；NDAE=NBAC,

ZBAD=ZCAE,

/BAD^CAE,

第18頁共30頁

,BDABAD_4_20

,,近一瓦一瓦—訪一亍’

設(shè)CD=x,在直角三角形BCD中，由于/CBD=30°,

:?BD=Cx，BC=2x,

3

:.CE=-x,

'AD~DE'

4_2x

；?AD—7/F-，

—X

2

：.AD=M

【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

6.在，ABC中，ABAC=90°,AB=AC.點D在邊3C上，OELZM且。石=八4,

AE交邊于點F,連接CE.

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)AD=AF時，①求證：班）=CF；②推斷：ZACE=.；

（2）探究證明：如圖2,當(dāng)AO/A尸時，請?zhí)骄縉ACE的度數(shù)是否為定值，并說明理由;

EF1

（3）拓展運用：如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)——=—時，過點D作AE的垂線，交AE于

AF3

點P,交AC于點K,若CK=一,求。歹的長.

3

【答案】（1）①證明見解析，②NACE=90°；（2）NACE=90°為定值，證明見解析:

第19頁共30頁

⑶50.

【解析】（1）①利用已知條件證明^ABD^_ACF,即可得到結(jié)論，②先證明dDFEs二AFC,

利用相似三角形的性質(zhì)再證明.AFDS.CFE,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；

（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；

（3）設(shè)跖=a,則AF=3a,利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：

DP,AP,EP,PF,DF,由一。尸石心二.。表示再證明?APKs..ACE,利用相

似三角形的性質(zhì)建立方程求解〃，即可得到答案.

【詳解】證明：（1）①，AD=AF,

ZADF=ZAFD,

ZADB=ZAFC,

AB=AC,

ZB=ZC,

:.^ABD^ACF,

:.BD=CF.

②推斷：NACE=90°.

理由如下：

AD=DE,DALDE,

:.ZAED=ZDAE=45°,

AB=AC,ZBAC=9Q°,

ZACB=45°,

ZACF=/DEF,

ZDFE=ZAFC,

DFEs：AFC,

第20頁共30頁

DFFE

~AF~~FC'

ZAFD=ZCFE,

:._AFD^_CFE,

ZDAF=ZECF=45°,

...ZACE=ZACF+ZECF=90°.

（2）NACE=90。為定值,

理由如下:

由（1）得：ZACF=NDEF=45。,

ZDFE=ZAFC,

DFEs二AFC,

DFFE

AF-FC'

ZAFD=ZCFE,

:「AFDs一CFE,

:.ZDAF^ZECF=45°,

ZACE=ZACF+ZECF=90°.

第21頁共30頁

BD

E

圖2

EF_1

(3)

AF-3

設(shè)EF=a,則AF=3a,

AE=AF+EF=4a,

DP±AE,DA=DE,DA±DE,

DP=AP=EP=2a,PF=a,

DF=yjDP'+FP-=75a,DE=DA=20a,

DFES-AFC,

DFFEDE

"AF-FC-AC'

y15aa_2貶a

FC~AC'

“3下.?6屈

..rC=---a,AC=--------,

55

ZAPK=ZACE=90°,ZPAK=ZCAE,

APKsaACE,

AP_AK

一耘一瓦’

:.AP?AE=AK?AC

CK=—,

3

c”(671016^6710

/.2a^4a=------a-------------a,

153j5

第22頁共30頁

解得：a=y/10,

DF=y/5a=5/5x.\/10=5yf2.

【點睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的

判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.問題提出

如圖(1),在4ABC和4DEC中,ZACB=ZDCE=90°,EC=DC,點E在AABC內(nèi)部，BF,

CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究

(1)先將問題特殊化如圖(2),當(dāng)點D,F重合時，表示AF,BF；

(2)再探究一般情形如圖(1),當(dāng)點D,F不重合時(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

如圖(3),在AABC和中,ZACB=ZDCE=90°,EC=kDC(k是常數(shù))，點E在AABC

內(nèi)部，表示線段AF,BF

(1)⑵(3)

【答案】見解析。

【解析】(1)證明4ACD絲ZiBCE(SAS),則4CDE為等腰直角三角形，故DE=EF=V2CF,

進(jìn)而求解;

(2)由(1)知，AACD^ABCE(SAS),再證明ABCGgZkACF(AAS),得到AGCF為等腰直

第23頁共30頁

角三角形，則GF=&CF,即可求解；

(3)證明△BCEs/\CAD和△BGCs^AFC,得到電S^=k=匹，則BG=kAF,GC=kFC,

AFACCF

進(jìn)而求解.

解：(1)如圖(2),VZACD+ZACE=90°,

.?.ZBCE=ZACD,

VBC=AC,EC=DC,

/.△ACD^ABCE(SAS),

；.BE=AD=AF,ZEBC=ZCAD,

故4CDE為等腰直角三角形，

故DE=EF=&CF,

則BF=BD=BE+ED=AF+MCF；

即BF-AF=?CF；

(2)如圖(1),由(1)知,

(1)

.,.ZCAF=ZCBE,BE=AF,

過點C作CGLCF交BF于點G,

VZFCE+ZECG=90°,ZECG+ZGCB=90°,

；./ACF=/GCB,

VZCAF=ZCBE,BC=AC,

.'.△BCG^AACF(AAS),

；.GC=FC,BG=AF,

故AGCF為等腰直角三角形，則GF=M，

則BF=BG+GF=AF+&CF,

即BF-AF=?CF；

(3)由(2)知,ZBCE=ZACD,

第24頁共30頁

而BC=kAC,EC=kDC,

AABCE^ACAD,

.?.ZCAD=ZCBE,

過點C作CGLCF交BF于點G,

(3)

由(2)知，ZBCG=ZACF,

.,.△BGC^AAFC,

.BGBC,_GC

??-二-----=|2"，，

AFACCF

則BG=kAF,GC=kFC,

32=2

在RtACGF中，GF=^/GC2+FC2=^/(kpc)+FCVk+5'

則BF=BG+GF=kAF+Jk2+1?FC,

即BF-kAF=^k3+1?FC.

8.在一平面內(nèi)，線段AB=20,線段BC=CD=DA=10,將這四條線段順次首尾相接.把AB

固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉(zhuǎn)角a(a>0°)到某一位置時，BC,CD將會跟隨

出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)AD〃BC時，設(shè)AB與CD交于點0,求證：A0=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時，NADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CD的中點M,當(dāng)點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點D與B的距離為d,若NBCD的平分線所在直線交AB于點P,直接寫

出BP的長(用含d的式子表示)；

②當(dāng)點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出a的余弦值.

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D

【答案】見解析。

【解析】論證：由△AOD四△BOC,得AO=BO,而AB=20,可得A0=10；

發(fā)現(xiàn)：設(shè)AB的中點為0,當(dāng)AD從初始位置A0繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°時，BC也從初始位置BC'

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,BC旋轉(zhuǎn)到B0的位置，即C以0重合，從而可得/ADC=60°；

嘗試：當(dāng)點M與點B距離最大時，D、C、B共線，過D作DQLAB于Q,過M作MNLAB于N,

由己知可得AD=10,設(shè)AQ=x,則BQ=20-x,100-x2=400-（20-x）2,可得AQ=9,

2

DQ=E運，再由MN〃DQ,得知_=現(xiàn)，皿=生屋，即點M至UAB的距離為生星；

2DQBD88

拓展：

①設(shè)直線CP交DB于H,過G作DG_LAB于G,連接DP,設(shè)BG=m,貝ijAG=20-m,由AD?-

22

AG2=BD2-BG2,可得m=d+300,BG=W_上迎2_,而△BHPs/^BGD,有空=理，即可得

4040BDBG

BP=年匚

dz+300

②過B作BGLCD于G,設(shè)AN=t,則BN=20-t,DN=7AN2-AD2=Vt2-100,由4ADN

^△BGN,西=網(wǎng)=幽，表達(dá)出NG=（20T）」t23BG=200-10t,RSBCG中，

DNANADtt

CG=20V1*1°Q,根據(jù)DN+NG+CG=10,列方程^t2_100+（20-t）?t2包色+

型匹叵=10,解得t=200-40*,即可得c°sa=3B=而%虧=之近.

t9AN200-40778

【解答】論證:

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證明：VAD/7BC,

/.ZA=ZB,ZC=ZD,

在AAOD和ABOC中，

fZA=ZB

?AD=BC,

ZD=ZC

/.△AOD^ABOC(ASA),

；.AO=BO,

VA0+B0=AB=20,

?,.A0=10；

發(fā)現(xiàn)：設(shè)AB的中點為0,如圖:

當(dāng)AD從初始位置A0繞A順時針旋轉(zhuǎn)60°時,BC也從初始位置BC'繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。，

而BO=BC'=10,

...△BC'O是等邊三角形，

...BC旋轉(zhuǎn)到B0的位置，即C以0重合，

,/A0=AD=CD=10,

...△ADC是等邊三角形，

，NADC=60°；

嘗試：取線段CD的中點M,當(dāng)點M與點B距離最大時，D、C、B共線，過D作DQLAB于Q,

過M作MN_LAB于N,如圖：

由已知可得AD=10,BD=BC+CD=20,BM=CM+BC=15,

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設(shè)AQ=x,貝l]BQ=20-x,

,ZAD2-AQ2=DQ2=BD2-BQ2,

.,.100-X2=400-(20-x)2,

解得x=§,

2

；.AQ=S,

2

DQ=VAD2-AQ2=■^2^'

VDQ1AB,